VnDoc.com

Đề thi học sinh giỏi lớp 12 môn Toán năm 2019-2020 Sở GD&ĐT Ninh Thuận

Đề thi học sinh giỏi môn Toán 12

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

NINH THUẬN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC: 2019 - 2020

Khóa ngày: 21/03/2020

Môn thi: TOÁN - THPT

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

ĐỀ:

(Đề thi có 01 trang / 20 điểm)

Bài 1: Cho

, ,zx y

là các s

ố thực dương thỏa

1xyz 

. Chứng

minh rằng

     

3 3 3

1 1 1 3

2

x y z y

z x z x y

  

  

.

Lời giải

     

2

1

VT

y

x

z

x y z y

z x z x y

  

  

.

Áp dụ

ng bất đẳng thức C-S, ta có:

       

2

1 1 1

1

2

x y

z

y

x

z

x y z y

z x z x y xy yz zx

 

 

 

 

  

    

.

Theo g

iả thiết

, ,zx y

là các số

thực dương thỏa

1xyz 

, khi đó:

 

2

3

VT VT VT

2 2 2

xyz

xy y

z zx 

   



(đpcm).

D

ấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

1x y z  

.

Bài 2: Giải phương trình

2 2

5 14 9 20

5 1

x x x x

x

   

  

.

Lời giải

Điều kiện xác định:

2

5 14 9 0

20 0 5

1 0

x x

x x x

x





 



   







 



.

Ta có:

   

2 2 2

5 14 9 5

1 20 2 5 2 5 1 4 5

x x x x

x x x x x x

   

         

.

Đặt

2

4

4 5

u x

v x x











  





với điều

kiện:

3, 0

u v

 

.

Khi đó phư

ơng trình trên trở thành:

   

2 2

3 2 5 3

2 0

u v uv u

u v v u v

   

  

  

3 2 0

3 2

u v

u v u v

u v





    







.

TH1:

u v

suy ra:

2 2

5 61

2

4 4 5 5 9 0

5 61

2

x

x x x x

x









        











.

Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com

Đ

ối

chiếu điều kiện nhận

5 61

2

x





.

TH2:

3 2u v

suy

ra:

2 2

8

3 4

2 4 5 4 25 56 0

7

4

x

x x x x x

x







        



 



.

Đối

chiếu điều kiện nhận

8

x



.

Vậy t

ập nghiệm của phương trình

5 61

;8

2

S

 



 



 

 

 

.

Bài

3: Cho

2, 3, 4

a b c

  

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

4 2

3

ab c

bc a ca b

N

abc

 

  



.

Lời giải

Ta có:

4 2

3 2 4 2 2 3 3

2

2 3

c

a b c a b

N

c a b c

a b

 

   

 

   

.

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

1 4

4 1 2 2 1 3 3 1 1 1

2 2 2 2 4

2 3 2 2 2 3

c c b

N N

c

a b

 

   

   

  

.

Dấu đẳng thức x

ảy ra khi và chỉ khi

2 4

8

2 2

4

6

3 3

c

a

b



 







 

 

 

 

 



 







.

Bài 4: Có bao nhiêu số tự nhiên có

7

chữ số, tr

ong đó

2

có

mặt đúng hai lần, chữ số

3

có

mặt

đúng ba lần và các chữ số khác có mặt tối đa một lần.

Lời giải

TH1: Xếp số

0

ở mọi vị trí

.

Lấy

3

vị trí

, xếp số

3

và

o ba vị trí có:

3

7

C

các

h.

Lấy

2

vị trí

tiếp theo, xếp số

2

vào

hai vị trí có:

2

4

C

cách.

Xếp 2 vị trí còn lại có thứ tự, có:

2

8

A

cách.

Vậy theo quy tắc nhân có

3

7

C

2

4

C

2

8

A

11760

số.

TH2: Xếp số

0

vị trí

đầu.

Lấy

3

vị trí

, xếp số

3

và

o ba vị trí có:

3

6

C

các

h.

Lấy

2

vị trí

tiếp theo, xếp số

2

vào

hai vị trí có:

2

3

C

cách.

Xếp 1 vị trí còn lại có thứ tự, có:

1

7

A

các

h.

Vậy theo quy tắc nhân có

3

6

C

2

3

C

1

7

A

420

số.

Từ trường hợp 1 và trường hợp 2, ta có

11760

420 11340

 

số

thỏa mãn điều kiện bài toán.

Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com

Bài

5: Cho t

am giác

ABC

có bán kính đường tròn ngoại tiếp

1R 

và

sin s

in sin

3

a b c

A B C

m m

m

  

(với

, ,

a b c

m m m

lần lượt là độ dài của các đường trung tuyến xuất phát từ các đỉnh

, ,A B C

của tam

giác

ABC

). Ch

ứng minh rằng tam giác

ABC

đều.

Lời giải

Xét bài to

án: Cho tam giác

ABC

. Chứng minh

rằng:

2 2 2

2 3 .

a

a b c a m

  

.

Áp dụ

ng công thức trung tuyến, ta có:

2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2

4

a a

b c a

m m b c

a

 

   



.

Suy ra

:

2 2 2

2 3 . 3 2 2

a

a m a b c a  

.

Áp dụ

ng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

3 2 2

2 3

. 3 2 2 3 .

2

a a

a b c a

a m a b

c a a m a b c

  

    

  

(đpcm).

Theo giả thiết, ta có

1R 

suy ra

sin ,sin ,sin

2 2 2

a b c

A B C

  

;

Khi đó:

sin s

in sin

3 1

2 3 2 3

2 3

a b c

A B C a b

c

m m m

      

2 2 2

1

2 3 2 3

2 3

a b c

am bm cm

   

(*).

Áp dụ

ng bài toán chứng minh trên, ta có:

2 2 2

2 3 .

2 3

.

2 3 .

a

b

c

a m a b

c

b m a b

c

c m a b

c



  



  





  





.

Khi đó ta

hoàn toàn chứng minh được:

2 2 2

1

2 3 2 3 2 3

a b c

am bm

cm

   

Thật vậy:

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 3 2 3

2 3

a b c

a b c a b c

a b c a

b c a b c

am bm cm

 

  

   

 

2 2 2

1

2 3 2 3

2 3

a b c

am bm

cm

  

(**).

Căn cứ

vào giả thiết (*) suy ra bất đẳng thức (**) xảy ra dấu bằng, tức là:

2 2 2

2 2

2

2 2 2

2

a b c

b a c a

b c

c a b



 



   







 



. Vậ

y suy ra tam giác

ABC

đều (đpcm).

Bài 6: Tìm số có ba chữ số biết rằng số đó bằng tổng giai thừa các chữ số của nó.

Lời giải

Giả sử số cần tìm là

 

0

abc a



.

Theo giả thiết, ta có:

100 10 ! ! !a b c a b c    

.

Nhận

thấy

7! 5040 1000

1000abc

 













, nên

, , 7

a b c



.

Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com

Đề thi học sinh giỏi lớp 12 môn Toán năm 2020 Sở GD&ĐT Ninh Thuận

Đề thi học sinh giỏi lớp 12 môn Toán năm 2019-2020 Sở GD&ĐT Ninh Thuận vừa được VnDoc.com sưu tập và xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo. Mong rằng qua bài viết này các bạn có thêm tài liệu để học tập và ôn tập cho thi học sinh giỏi sắp tới nhé. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết và tải về tại đây.

VnDoc.com xin gửi tới bạn đọc bài viết Đề thi học sinh giỏi lớp 12 môn Toán năm 2019-2020 Sở GD&ĐT Ninh Thuận để bạn đọc cùng tham khảo. Đề thi gồm có 6 bài tự luận, thí sinh làm đề trong thời gian 180 phút, đề có đáp án kèm theo. Mời các bạn cùng tham khảo.

Trên đây VnDoc.com vừa giới thiệu tới các bạn Đề thi học sinh giỏi lớp 12 môn Toán năm 2019-2020 Sở GD&ĐT Ninh Thuận, mong rằng qua đây các bạn có thêm nhiều tài liệu để học tập môn Toán lớp 12 nhé. Mời các bạn cùng tham khảo thêm các môn Ngữ văn 12, Tiếng Anh 12, đề thi học kì 1 lớp 12, đề thi học kì 2 lớp 12...