VnDoc.com

Đề thi học sinh giỏi lớp 12 môn Toán năm 2019-2020 trường THPT Lý Thái Tổ, Bắc Ninh

Đề thi học sinh giỏi môn Toán 12

SỞ GD & ĐT HẢI DƯƠNG

TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI

Ngày 7 tháng 9 năm 2019

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC 2019 - 2020

MÔN TOÁN – 12

Thời gian làm bài : 180 Phút

Câu 1. (1,5 điểm) Giải hệ phương trình

3 3 2

2 2 2

3 3 2

1 3 2 2

x y y x

x x y y



   





     





Câu 2. (2,0 điểm) Cho dãy số

()

n

a

thỏa mãn đồng thời hai điều kiện

1

3

nn

aa





và

11

6 5 2, .

n n n

a a a n n



    

Chứng minh rằng dãy

()

n

a

có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Câu 3. (2,0 điểm ) Cho các số thực dương

,,x y z

thỏa mãn

21xy yz zx xyz   

. Chứng minh rằng

2 2 2

10 2x y z xyz   

.

Câu 4. (1,5 điểm) Cho dãy số nguyên

()

n

a

thỏa mãn: với mọi

p

nguyên tố và

k

nguyên dương thì

1

3 13

pk k p

a pa a



  

. Tính

2019

a

Câu 5. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Một đường tròn (K) qua B và C cắt

các đoạn thẳng CA và AB lần lượt tại E và F. Gọi BE cắt CF tại H. M là trung điểm BC và tiếp

tuyến tại B và C của đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC cắt nhau tại I. Gọi S là hình chiếu của A

trên IH và D là giao của IH với BC. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác SMD tiếp xúc

với đường tròn (O).

Câu 6. (1,0 điểm)

Điền vào mỗi ô của bảng vuông

77

các số tự

nhiên từ 1 đến 49 như hình vẽ. Mỗi lần, được phép

chọn 1 ô của bảng và đồng thời tăng số trong ô đó

thêm 1 rồi giảm mỗi số trong hai ô nào đó kề với nó đi

1, hoặc giảm số trong ô đó đi 1 và tăng mỗi số trong

hai ô kề với nó thêm 1 (hai ô kề nhau là hai ô chung

cạnh). Hỏi có thể đưa tất cả các số trong bảng về bằng

nhau sau một số hữu hạn bước được hay không?

49

48

47

46

45

44

43

42

41

40

39

38

37

36

35

34

33

32

31

30

29

28

27

26

25

24

23

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com

ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2019-2020

Câu 1. (1,5 điểm) Giải hệ phương trình

3 3 2

2 2 2

3 3 2

1 3 2 2

x y y x

x x y y



   





     





Lời giải:

Điều kiện

2 2 2 2

1,2 1 ( 1) 0 ( 1) 1x y y y y        

Ta có

3 3 2

(1) 3 3 2x x y y    

33

3 ( 1) 3( 1)x x y y     

Xét

3

( ) 3f x x x

thì

2

'( ) 3 3 0 [ 1,1]f x x x     

và

'( ) 0 1f x x   

Suy ra

()fx

đồng biến trên

[ 1,1]

Mà

, 1 [ 1,1]xy  

nên

( ) ( 1) 1f x f y x y    

Thay vào phương trình (2) ta được

2 2 2

2 1 3 1 0x x x     

22

2 2 1xx   

Bình phương hai vế

4 2 2 4 2

4 4 4(1 ) 8 0 0x x x x x x        

.

Đối chiếu điều kiện thấy thỏa mãn.

Vậy

( , ) (0,1)xy

là nghiệm của phương trình

Câu 2. (2,0 điểm) Cho dãy số

()

n

a

thỏa mãn đồng thời hai điều kiện

1

3

nn

aa





và

11

6 5 2, .

n n n

a a a n n



    

Chứng minh rằng dãy

()

n

a

có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Lời giải:

 Nếu

N

sao cho

0

N

a 

, ta có

30

k

Nk N

aa





với mọi

k

nguyên dương hay

0

n

a n N  

Lại có:

1 1 1 0

5

6 6 5 0

6

n

n n n n n

a a a a a a

  



    







.

Ta được

lim 0

n

a 

theo nguyên lý kẹp.

(1,0 điểm)

 Nếu

0

n

an  

, thì

10

1

30

3

n

n n n

a a a a





  







nên cũng theo nguyên lý kẹp thì

lim 0

n

a 

Vậy

lim 0

n

a 

Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com

(1,0 điểm)

Câu 3. (2,0 điểm ) Cho các số thực dương

,,x y z

thỏa mãn

21xy yz zx xyz   

. Chứng minh rằng

2 2 2

10 2x y z xyz   

.

Lời giải:

Theo bất đẳng thức Schur, ta có

( )( ) ( )( ) ( )( ) 0x x y x z y y x y z z z x z y        

3 3 3 2 2 2

3 ( ) ( ) ( )x y z xyz x y z y z x z x y         

3 3 3

3 9 ( )( )x y z xyz xyz x y z xy yz zx         

2 2 2

9

2( )

xyz

x y z xy yz zx

x y z

      



2 2 2

9

2( )

xyz

x y z xy yz zx

x y z

      



2 2 2

9

2(1 2 )

xyz

x y z xyz

x y z

     



Vậy chỉ cần chứng minh

9

10 2 4 2

xyz

xyz xyz

x y z

   



9

60

xyz

x y z

  



3

2

x y z   

Lại có

2

()

3

x y z

xy yz zx



  

và

3

1

()

27

xyz x y z  

Đặt

t x y z  

,

0t 

. Từ giả thiết có

2

3

2

1

27 3

t

t 

2

(2 3)( 3) 0tt   

3

2

t

Ta có điều phải chứng minh.

Dấu bằng chẳng hạn khi

1

2

x y z  

Câu 4. (1,5 điểm) Cho dãy số nguyên

()

n

a

thỏa mãn: với mọi

p

nguyên tố và

k

nguyên dương thì

1

3 13

pk k p

a pa a



  

.

Tính

2019

a

Lời giải:

Xét hai số nguyên tố

q

và

p

bất kỳ. Theo giả thiết thì

1

3 13

pq q p

a pa a



  

(1) và

1

3 13

pq p q

a qa a



  

(2)

Từ (1) và (2) suy ra

3 3 ( 3) ( 3)

q p p q q p

pa a qa a p a q a      

(3)

Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com

Đề thi học sinh giỏi lớp 12 môn Toán năm 2020 trường THPT Lý Thái Tổ, Bắc Ninh

Đề thi học sinh giỏi lớp 12 môn Toán năm 2019-2020 trường THPT Lý Thái Tổ, Bắc Ninh vừa được VnDoc.com sưu tập và xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo. Mong rằng qua bài viết này các bạn có thêm tài liệu để học tập và ôn thi chọn học sinh giỏi lớp 12 sắp tới nhé. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết và tải về tại đây.

VnDoc.com xin gửi tới bạn đọc bài viết Đề thi học sinh giỏi lớp 12 môn Toán năm 2019-2020 trường THPT Lý Thái Tổ, Bắc Ninh để bạn đọc cùng tham khảo. Đề thi gồm có 6 câu hỏi tự luận, thí sinh làm đề trong thời gian 180 phút. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết.

Trên đây VnDoc.com vừa giới thiệu tới các bạn Đề thi học sinh giỏi lớp 12 môn Toán năm 2019-2020 trường THPT Lý Thái Tổ, Bắc Ninh, mong rằng qua đây các bạn có thêm nhiều tài liệu để ôn thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 nhé. Mời các bạn cùng tham khảo thêm các môn Ngữ văn 12, Tiếng Anh 12, đề thi học kì 1 lớp 12, đề thi học kì 2 lớp 12...