Toán học

Số chính phương là gì?

Số chính phương là số bằng bình phương của một số nguyên.

Tức là: Nếu n là số chính phương thì n = k² (k ∈ Z)

Ví dụ: 4 = 2², 9 = 3², 100 = 10²

Một số tính chất

Số chính phương tận cùng bằng 1, 4 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.

Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2.

Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.

Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.

Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9.

Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25.

Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.

Mọi số chính phương khi chia cho 5, cho 8 chỉ dư 1, 0, 4

Số chính phương chia cho 4 hoặc 3 không bao giờ có số dư là 2

Số chính phương lẻ khi chia 8 luôn dư 1.

Một số tính chất

Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9; không bao giờ có chữ số tận cùng bằng 2, 3, 7, 8.

Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn.

Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n + 1. Không có số chính phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n ∈ N).

Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n + 1. Không có số chính phương nào có dạng 3n + 2 (n ∈ N).

Số chính phương tận cùng bằng 1, 4 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.

Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2.

Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.

Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.

Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9.

Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25.

Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.

Mọi số chính phương khi chia cho 5, cho 8 chỉ dư 1, 0, 4

Số chính phương chia cho 4 hoặc 3 không bao giờ có số dư là 2

Số chính phương lẻ khi chia 8 luôn dư 1.

Ta có: n⁶ - n ⁴ + 2n³ + 2n² = n². (n⁴ - n² + 2n +2)

= n². [n²(n-1)(n+1) +2(n+1)]

= n²[(n+1)(n³ - n² + 2)]

= n²(n + 1) . [(n³ + 1) - (n² - 1)]

= n²(n + 1)² . (n² - 2n + 2)

Với nN, n > 1 thì n² - 2n + 2 = ( n -1)² + 1 > ( n - 1)²

Và n² - 2n + 2 = n² - 2(n - 1) < n²

Vậy (n - 1)² < n² - 2n + 2 < n² => n² - 2n + 2 không phải là một số chính phương.

Ta có:

k(k + 1)(k + 2) = k (k + 1)(k + 2). 4

= k(k + 1)(k + 2).

= k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - k(k + 1)(k + 2)(k - 1)

=> 4S =1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + . . . + k(k + 1)(k + 2)(k + 3)

- k(k + 1)(k + 2)(k - 1) = k(k + 1)(k + 2)(k + 3)

=> 4S + 1 = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1

Theo kết quả bài 2 => k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1 là số chính phương.

# Bài toán về quãng đường nhảy xa của lực sĩ Báo

**Đề bài:**

Lực sĩ Báo thi nhảy xa năm bước. Ba bước đầu của lực sĩ là 605cm, hai bước nhảy cuối cùng của lực sĩ là 580cm.

a) Lực sĩ Báo nhảy được tổng cộng ......... cm

b) Lực sĩ Báo nhảy được tổng cộng ......... m ......... cm

**Giải:**

a) Tính tổng quãng đường lực sĩ Báo nhảy được (tính bằng cm)

Tổng quãng đường = Ba bước đầu + Hai bước cuối

Tổng quãng đường = 605 cm + 580 cm = 1185 cm

b) Chuyển đổi kết quả từ cm sang m và cm

Để chuyển từ cm sang m, ta chia cho 100:

1185 cm = 1185 ÷ 100 = 11,85 m

Viết dưới dạng m và cm:

1185 cm = 11 m 85 cm

**Đáp số:**

a) Lực sĩ Báo nhảy được tổng cộng 1185 cm

b) Lực sĩ Báo nhảy được tổng cộng 11 m 85 cm

a)

- Quãng đường xuôi dòng: \( S_1 = (x + 3) \times 4 = 4x + 12 \)

- Quãng đường ngược dòng: \( S_2 = (x - 3) \times 2 = 2x - 6 \)

- Quãng đường tổng cộng: \( S = S_1 + S_2 = (4x + 12) + (2x - 6) = 6x + 6 \)

- Khoảng cách từ thuyền đến bến A: \( |S_1 - S_2| = |(4x + 12) - (2x - 6)| = 2x + 18 \)

b)

- Thời gian xuôi dòng: \( t_1 = \frac{15}{x+3} \)

- Thời gian nghỉ: \( t_2 = 0,5 \) (giờ)

- Thời gian ngược dòng: \( t_3 = \frac{15}{x-3} \)

- Tổng thời gian: \( T = t_1 + t_2 + t_3 = \frac{15}{x+3} + 0,5 + \frac{15}{x-3} \)

Đáp số:

a) Tổng quãng đường: \( 6x + 6 \) km, cách bến A: \( 2x + 18 \) km

b) Tổng thời gian: \( \frac{15}{x+3} + 0,5 + \frac{15}{x-3} \) giờ  

Giá 1kg thanh long sau khi giảm là: \(x - 1000\) (đồng)

Với số tiền đó, hôm qua người đó mua được số thanh long là: \(\dfrac{b}{a}\) (kg)

Với số tiền đó, hôm nay người đó mua được số thanh long là: \(\dfrac{b}{{a - 1000}}\) (kg)

Hôm nay mua nhiều hơn hôm qua số kg là:

\(\dfrac{b}{{a - 1000}} - \dfrac{b}{a} = \dfrac{{ba}}{{\left( {a - 1000} \right)a}} - \dfrac{{b\left( {a - 1000} \right)}}{{\left( {a - 1000} \right)a}} \\= \dfrac{{ba - ba + 1000b}}{{a\left( {a - 1000} \right)}} = \dfrac{{1000b}}{{{a^2} - 1000a}}(kg)\)

Tốc độ lượt đi là x (km/h); tốc độ lượt về là (x + 4) (km/h)

Thời gian lượt đi: \(\frac{15}{x}\) (giờ)

Thời gian lượt về: \(\frac{15}{x+4}\) (giờ)

a) Biểu thức biểu thị tổng thời gian T hai lượt đi và về là: \(T=\frac{15}{x}+\frac{15}{x+4}\)

\(=\frac{15x+60+15x}{x(x+4)}\)\(=\frac{30x+60}{x(x+4)}\) (giờ)

b) B iểu thức biểu thị hiệu thời gian t lượt đi đối với lượt về là: \(t=\frac{15}{x}-\frac{15}{x+4}=\frac{15x+60-15x}{x(x+4)}\)\(=\frac{60}{x(x+4)}\)

c) Với x = 10 thì \(T=\frac{30.10+60}{10.(10+4)}=\frac{18}{7}\)

Với x =10, \(t=\frac{60}{10.(10+4)}=\frac{3}{7}\)