Đề thi học sinh giỏi lớp 12 môn Toán năm 2019-2020 trường THPT Lý Thái Tổ, Bắc Ninh
Đề thi học sinh giỏi môn Toán 12
Dạng tài liệu:
Đề thi HSG Toán Lớp 12
Phân loại:
Tài liệu Tính phí
SỞ GD & ĐT HẢI DƯƠNG
TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI
Ngày 7 tháng 9 năm 2019
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2019 - 2020
MÔN TOÁN – 12
Thời gian làm bài : 180 Phút
Câu 1. (1,5 điểm) Giải hệ phương trình
3 3 2
2 2 2
3 3 2
1 3 2 2
x y y x
x x y y
Câu 2. (2,0 điểm) Cho dãy số
()
n
a
thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
1
3
nn
aa
và
11
6 5 2, .
n n n
a a a n n
Chứng minh rằng dãy
()
n
a
có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Câu 3. (2,0 điểm ) Cho các số thực dương
,,x y z
thỏa mãn
21xy yz zx xyz
. Chứng minh rằng
2 2 2
10 2x y z xyz
.
Câu 4. (1,5 điểm) Cho dãy số nguyên
()
n
a
thỏa mãn: với mọi
p
nguyên tố và
k
nguyên dương thì
1
3 13
pk k p
a pa a
. Tính
2019
a
Câu 5. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Một đường tròn (K) qua B và C cắt
các đoạn thẳng CA và AB lần lượt tại E và F. Gọi BE cắt CF tại H. M là trung điểm BC và tiếp
tuyến tại B và C của đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC cắt nhau tại I. Gọi S là hình chiếu của A
trên IH và D là giao của IH với BC. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác SMD tiếp xúc
với đường tròn (O).
Câu 6. (1,0 điểm)
Điền vào mỗi ô của bảng vuông
77
các số tự
nhiên từ 1 đến 49 như hình vẽ. Mỗi lần, được phép
chọn 1 ô của bảng và đồng thời tăng số trong ô đó
thêm 1 rồi giảm mỗi số trong hai ô nào đó kề với nó đi
1, hoặc giảm số trong ô đó đi 1 và tăng mỗi số trong
hai ô kề với nó thêm 1 (hai ô kề nhau là hai ô chung
cạnh). Hỏi có thể đưa tất cả các số trong bảng về bằng
nhau sau một số hữu hạn bước được hay không?
49
48
47
46
45
44
43
42
41
40
39
38
37
36
35
34
33
32
31
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com
ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2019-2020
Câu 1. (1,5 điểm) Giải hệ phương trình
3 3 2
2 2 2
3 3 2
1 3 2 2
x y y x
x x y y
Lời giải:
Điều kiện
2 2 2 2
1,2 1 ( 1) 0 ( 1) 1x y y y y
Ta có
3 3 2
(1) 3 3 2x x y y
33
3 ( 1) 3( 1)x x y y
Xét
3
( ) 3f x x x
thì
2
'( ) 3 3 0 [ 1,1]f x x x
và
'( ) 0 1f x x
Suy ra
()fx
đồng biến trên
[ 1,1]
Mà
, 1 [ 1,1]xy
nên
( ) ( 1) 1f x f y x y
Thay vào phương trình (2) ta được
2 2 2
2 1 3 1 0x x x
22
2 2 1xx
Bình phương hai vế
4 2 2 4 2
4 4 4(1 ) 8 0 0x x x x x x
.
Đối chiếu điều kiện thấy thỏa mãn.
Vậy
( , ) (0,1)xy
là nghiệm của phương trình
Câu 2. (2,0 điểm) Cho dãy số
()
n
a
thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
1
3
nn
aa
và
11
6 5 2, .
n n n
a a a n n
Chứng minh rằng dãy
()
n
a
có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Lời giải:
Nếu
N
sao cho
0
N
a
, ta có
30
k
Nk N
aa
với mọi
k
nguyên dương hay
0
n
a n N
Lại có:
1 1 1 0
5
6 6 5 0
6
n
n n n n n
a a a a a a
.
Ta được
lim 0
n
a
theo nguyên lý kẹp.
(1,0 điểm)
Nếu
0
n
an
, thì
10
1
30
3
n
n n n
a a a a
nên cũng theo nguyên lý kẹp thì
lim 0
n
a
Vậy
lim 0
n
a
Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com
(1,0 điểm)
Câu 3. (2,0 điểm ) Cho các số thực dương
,,x y z
thỏa mãn
21xy yz zx xyz
. Chứng minh rằng
2 2 2
10 2x y z xyz
.
Lời giải:
Theo bất đẳng thức Schur, ta có
( )( ) ( )( ) ( )( ) 0x x y x z y y x y z z z x z y
3 3 3 2 2 2
3 ( ) ( ) ( )x y z xyz x y z y z x z x y
3 3 3
3 9 ( )( )x y z xyz xyz x y z xy yz zx
2 2 2
9
2( )
xyz
x y z xy yz zx
x y z
2 2 2
9
2( )
xyz
x y z xy yz zx
x y z
2 2 2
9
2(1 2 )
xyz
x y z xyz
x y z
Vậy chỉ cần chứng minh
9
10 2 4 2
xyz
xyz xyz
x y z
9
60
xyz
xyz
x y z
3
2
x y z
Lại có
2
()
3
x y z
xy yz zx
và
3
1
()
27
xyz x y z
Đặt
t x y z
,
0t
. Từ giả thiết có
2
3
2
1
27 3
t
t
2
(2 3)( 3) 0tt
3
2
t
Ta có điều phải chứng minh.
Dấu bằng chẳng hạn khi
1
2
x y z
Câu 4. (1,5 điểm) Cho dãy số nguyên
()
n
a
thỏa mãn: với mọi
p
nguyên tố và
k
nguyên dương thì
1
3 13
pk k p
a pa a
.
Tính
2019
a
Lời giải:
Xét hai số nguyên tố
q
và
p
bất kỳ. Theo giả thiết thì
1
3 13
pq q p
a pa a
(1) và
1
3 13
pq p q
a qa a
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
3 3 ( 3) ( 3)
q p p q q p
pa a qa a p a q a
(3)
Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com
Đề thi học sinh giỏi lớp 12 môn Toán năm 2020 trường THPT Lý Thái Tổ, Bắc Ninh
Đề thi học sinh giỏi lớp 12 môn Toán năm 2019-2020 trường THPT Lý Thái Tổ, Bắc Ninh vừa được VnDoc.com sưu tập và xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo. Mong rằng qua bài viết này các bạn có thêm tài liệu để học tập và ôn thi chọn học sinh giỏi lớp 12 sắp tới nhé. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết và tải về tại đây.
- Đề thi học sinh giỏi cấp thành phố môn Toán lớp 12 năm học 2019 - 2020 Sở GD&ĐT Hải Phòng
- Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 12 năm học 2019 - 2020 Sở GD&ĐT Thừa Thiên Huế
VnDoc.com xin gửi tới bạn đọc bài viết Đề thi học sinh giỏi lớp 12 môn Toán năm 2019-2020 trường THPT Lý Thái Tổ, Bắc Ninh để bạn đọc cùng tham khảo. Đề thi gồm có 6 câu hỏi tự luận, thí sinh làm đề trong thời gian 180 phút. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết.
Trên đây VnDoc.com vừa giới thiệu tới các bạn Đề thi học sinh giỏi lớp 12 môn Toán năm 2019-2020 trường THPT Lý Thái Tổ, Bắc Ninh, mong rằng qua đây các bạn có thêm nhiều tài liệu để ôn thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 nhé. Mời các bạn cùng tham khảo thêm các môn Ngữ văn 12, Tiếng Anh 12, đề thi học kì 1 lớp 12, đề thi học kì 2 lớp 12...
