Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 8 năm 2014 - 2015 quận Long Biên, Hà Nội

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 8

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 8 năm 2014 - 2015 quận Long Biên, Hà Nội có đáp án là tài liệu ôn tập môn Toán hữu ích dành cho các bạn học sinh lớp 8 dùng để hệ thống kiến thức và ôn tập chuẩn bị cho kỳ thi học sinh giỏi hiệu quả. Mời các bạn cùng tham khảo và luyện tập.

Đề thi chọn học sinh năng khiếu lớp 8 năm 2012 - 2013, Phòng GD-ĐT Sơn Dương

Đề thi học sinh giỏi lớp 8 THCS Quận Ngũ Hành Sơn năm 2011 - 2012

Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 8

Bài 1 (5 điểm) Cho biểu thức

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tính giá trị biểu thức A khi x thỏa mãn: 2014 - |2x - 1| = 2013

c) Tìm giá trị của x để A < 0.

d) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị là một số nguyên.

Bài 2 (3 điểm)

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x³(x² - 7 )² - 36x

b) Dựa vào kết quả trên hãy chứng minh: A = n³(n² - 7 )² - 36n chia hết cho 210 với mọi số tự nhiên n.

Bài 3 (3 điểm)

Một người đi xe đạp, một người đi xe máy và một người đi ô tô xuất phát từ địa điểm A lần lượt lúc 8 giờ, 9 giờ, 10 giờ cùng ngày và đi với vận tốc theo thứ tự lần lượt là 10km/giờ, 30km/giờ và 50km/giờ. Hỏi đến mấy giờ thì ô tô ở vị trí cách đều xe đạp và xe máy?

Bài 4 (6 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E.

a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC và góc EAD = góc ECB

b) Cho góc BMC = 120⁰ và S_AED = 36 cm². Tính S_ECB?

c) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM.BD + CM.CA có giá trị không đổi.

d) Kẻ DH ⊥ BC (H∈ BC). Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH, DH. Chứng minh CQ ⊥ PD.

Bài 5: (3 điểm).

a) Chứng minh rằng số n² +2014 với n nguyên dương không là số chính phương.

b) Cho a, b là các số dương thỏa mãn a³ + b³ = a⁵ + b⁵.

Chứng minh rằng: a² + b² ≤ 1 + ab

Đáp án đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 8

Bài 1 (5 điểm)

a) ĐKXĐ: x ≠ 0; x ≠ -1; x ≠ 1/2.

Rút gọn được A = (x - 1)/3

b) Từ 2014 - |2x - 1| = 2013

Tìm được x = 1; x = 0 (loại x = 0 do không thỏa mãn ĐK)

Thay x = 1 vào biểu thức. Tính được A = 0.

c) A< 0 suy luận được x<1 và : x ≠ 0; x ≠ -1; x ≠ 1/2 .

d) Lập luận để khẳng định được x-1 là bội của 3 suy ra , x = 3n+1 (n ∈ Z)

Bài 2 (3 điểm)

a) Phân tích được x³(x2 - 7)² – 36x = x(x + 1 )( x - 1 )(x - 3)(x + 2)(x - 2)( x + 3)

b) Theo phần a ta có :

A = n³(n² - 7)² - 36n = n(n + 1)(n - 1) (n - 3)(n + 2)(n - 2)(n + 3)

Đây là tích của 7 số nguyên liên tiếp. Trong 7 số nguyên liên tiếp có:

- Một bội của 2 nên A chia hết cho 2.

- Một bội của 3nên A chia hết cho 3.

- Một bội của 5 nên A chia hết cho 5.

- Một bội của 7 nên A chia hết cho 7.

Mà 2; 3; 5; 7 đôi một nguyên tố cùng nhau nên: A chia hết cho (2, 3, 5, 7)

Hay A chia hết cho 210.

Bài 3 (3 điểm)

Gọi thời gian ô tô đi đến vị trí cách đều xe đạp và xe máy là x(h) điều kiện x > 0

=> Thời gian xe đạp đi là x + 2 (h)

Thời gian xe máy đi là x + 1 (h)

=> Quãng đường ô tô đi là 50x (km)

Quãng đường xe đạp đi là 10(x + 2) (km)

Quãng đường xe máy đi là 30(x + 1) (km)

Vì đến 10 giờ thì xe máy đã vượt trước xe đạp => ô tô ở vị trí cách đều xe đạp và xe máy khi x nghiệm đúng phương trình:

50x – 10(x + 2) = 30(x + 1) – 50x

<=> x = 5/6 (h) = 50 phút (TMĐK)

Vậy đến 10h50 phút thì ô tô ở vị trí cách đều xe đạp và xe máy.

Bài 4 (6 điểm)

Hình vẽ:

a) * Chứng minh EA.EB = ED.EC

- Chứng minh Δ EBD đồng dạng với Δ ECA (gg)

- Từ đó suy ra EB/EC = ED/EA → EA.EB = ED.EC

* Chứng minh góc EAD = góc ECB

- Chứng minh Δ EAD đồng dạng với Δ ECB (cgc)

- Suy ra góc EAD = góc ECB

b) - Từ góc BMC = 120^o → góc AMB = 60^o → góc ABM = 30^o

- Xét Δ EDB vuông tại D có góc B = 30^o

→ ED = 1/2 EB

- Lý luận cho S_EAD/S_ECB = (ED/EB)² từ đó S_ECB = 144 cm²

c) - Chứng minh BMI đồng dạng với Δ BCD (gg)

- Chứng minh CM.CA = CI.BC

- Chứng minh BM.BD + CM.CA = BC² có giá trị không đổi

Cách 2: Có thể biến đổi BM.BD + CM.CA = AB² + AC² = BC²

d) - Chứng minh Δ BHD đồng dạng với Δ DHC (gg)

→ BH/DH = BD/DC → 2BP/2DQ = BD/DC → BP/DQ = BD/DC

- Chứng minh Δ DPB đồng dạng với Δ CQD (cgc)

→ góc BDP = góc DCQ mà góc BDP + góc PDC = 90⁰ → CQ ⊥ PD

Bài 5 (3 điểm)

a) Nếu n²+2014 là số chính phương với n nguyên dương thì n² + 2014 = k2 → k² – n² = 2014

→ (k – n)(k + n) = 2014 (*)

Vậy (k + n) – (k – n) = 2n là số chẵn nên k và n phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ.

Mặt khác (k – n)(k + n) = 2014 là chẵn

Nên (k – n), (k + n) đều chia hết cho 2 hay (k – n)(k + n) chia hết cho 4

Mà 2014 không chia hết cho 4

Suy ra đẳng thức (*) không thể xảy ra.

Vậy không có số nguyên dương n nào để số n² + 2014 là số chính phương

b) Với 2 số a, b dương:

Xét: a² + b² – ab ≤ 1

↔ (a + b)(a² + b² – ab) ≤ (a + b) (vì a + b > 0)

↔a³ + b³ ≤ a + b

↔ (a³ + b³)(a³ + b³) ≤ (a + b)(a⁵ + b⁵) (vì a³ + b³ = a⁵ + b⁵)

↔ a⁶ + 2a³b³ + b⁶ ≤ a⁶ + ab⁵ + a⁵b + b⁶

↔ 2a³b³ ≤ ab⁵ + a⁵b

↔ ab(a⁴ – 2a²b² + b⁴⁾ ≥ 0

↔ ab(a² - b²) ≥ 0 đúng ∀ a, b > 0 .

Vậy: a² + b² ≤ 1 + ab với a, b dương và a³ + b³ = a⁵ + b⁵