268 bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 9

Tài liệu ôn thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9

Tài liệu ôn thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 là tài liệu giúp các em học sinh ôn tập các dạng bài toán để chuẩn bị thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 với các bài toán được tổng hợp đủ các dạng bài trong chương trình cơ bản và nâng cao môn Toán lớp 9.

268 BÀI TẬP BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9

MAI TRỌNG MẬU

1. Chứng minh √7 là số vô tỉ.

2. a) Chứng minh: (ac + bd)² + (ad –bc)² = (a² + b²)(c² + d²)

b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki: (ac + bd)² ≤ (a² + b²)(c² + d²)

3. Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = x² + y².

4. a) Cho a ≥ 0, b ≥ 0. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy:

b) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

c) Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab.

5. Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = a³ + b³.

6. Cho a³ + b³ = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: N = a + b.

7. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh: a³ + b³ + abc ≥ ab(a + b + c)

8. Tìm liên hệ giữa các số a và b biết rằng: |a + b| > |a - b|

9. a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)² ≥ 4a

b) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8

10. Chứng minh các bất đẳng thức:

a) (a + b)² ≤ 2(a² + b²)

b) (a + b + c)² ≤ 3(a² + b² + c²)

11. Tìm các giá trị của x sao cho:

a) |2x –3| = |1 –x|

b) x² – 4x ≤ 5

c) 2x(2x –1) ≤ 2x –1.

12. Tìm các số a, b, c, d biết rằng: a² + b² + c² + d² = a(b + c + d)

13. Cho biểu thức M = a² + ab + b² – 3a – 3b + 2001. Với giá trị nào của a và b thì M đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

14. Cho biểu thức P = x² + xy + y² – 3(x + y) + 3. CMR giá trị nhỏ nhất của P bằng 0.

15. Chứng minh rằng không có giá trị nào của x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau: x² + 4y² + z² – 2a + 8y – 6z + 15 = 0

16. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

17. So sánh các số thực sau (không dùng máy tính):

18. Hãy viết một số hữu tỉ và một số vô tỉ lớn hơn √2 nhưng nhỏ hơn √3

19. Giải phương trình:

20. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x²y với các điều kiện x, y > 0 và 2x + xy = 4.