Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Chuyên đề: Cực trị của một biểu thức

Bài tập tìm GTLN, GTNN của một biểu thức

Tải về

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Thƣ viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188

CHUYÊN ĐỀ: CỰC TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC

I/ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦẢ MỘT BIỂU THỨC

1/ Cho biểu thức f( x ,y,...)

a/ Ta nói M giá trị lớn nhất ( GTLN) của biểu thức f(x,y...) kí hiệu max f = M nếu hai điều

kiện sau đây được thoả mãn:

- Với mọi x,y... để f(x,y...) xác định thì :

f(x,y...)



M ( M hằng số) (1)

- Tồn tại x

... sao cho:

f( x

...) = M (2)

b/ Ta nói m là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức f(x,y...) kí hiệu min f = m nếu hai điều

kiện sau đây được thoả mãn :

- Với mọi x,y... để f(x,y...) xác định thì :

f(x,y...)



m ( m hằng số) (1‟)

- Tồn tại x

... sao cho:

f( x

...) = m (2‟)

2/ Chú ý : Nếu chỉ có điều kiện (1) hay (1‟) thì chưa có thể nói gì về cực trị của một biểu

thức chẳng hạn, xét biểu thức : A = ( x- 1)

+ ( x – 3)

. Mặc dù ta có A



0 nhưng chưa thể

kết luận được minA = 0 vì không tồn tại giá trị nào của x để A = 0 ta phải giải như sau:

A = x

– 2x + 1 + x

– 6x + 9 = 2( x

– 4x + 5) = 2(x – 2)

+ 2



A = 2



x -2 = 0



x = 2

Vậy minA = 2 khi chỉ khi x = 2

II/ TÌM GTNN ,GTLN CỦA BIỂU THƢC CHỨA MỘT BIẾN

1/ Tam thức bậc hai:

Ví dụ: Cho tam thức bậc hai P = ax

+ bx + c .

Tìm GTNN của P nếu a



Tìm GTLN của P nếu a



Giải : P = ax

+ bx +c = a( x

x ) + c = a( x +

)

+ c -

Thƣ viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188

Đặt c -

=k . Do ( x +

)



0 nên :

- Nếu a



0 thì a( x +

)



0 , do đó P



k. MinP = k khi và chỉ khi x = -

-Nếu a



0 thì a( x +

)

`

0 do đó P

`

k. MaxP = k khi và chỉ khi x = -

2/ Đa thức bậc cao hơn hai:

Ta có thể đổi biến để đưa về tam thức bậc hai

Ví dụ : Tìm GTNN của A = x( x-3)(x – 4)( x – 7)

Giải : A = ( x

- 7x)( x

– 7x + 12)

Đặt x

– 7x + 6 = y thì A = ( y - 6)( y + 6) = y

- 36



-36

minA = -36



y = 0



– 7x + 6 = 0



= 1, x

= 6.

3/ Biểu thức là một phân thức :

a/ Phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai:

Ví dụ : Tìm GTNN của A =

956

xx 

Giải : A =

956

xx 

. =

569





4)13(





Ta thấy (3x – 1)



0 nên (3x – 1)



4 do đó

(3 1) 4x 



theo tính chất a



thì



với a, b cùng dấu). Do đó

4)13(







2





minA = -



3x – 1 = 0



x =

Bài tập áp dụng:

1. Tìm GTLN của BT :

x 4x 9





(HD giải:

 

1 1 1 1

A . max A= x 2

x 4x 9 5 5

x 2 5

    



2. Tìm GTLN của BT :

x 6x 17





Thƣ viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188

(HD Giải:

 

1 1 1 1

A . max A= x 3

x 6x 17 8 8

x 3 8

    



)

3. (51/217) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 x 2x 7



   

b/ Phân thức có mẫu là bình phƣơng của nhị thức.

Ví dụ : Tìm GTNN của A =

683



Giải : Cách 1 : Viết A dưới dạng tổng hai biểu thức không âm

A =

   

2 2 1 4 4

x x x x

    



= 2 +

)1(

)2(





minA = 2 khi và chi khi x = 2.

Cách 2: Đặt x – 1 = y thì x = y + 1 ta có :

A =

   

2 2 2

3( 1) 8( 1) 6 3 6 3 8 8 6 3 2 1

2 1 2 2 1

1 2 1 1

y y y y y y y

y y y y

          



    

   

= 3 -

= (

-1)

+ 2

minA = 2



y = 1



x – 1 = 1



x = 2

Bài tập áp dụng: (Bồi dưỡng HSG toán đại số 9 TRẦN THỊ VÂN ANH)

1, (13/200) Tìm GTNN và GTLN của bt:







2, (36/210) Tìm GTNN của bt :

2 2006





3, ( 45/ 214) Tìm GTNN và GTLN của bt:





4, ( 47, 48 /215) Tìm GTNN của bt : a,







2 4 9







c/ Các phân thức dạng khác:

Ví dụ : Tìm GTNN và GTLN của A =





Giải Để tìm GTNN , GTLN ta viết tử thức về dạng bình phương của một số :

A =

144





xxx

)2(





- 1



-1

Min A= -1 khi và chỉ khi x = 2

Chuyên đề tìm GTLN, GTNN

I. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦẢ MỘT BIỂU THỨC
II. TÌM GTNN ,GTLN CỦA BIỂU THƯC CHỨA MỘT BIẾN
III. TÌM GTNN, GTLN CỦA BT CÓ QUAN HỆ RÀNG BUỘC GIỮA CÁC BIẾN
IV. CÁC CHÚ Ý KHI GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ

Chuyên đề: Cực trị của một biểu thức là tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán hay dành cho quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo, hi vọng sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn.

Tóm tắt nội dung:

Bài viết tổng hợp kiến thức và các dạng bài tập cực trị của một biểu thức thường gặp trong chương trình Toán 9 và đề thi vào lớp 10. Nội dung hướng dẫn phương pháp tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) bằng biến đổi đại số, hằng đẳng thức, bất đẳng thức và điều kiện xác định của biểu thức, kèm bài tập có đáp án chi tiết giúp học sinh nâng cao kỹ năng tư duy và giải nhanh bài toán cực trị.

I. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦẢ MỘT BIỂU THỨC

1. Cho biểu thức f( x ,y, ...)

a. Ta nói M giá trị lớn nhất ( GTLN) của biểu thức f(x,y, ...) kí hiệu max f = M nếu hai điều kiện sau đây được thoả mãn:

Với mọi x,y... để f(x,y...) xác định thì :

f(x,y...) $\leq$ M ( M hằng số) (1)

Tồn tại x_o,y_o ... sao cho:

f( x_o,y_o...) = M (2)

b. Ta nói m là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức f(x,y...) kí hiệu min f = m nếu hai điều kiện sau đây được thoả mãn :

Với mọi x,y... để f(x,y...) xác định thì :

f(x,y...) $\geq$ m ( m hằng số) (1’)

Tồn tại x_o,y_o ... sao cho:

f( x_o,y_o...) = m (2’)

2. Chú ý : Nếu chỉ có điều kiện (1) hay (1’) thì chưa có thể nói gì về cực trị của một biểu thức chẳng hạn, xét biểu thức : A = ( x- 1)² + ( x – 3)². Mặc dù ta có A $\geq$ 0 nhưng chưa thể kết luận được minA = 0 vì không tồn tại giá trị nào của x để A = 0 ta phải giải như sau:

A = x² – 2x + 1 + x² – 6x + 9 = 2( x² – 4x + 5) = 2(x – 2)² + 2 $\geq$ 2

A = 2 $\Leftrightarrow$ x -2 = 0 $\Leftrightarrow$ x = 2

Vậy minA = 2 khi chỉ khi x = 2

II. TÌM GTNN ,GTLN CỦA BIỂU THƯC CHỨA MỘT BIẾN

1. Tam thức bậc hai:

2. Đa thức bậc cao hơn hai:

3. Biểu thức là một phân thức :

III. TÌM GTNN, GTLN CỦA BT CÓ QUAN HỆ RÀNG BUỘC GIỮA CÁC BIẾN

1. Tam thức bâc hai:

Ví dụ: Cho tam thức bậc hai $P = {ax}^{2} + bx + c$ .

Tìm GTNN của P nếu a> 0 .

Tìm GTLN của P nếu $a < 0$

Giải :

Ta có:

$P = {ax}^{2} + bx + c = a\left( x^{2} + \frac{b}{a}x \right) + c = a\left( x + \frac{b}{2a} \right)^{2} + c - \frac{b^{2}}{4a^{2}}$

Đặt $c - \frac{b^{2}}{4a} = k$ . Do $\left( x + \frac{b}{2a} \right)^{2} \geq 0$ nên:

Nếu a > 0 thì $a\left( x + \frac{b}{2a} \right)^{2} \geq 0$ , do đó $P \geq k$ . MinP $= k$ khi và chỉ khi $x = - \frac{b}{2a}$
Nếu a $\left\langle 0 \right.$ thì $a\left( x + \frac{b}{2a} \right)^{2} \leq 0$ do đó $P \leq k$ . MaxP $= k$ khi và chỉ khi $x = - \frac{b}{2a}$

2. Đa thức bậc cao hơn hai:

Ta có thể đổi biến để đưa về tam thức bậc hai

Ví dụ: Tìm GTNN của $A = x(x - 3)(x - 4)(x - 7)$

Giải:

Ta có: $A = \left( x^{2} - 7x \right)\left( x^{2} - 7x + 12 \right)$

Đặt $x^{2} - 7x + 6 = y$ thì $A = (y - 6)(y + 6) = y^{2} - 36 \geq - 36$

$\min A = - 36 \Leftrightarrow y = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 7x + 6 = 0 \Leftrightarrow x_{1} = 1,x_{2} = 6$ .

3. Biểu thức là một phân thức:

a. Phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai:

Ví dụ : Tìm GTNN của $A = \frac{2}{6x - 5 - 9x^{2}}$ .

Giải

Ta có: $A = \frac{2}{6x - 5 - 9x^{2}} \cdot = \frac{- 2}{9x^{2} - 6x + 5} = \frac{- 2}{(3x - 1)^{2} + 4}$ .

Ta thấy $(3x - 1)^{2} \geq 0$ nên $(3x - 1)^{2} + 4 \geq 4$ do đó $\frac{1}{(3x - 1)^{2} + 4} \leq \frac{1}{4}$ theo tính chất $a \geq b$ thì $\frac{1}{a} \leq \frac{1}{b}$ với $a,b$ cùng dấu).

Do đó $\frac{- 2}{(3x - 1)^{2} + 4} \geq \frac{- 2}{4} \Rightarrow \text{ }A \geq - \frac{1}{2}$

$minA = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow 3x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}$ .

Bài tập áp dụng:

1. Tìm GTLN của biểu thức: A = $\frac{1}{x^{2} - 4x + 9}$
(HD giải: $A = \frac{1}{x^{2} - 4x + 9} = \frac{1}{(x - 2)^{2} + 5} \leq \frac{1}{5}$ . max $A = \frac{1}{5} \Leftrightarrow x = 2$ .)

2. Tìm GTLN của biểu thức : $A = \frac{1}{2,\cdots}$

Hướng dẫn giải:

$A = \frac{1}{x^{2} - 6x + 17} = \frac{1}{(x - 3)^{2} + 8} \leq \frac{1}{8}$ . max $A = \frac{1}{8} \Leftrightarrow x = 3$ )

3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $A = \frac{3}{2 + \sqrt{- x^{2} + 2x + 7}}$

b. Phân thức có mẫu là bình phương của nhị thức.

Ví dụ: Tìm GTNN của biểu thức $A = \frac{3x^{2} - 8x + 6}{x^{2} - 2x + 1}$ .

Giải

Cách 1: Viết A dưới dạng tổng hai biểu thức không âm

$A = \frac{2\left( x^{2} - 2x + 1 \right) + \left( x^{2} - 4x + 4 \right)}{x^{2} - 2x + 1} = 2 + \frac{(x - 2)^{2}}{(x - 1)^{2}} \geq 2$

$minA = 2$ khi và chi khi $x = 2$ .

Cách 2: Đặt $x - 1 = y$ thì $x = y + 1$ ta có:

$A = \frac{3(y + 1)^{2} - 8(y + 1) + 6}{(y + 1)^{2} - 2(y + 1) + 1} =$

$\frac{3y^{2} + 6y + 3 - 8y - 8 + 6}{y^{2} + 2y + 1 - 2y - 2 + 1} = \frac{3y^{2} - 2y + 1}{y^{2}}$

$= 3 - \frac{2}{y} + \frac{1}{y^{2}} = \left( \frac{1}{y} - 1 \right)^{2} + 2$

$\min A = 2 \Leftrightarrow y = 1 \Leftrightarrow x - 1 = 1 \Leftrightarrow x = 2$

IV. CÁC CHÚ Ý KHI GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ

Chú ý 1: Khi tìm bai toán cực trị ta có thể đổi biến

Chú ý 2: Khi tìm cực trị của biểu thức , nhiều khi ta thay điều kiện để biểu thức này đạt cực trị bởi điều kiện tương đương là biểu thức khác đạt cực trị

Chú ý 3: Khi tìm GTLN, GTNN của 1 biểu thức ,người ta thường sử dụng các BĐT đã biết

Bất đẳng thức có tính chất sau.

✨ Bài viết chỉ trích dẫn một phần nội dung, mời bạn tải tài liệu đầy đủ để nắm trọn kiến thức.

----------------------------------------------------------------

❓ FAQ

1. Cực trị của một biểu thức là gì?

Cực trị gồm:

Giá trị lớn nhất (GTLN)
Giá trị nhỏ nhất (GTNN)

của biểu thức trong điều kiện xác định cho trước.

2. Làm sao tìm GTLN và GTNN của biểu thức?

Thông thường:

Biến đổi biểu thức về dạng quen thuộc
Sử dụng bất đẳng thức hoặc hằng đẳng thức

3. Những dạng toán cực trị thường gặp là gì?

Tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa căn
Cực trị phân thức
Cực trị dùng bất đẳng thức
Bài toán có điều kiện xác định

4. Vì sao cần xét điều kiện xác định trước khi tìm cực trị?

Điều kiện xác định giúp: 👉 Đảm bảo biểu thức có nghĩa và tránh sai kết quả.

5. Những bất đẳng thức nào thường dùng trong bài cực trị?

Một số bất đẳng thức quen thuộc:

Bất đẳng thức Cauchy
AM-GM
Bất đẳng thức Bunhiacopxki

6. Sai lầm phổ biến khi làm bài cực trị là gì?

Quên điều kiện xác định
Biến đổi sai dấu
Kết luận thiếu giá trị đạt được

7. Làm sao nhận biết bài toán cần dùng hằng đẳng thức?

Khi biểu thức:

Có dạng bình phương
Có thể đưa về tổng hoặc hiệu các bình phương

-------------------------------------------------

Ngoài Chuyên đề: Cực trị của một biểu thức, VnDoc.com mời các bạn tham khảo thêm các dạng Toán 9 ôn thi vào lớp 10, đề thi học kì 1 lớp 9, đề thi học kì 2 lớp 9 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Địa, Sinh mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với tài liệu này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn ôn thi tốt!

Tải về

Chọn file muốn tải về: