Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2019-2020 trường THPT Đồng Đậu, Vĩnh Phúc
Đề thi học sinh giỏi lớp 12 môn Toán có đáp án
Dạng tài liệu:
Đề thi HSG Toán Lớp 12
Phân loại:
Tài liệu Tính phí
TRƯỜNG THPT
ĐỒNG ĐẬU
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI 12 NĂM HỌC 2019 - 2020
MÔN: TOÁN
(Đề thi gồm 01 trang)
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
UCâu 1U (2,0 điểm)
a) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
( ) ( )
32
1
1 3 2 2019
3
y mx m x m x= −− + − +
đồng biến trên
[
)
2;+∞
.
b) Cho hàm số
2
1
mx m
y
x
−+
=
+
có đồ thị là (C). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường
thẳng
: 21dy x= −
cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho góc giữa hai đường thẳng OA,
OB bằng
45°
.
UCâu 2U (2,0 điểm)
a) Giải phương trình lượng giác sau
( )
( )( )
cos 2sin 1
3
sin 1 2sin 1
xx
xx
+
=
+−
.
b) Giải hệ phương trình sau
( )
22
2
3
4 3 3 30
,
3 5 3 22
x y xy y
xy
x xy x
− + + +=
∈
+ −++ −=
.
UCâu 3U (2,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng
.ABC A B C
′′′
có
AB a=
,
2aAC =
,
36
2
a
AA
′
=
và góc
60BAC = °
. Gọi M là điểm trên cạnh
CC
′
sao cho
2CM MC
′
=
.
a) Chứng minh rằng
AM B M
′
⊥
.
b) Tính khoảng cách từ đỉnh
A
′
đến mặt phẳng
( )
AB M
′
.
UCâu 4U (1,0 điểm) Cho dãy số
( )
n
u
có số hạng tổng quát
( )
( )
*
2
1
1 ,
1
n
un
n
=−∈
+
.
Tính
( )
123
lim
n
uuu u
.
UCâu 5U (1,0 điểm) Cho đa giác lồi
( )
H
có n đỉnh (
,4nn∈>
). Biết số các tam giác có ba
đỉnh là đỉnh của
( )
H
và không có cạnh nào là cạnh của
( )
H
gấp 5 lần số các tam giác có ba
đỉnh là đỉnh của
( )
H
và có đúng một cạnh là cạnh của
( )
H
. Xác định n.
UCâu 6U (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có phương
trình đường chéo AC là
10xy− +=
, điểm
( )
1; 4G
là trọng tâm tam giác ABC, điểm
( )
0; 3E −
thuộc đường cao kẻ từ D của tam giác ACD. Tìm tọa độ các đỉnh của hình bình
hành đã cho, biết rằng diện tích tứ giác AGCD bằng 32 và đỉnh A có tung độ dương.
UCâu 7U (1,0 điểm) Cho
,, 0abc>
và
3abc++=
. Chứng minh bất đẳng thức:
222
111
1
a bc b ca c ab
++≤
++ ++ ++
--------------- HẾT ---------------
FINAL
TRƯỜNG THPT
ĐỒNG ĐẬU
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI 12
NĂM HỌC: 2019 - 2020
MÔN: TOÁN
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
I. UNhững lưu ý chungU:
- Điểm toàn bài thi không làm tròn.
- Câu 3 học sinh không vẽ hình thì không cho điểm.
- Học sinh giải theo cách khác đáp án mà đúng vẫn cho điểm tối đa.
II. UĐáp án và thang điểmU:
Câu
Đáp án
Điểm
1
a)Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
( ) ( )
32
1
1 3 2 2019
3
y mx m x m x= −− + − +
đồng biến trên
[
)
2;+∞
.
1
Ycbt
( ) ( )
[
)
2
2 1 3 2 0, 2;y mx m x m x
′
⇔ = − − + − ≥ ∀ ∈ +∞
0,25
( )
[
)
[
)
( )
2
2;
26
, 2; max
23
x
m fx x m fx
xx
+∞
−+
⇔≥ = ∀∈+∞⇔≥
−+
0,25
Ta có:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2 63
36
;0
36
23
xx
x tm
fx fx
x ktm
xx
−+
= +
′′
= = ⇔
= −
−+
0,25
0,25
b) Cho hàm số
2
1
mx m
y
x
−+
=
+
có đồ thị là (C). Tìm tất cả các giá trị của tham số
m để đường thẳng
: 21dy x= −
cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho góc
giữa hai đường thẳng OA, OB bằng
45°
.
1
Phương trình hoành độ:
( )( ) ( )
1
2
2 1 1 2 3 0, 1
3
1
2
x
mx m
x x xm x
m
x
x
=
−+
= − ⇔ − + − = ≠− ⇔
−
+
=
0,25
Đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi
15mm≠∧ ≠
.
Khi đó,
( )
3
1;1 , ; 4
2
m
AB m
−
−
.
0,25
Điều kiện để OA, OB tạo với nhau một góc
45°
là:
( )
2
2
3 23
. . .cos45 4 2. . 4
2 22
mm
OAOB OAOB m m
−−
= °⇔ + − = + −
0,25
( )
2
3
7 12 0
4
m
m m tm
m
=
⇔ − +=⇔
=
0,25
2
a) Giải phương trình lượng giác sau
( )
( )( )
cos 2sin 1
3
sin 1 2sin 1
xx
xx
+
=
+−
.
1
FINAL
ĐKXĐ:
sin 1
1
sin
2
x
x
≠−
≠
. Phương trình đã cho biến đổi thành:
( )
2
sin 2 cos 3 2sin sin 1xx xx+ = +−
( )
sin 2 cos 3 sin cos2xx x x⇔ += −
0,25
sin 2 3cos2 3sin cos sin 2 sin
36
x x xx x x
ππ
⇔ + = − ⇔ += −
0,25
( )
( )
22
2
36
2
52
7
.
22
18 3
36
x xk
x k ktm
x k tm
x xk
ππ
π
π
π
ππ
ππ
π
+=−+
=−+
⇔⇔
= +
+ =−+ +
0,25
Vậy nghiệm của phương trình là:
( )
52
.,
18 3
x kk
ππ
=+∈
0,25
b) Giải hệ phương trình sau
( )
22
2
3
4 3 3 30
,
3 5 3 22
x y xy y
xy
x xy x
− + + +=
∈
+ −++ −=
.
1
ĐK:
2
0
3 50
y
x xy
≥
+ −+≥
. Biến đổi phương trình đầu về dạng:
( )
2
2
22
2
1
3
4 3 10 3
33
1
34
y
yy
x
yx
xx
y
l
x
=
+
− −= ⇔ ⇒ = +
++
= −
+
0,5
Thay
2
3yx= +
vào phương trình thứ hai, ta được:
3
2 3 3 22xx++ −=
. Vế trái pt là hàm đồng biến trên
2
;
3
+∞
mà
2x =
là
nghiệm nên nghiệm đó duy nhất. Suy ra:
2
2 31
3
39
y
= +=
(tm)
0,25
Vậy, nghiệm của hệ là:
( )
2 31
;;
39
xy
=
0,25
3
Cho hình lăng trụ đứng
.ABC A B C
′′′
có
AB a=
,
2aAC =
,
36
2
a
AA
′
=
và góc
60BAC = °
. Gọi M là điểm trên cạnh
CC
′
sao cho
2CM MC
′
=
.
a) Chứng minh rằng
AM B M
′
⊥
.
b) Tính khoảng cách từ đỉnh
A
′
đến mặt phẳng
( )
AB M
′
.
2
FINAL
Đề thi học sinh giỏi môn Toán 12 có đáp án
Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2019-2020 trường THPT Đồng Đậu, Vĩnh Phúc có kèm theo đáp án gồm 07 bài toán tự luận là tài liệu tham khảo giúp các em ôn tập và bồi dưỡng kiến thức.
Với mục đích tuyển chọn những em học sinh lớp 12 có thành tích học tập môn Toán xuất sắc, thành lập đội tuyển học sinh giỏi Toán 12 cấp trường, tham dự kỳ thi học sinh giỏi Toán 12 cấp tỉnh, trường THPT Đồng Đậu tổ chức kì thi học sinh giỏi nhằm kiểm tra đánh giá năng lực các em. Đề thi chủ yếu xoay quanh những nội dung kiến thức các em đã được học, giúp các em làm quen với các dạng đề thi học sinh giỏi. Các em có thể xem thêm các đề thi học sinh giỏi lớp 12 của các môn học khác để nâng cao hiệu quả.
VnDoc xin giới thiệu tới các em Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2019-2020 trường THPT Đồng Đậu, Vĩnh Phúc có kèm theo đáp án. Hi vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích hỗ trợ các em ôn tập thật tốt. Mời các em tham khảo thêm các tài liệu khác tại mục Tài liệu học tập lớp 12 do VnDoc tổng hợp và đăng tải như: Giải bài tập Toán 12, Học tốt Ngữ văn 12, Trắc nghiệm Hóa học 12,...
