Các dạng toán nâng cao lớp 7

Các dạng toán nâng cao lớp 7 tổng hợp một số chuyên đề đại số nâng cao lớp 7 dành cho học sinh khá giỏi. Hi vọng qua tài liệu này, các bạn học sinh sẽ biết cách vận dụng các kiến thức để giải bài tập Toán 7 như toán tính tổng của dãy số mà các số hạng cách đều, dãy số mà các số hạng không cách đều... Đây là tài liệu hay dành cho các bạn ôn thi học sinh giỏi, cũng là tài liệu cho thầy cô giáo tham khảo, luyện thi đổi tuyển học sinh giỏi của mình. Mời các bạn cùng tham khảo.

DẠNG 1: DÃY SỐ MÀ CÁC SỐ HẠNG CÁCH ĐỀU

Bài 1: Tính B = 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99

Hướng dẫn giải

Cách 1:

B = 1 + (2 + 3 + 4 + ... + 98 + 99).

Ta thấy tổng trong ngoặc gồm 98 số hạng, nếu chia thành các cặp ta có 49 cặp nên tổng đó là:

(2 + 99) + (3 + 98) + ... + (51 + 50) = 49.101 = 4949

Khi đó B = 1 + 4949 = 4950

Lời bình: Tổng B gồm 99 số hạng, nếu ta chia các số hạng đó thành cặp (mỗi cặp có 2 số hạng thì được 49 cặp và dư 1 số hạng, cặp thứ 49 thì gồm 2 số hạng nào? Số hạng dư là bao nhiêu?), đến đây học sinh sẽ bị vướng mắc.

Ta có thể tính tổng B theo cách khác như sau:

Cách 2:

⇒ 2B = 100.99

⇒B = 50.99 = 4950

Bài 2: Tính C = 1 + 3 + 5 + ... + 997 + 999

Hướng dẫn giải

Cách 1:

Từ 1 đến 1000 có 500 số chẵn và 500 số lẻ nên tổng trên có 500 số lẻ.

Áp dụng các bài trên ta có C = (1 + 999) + (3 + 997) + ... + (499 + 501) = 1000.250 = 250.000 (Tổng trên có 250 cặp số)

Cách 2: Ta thấy:

1= 2.1 - 1

3 = 2.2 - 1

5 = 2.3 - 1

...

999 = 2.500 - 1

Quan sát vế phải, thừa số thứ 2 theo thứ tự từ trên xuống dưới ta có thể xác định được số các số hạng của dãy số C là 500 số hạng.

Áp dụng cách 2 của bài trên ta có:

⇒ 2C = 1000 . 500

⇒C = 1000 . 250 = 250000

Bài 3. Tính D = 10 + 12 + 14 + ... + 994 + 996 + 998

Hướng dẫn giải

Nhận xét: Các số hạng của tổng D đều là các số chẵn, áp dụng cách làm của bài tập 3 để tìm số các số hạng của tổng D như sau:

Ta thấy:

10 = 2.4 + 2

12 = 2.5 + 2

14 = 2.6 + 2

...

998 = 2.498 + 2

Tương tự bài trên: từ 4 đến 498 có 495 số nên ta có số các số hạng của D là 495, mặt khác ta lại thấy: 495 = (998 - 10)/2 + 1

Khi đó ta có:

2D = 1008.495 → D = 504.495 = 249480

Thực chất D = (998 + 10).495 / 2

Qua các ví dụ trên, ta rút ra một cách tổng quát như sau:

Cho dãy số cách đều u₁, u₂, u₃, ... u_n (*), khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp của dãy là d.

+ Khi đó số các số hạng của dãy (*) là: \(n = \frac{{{u_n} - {u_1}}}{d} + 1\) (1)

+ Tổng các số hạng của dãy (*) là: \({S_n} = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2}\) (2)

+ Đặc biệt từ công thức (1) ta có thể tính được số hạng thứ n của dãy (*) là: u_n = u₁ + (n - 1)d
Hoặc khi u₁ = d = 1 thì S₁ = 1 + 2 + 3 + ...+ n = n(n + 1) /2 

DẠNG 2: DÃY SỐ MÀ CÁC SỐ HẠNG KHÔNG CÁCH ĐỀU.

Bài 1. Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n + 1)

Hướng dẫn giải

Cách 1:

Ta thấy mỗi số hạng của tổng trên là tích của hai số tự nhiên liên tiếp, khi đó:

Gọi a₁ = 1.2 → 3a₁ = 1.2.3 → 3a₁ = 1.2.3 - 0.1.2
a₂ = 2.3 → 3a₂ = 2.3.3 → 3a₂ = 2.3.4 - 1.2.3
a₃ = 3.4 → 3a₃ = 3.3.4 → 3a₃ = 3.4.5 - 2.3.4
…………………..
a_n-1 = (n - 1)n → 3a_n-1 =3(n - 1)n → 3a_n-1 = (n - 1)n(n + 1) - (n - 2)(n - 1)n
a_n = n(n + 1) → 3a_n = 3n(n + 1) → 3a_n = n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1)

Cộng từng vế của các đẳng thức trên ta có:

3(a₁ + a₂ + … + a_n) = n(n + 1)(n + 2)

3(a₁ + a₂ + ... + a_n) = n(n + 1)(n + 2) ⇒ \(A = \frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{3}\)

Cách 2: Ta có

3A = 1.2.3 + 2.3.3 + … + n(n + 1).3

3A =  1.2.(3 - 0) + 2.3.(3 - 1) + … + n(n + 1)[(n - 2) - (n - 1)]

3A = 1.2.3 - 1.2.0 + 2.3.3 - 1.2.3 + … + n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1)

3A = n(n + 1)(n + 2)

\(\Rightarrow A = \frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{3}\)

* Tổng quát hoá ta có:

k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = 3k(k + 1). Trong đó k = 1; 2; 3; …

Ta dễ dàng chứng minh công thức trên như sau:

k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = k(k + 1)[(k + 2) - (k - 1)] = 3k(k + 1)

Bài 2. Tính B = 1.2.3 + 2.3.4 + ... + (n - 1)n(n + 1)

Hướng dẫn giải

Áp dụng tính kế thừa của bài 1 ta có:

4B = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + ... + (n - 1)n(n + 1).4

4B = 1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + ... + (n - 1)n(n + 1)(n + 2) - [(n - 2)(n - 1)n(n + 1)]

4B = (n - 1)n(n + 1)(n + 2) - 0.1.2.3 = (n - 1)n(n + 1)(n + 2)

\(\Rightarrow B = \frac{{\left( {n - 1} \right).n.\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{4}\)

Bài 3. Tính C = 1.4 + 2.5 + 3.6 + 4.7 + … + n(n + 3)

Hướng dẫn giải

Ta thấy: 1.4 = 1.(1 + 3)

2.5 = 2.(2 + 3)

3.6 = 3.(3 + 3)

4.7 = 4.(4 + 3)

…….

n(n + 3) = n(n + 1) + 2n

Vậy C = 1.2 + 2.1 + 2.3 + 2.2 + 3.4 + 2.3 + … + n(n + 1) +2n

C = 1.2 + 2 +2.3 + 4 + 3.4 + 6 + … + n(n + 1) + 2n

C = [1.2 +2.3 +3.4 + … + n(n + 1)] + (2 + 4 + 6 + … + 2n)

⇒ 3C = 3.[1.2 +2.3 +3.4 + … + n(n + 1)] + 3.(2 + 4 + 6 + … + 2n)

3C = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + … + n(n + 1).3 + 3.(2 + 4 + 6 + … + 2n)

3C = n(n + 1)(n + 2) + \(\frac{3\left(2n\ +\ 2\right)n}{2}\)

⇒ C = \(\frac{n(n+1)(n+2)}{3}\) + \(\frac{3\left(2n\ +\ 2\right)n}{2}\) = \(\frac{n(n+1)(n+5)}{3}\)

Bài 4: Tính D = 1² + 2² + 3² + .... + n²

Hướng dẫn giải

Nhận xét: Các số hạng của bài 1 là tích của hai số tự nhiên liên tiếp, còn ở bài này là tích của hai số tự nhiên giống nhau. Do đó ta chuyển về dạng bài tập 1:

Ta có:

A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ...+ n(n + 1)

A = 1.(1 + 1) + 2.(1 + 2) + 3.(1 + 3) + .... + n.(n + 1)

A = 1² + 1.1 + 2² + .1 + 3² + 3.1 + ... + n² + n.1

A = (1² + 2² + 3² + .... + n²) + (1 + 2 + 3 + ... + n)

Mặt khác theo bài tập 1 ta có:

\(A = \frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{3}\) và 1 + 2 + 3 + .... + n = _{\(\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\)}

⇒D = 1² + 2² + 3² + .... + n² = _{\(\frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{3} - \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}\)}

Bài 5: Tính E = 1³ + 2³ + 3³ + ... + n³

Hướng dẫn giải

Tương tự bài toán ở trên, xuất phát từ bài toán 2, ta đưa tổng B về tổng E:

B = 1.2.3 + 2.3.4 + 4.5.6 + ... + (n - 1)n(n + 1)

B = (2 - 1).2.(2 + 1) + (3 -1).3.(3 +1) + ....+ (n - 1).n.(n + 1)

B = (2³ - 2) + (3³ - 3) + .... + (n³ - n)

B = (2³ + 3³ + .... +n³) - (2 + 3 + ... + n)

B = (1³ + 2³ + 3³ + ... + n³) - (1 + 2 + 3 + ... + n)

B = (1³ + 2³ + 3³ + ... + n³) - \(\frac{n(n + 1)}{2}\)

⇒ 1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ = B + \(\frac{n(n + 1)}{2}\)

Mà \(B = \frac{{\left( {n - 1} \right).n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{4}\)

⇒ E = 1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ = \(\frac{{\left( {n - 1} \right).n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{4}\) + \(\frac{n(n + 1)}{2}\)

Bài 6. (Trang 23 SGK Toán 7 tập 1)

Biết rằng 1² + 2² + 3² +…+ 10² = 385, đố em tính nhanh được tổng

S = 2² + 4² + 6² + … + 20²

Lời giải

Ta có: S = 2² + 4² + 6² + … + 20² = (2.1)² + (2.2)² + … + (2.10)² =

= 1².2² + 2².2² + 2².3² + …+ 2².10² = 2².(1² + 2² + 3² + … + 10²) = 4. (1² + 2² + 3² + … + 10²) = 4.385 = 1540.

Nhận xét: Nếu đặt P = 1² + 2² + 3² + … + 10² thì ta có: S = 4.P. Do đó, nếu cho S thì ta sẽ tính được P và ngược lại. Tổng quát hóa ta có:

MỘT SỐ BÀI TẬP NÂNG CAO TOÁN 7 DẠNG KHÁC

Bài 1. Tính S₁ = 1 + 2 + 2² + 2³ + … + 2⁶³

Lời giải

Cách 1:

Ta thấy: S₁ = 1 + 2 + 2² + 2³ + … + 2⁶³ (1)

2S₁ = 2 + 2² + 2³ + … + 2⁶³ + 2⁶⁴ (2)

Trừ từng vế của (2) cho (1) ta có:

2S₁ - S₁ = 2 + 2² + 2³ + … + 2⁶³ + 2⁶⁴ - (1 + 2 + 2² + 2³ + … + 2⁶³)

= 2⁶⁴ - 1. Hay S₁ = 2⁶⁴ - 1

Cách 2:

Ta có: S₁ = 1 + 2 + 2² + 2³ + … + 2⁶³ = 1 + 2(1 + 2 + 2² + 2³ + … + 2⁶²) (1)

= 1 + 2(S₁ - 2⁶³) = 1 + 2S₁ - 2⁶⁴ S₁ = 2⁶⁴ - 1

Bài 2. Tính giá trị của biểu thức S = 1 +3 + 3² + 3³ + … + 3²⁰⁰⁰ (1)

Lời giải:

Cách 1: Áp dụng cách làm của bài 1:

Ta có: 3S = 3 + 3² + 3³ + … + 3²⁰⁰¹ (2) Trừ từng vế của (2) cho (1) ta được:

3S - 2S = (3 + 3² + 3³ + … + 3²⁰⁰¹) - (1 +3 + 3² + 3³ + … + 3²⁰⁰⁰)

Bài 3. Cho A = 1 + 2 + 2² + 2³ + … + 2⁹; B = 5.2⁸. Hãy so sánh A và B

Cách 1: Ta thấy: B = 5.2⁸ = (2³ + 2² + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1).2⁶

= 2⁹ + 2⁸ + 2⁷ + 2⁶ + 2⁶ + 2⁶ + 2⁶ + 2⁶ + 2⁶ + 2⁶

= 2⁹ + 2⁸ + 2⁷ + 2⁶ + 2⁶ + 2⁶ + 2⁶ + 2⁶ + 2⁶ + 2⁵ + 2⁵

(Vì 2⁶ = 2.2⁵). Vậy rõ ràng ta thấy B > A

Cách 2: Áp dụng cách làm của các bài tập trên ta thấy đơn giản hơn,

thật vậy:

A = 1 + 2 + 2² + 2³ + … + 2⁹ (1)

2A = 2 + 2² + 2³ + … + 2⁹ + 2¹⁰ (2)

Trừ từng vế của (2) cho (1) ta có:

2A - A = (2 + 2² + 2³ + … + 2⁹ + 2¹⁰) - (1 + 2 + 2² + 2³ + … + 2⁹)

= 2¹⁰ - 1 hay A = 2¹⁰ - 1

Còn: B = 5.2⁸ = (2² + 1).2⁸ = 2¹⁰ + 2⁸

Vậy B > A

* Ta có thể tìm được giá trị của biểu thức A, từ đó học sinh có thể so sánh được A với B mà không gặp mấy khó khăn.

Bài 4. Tính giá trị của biểu thức S = 1 + 2.6 + 3.6² + 4.6³ + … + 100.6⁹⁹ (1)

Ta có: 6S = 6 + 2.6² + 3.6³ + … + 99.6⁹⁹ + 100.6¹⁰⁰ (2)

Trừ từng vế của (2) cho (1) ta được:

5S = 6 - 2.6 + (2.6² - 3.6²) + (3.6³ - 4.6³) + … + (99.6⁹⁹ - 100.6⁹⁹) +

+ 100.6¹⁰⁰ - 1 = 100.6¹⁰⁰ - 1 - (6 + 6² + 6³ + … + 6⁹⁹)

Bài 5. Người ta viết dãy số: 1; 2; 3; ... Hỏi chữ số thứ 673 là chữ số nào?

Lời giải

Ta thấy: Từ 1 đến 99 có: 9 + 2.90 = 189 chữ số, theo đầu bài ta còn thiếu số các chữ số của dãy là: 673 - 189 = 484 chữ số, như vậy chữ số thứ 673 phải nằm trong dãy các số có 3 chữ số. Vậy ta xét tiếp:

Từ 100 đến 260 có: 3.161 = 483 chữ số

Như vậy từ 1 đến 260 đã có: 189 + 483 = 672 chữ số, theo đầu bài thì chữ số thứ 673 sẽ là chữ số 2 của số 261.

Một số bài tập tự giải:

1. Tính: A = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 + … + (n - 2) … (n + 1)
2. Tính: B = 1.2.4 + 2.3.5 + … + n(n + 1)(n + 3)
3. Tính: C = 2²+ 5² + 8² + ...+ (3n - 1)²
4. Tính: D = 1⁴+ 2⁴ + 3⁴ + ... + n⁴
5. Tính: E = 7 + 7⁴+ 7⁷ + 7¹⁰ + … + 7³⁰⁰¹
6. Tính: F = 8 + 8³+ 8⁵ + … + 8⁸⁰¹
7. Tính: G = 9 + 99 + 999 + … + 99 … 9 (chữ số cuối gồm 190 chữ số 9)
8. Tính: H = 1.1! + 2.2! + … + n.n!
9. Cho dãy số: 1; 2; 3; … . Hỏi chữ số thứ 2007 là chữ số nào?

Tài liệu vẫn còn, mời các bạn tải về xem toàn bộ tài liệu

----------------------------------------------------------------------

Mời các bạn tải về để xem toàn bộ Các dạng toán nâng cao lớp 7. Chắc hẳn thông qua tài liệu này, các bạn có thể nắm được các dạng toán về tính tổng của dãy số mà các số hạng cách đều, dãy số mà các số hạng không cách đều... Hy vọng đây là tài liệu hữu ích giúp các em học sinh ôn luyện kỹ các dạng toàn 7 thường gặp, từ đó chuẩn bị tốt cho kỳ thi học sinh giỏi lớp 7 môn Toán sắp tới. Để xem thêm các tài liệu luyện thi học sinh giỏi, mời các bạn vào chuyên mục Thi học sinh giỏi trên VnDoc nhé.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh nâng cao kỹ năng giải bài tập Toán 7. Ngoài ra, mời các bạn tham khảo tài liệu sau: Toán lớp 7, Giải bài tập Toán lớp 7, Tài liệu học tập lớp 7, Đề thi giữa kì 1 lớp 7, Đề thi học kì 1 lớp 7