Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 12 năm học 2019 - 2020 Sở GD&ĐT Quảng Bình
Đề thi HSG môn Toán lớp 12 có đáp án
VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu, vbpl miễn phí
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH QUẢNG BÌNH
(Đề thi có 01 trang và 05 câu)
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM 2019 - 2020
Môn thi: TOÁN
LỚP 12 THPT
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1 (2,0 điểm).
a. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
sin cos 1
2 sin2
x x
y
x
+ +
=
+
.
b. Cho hàm số
1
x
y
x
=
-
có đồ thị
( )
C
và điểm
( )
1;1A -
. Tìm các giá trị của m để đường thẳng
( )
: 1d y mx m= - -
cắt đồ thị
( )
C
tại hai điểm phân biệt
,M N
sao cho
2 2
AM AN+
đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 2 (2,0 điểm).
a. Cho hàm số
( )
1
1 2019
x
f x =
+
. Tính tỉ số
P
Q
, với
( ) ( ) ( )
' 1 2 ' 2 ... 2019 ' 2019P f f f= + + +
và
( ) ( ) ( )
' 1 2 ' 2 ... 2019 ' 2019Q f f f= - + - + + -
.
b. Giải phương trình:
( )
2 2
log 3log 3 1 1x x- - =
.
Câu 3 (2,0 điểm).
a. Cho tam giác đều ABC cạnh 8cm. Chia tam giác này thành 64 tam giác
đều cạnh 1cm bởi các đường thẳng song song với các cạnh tam giác ABC
(như hình vẽ). Gọi S là tập hợp các đỉnh của các tam giác cạnh 1cm. Chọn
ngẫu nhiên 4 đỉnh thuộc S. Tính xác suất sao cho 4 đỉnh được chọn là 4 đỉnh
của hình bình hành nằm trong miền trong của tam giác ABC và có cạnh chứa
các cạnh của các tam giác cạnh 1 cm ở trên.
b. Tìm công sai d của cấp số cộng
( )
n
u
có tất cả các số hạng đều dương và thỏa mãn:
( )
1 2 2020 1 2 1010
2 2 2
3 3 3 5 3 14
... 4 ...
log log log 2
u u u u u u
u u u
ì
ï
+ + + = + + +
ï
ï
í
ï
+ + =
ï
ï
î
.
Câu 4 (3,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA
(ABCD), SA = a. Một mặt
phẳng
( )
a
qua CD cắt SA, SB lần lượt tại M, N. Đặt AM = x, với
0 x a< <
.
a. Tứ giác MNCD là hình gì? Tính diện tích tứ giác MNCD theo a và x.
b. Xác định x để thể tích khối chóp S.MNCD bằng
2
9
lần thể tích khối chóp S.ABCD.
VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu, vbpl miễn phí
Câu 5 (1,0 điểm).
a. Cho các số thực phân biệt
, 1a b >
. Chứng minh rằng:
( ) ( )
log log log log
a a b a
b b>
.
b. Cho các số thực
( )
1 2
... 1, 2
n
a a a n> > > > ³
. Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 2 2 1 1
2 3 1
log log log log ... log log log log 0
n n n n
a a a a a a n a a
a a a a
- -
+ + + + >
.
............ HẾT ............
HƯỚNG DẪN GIẢI (THAM KHẢO)
Câu 1a (1,0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
sin cos 1
2 sin2
x x
y
x
+ +
=
+
.
Hướng dẫn
Đặt
2
sin cos 2; 2 sin 2 1x x t x t+ = Î - Þ = -
, khi đó
( )
2
1
, 2; 2
1
t
y f t t
t
+
= = Î -
+
.
Ta có
( )
( )
( )
2 2
1
' ' 0 1
1 1
t
f t f t t
t t
-
= Þ = Þ =
+ +
.
Tính
( ) ( )
( )
1 2 1 2
2 ; 2 , 1 2
3 3
f f f
- +
- = = =
.
Suy ra:
1 2 3
min 2
4
3
y x k
p
p
-
= Û = - +
;
max 2 2 , 2
2
y x k x k
p
p p= Û = = +
.
Câu 1b (1,0 điểm). Cho hàm số
1
x
y
x
=
-
có đồ thị
( )
C
và điểm
( )
1;1A -
. Tìm các giá trị của m để
đường thẳng
( )
: 1d y mx m= - -
cắt đồ thị
( )
C
tại hai điểm phân biệt
,M N
sao cho
2 2
AM AN+
đạt giá trị nhỏ nhất.
Hướng dẫn
Cách 1:
Dễ thấy đường thẳng
( )
: 1d y mx m= - -
luôn đi qua điểm
( )
1; 1I -
là giao điểm của hai đường
tiệm cận. Ta có
( )
2
1
' 0, 1
1
y x
x
= > " ¹
-
nên để đường thẳng
( )
d
cắt
( )
C
tại hai điểm phân biệt
,M N
thì
0m <
. Khi đó
( )
1; 1I -
luôn là trung điểm của đoạn MN.
Ta có
( )
2
2
2 2
2 4 2 32 2AM AN AM AN AM AN AI AM AN AM AN+ = + - = - = -
uuuur uuur uuuur uuur uur uuuur uuur uuuur uuur
(*).
VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu, vbpl miễn phí
Do A cố định nên: nếu ta xét được
AM AN
uuuur uuur
là số dương và trong tam giác AMN có cạnh MN nhỏ
nhất thì tìm được giá trị nhỏ nhất. Mà
( )
C
là Hypebol nên khi
( )
d
là đường phân giác của góc tạo
bởi hai tiệm cận thì
1m = -
và
( )
:d y x= -
cắt
( )
C
tại hai điểm phân biệt
( ) ( )
0;0 , 2; 2M N -
và MN
nhỏ nhất, ta có:
( )( )
1.3 1 3 6 0AM AN = + - - = >
uuuur uuur
, hơn nữa
2 2
32 12 20AM AN+ = - =
. Vậy
( )
2 2
min 20 1AM AN m+ = Û = -
.
Cách 2:
Xét phương trình hoành độ giao điểm của
( )
d
cắt và
( )
C
:
1 , 1
1
x
mx m x
x
- - = ¹
-
2
2 1 0mx mx mÛ - + + =
(vì
1x =
không là nghiệm).
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì
( )
2
0
0
1 0
m
m
m m m
ì
ï
¹
ï
ï
Þ <
í
ï
- + >
ï
ï
î
.
Theo định lý Viet ta có:
1 2
1 2
2
1
x x
m
x x
m
ì
ï
+ =
ï
ï
ï
í
+
ï
=
ï
ï
ï
î
.
Mặt khác
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
2 2
1 2 1 2
1 1 1 2 1 2AM AN x x m x m x+ = + + + + - - + - -
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2
2 2 2
1 2 1 2
2 1
10 1 1 4 1 1 8
m
AM AN m x x m x m x
m
+
+ = - + - + - - - + - +
( )
( ) ( )
2
2 2 2
1 2 1 2 1 2
2 1
18 2 2 2
m
AM AN m x x x x x x
m
+
+ = - + + - - + +
( ) ( )
( )
( )
2 2 2
2 1 2 1
1 1
18 2 16 2 16 4 .
m m
AM AN m m m
m m m
m
+ +
÷
ç
÷
+ = - + - = + - - ³ + -
ç
÷
ç
÷
ç
-
( )
2 2
min 20 1 1AM AN m mÞ + = Û - = Û = -
.
Câu 2a (1,0 điểm). Cho hàm số
( )
1
1 2019
x
f x =
+
. Tính tỉ số
P
Q
, với
( ) ( ) ( )
' 1 2 ' 2 ... 2019 ' 2019P f f f= + + +
và
( ) ( ) ( )
' 1 2 ' 2 ... 2019 ' 2019Q f f f= - + - + + -
.
Hướng dẫn
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
2 2
1 2019 ln 2019 2019 ln 2019
' ' ' ,
1 2019
1 2019 1 2019
x x
x
x x
f x f x f x f x x= Þ = - Þ - = - = " Î
+
+ +
¡
.
Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 12 năm 2020 Sở GD&ĐT Quảng Bình
VnDoc.com xin gửi tới bạn đọc bài viết Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 12 năm học 2019 - 2020 Sở GD&ĐT Quảng Bình để bạn đọc cùng tham khảo và có thêm tài liệu ôn thi kì thi học sinh giỏi sắp tới nhé. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết và tải về tại đây.
- Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2019 - 2020 Sở GD&ĐT Hưng Yên
- Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 12 năm học 2019 - 2020 Sở GD&ĐT Lâm Đồng
Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 12 năm học 2019 - 2020 Sở GD&ĐT Quảng Bình vừa được VnDoc.com sưu tập và xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo. Bài viết gồm có 5 bài toán dạng tự luận, thí sinh làm đề trong thời gian 90 phút và có đáp án kèm theo. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết tại đây.
Trên đây VnDoc.com vừa giới thiệu tới các bạn Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 12 năm học 2019 - 2020 Sở GD&ĐT Quảng Bình, mong rằng qua bài viết này các bạn có thể học tập tốt hơn môn Toán 12. Mời các bạn cùng tham khảo thêm kiến thức các môn Ngữ văn 12, Tiếng Anh 12, đề thi học kì 1 lớp 12, đề thi học kì 2 lớp 12...
