Chuyên đề xác định đa thức

đa thức hoặc tính các giá trị của đa thức.Việc tìm tòi lời giải bài toán xác định đa thức
kiến cần thiết nhưng rời rạc các khối lớp thường thiếu bài tập áp dụng. Qua đây
giải một số dạng toán trên từ đơn giản đến phức tạp kiến thức của không vượt
quá trình độ THCS.
Phần dư của phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x - a bằng giá trị của đa thức tại x = a
Chứng minh : Gọi g(x) là đa thức thương và R là số dư thì:
f(x) =(x - a).g(x) + R
f(a) = (a - a).g(a) + R = R (đpcm)
Giả sử:
Chứng minh:
Trừ từng vế của (1) và (2) được:
nhằm củng cố kiến thức về đa thức trong chương trình toán từ lớp 7 đến lớp 9 rèn kỹ năng
3 1 1 2 2 2 1 2 1
c x x x x c x x c 0 5
22
12
x x 0
nên

3 1 2 2 1 2 1 1 2
c x x c x x c x x 0
3 3 2 2
Đặt
3 3 3 2 2 2 1 1 1 0 0 0
c a b ;c a b ;c a b ;c a b
f x g x 4
f x g x 3
f x g x 2
44
33
22
11
f x g x 1
Giả sử 4 giá trị phân biệt
1 2 3 4
x ;x ; x ; x
có:

1 1 0 0
a b ;a b
Nếu f(x) = g(x) với ít nhất 4 giá trị phân biệt của x thì:

3 3 2 2
a b ;a b
3 2 1 0
g x b x b x b x b
3 2 1
3 2 1 0
f x a x a x a x a
3 2 1
CHUYÊN ĐỀ CÁC BÀI TOÁN V XÁC ĐỊNH ĐA THỨC
A/ MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN ĐỂ GIẢI LOẠI TOÁN NÀY
1 . Định lý Bézout (Bơdu) về số dư của phép chia đa thức:
Tức là: f(x) = (x - a).g(x) + f(a)
2. Phƣơng pháp hệ số bất định:
thường gây lung túng cho sinh.Nguyên nhân chính học sinh được trang bị đầy đủ các
Trong các đề thi học sinh giỏi, đề thi vào các lớp chuyên toán,có bài toán xác định
2
2
.f x a x bx c
, Xác định các h s a,b,c biết:
0 2; 1 7; 2 14f f f
Theo bài ra ta có:
f(0) = 2
0 c 2 c 2
f(1) = 0
a b 2 7 a b 5
(1)
f(-2) = -14
4a 2b 2 14 2a b 8
(2)
Từ (1) và (2) suy ra: a = -1 và b = 6.
Vậy đa thức cần tìm là: f(x) = -x
2
+ 6x + 2.
Gọi đa thức cần tìm là: f(x) = ax
3
+ bx
3
+ cx +d
Theo bài ra ta có:
f(0) = 1
d = 1
f(1) = 0
a + b + c = -1 (1)
f(2) = 5
4a + 2b + c = 2 (2)
f(3) = 22
9a + 3b + c = 7 (3)
Từ (1), (2), (3) ta có hệ phương trình:
II- MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƢỜNG GẶP
Dạng 1: Xác định đa thức bậc n (n = 2,3,...) khi biết ( n + 1) có giá trị của đa thức:
Ví d 1. Cho đa thức:
Li gii
Ví d 2. Xác định đa thức bậc 3 biết: f(0) = 1; f(1) = 0; f(2) = 5; f(3) = 22
Li gii
Tương tự từ (1) và (3) có :
c
3
x
1
22
x
1
x
3
x
3
c
2
x
1
x
3
c
1
0 6
Trừ theo từng vế của (5) và (6) rồi chia cho
x 
23
x 0
được:
c
2
c
3
x
1
x
2
x
3
0
(7)
c
2
c
3
x
1
x
2
x
4
0
(8)
Trừ theo từng vế của (7) và (8) được:
c
3
x
3
x
4
0 c
0
0
34
xx
x3 x4 0
Thay c3 = 0 vào (8) được c2 = 0. Từ đó và (6) được c1 = 0.
Thay vào (1) được a0 = b0 suy ra đpcm.
Tương tự từ (1), (2), (4) có:
3
739
224
1
cba
cba
cba
Giải ra ta được: a = 1; b = 0; c = -2
Vậy đa thức cần tìm là: f(x) = x
3
- 2x + 1.
2
y f x ax bx c
cho biết f(0)=2010, f(1)=2011, f(-1)=2012,
Tính f(-2)
Li gii
Theo gi thiết ta có:
(0) 2010 2010fc
,
(1) 2011 2011 1f a b c a b  
( 1) 2012 2012 2f a b c a b
=> a =
3
2
, b
1
2
khi đó hàm số có dng
2
31
2010
22
y f x x x
=> f(2) = 2017
* Chú ý: Để xác định được đa thức bậc n thì cần biết n + 1 giá trị của đa thức, còn nếu
chỉ biết n giá trị thì đa thức tìm được có hệ số phụ thuộc một tham số.
* Bài tập áp dụng:
Câu 1. Tìm đa thức bậc 2 biết: f(0) = 4; f(1) = 0; f(-1) = 6
Câu 2. Tìm đa thức bậc 4 biết: f(0) = - 1; f(1) = 2; f(2) = 31; f(2) = 47
Câu 3: Cho đa thức:
2
.f x a x bx c
, Xác dnh a, b, c biết:
2 0, 2 0ff
và a là s
lớn hơn c ba đơn vị.
Câu 4: Cho hàm s
32
f x ax bx cx d
tha mãn:
1
1 2, 0 1, 3, 1 7
2
f f f f



Xác định giá tr a, b, c và d
Câu 5: Xác định đa thức:
32
.P x a x bx cx d
, biết:
0 2017, 1 2, 1 6, 2 6033P P P P
bằng 14.
Tìm đa thức dư của phép chia f(x) cho (x – 1)(x 3)
Cách 1: Gọi thương của phép chia f(x) cho x 1 và cho x 3 theo theo thứ tự là A(x) và
B(x)
Ta có:
Ví d 3. Cho hàm s:
Dạng 2: Xác định đa thức dư khi biết một số phép tính khác
Ví d 3. Đa thức f(x) nếu chia cho x –1 được số dư bằng 4, nếu chia cho x-3 được số dư
Li gii

Chuyên đề xác định đa thức

Chuyên đề xác định đa thức môn Toán lớp 7, 8, 9 được VnDoc sưu tầm và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 7, 8, 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

Đây là tài liệu nâng cao kiến thức về xác định đa thức. Trong các bài tập cơ bản thì bài toán sẽ đưa ra đa thức, việc cần làm của học sinh là sẽ tính giá trị của đa thức đó tại các điểm theo đề bài. Vậy khi bài toán cho giá trị của đa thức tại các điểm và yêu cầu học sinh đi tìm đa thức đó thì bài toán trở nên phức tạp hơn rất nhiều lần. Bởi vậy với tài liệu này sẽ hướng dẫn các bạn học sinh để có thể làm được các dạng toán đi xác định đa thức. Qua đó sẽ giúp cho các bạn học sinh ôn tập và hiểu rõ hơn về Đa thức cũng như ôn luyện thi học sinh giỏi.

Ngoài Chuyên đề về xác định đa thức, mời các bạn học sinh tham khảo thêm các tài liệu như Tổng hợp các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 môn Toán, Chuyên đề số chính phương trong các đề thi học sinh giỏi... mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với chuyên đề này sẽ giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn học tập tốt!

Đánh giá bài viết
1 195
Chuyên đề Toán 9 Xem thêm