™
Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
VnDoc.com Lớp 9 Chuyên đề Toán 9 Thi vào lớp 10

Chuyên đề: Cực trị của một biểu thức

Bài tập tìm GTLN, GTNN của một biểu thức
Thƣ viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188
CHUYÊN ĐỀ: CỰC TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC
I/ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦẢ MỘT BIỂU THỨC
1/ Cho biểu thức f( x ,y,...)
a/ Ta nói M giá trị lớn nhất ( GTLN) của biểu thức f(x,y...) kí hiệu max f = M nếu hai điều
kiện sau đây được thoả mãn:
- Với mọi x,y... để f(x,y...) xác định thì :
f(x,y...)
M ( M hằng số) (1)
- Tồn tại x
o
,y
o
... sao cho:
f( x
o
,y
o
...) = M (2)
b/ Ta nói m là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức f(x,y...) kí hiệu min f = m nếu hai điều
kiện sau đây được thoả mãn :
- Với mọi x,y... để f(x,y...) xác định thì :
f(x,y...)
m ( m hằng số) (1‟)
- Tồn tại x
o
,y
o
... sao cho:
f( x
o
,y
o
...) = m (2‟)
2/ Chú ý : Nếu chỉ có điều kiện (1) hay (1‟) thì chưa có thể nói gì về cực trị của một biểu
thức chẳng hạn, xét biểu thức : A = ( x- 1)
2
+ ( x – 3)
2
. Mặc dù ta có A
0 nhưng chưa thể
kết luận được minA = 0 vì không tồn tại giá trị nào của x để A = 0 ta phải giải như sau:
A = x
2
– 2x + 1 + x
2
– 6x + 9 = 2( x
2
– 4x + 5) = 2(x – 2)
2
+ 2
2
A = 2
x -2 = 0
x = 2
Vậy minA = 2 khi chỉ khi x = 2
II/ TÌM GTNN ,GTLN CỦA BIỂU THƢC CHỨA MỘT BIẾN
1/ Tam thức bậc hai:
Ví dụ: Cho tam thức bậc hai P = ax
2
+ bx + c .
Tìm GTNN của P nếu a
0.
Tìm GTLN của P nếu a
0
Giải : P = ax
2
+ bx +c = a( x
2
+
a
b
x ) + c = a( x +
)
2
+ c -
2
2
4
b
a
Thƣ viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188
Đặt c -
=k . Do ( x +
)
2
0 nên :
- Nếu a
0 thì a( x +
)
2
0 , do đó P
k. MinP = k khi và chỉ khi x = -
-Nếu a
0 thì a( x +
)
2
`
0 do đó P
`
k. MaxP = k khi và chỉ khi x = -
2/ Đa thức bậc cao hơn hai:
Ta có thể đổi biến để đưa về tam thức bậc hai
Ví dụ : Tìm GTNN của A = x( x-3)(x – 4)( x – 7)
Giải : A = ( x
2
- 7x)( x
2
– 7x + 12)
Đặt x
2
– 7x + 6 = y thì A = ( y - 6)( y + 6) = y
2
- 36
-36
minA = -36
y = 0
x
2
– 7x + 6 = 0
x
1
= 1, x
2
= 6.
3/ Biểu thức là một phân thức :
a/ Phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai:
Ví dụ : Tìm GTNN của A =
2
956
2
xx
.
Giải : A =
2
956
2
xx
. =
569
2
2
xx
=
4)13(
2
2
x
.
Ta thấy (3x – 1)
2
0 nên (3x – 1)
2
+4
4 do đó
2
1
(3 1) 4x 
4
1
theo tính chất a
b
thì
a
1
b
1
với a, b cùng dấu). Do đó
4)13(
2
2
x
4
2
A
-
2
1
minA = -
2
1
3x – 1 = 0
x =
3
1
.
Bài tập áp dụng:
1. Tìm GTLN của BT :
2
1
A
x 4x 9

(HD giải:
2
2
1 1 1 1
A . max A= x 2
x 4x 9 5 5
x 2 5


.)
2. Tìm GTLN của BT :
2
1
A
x 6x 17

Thƣ viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188
(HD Giải:
2
2
1 1 1 1
A . max A= x 3
x 6x 17 8 8
x 3 8


)
3. (51/217) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
3
A
2 x 2x 7
b/ Phân thức có mẫu là bình phƣơng của nhị thức.
Ví dụ : Tìm GTNN của A =
12
683
2
2
xx
xx
.
Giải : Cách 1 : Viết A dưới dạng tổng hai biểu thức không âm
A =
22
2
2 2 1 4 4
21
x x x x
xx

= 2 +
2
2
)1(
)2(
x
x
2
minA = 2 khi và chi khi x = 2.
Cách 2: Đặt x – 1 = y thì x = y + 1 ta có :
A =
2 2 2
2
22
3( 1) 8( 1) 6 3 6 3 8 8 6 3 2 1
2 1 2 2 1
1 2 1 1
y y y y y y y
y y y y
yy

= 3 -
y
2
+
= (
y
1
-1)
2
+ 2
minA = 2
y = 1
x – 1 = 1
x = 2
Bài tập áp dụng: (Bồi dưỡng HSG toán đại số 9 TRẦN THỊ VÂN ANH)
1, (13/200) Tìm GTNN và GTLN của bt:
2
2
1
P
1
x
xx

2, (36/210) Tìm GTNN của bt :
2
2
2 2006
B
xx
x

3, ( 45/ 214) Tìm GTNN và GTLN của bt:
2
2
C
57
x
xx

4, ( 47, 48 /215) Tìm GTNN của bt : a,
2
2
22
D
23
xx
xx


b,
2
2
21
E
2 4 9
xx
xx


c/ Các phân thức dạng khác:
Ví dụ : Tìm GTNN và GTLN của A =
1
43
2
x
x
Giải Để tìm GTNN , GTLN ta viết tử thức về dạng bình phương của một số :
A =
1
144
2
22
x
xxx
=
1
)2(
2
2
x
x
- 1
-1
Min A= -1 khi và chỉ khi x = 2
3/22 Xem thêm

Chuyên đề tìm GTLN, GTNN

Chuyên đề: Cực trị của một biểu thức là tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán hay dành cho quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo, hi vọng sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn.

I. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦẢ MỘT BIỂU THỨC

1. Cho biểu thức f( x ,y, ...)

a. Ta nói M giá trị lớn nhất ( GTLN) của biểu thức f(x,y, ...) kí hiệu max f = M nếu hai điều kiện sau đây được thoả mãn:

Với mọi x,y... để f(x,y...) xác định thì :

f(x,y...) \leq≤ M ( M hằng số) (1)

Tồn tại xo,yo ... sao cho:

f( xo,yo...) = M (2)

b. Ta nói m là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức f(x,y...) kí hiệu min f = m nếu hai điều kiện sau đây được thoả mãn :

Với mọi x,y... để f(x,y...) xác định thì :

f(x,y...) \geq≥ m ( m hằng số) (1’)

Tồn tại xo,yo ... sao cho:

f( xo,yo...) = m (2’)

2. Chú ý : Nếu chỉ có điều kiện (1) hay (1’) thì chưa có thể nói gì về cực trị của một biểu thức chẳng hạn, xét biểu thức : A = ( x- 1)2 + ( x – 3)2. Mặc dù ta có A \geq≥ 0 nhưng chưa thể kết luận được minA = 0 vì không tồn tại giá trị nào của x để A = 0 ta phải giải như sau:

A = x2 – 2x + 1 + x2 – 6x + 9 = 2( x2 – 4x + 5) = 2(x – 2)2 + 2 \geq≥ 2

A = 2 \Leftrightarrow⇔x -2 = 0 \Leftrightarrow⇔ x = 2

Vậy minA = 2 khi chỉ khi x = 2

II. TÌM GTNN ,GTLN CỦA BIỂU THƯC CHỨA MỘT BIẾN

1. Tam thức bậc hai:

2. Đa thức bậc cao hơn hai:

3. Biểu thức là một phân thức :

III. TÌM GTNN, GTLN CỦA BT CÓ QUAN HỆ RÀNG BUỘC GIỮA CÁC BIẾN

IV. CÁC CHÚ Ý KHI GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ

Chú ý 1: Khi tìm bai toán cực trị ta có thể đổi biến

Chú ý 2: Khi tìm cực trị của biểu thức , nhiều khi ta thay điều kiện để biểu thức này đạt cực trị bởi điều kiện tương đương là biểu thức khác đạt cực trị

Chú ý 3: Khi tìm GTLN, GTNN của 1 biểu thức ,người ta thường sử dụng các BĐT đã biết

Bất đẳng thức có tính chất sau

-------------------------------------------------

Ngoài Chuyên đề: Cực trị của một biểu thức, VnDoc.com mời các bạn tham khảo thêm các dạng Toán 9 ôn thi vào lớp 10, đề thi học kì 1 lớp 9, đề thi học kì 2 lớp 9 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Địa, Sinh mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với tài liệu này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn ôn thi tốt!

Tham khảo thêm

Chia sẻ, đánh giá bài viết
1
823 Bài viết đã được lưu
Chọn file muốn tải về:

Chuyên đề: Cực trị của một biểu thức

760 KB

  • Tải file định dạng .DOC

    1,2 MB
Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!
Đóng
79.000 / tháng
Mua ngay
Đặc quyền các gói Thành viên
PRO
Phổ biến nhất
PRO+
Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp
Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí
Xem nội dung bài viết
Trải nghiệm Không quảng cáo
Làm bài trắc nghiệm không giới hạn
Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
🖼️

Gợi ý cho bạn
Xem thêm
🖼️

Đề thi vào 10 môn Toán
Xem thêm
Chia sẻ
Chia sẻ FacebookChia sẻ TwitterSao chép liên kếtQuét bằng QR Code
Mã QR Code
Đóng