80 bài toán thông minh
Tổng hợp 80 bài toán thông minh
Cuốn sách nhỏ này gồm 80 bài toán thông minh bao gồm Phần đề bài và Phần hướng dẫn gợi ý, được chọn lựa điển hình các dạng loại phong phú như toán suy luận, trò chơi, đố mẹo, ... dùng cho học sinh phổ thông cả 3 cấp. Nó giúp các em rèn luyện trí thông minh, khả năng tư duy sáng tạo, kích thích sự hứng thú say mê trong học tập, nhất là trong học tập bộ môn Toán.
80 bài toán thông minh
Link tải Phần hướng dẫn gợi ý lời giải bài toán.
Các bài toán ở đây dành cho cả học sinh và người lớn. Trong phạm vi gia đình, nó có thể giúp cho sinh hoạt giải trí giữa bố mẹ và con cái. Trong nhà trường có thể phục vụ cho đông đảo các đối tượng học sinh, đồng thời cũng có thể phục vụ cho các lớp chuyên toán, dùng cho các kỳ thi toán vui-chọn học sinh thông minh tư duy nhanh, hoặc các buổi ngoại khóa.
Link tải phần gợi ý giải các bài toán.
PHẦN I: ĐỀ BÀI
1. BA NHÀ THÔNG THÁI
Có ba nhà triết gia Hy-Lạp cổ, sau một cuộc tranh luận căng thẳng và cũng vì trời hè nóng nực nên đã nằm ngủ dưới gốc cây trong vườn của Viện Hàn lâm. Có mấy thợ thông lò đi qua tinh nghịch đã bôi nhọ lên trán cả ba triết gia.
Khi ba nhà thông thái tỉnh dậy, họ nhìn nhau và cùng phá lên cười. Ai cũng yên chí rằng chỉ có hai người kia bị nhọ và họ cười nhau, còn mình thì cười họ. Thế nhưng, trong khoảnh khắc, một triết gia không cười nữa vì ông ta suy đoán ra trên trán ông ta cũng bị nhọ.
Vậy nhà thông thái đó suy luận như thế nào?
2. HAI CHỊ EM SINH ĐÔI
Ở thành phố T có một cặp sinh đôi khá đặc biệt. Tên hai cô là Nhất và Nhị. Những điều ly kỳ về hai cô lan truyền đi khắp nơi. Cô Nhất không có khả năng nói đúng vào những ngày thứ hai, thứ ba và thứ tư, còn những ngày khác nói đúng. Cô Nhị nói sai vào những ngày thứ ba, thứ năm và thứ bảy, còn những ngày khác nói đúng.
Một lần tôi gặp hai cô và hỏi một trong hai người:
- Cô hãy cho biết, trong hai người cô là ai?
- Tôi là Nhất.
- Cô hãy nói thêm, hôm nay là thứ mấy?
- Hôm qua chủ nhật.
Cô kia bỗng xem vào:
- Ngày mai là thứ sáu.
Tôi sững sờ ngạc nhiên-Sao lại thế được?-và quay sang hỏi cô đó:
- Cô cam đoan là cô nói thật chứ?
- Ngày thứ tư tôi luôn luôn nói thật - cô đó trả lời.
Hai cô làm tôi lúng túng thực sự, nhưng sau một hồi suy nghĩ tôi đã xác định được cô nào là cô Nhất, cô nào là cô Nhị, thậm chí còn xác định được ngày hôm đó là thứ mấy.
Mời bạn hãy thử làm xem.
3. CỤ GIÀ NÓI THẦM ĐIỀU GÌ?
Có hai chàng trai Kozak là Grisko và Oponos đều là những kỵ sỹ tài ba. Trong các cuộc thi khi người này, khi thì người kia thắng, nhưng ai phi ngựa nhanh hơn, các cuộc tranh luận đều không phân giải được. Cuối cùng Grisko đề nghị một cuộc thi: Ngựa của ai về sau thì người đó thắng. Oponos chấp thuận.
Cuộc thi như vậy được tổ chức, người xem khá đông. Khi trọng tài nổ súng phát hiệu lệnh thì lạ thay: cả hai kỵ sỹ đều chỉ đứng nguyên ở vị trí xuất phát. Khán giả chờ đợi, hò hét huyên náo. Xem ra cuộc thi không bao giờ chấm dứt.
Vừa lúc đó có một cụ già tóc bạc đi tới. Thấy chuyện lạ, cụ hỏi, người ta nói cho cụ hiểu thì cụ lớn tiếng nói:
- Xin quý khán giả hãy bình tĩnh, tôi sẽ nói thầm một điều với cả hai kỵ sỹ thì họ sẽ phi như bay về đích cho mà xem.
Quả vậy, cụ già gọi hai chàng trai đến bên cụ, cầm lấy tay họ và nói thầm vào tai từng người. Khi cụ bỏ tay họ ra thì cả hai kỵ sỹ đều chạy như bay tới ngựa, nhảy lên và phóng như bay về đích.
Cuối cùng, người thắng vẫn là người có ngựa về sau.
Vậy cụ già đã nói thầm điều gì với cả hai kỵ sỹ?
4. DU KHÁCH ĐANG Ở ĐÂU?
Có một du khách đến một trong hai thành phố A, B của một đất nước tuyệt đẹp. Người thành phố A luôn luôn nói thật, người thành phố B luôn luôn nói dối. Trong thành phố A có một số dân của thành phố B và ngược lại.
Bạn hãy suy nghĩ xem người khách cần phải đặt câu hỏi như thế nào khi gặp người đầu tiên để từ câu trả lời có thể biết được mình đang ở đâu?
5. QUÂN XANH, QUÂN ĐỎ
Tiến hành một trò chơi, các em thiếu niên chia làm hai đội: quân xanh và quân đỏ. Đội quân đỏ bao giờ cũng nói đúng, còn đội quân xanh bao giờ cũng nói sai.
Có ba thiếu niên đi tới là An, Dũng và Cường. Người phụ trách hỏi An: "Em là quân gì?". An trả lời không rõ, người phụ trách hỏi lại Dũng và Cường: "An đã trả lời thế nào?". Dũng nói "An trả lời bạn ấy là quân đỏ", còn Cường nói: "An trả lời bạn ấy là quân xanh".
Hỏi Dũng và Cường thuộc quân nào?
6. ĐẠO LUẬT TÀN ÁC
Ở một vương quốc nọ có ông vua tàn ác. Ông ta không muốn người lạ vào lãnh thổ của mình nên ra lệnh cho tất cả các lính biên phòng phải thi hành một đạo luật sau:
Bất kỳ một người nước khác lọt tới đều phải trả lời câu hỏi: "Vì sao anh tới đây?". Nếu người đó trả lời đúng thì đem dìm xuống nước, nếu trả lời sai thì đem treo cổ.
Một lần, có một người nông dân nước láng giềng vô tình đến một trạm biên phòng. Người lính ra câu hỏi: "Vì sao anh tới đây?" và chuẩn bị hành tội anh ta.
Thế nhưng người nông dân thông minh đó đã trả lời một câu mà người lính biên phòng không thể xác định được đúng hay sai để hành tội anh ta theo đạo luật của nhà vua.
Vậy người nông dân đó đã trả lời như thế nào?
7. BỨC CHÂN DUNG AI?
Người ta hỏi Trung: "Bức ảnh trên tường là chân dung ai?". Trung trả lời: "Bố của người đó là người con trai duy nhất của ông bố người đang trả lời các bạn".
Hỏi người trong ảnh là chân dung ai?
8. ANH THỢ CẠO TRONG THÔN
Người ta đưa ra một định nghĩa về anh thợ cạo trong thôn như sau:
"Gọi người đàn ông trong thôn là thợ cạo nếu anh ta cắt tóc cho tất cả những người trong thôn không tự cắt lấy".
Hỏi: Với định nghĩa như vậy anh thợ cạo có tự cắt tóc cho mình hay không?
Trả lời:
- Nếu anh thợ cạo tự cắt cho mình thì mâu thuẫn với định nghĩa là anh ta chỉ cắt cho những ai không tự cắt lấy.
- Nếu anh thợ cạo không tự cắt cho bản thân anh ta thì cũng theo định nghĩa anh ta phải cắt cho anh ta, vẫn mâu thuẫn.
Bạn hãy xác định xem mâu thuẫn nảy sinh từ đâu?
9. THÀNH CÔNG CỦA TUỔI TRẺ
Tôi chơi cờ cũng khá nhưng hai người bạn thân của tôi là những tay cờ tuyệt diệu. Tôi chơi với mỗi người một ván và cả hai thắng tôi một cách dễ dàng. Có một người bạn nhỏ của tôi - mới 10 tuổi - chỉ mới biết các quy tắc chơi cờ nhưng lại cả quyết rằng sẽ chơi tốt hơn tôi. Để chứng tỏ điều đó cậu ta ra điều kiện:
"Tôi sẽ chơi cùng một lúc với cả hai người bạn của anh trên hai bàn cờ và chắc chắn tôi sẽ đạt kết quả tốt hơn anh là không thua cả hai người".
Ta có thể giải thích sự thành công của người bạn nhỏ như thế nào?
10. NÓI TIÊN TRI
Trước đây ở một nước Á đông có một ngôi đền thiêng do ba thần ngự trị: Thần Sự Thật (luôn luôn nói thật), thần Lừa Dối (luôn luôn nói dối) và thần Mưu Mẹo (lúc nói thật, lúc nói dối). Các thần ngự trên bệ thờ sẵn sàng trả lời khi có người tới thỉnh cầu. Nhưng vì hình dạng của các thần hoàn toàn giống nhau nên người ta không biết thần nào trả lời để mà tin hay không tin. Một triết gia từ xa đến, để xác định các thần, ông ta hỏi thần bên trái:
- Ai ngồi cạnh ngài?
- Đó là thần Sự Thật - thần bên trái trả lời.
Tiếp theo ông ta hỏi thần ngồi giữa:
- Ngài là thần gì?
- Ta là thần Mưu Mẹo.
Sau cùng, ông ta hỏi thần bên phải:
- Ai ngồi cạnh ngài?
- Đó là thần Lừa Dối - thần bên phải trả lời.
Người triết gia kêu lên:
- Tất cả đã rõ ràng, các thần đều đã được xác định.
Vậy nhà triết gia đó đã xác định các thần như thế nào?
11. NGƯỜI THÔNG MINH NHẤT
Người ta tiến hành chọn người thông minh nhất trong ba học sinh đạt giải ở một cuộc thi học sinh giỏi toán bằng cách sau:
Đem đến 5 chiếc mũ: 3 mũ trắng, 2 mũ đen. Bịt mắt cả ba học sinh và đội lên đầu mỗi người một mũ. Hai mũ còn lại đem cất đi.
Khi bỏ băng bịt mắt người ta tuyên bố: "Người đầu tiên nói được mình đội mũ gì là người thông minh nhất". Ba học sinh im lặng quan sát lẫn nhau, lát sau, một học sinh nói được anh ta đội mũ màu trắng và anh ta thắng cuộc.
Vậy anh ta đã suy luận thế nào để xác định được màu mũ trên đầu anh ta?
12. THỬ TÀI ĐOÁN MŨ
Ba bạn An, Minh, Tuấn ngồi theo hàng dọc: Tuấn trên cùng và Andưới cùng. Tuấn và Minh không được nhìn lại phía sau. Lấy ra 2 mũ trắng, 3 mũ đen và đội lên đầu mỗi người một mũ, 2 mũ còn lại đem cất đi (2 mũ này ba bạn không nhìn thấy).
Khi được hỏi màu mũ trên đầu mình, An nói không biết, Minh cũng xin chịu. Dựa vào biểu hiện của An và Minh liệu Tuấn có thể xác định được màu mũ trên đầu mình hay không?
13. CHỌN HOÀNG THÁI TỬ
Có một ông vua đã già nhưng không có người kế thừa. Thấy mình không còn sống được bao lâu nữa, ông bắt đầu chọn Hoàng Thái Tử có năng lực.
Một hôm, có bốn chàng trai tài giỏi nhất Vương quốc đến ra mắt đức vua. Nhà vua tiến hành lựa chọn như sau:
Khi đã bịt mắt bốn chàng trai và để ngồi trên một ghế tròn, nhà vua nói: "Ta sẽ đặt lên đầu mỗi người một mũ miện vàng hoặc bạc. Khi bỏ khăn bịt mắt cho các người, ai nhìn thấy số mũ miện vàng nhiều hơn hãy đứng lên và đứng đó cho tới khi có người nói được trên đầu mình mũ miện gì. Ai nói được sẽ là người thừa kế của ta".
Khăn bịt mắt được bỏ ra, các chàng trai nhìn nhau và đều đứng lên. Sau hồi lâu, một người kêu lên:
- Thưa Đế vương, trên đầu con là mũ miện vàng.
Anh ta đã suy đoán đúng. Vậy nhà vua đã đặt những mũ miện gì lên đầu các chàng trai và chàng trai thông minh đó đã suy luận thế nào để biết được mũ miện trên đầu mình?
14. CHUYỆN LY KỲ TRÊN TÀU HỎA
Tàu hỏa chạy qua một đường ngầm, khói bay vào toa làm một số hành khách bị nhọ mặt. Vì trong toa không có gương và trong suốt cuộc hành trình hành khách không nói chuyện với nhau nên không ai biết mặt mình có bị nhọ hay không.
Người kiểm vé đi qua thấy vậy nói: "Rất tiếc, một số hành khách trong toa đã bị nhọ mặt. Chỉ những hành khách bị nhọ mới được rửa mặt và phải rửa vào lúc tàu dừng ở các ga".
Sau lần đỗ thứ tư thì trên toa mới không còn hành khách bị nhỏ (sau lần đỗ thứ ba vẫn còn). Hỏi trong toa có bao nhiêu người bị nhọ và những người bị nhọ đã suy luận thế nào để biết được mình bị nhọ?
Hãy giải bài toán với những điều kiện sau:
a) Hành khách chỉ đi rửa khi biết chắc chắn mình bị nhọ và đi rửa ngay sau khi tàu dừng.
b) Khi tàu dừng, ở chỗ rửa bao nhiêu người rửa cũng được.
c) Từ quan sát, nói chung các hành khách đều biết suy đoán đúng.
15. NGƯỜI QUEN TRONG HỘI NGHỊ
Trong hội nghị mỗi người có một số người quen nhất định, người A quen người B thì người B cũng quen A.
Hãy chứng minh rằng số người có số lẻ người quen là một số chẵn.
16. NHÓM 6 NGƯỜI
Hãy chứng tỏ rằng trong một nhóm 6 người bất kỳ luôn luôn có: hoặc 3 người quen nhau từng đôi một, hoặc 3 người không quen nhau từng đôi (mỗi người đều không quen cả 2 người kia).
17. CHỈ CÓ MỘT NGƯỜI QUEN
Trong hội nghị học sinh giỏi toán toàn quốc người ta nhận thấy điều lý thú sau đây:
Trong hội nghị có rất nhiều người quen biết nhau, nhưng nếu hai người nào đó có cùng số người quen thì không có chung một người quen nào cả.
Bạn hãy chứng tỏ rằng trong hội nghị này có ít ra một đại biểu chỉ có duy nhất một người quen.
18. THÔNG BÁO CỦA THƯ VIỆN
Một thư viện mở thông tầm, có nhiều bạn đọc, mỗi người chỉ đến một lần trong ngày. Bất kỳ ba người nào đến thư viện cùng ngày cũng có hai người gặp nhau trong thư viện.
Người phụ trách thư viện muốn chọn hai thời điểm trong ngày để truyền đạt một thông báo trực tiếp tới tất cả bạn đọc đã đến thư viện trong ngày đó. Liệu có thể chọn được không?
Bạn hãy giúp người phụ trách thư viện giải quyết vấn đề trên.
19. THI ĐẤU BÓNG BÀN
Ở một cuộc thi đấu bóng bàn mỗi vận động viên đều phải đấu với tất cả các vận động viên khác, và mỗi cặp đấu đều phân định người thắng, người thua.
Bạn hãy chứng tỏ rằng có một vận động viên khi nhắc đến tên các vận động viên thua mình và tên các vận động viên thua các vận động viên thua mình thì bao gồm tất cả các vận động viên khác.
20. XĂNG VÀ DẦU
Có một can xăng và một can dầu. Lấy 1 kg từ can xăng rót vào can dầu, sau đó lại lấy 1kg dầu (đã trộn xăng) đổ vào can xăng. Làm như vậy ba lần.
Hỏi lượng xăng (trọng lượng) ở can dầu nhiều hơn hay lượng dầu ở can xăng nhiều hơn?
21. BÁC LOAN, BÉ HẰNG VÀ BÀ HẠNH
Khi bác Loan bằng tuổi bé Hằng thì bà Hạnh bằng tuổi bác Loan và bé Hằng bây giờ cộng lại.
Hỏi bác Loan bao nhiêu tuổi khi bà Hạnh bằng tuổi bác Loan bây giờ?
Ghi chú: Ta coi tuổi là những số nguyên.
22. TUỔI BA CHÀNG TRAI
Tuổi của Trung sẽ nhiều gấp đôi tuổi của Tùng khi mà tuổi của Nghĩa sẽ bằng tuổi của Trung bây giờ.
Hỏi giữa các chàng trai ai là người nhiều tuổi nhất, ai là người ít tuổi nhất?
23. CÓ BAO NHIÊU CHÀNG TRAI?
Trong một lớp học mọi học sinh nam đều tham gia vào những nhóm sở thích: Bóng đá, bóng chuyền và cầu lông. Qua tìm hiểu thấy rằng: Có 7 em tham gia bóng đá, 6 em bóng chuyền, 5 em cầu lông, 4 em vừa bóng đá vừa bóng chuyền, 3 em vừa bóng đá vừa cầu lông, 2 em vừa bóng chuyền vừa cầu lông, 1 em tham gia cả ba nhóm sở thích.
Vậy trong lớp học có bao nhiêu chàng trai?
24. BA MÔN THỂ THAO
Một lớp học có 25 học sinh, trong đó có 13 em tập bơi, 17 em tập đua xe đạp và 8 em tập bóng bàn, không có em nào tập cả 3 môn thể thao. Các em tập ít ra một môn thể thao đều đạt trung bình hoặc khá về xếp loại môn toán. Tuy vậy vẫn có 6 em của lớp xếp loại yếu-kém về bộ môn này (Môn toán được xếp loại theo 4 mức: giỏi, khá, trung bình, yếu-kém).
Hỏi trong lớp có bao nhiêu em học sinh đạt loại giỏi về môn toán? Bao nhiêu em vừa tập bơi vừa tập bóng bàn?
25. HỘI ĐỌC BÁO
Các thành viên của hội đọc báo trao đổi với nhau xem ai đặt mua những tạp chí nào. Qua trao đổi thấy rằng: mỗi người đều đặt mua 2 tạp chí, mỗi loại tạp chí đều có 3 người mua, bất kỳ 2 tạp chí nào cũng có 1 người đặt mua.
Bạn hãy tính xem hội đọc báo có bao nhiêu thành viên và họ đặt mua bao nhiêu loại tạp chí?
26. NHÃN HIỆU NÓI DỐI
Trong 3 ngăn kéo đóng mỗi ngăn đều có 2 bóng bàn. Một ngăn chứa hai bóng trắng, một ngăn chứa hai bóng đỏ và ngăn còn lại chứa 1 bóng trắng, 1 bóng đỏ.
Có 3 nhãn hiệu: Trắng-Trắng, Đỏ-Đỏ và Trắng-Đỏ, đem dán bên ngoài mỗi ngăn một nhãn nhưng đều sai với bóng trong ngăn.
Hỏi phải rút ra từ ngăn có nhãn hiệu nào để chỉ một lần rút 1 bóng (và không được nhìn vào trong ngăn) có thể xác định được các bóng chứa trong mỗi ngăn?
27. CHỈ MỘT LẦN CÂN
Tình cờ có 10 ví đựng tiền, trong mỗi ví đều đựng 10 đồng tiền giống hệt nhau và giống như các ví khác. Có 1 ví đựng toàn tiền giả. Các đồng tiền thật nặng 10 gam, còn các đồng tiền giả nặng hơn đúng 1 gam. Với một lần cân có quả cân, bằng cách nào có thể chỉ ra ví đựng tiền giả?
28. TÌM ĐỒNG TIỀN GIẢ
Trong 27 đồng tiền giống hệt nhau có 1 đồng tiền giả nhẹ hơn các đồng tiền thật (các đồng tiền thật có trọng lượng như nhau).
Với một chiếc cân đĩa và chỉ 3 lần cân hãy lấy ra đồng tiền giả.
29. BẰNG BA LẦN CÂN
Giả thiết đồng tiền giả hoặc nặng hơn, hoặc nhẹ hơn đồng tiền thật. Với một chiếc cân đĩa và không dùng quả cân, bằng 3 lần cân hãy tìm ra đồng tiền giả và xác định xem nó nặng hơn hay nhẹ hơn đồng tiền thật trong hai trường hợp sau:
A) Đồng tiền giả nằm trong 8 đồng tiền giống hệt nhau.
B) Đồng tiền giả nằm trong 12 đồng tiền giống hệt nhau.
30. TÌM PHẾ PHẨM
Trong 5 sản phẩm có 4 sản phẩm đạt tiêu chuẩn kỹ thuật và có trọng lượng như nhau, còn 1 sản phẩm là phế phẩm, nó nặng hơn hoặc nhẹ hơn so với sản phẩm đạt tiêu chuẩn. Ngoài ra còn có thêm 1 sản phẩm mẫu (trọng lượng như sản phẩm đạt tiêu chuẩn).
Với 1 cân đĩa và không dùng quả cân, hãy tìm ra phế phẩm bằng 2 lần cân.
<Tải tài liệu để xem tiếp 50 bài toán thông minh>
Phần đáp án 80 bài toán thông minh
1. BA NHÀ THÔNG THÁI
Nhà thông thái đó đã suy luận như sau:
- Ai cũng cười vì tưởng trán mình không nhọ, hai người kia cười nhau còn mình thì cười họ.
- Thế nhưng, nếu trán tôi không nhọ thì hai người kia đều sẽ phát hiện được ngay trán mình bị nhọ. Chẳng hạn người thứ ba, khi thấy người thứ hai cười anh ta biết ngay là cười anh ta chứ không phải cười tôi (vì tôi không bị nhọ).
- Trong thực tế hai người kia đều cười và không phát hiện ra trán mình bị nhọ. Vậy trán tôi cũng bị nhọ.
2. HAI CHỊ EM SINH ĐÔI
Kết quả: Đầu tiên tôi nói chuyện với cô Nhị, sau đó với cô Nhất. Tôi gặp họ vào thứ ba.
Thật vậy:
Từ câu trả lời của cô gái đầu ("hôm qua chủ nhật", ta nhận thấy nếu câu đó đúng, nghĩa là hôm đó thứ hai, mà nói đúng vào thứ hai thì chỉ là cô Nhị. Do vậy cáu trước đó: "Tôi là Nhất" cũng là đúng, hay cô đó là cô Nhất. Đã xảy ra điều vô lý: cô gái đầu vừa là Nhất, vừa là Nhị. Vậy câu "Hôm qua chủ nhật" là sai, và câu trước đó: "Tôi là Nhất" cũng sai. Ta được một kết quả: Cô gái đầu là Nhị.
Ngày tôi gặp hai cô là ngày cô Nhị nói sai. Vậy chỉ là một trong 3 ngày thứ ba, thứ năm, thứ bảy (1).
Cô gái sau là cô Nhất. Cô ta nói sai vào những ngày: thứ hai, thứ ba và thứ tư. Do đó câu trả lời "Ngày thứ tư tôi luôn luôn nói thật" là sai.
Vậy là ngày tôi gặp hai cô là ngày cô Nhất nói sai (2).
Từ (1) và (2) ta được ngày đó là thứ ba.
Trên đây các bạn đã tham khảo 80 bài toán thông minh, để thử thách trí tuệ cũng như rèn luyện khả năng tư duy, các bạn có thể tham khảo thêm một số tài liệu như:
