Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2019 - 2020 Sở GD&ĐT Hưng Yên
Đề thi HSG môn Toán lớp 12 có đáp án
VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu vbpl miễn phí
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯNG YÊN
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2019 - 2020
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu I (6,0 điểm).
1. Cho hàm số
3 2
1y x mx= + +
có đồ thị
( )
m
C
. Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng
( )
: 1d y x= -
cắt đồ thị
( )
m
C
tại 3 điểm phân biệt sao cho tiếp tuyến của đồ thị
( )
m
C
tại hai
trong ba điểm đó vuông góc với nhau.
2. Cho hàm số
( )
2
1
2
x
y
x
+
=
+
có đồ thị
( )
C
. Gọi
( ) ( )
1 1 2 2
; , ;A x y B x y
là các điểm cực trị của
( )
C
với
1 2
x x<
. Tìm điểm M trên trục tung sao cho
2 2
2 2T MA MB MA MB= - + -
uuur uuur
đạt giá trị nhỏ
nhất.
Câu II (4,0 điểm).
1. Giải phương trình:
( ) ( )
1 3 3 2 3
1
log 2 2 log 2 1
2
x x
+ +
+ = +
.
2. Cho các số thực
, , 2;8a b c Î
và thỏa mãn điều kiện
64abc =
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức
2 2 2
2 2 2
log log logP a b c= + +
.
Câu III (5,0 điểm).
1. Cho hình chóp S.ABCD có
ABCD
là hình thang cân với
2 ,AD a AB BC CD a= = = =
, cạnh
SA vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của SB và N là điểm thuộc đoạn SD sao cho
2NS ND=
. Biết khoảng cách từ S đến mặt phẳng (AMN) bằng
6 43
43
a
, tính thể tích của khối
chóp S.ABCD theo a.
2. Cho tam giác ABC vuông tại A có
·
60
o
ABC =
. Đường phân giác của góc
·
ABC
cắt AC tại I.
Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC, vẽ nửa đường tròn tâm I tiếp xúc với cạnh BC.
Cho miền tam giác ABC và nửa hình tròn trên quay quanh trục AC tạo thành các khối tròn xoay
có thể tích lần lượt là
1 2
,V V
. Tính tỉ số
1
2
V
V
.
Câu IV (1,0 điểm). Tìm họ nguyên hàm
ln 1
ln 1 1
x
I dx
x x
+
=
+ +
ò
.
Câu V (2,0 điểm). Giải hệ phương trình
2 2
3
2 2 7 3 8
3 8 5 6 12 7
x y y x
xy x xy x y
ì
ï
+ + + = - +
ï
ï
í
ï
- + = - + +
ï
ï
î
.
Câu VI (2,0 điểm). Cho dãy
( )
n
a
xác định
1
2
1
1
1
, 1
2
n n
n
a
n
a a n
+
ì
ï
=
ï
ï
ï
í
+
ï
= + " ³
ï
ï
ï
î
. Tìm số hạng tổng quát
n
a
và tính
lim
n
a
.
............HẾT............
VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu vbpl miễn phí
Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh ...........................................................................Số báo danh .................
Giám thị coi thi ..........................................................................
HƯỚNG DẪN GIẢI THAM KHẢO
Câu I. 1. Cho hàm số
3 2
1y x mx= + +
có đồ thị
( )
m
C
. Tìm các giá trị của tham số m để đường
thẳng
( )
: 1d y x= -
cắt đồ thị
( )
m
C
tại 3 điểm phân biệt sao cho tiếp tuyến của đồ thị
( )
m
C
tại
hai trong ba điểm đó vuông góc với nhau.
Hướng dẫn
Giả sử có ba giao điểm là A, B, C khác nhau, phương trình hoành độ giao điểm là:
( )
( )
3 2
2
0 0; 1
0
1 0 *
x A
x mx x
x mx
é
= Þ -
ê
+ + = Û
ê
+ + =
ê
ë
. Dễ thấy
0 1
A tt
k y= Þ = -
suy ra không có tiếp tuyến
vuông góc nhau tại A. Còn lại hai giao điểm B, C có hoành độ là nghiệm của (*).
Ta có
1 2
1 2
1x x
x x m
ì
ï
=
ï
í
ï
+ = -
ï
î
và để hai tiếp tuyến vuông góc nhau thì
( ) ( )
1 1 2 2
3 2 . 3 2 1x x m x x m+ + = -
2 2 2
9 6 4 1 5 5m m m mÞ - + = - Þ = Þ = ±
, thỏa mãn
2
4 0mD = - >
.
Vậy các giá trị của m là
5m = ±
.
Câu I. 2. Cho hàm số
( )
2
1
2
x
y
x
+
=
+
có đồ thị
( )
C
. Gọi
( ) ( )
1 1 2 2
; , ;A x y B x y
là các điểm cực trị của
( )
C
với
1 2
x x<
. Tìm điểm M trên trục tung sao cho
2 2
2 2T MA MB MA MB= - + -
uuur uuur
đạt giá trị
nhỏ nhất.
Hướng dẫn.
Ta có
( )
1 2
2
1 1
, 2 ' 1 3, 1
2
2
y x x y x x
x
x
= + ¹ - Þ = - Þ = - = -
+
+
là hoành độ các điểm cực
trị hay
( ) ( )
3; 4 , 1;1A B- - -
. Gọi
I
là điểm thỏa mãn
( )
2 0 5; 9IA I B I- = Þ - -
uur uur
.
Khi đó
( ) ( )
2 2
2 2
2 2 2T MA MB MA MB MI IA MI I B MI= - + - = + - + +
uuur uuur uuur uuur uuur uur uuur uur uuur
( ) ( )
2 2
2 2 2 2 2
2 2 5 9 5 9 27 5 32T IA IB MI MI y y= - + + = + + + + + + ³ + =
VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu vbpl miễn phí
Nên
( )
min
32 9 0; 9T y M= Û = - Û -
.
Câu II. 1. Giải phương trình:
( ) ( )
1 3 3 2 3
1
log 2 2 log 2 1
2
x x
+ +
+ = +
.
Hướng dẫn.
PT
( ) ( )
( ) ( )
2
1 3 3 2 3
1
log 2 2 log 2 1 2 2 1 3 3 2 3 1
2
t t
x x t x
+ +
+ = + = Û + = + = + +
( ) ( )
3 2 3 1
1 1 0, 0 , 1
4 2 3 4 2 3
t
t
t t
f t a b a b
+ ÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
Þ = + Û = + - = < <
ç
÷
ç
÷
ç
÷
÷
ç
ç
÷
ç
+ +
, ta có
( )
' ln ln 0,
t t
f t a a b b t= + < "
suy ra
( )
f t
nghịch biên trên
¡
nên
( )
0f t =
có nghiệm duy nhất
1 1 3t x= Þ = +
là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
Câu II. 2. Cho các số thực
, , 2;8a b c Î
và thỏa mãn điều kiện
64abc =
. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức
2 2 2
2 2 2
log log logP a b c= + +
.
Hướng dẫn.
Đặt
2 2 2
log ,log , log , , 1;3 , 6a x b y c z x y z x y z= = = + + =
. Ta cần tìm GTLN của
2 2 2
P x y z= + +
. Không giảm tổng quát ta giả sử
1 3 1;2 , 2;3x y z x z
.
( ) ( )
2
2 2 2 2
6 2 2 6 36 2 12P x z z x z x z x x= + + - - = - - + + -
(Parabol đồng biến đối với z vì
6 5
3 2;
2 2 2
x x-
= - Î
)
( )
2 2 2
2.3 6 6 36 2 12 2 6 18 14P x x x x x- - + + - = - +
( tại
1 2x x= È =
) suy ra
max
14 1, 2, 3P x y z= Û = = =
(loại
1, 2, 3y x z= = =
).
Vậy
max
14 2, 4, 8P a b c= Û = = =
(và các hoán vị).
Câu III. 1. Cho hình chóp S.ABCD có
ABCD
là hình thang cân với
2 ,AD a AB BC CD a= = = =
, cạnh SA vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của SB và N là
điểm thuộc đoạn SD sao cho
2NS ND=
. Biết khoảng cách từ S đến mặt phẳng (AMN) bằng
6 43
43
a
, tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a.
Hướng dẫn.
Gọi E là trung điểm của AD thì dễ dàng chứng minh được ABCE là hình thoi cạnh a, CDE là
tam giác đều cạnh a. Kẻ CH vuông góc với ED thì
3
2
a
CH =
và là đường cao của hình thang
cân ABCD, suy ra
2
3 3
4
ABCD
a
S =
.
Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2019 - 2020 Sở GD&ĐT Hưng Yên
VnDoc.com xin gửi tới bạn đọc bài viết Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2019 - 2020 Sở GD&ĐT Hưng Yên để bạn đọc cùng tham khảo và có thêm tài liệu ôn tập cho kì thi học sinh giỏi sắp tới nhé. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết và tải về tại đây.
- Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán lớp 12 năm học 2019 - 2020 trường THPT Tiên Du 1, Bắc Ninh
- Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2019 - 2020 Sở GD&ĐT Đồng Nai
Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2019 - 2020 Sở GD&ĐT Hưng Yên vừa được VnDoc.com sưu tập và xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo. Bài viết gồm có 6 bài tự luận, thí sinh làm đề trong thời gian 180 phút và có đáp án kèm theo. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết tại đây.
Trên đây VnDoc.com vừa giới thiệu tới các bạn Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2019 - 2020 Sở GD&ĐT Hưng Yên, mong rằng qua bài viết này các bạn có thể học tập tốt hơn môn Toán 12. Mời các bạn cùng tham khảo thêm kiến thức các môn Ngữ văn 12, Tiếng Anh 12, đề thi học kì 1 lớp 12, đề thi học kì 2 lớp 12...
