VnDoc.com

Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 môn Toán

6 Chuyên đề bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 9

1

1 1

6 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC

HSG TOÁN THCS

Chuyên đề 1: SỐ CHÍNH PHƯƠNG

I- ĐỊNH NGHĨA: Số chính phương là số bằng bình phương đúng của một số nguyên.

II- TÍNH CHẤT:

1- Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9; không thể có

chữ tận cùng bằng 2, 3, 7, 8.

2- Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên

tố với số mũ chẵn.

3- Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n+1. Không có số

chính phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n



N).

4- Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n +1. Không có số

chính phương nào có dạng 3n + 2 ( n



N ).

5- Số chính phương tận cùng bằng 1, 4 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.

Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2.

Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.

6- Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.

Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9

Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25

Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.

III- MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG.

A- Dạng 1: CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG.

Bài 1: Chứng minh rằng mọi số nguyên x, y thì:

A= (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) +

4

y

là số chính phương.

Giải : Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) +

4

y

2

2 2

= (

2 2 2 2 4

5 4 )( 5 6 )x xy y x xy y y+ + + + +

Đặt

22

5 5 ( )x xy y t t Z+ + = 

thì

A = (

2 2 4 2 4 4 2 2 2 2

)( ) ( 5 5 )t y t y y t y y t x xy y− + + = − + = = + +

Vì x, y, z



Z nên

2 2 2 2

, 5 , 5 5 5x Z xy Z y Z x xy y Z    + + 

Vậy A là số chính phương.

Bài 2: Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính phương.

Giải : Gọi 4 số tự nhiên, liên tiếp đó là n, n+1, n+2, n+3 (n



Z). Ta có:

n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n . ( n + 3)(n + 1)(n + 2) + 1

= (

22

3 )( 3 2) 1 (*)n n n n+ + + +

Đặt

2

3 ( )n n t t N+ = 

thì (*) = t(t + 2) + 1 = t

2

+ 2t + 1 = (t + 1)

2

= (n

2

+ 3n + 1)

2

Vì n



N nên n

2

+ 3n + 1



N. Vậy n(n + 1)(n + 2)(+ 3) + 1 là số chính phương.

Bài 3: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ...+ k(k + 1)(k + 2)

Chứng minh rằng 4S + 1 là số chính phương.

Giải : Ta có: k(k + 1)(k + 2) =

1

4

k (k + 1)(k + 2). 4=

1

4

k(k + 1)(k + 2).

 

( 3) ( 1)kk+ − −

=

1

4

k(k + 1)(k + 2)(k + 3) -

1

4

k(k + 1)(k + 2)(k - 1)

=> 4S =1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + . . . + k(k + 1)(k + 2)(k + 3)

- k(k + 1)(k + 2)(k - 1) = k(k + 1)(k + 2)(k + 3)

=> 4S + 1 = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1

Theo kết quả bài 2 => k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1 là số chính phương.

Bài 4: Cho dãy số 49; 4489; 444889; 44448889; . . .

- Dãy số trên được xây dựng bằng cách thêm số 48 vào giữa các chữ số đứng trước

và đứng sau nó. Chứng minh rằng tất cả các số của dãy trên đều là số chính phương.

3

3 3

Ta có 44 ...488...89 = 44...488...8 + 1 = 44...4 . 10

n

+ 8 . 11 ... 1 + 1

n chữ số 4 n - 1 chữ số 8 n chữ số 4 n chữ số 8 n chữ số 4 n chữ số 1

= 4.

10 1 10 1

.10 8. 1

99

nn

n

−−

++

=

22

4.10 4.10 8.10 8 9 4.10 4.10 1

99

n n n n n

− + − + + +

=

2

2.10 1

3

n



+





Ta thấy 2.10

n

+ 1 = 200...01 có tổng các chữ số chia hết cho 3 nên nó chia hết cho 3

n - 1 chữ số 0

=>

2

2.10 1

3

n



+







Z hay các số có dạng 44 ... 488 ... 89 là số chính phương.

Các bài tương tự:

Chứng minh rằng số sau đây là số chính phương.

A = 11 ... 1 + 44 ... 4 + 1

2n chữ số 1 n chữ số 4

B = 11 ... 1 + 11 . . .1 + 66 . . . 6 + 8

2n chữ số 1 n+1 chữ số 1 n chữ số 6

C= 44 . . . 4 + 22 . . . 2 + 88 . . . 8 + 7

2n chữ số 4 n+1 chữ số 2 n chữ số 8

D = 22499 . . .9100 . . . 09

n-2 chữ số 9 n chữ số 0

E = 11 . . .155 . . . 56

n chữ số 1 n-1 chữ số 5

6 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 môn Toán

Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 môn Toán do thư viện đề thi VnDoc.com sưu tầm. Đây là đề thi tham khảo học sinh giỏi môn Toán lớp 9 dành cho các bạn học sinh ôn tập, củng cố kiến thức, rèn luyện kĩ năng làm bài Toán. Mời các bạn cùng tham khảo

Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 môn Toán. Đề thi gồm 6 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9, đây là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh ôn tập nâng cao kĩ năng giải đề thi, biết cách phân bổ thời gian làm bài. Mời các bạn tham khảo tài liệu trên

.......................................................................

Ngoài Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 môn Toán. Mời các bạn học sinh còn có thể tham khảo các đề thi học học kì 1 lớp 9, đề thi học học kì 2 lớp 9 các môn Toán, Văn, Anh, Hóa, Lý, Địa, Sinh mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với đề thi học kì 2 lớp 9 này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn ôn thi tốt