Đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT TP Cần Thơ năm 2013 - 2014

Nhằm giúp các bạn chuẩn bị thật tốt kiến thức để làm bài thi đạt hiệu quả cao, Vndoc.com xin giới thiệu: Đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT TP Cần Thơ năm 2013 - 2014.

Đề thi học sinh giỏi môn Toán:

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP. CẦN THƠ ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC: 2013 - 2014 MÔN THI: TOÁN (Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề)

Câu 1:

Giải hệ phương trình sau:

Câu 2:

Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn, AB < AC, AH là đường cao và AD là đường phân giác trong. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của D trêm các cạnh AC và AB, M là giao điểm của BE và CF.

1. Chứng minh ba điểm A, M, H thẳng hàng.

2. Gọi K là giao điểm của EF và BC. Chứng minh:

3. Gọi N là giao điểm của BC với đường kính qua A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh:

Câu 3:

Cho a, b, c là ba số nguyên khác không và thỏa mãn a²bb²cc³a = 3abc (1)

1. Hãy chỉ ra một bộ số nguyên a, b, c đôi một khác nhau thỏa (1)

2. Chứng minh abc là lập phương của một số nguyên.

Câu 4:

Cho các đa thức P(x), Q(x) với hệ số thức thỏa mãn điều kiện P(x) = Q(x)Q(1 - x), với mọi x thuộc R. Biết P(0) = 0 và các hệ số của P(x) đều không âm. Tính P(P(2013)).

Câu 5:

Tìm tất cả các hàm số f: Z → Z thỏa mãn các điều kiện:

Câu 6:

Một bảng ô vuông không giới hạn số dòng, số cột và trên đó mới chỉ ghi hai số 1 và 3 vào hai ô khác nhau. Ta thực hiện trò chơi viết thêm số vào các ô vuông như sau: nếu trên bảng có hai số tự nhiên a và b thì được phép viết thêm số c = a + b + ab vào ô vuông còn trống trên bảng. Hỏi bằng cách đó trên bảng có thể xuất hiện được các số 2509 và 20132014 hay không? Giải thích tại sao?