VnDoc.com

Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 12 môn Toán năm 2018 - 2019 Sở GD&ĐT Bình Thuận vòng 2

Đề thi chọn HSG môn Toán lớp 12 có đáp án

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BÌNH THUẬN

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề này có 01 trang)

KÌ THI THÀNH LẬP ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI

LỚP 12 THPT DỰ THI QUỐC GIA

NĂM HỌC 2018 – 2019

Ngày thi: 19/10/2018

Môn: Toán

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1. (5 điểm)

Giải phương trình nghiệm nguyên:

 

3 3 2 2 2 2

4 1.

x y x y xy x xy y

      

Bài 2. (5 điểm)

Cho

, 0;

2

x y



 



 

 

. Chứng minh rằng:

 

2 2 2 2 2

2

1 1 1 9

.

sin sin 1 sin cos 1 cos 1

2 sin sin 2 sin 2 sin sin 2 cos

x y x y x

x y x y x y

  

  

 

Bài 3. (5 điểm)

Cho tam giác

ABC

có

AB AC

và nội tiếp đường tròn

 

.O

Phân giác trong góc



BAC

cắt

 

O

tại điểm

D

khác

A

, lấy

E

đối xứng

B

qua

AD

, đường thẳng

BE

cắt

 

O

tại

F

khác

B

. Lấy điểm

G

di chuyển trên cạnh

AC

(

G

khác

,A C

), đường thẳng

BG

cắt

 

O

tại

H

khác

.B

Đường thẳng qua

C

song song

AH

cắt

FD

tại

I

. Đường tròn

ngoại tiếp tam giác

BCG

cắt

EI

tại hai điểm phân biệt

,K L

. Chứng minh rằng đường

trung trực đoạn thẳng

KL

luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 4. (5 điểm)

Cho 2018 tập hợp mà mỗi tập chứa đúng 45 phần tử. Biết rằng hai tập tùy ý trong

các tập này đều có đúng một phần tử chung. Chứng minh rằng tồn tại phần tử thuộc tất cả

2018 tập hợp đã cho.

------------ HẾT -------------

(Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm.)

Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh: . . . . . . . . . .

ĐÁP ÁN KỲ THI THÀNH LẬP ĐỘI TUYỂN HSG

LỚP 12 THPT DỰ THI QUỐC GIA – Năm học 2018 – 2019

LỜI GIẢI TÓM TẮT

ĐIỂM

Bài 1. (5 điểm)

Giải phương trình nghiệm nguyên:

 

3 3 2 2 2 2

4 1.

x y x y xy x xy y

      

Nhận xét:

x y

0,5

 

2 2

2 4 1

x y xy

   

0,5

   

 

3 3 2 2 2 2 2 2

4 1 4 4 1x y x y xy x xy y x y x y xy            

0,5

 

2 2

2 4 1 2 4 4 1 4

xy x y x y xy x y

         

1,5

2 4 3;4;5

x y x y      

0,5

3x y 

không thỏa 0,5

4x y 

không thỏa

0,5

5x y 

tìm được

1; 4x y 

hoặc

4; 1x y 

0,5

Bài 2. (5 điểm)

Cho

, 0;

2

x y



 



 

 

. Chứng minh rằng:

 

2 2 2 2 2

2

1 1 1 9

.

sin sin 1 sin cos 1 cos 1

2 sin sin 2 sin 2 sin sin 2 cos

x y x y x

x y x y x y

  

  

 

Đặt

sin sin , sin cos , cosa x y b x y c x  

thì

, , 0a b c 

và

2 2 2

1a b c  

1,0

Ta cần chứng minh

 

2 2 2

1 1 1 9

.

1 1 c 1 4

a b ab ac bc

  

    

0,5

Thật vậy,

        

2 2 2

1 1 1 1 1 1

1 1 c 1

a b a b a c b c b a c a c b

    

        

 

   

2 a b c

a b a c b c

 



  

1,0

Mà

      

a b a c b c a b c ab ac bc abc        

       



1 8

9 9

a b c ab ac bc a b c ab ac bc a b c ab ac bc              

1,0

Nên

 

2 2 2

1 1 1 9

.

1 1 c 1 4

a b ab ac bc

  

    

1,0

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

1

3

a b c

   

1 1

arccos ,

4

3 3

a b c x y



     

0,5

Bài 3. (5 điểm)

Cho tam giác

ABC

có

AB AC

và nội tiếp đường tròn

 

.O

Phân giác trong góc



BAC

cắt

 

O

tại điểm

D

khác

A

, lấy

E

đối xứng

B

qua

AD

, đường thẳng

BE

cắt

 

O

tại

F

khác

B

. Lấy điểm

G

di chuyển trên cạnh

AC

(

G

khác

,A C

),

đường thẳng

BG

cắt

 

O

tại

H

khác

.B

Đường thẳng qua

C

song song

AH

cắt

FD

tại

I

. Đường tròn ngoại tiếp tam giác

BCG

cắt

EI

tại hai điểm phân biệt

,K L

. Chứng minh rằng đường trung trực đoạn thẳng

KL

luôn đi qua một điểm

cố định.

Gọi giao điểm của đường thẳng

EI

và

BC

là

J

.

0,5

DF

là trục đối xứng của

EC

1,0



 

CEJ ECI HAC HBC  

nên tứ giác

BGEJ

nội tiếp

1,5

Phép nghịch đảo

. .k CE CG CJ CB

C

N

 

biến đường tròn

( )BCG

thành đường thẳng

EJ

nên biến

,K L

thành chính nó.

1,0

Do đó

2 2

CK CL k 

hay đường trung trực đoạn thẳng

KL

luôn đi qua điểm

C

cố định.

1,0

Bài 4. (5 điểm)

Cho 2018 tập hợp mà mỗi tập chứa đúng 45 phần tử. Biết rằng hai tập tùy ý trong

các tập này đều có đúng một phần tử chung. Chứng minh rằng tồn tại phần tử

thuộc tất cả 2018 tập hợp đã cho.

Lấy tập A tùy ý, trong A sẽ có phần tử a thuộc ít nhất 45 tập hợp khác. Nếu

không, số tập hợp không quá 45x44 + 1 = 1981.

1,0

Suy ra a thuộc 46 tập

1 45

, ,...,A A A

. 1,0

Với tập B bất kì, nếu a không thuộc B thì với mỗi tập

 

1 45

i

A i 

đều có phần

tử

i

a

chung với B mà

i

a a

.

1,0

Thành ra B không có phần tử chung với A, nếu có thì phần tử chung đó phải thuộc

tập

 

1 45

i

A i

 

nào đó nên A và

 

1 45

i

A i

 

có 2 phần tử chung. (Vô lí)

1,0

Nên a thuộc B, do đó a thuộc 2018 tập đã cho. 1,0

Đề thi HSG môn Toán lớp 12 năm 2018 - 2019

VnDoc xin giới thiệu tới bạn đọc Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 12 môn Toán năm 2018 - 2019 Sở GD&ĐT Bình Thuận vòng 2. Tài liệu gồm 4 bài toán tự luận, thời gian làm bài 180 phút, đề thi có đáp án. Mời các bạn tham khảo.

-----------------------------

Trên đây VnDoc đã giới thiệu tới các bạn Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 12 môn Toán năm 2018 - 2019 Sở GD&ĐT Bình Thuận vòng 2. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Giải bài tập Toán lớp 12, Giải bài tập Hóa học lớp 12, Giải bài tập Vật Lí 12, Tài liệu học tập lớp 12 mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.