Chuyên đề: Cực trị của một biểu thức
Bài tập tìm GTLN, GTNN của một biểu thức
Thƣ viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188
CHUYÊN ĐỀ: CỰC TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC
I/ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦẢ MỘT BIỂU THỨC
1/ Cho biểu thức f( x ,y,...)
a/ Ta nói M giá trị lớn nhất ( GTLN) của biểu thức f(x,y...) kí hiệu max f = M nếu hai điều
kiện sau đây được thoả mãn:
- Với mọi x,y... để f(x,y...) xác định thì :
f(x,y...)
M ( M hằng số) (1)
- Tồn tại x
o
,y
o
... sao cho:
f( x
o
,y
o
...) = M (2)
b/ Ta nói m là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức f(x,y...) kí hiệu min f = m nếu hai điều
kiện sau đây được thoả mãn :
- Với mọi x,y... để f(x,y...) xác định thì :
f(x,y...)
m ( m hằng số) (1‟)
- Tồn tại x
o
,y
o
... sao cho:
f( x
o
,y
o
...) = m (2‟)
2/ Chú ý : Nếu chỉ có điều kiện (1) hay (1‟) thì chưa có thể nói gì về cực trị của một biểu
thức chẳng hạn, xét biểu thức : A = ( x- 1)
2
+ ( x – 3)
2
. Mặc dù ta có A
0 nhưng chưa thể
kết luận được minA = 0 vì không tồn tại giá trị nào của x để A = 0 ta phải giải như sau:
A = x
2
– 2x + 1 + x
2
– 6x + 9 = 2( x
2
– 4x + 5) = 2(x – 2)
2
+ 2
2
A = 2
x -2 = 0
x = 2
Vậy minA = 2 khi chỉ khi x = 2
II/ TÌM GTNN ,GTLN CỦA BIỂU THƢC CHỨA MỘT BIẾN
1/ Tam thức bậc hai:
Ví dụ: Cho tam thức bậc hai P = ax
2
+ bx + c .
Tìm GTNN của P nếu a
0.
Tìm GTLN của P nếu a
0
Giải : P = ax
2
+ bx +c = a( x
2
+
a
b
x ) + c = a( x +
a
b
2
)
2
+ c -
2
2
4
b
a
Thƣ viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188
Đặt c -
a
b
4
2
=k . Do ( x +
a
b
2
)
2
0 nên :
- Nếu a
0 thì a( x +
a
b
2
)
2
0 , do đó P
k. MinP = k khi và chỉ khi x = -
a
b
2
-Nếu a
0 thì a( x +
a
b
2
)
2
`
0 do đó P
`
k. MaxP = k khi và chỉ khi x = -
a
b
2
2/ Đa thức bậc cao hơn hai:
Ta có thể đổi biến để đưa về tam thức bậc hai
Ví dụ : Tìm GTNN của A = x( x-3)(x – 4)( x – 7)
Giải : A = ( x
2
- 7x)( x
2
– 7x + 12)
Đặt x
2
– 7x + 6 = y thì A = ( y - 6)( y + 6) = y
2
- 36
-36
minA = -36
y = 0
x
2
– 7x + 6 = 0
x
1
= 1, x
2
= 6.
3/ Biểu thức là một phân thức :
a/ Phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai:
Ví dụ : Tìm GTNN của A =
2
956
2
xx
.
Giải : A =
2
956
2
xx
. =
569
2
2
xx
=
4)13(
2
2
x
.
Ta thấy (3x – 1)
2
0 nên (3x – 1)
2
+4
4 do đó
2
1
(3 1) 4x
4
1
theo tính chất a
b
thì
a
1
b
1
với a, b cùng dấu). Do đó
4)13(
2
2
x
4
2
A
-
2
1
minA = -
2
1
3x – 1 = 0
x =
3
1
.
Bài tập áp dụng:
1. Tìm GTLN của BT :
2
1
A
x 4x 9
(HD giải:
2
2
1 1 1 1
A . max A= x 2
x 4x 9 5 5
x 2 5
.)
2. Tìm GTLN của BT :
2
1
A
x 6x 17
Thƣ viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188
(HD Giải:
2
2
1 1 1 1
A . max A= x 3
x 6x 17 8 8
x 3 8
)
3. (51/217) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
3
A
2 x 2x 7
b/ Phân thức có mẫu là bình phƣơng của nhị thức.
Ví dụ : Tìm GTNN của A =
12
683
2
2
xx
xx
.
Giải : Cách 1 : Viết A dưới dạng tổng hai biểu thức không âm
A =
22
2
2 2 1 4 4
21
x x x x
xx
= 2 +
2
2
)1(
)2(
x
x
2
minA = 2 khi và chi khi x = 2.
Cách 2: Đặt x – 1 = y thì x = y + 1 ta có :
A =
2 2 2
2
22
3( 1) 8( 1) 6 3 6 3 8 8 6 3 2 1
2 1 2 2 1
1 2 1 1
y y y y y y y
y y y y
yy
= 3 -
y
2
+
2
1
y
= (
y
1
-1)
2
+ 2
minA = 2
y = 1
x – 1 = 1
x = 2
Bài tập áp dụng: (Bồi dưỡng HSG toán đại số 9 TRẦN THỊ VÂN ANH)
1, (13/200) Tìm GTNN và GTLN của bt:
2
2
1
P
1
x
xx
2, (36/210) Tìm GTNN của bt :
2
2
2 2006
B
xx
x
3, ( 45/ 214) Tìm GTNN và GTLN của bt:
2
2
C
57
x
xx
4, ( 47, 48 /215) Tìm GTNN của bt : a,
2
2
22
D
23
xx
xx
b,
2
2
21
E
2 4 9
xx
xx
c/ Các phân thức dạng khác:
Ví dụ : Tìm GTNN và GTLN của A =
1
43
2
x
x
Giải Để tìm GTNN , GTLN ta viết tử thức về dạng bình phương của một số :
A =
1
144
2
22
x
xxx
=
1
)2(
2
2
x
x
- 1
-1
Min A= -1 khi và chỉ khi x = 2
Chuyên đề tìm GTLN, GTNN
Chuyên đề: Cực trị của một biểu thức là tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán hay dành cho quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo, hi vọng sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn.
Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 9, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 9 sau: Nhóm Luyện thi lớp 9 lên 10. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.
- Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu căn
- Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 6: Chứng minh bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN
Ngoài Chuyên đề: Cực trị của một biểu thức, VnDoc.com mời các bạn tham khảo thêm các dạng Toán 9 ôn thi vào lớp 10, đề thi học kì 1 lớp 9, đề thi học kì 2 lớp 9 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Địa, Sinh mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với tài liệu này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn ôn thi tốt!
