VnDoc.com

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 THPT chuyên năm học 2019-2020, sở GD&ĐT Vĩnh Phúc

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 có đáp án

SỞ GD

&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12

CHƯƠNG TRÌNH THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2019-2020

ĐỀ TH

I MÔN: TOÁN

Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1.

a) Cho dãy số

 

n

x

được xác định bởi

1

x



và

1

2

3

n

x







với mọi

*

.

n



Chứng

minh rằng dãy số

 

n

x

có

giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó.

b) Tìm tất cả các hàm số xác định, liên tục trong khoảng

 

0;



và th

ỏa mãn:

 

2

2 2

2

3 3

x x

x

f x f

x x

 



 

 

 

 

 

với m

ọi

0.

x



Câu 2.

a) Cho số tự nhiên

2

a



thỏa

mãn

1a 

có ư

ớc nguyên tố lẻ

.p

Ch

ứng minh rằng

 

2

1 .

p

a p





b) Ch

ứng minh rằng tồn tại vô số những số tự nhiên

n

sao

cho

 

20

19 1 .

n





Câu

3. Cho tam giác nhọn

AB

C

có đườ

ng cao AH. Đường tròn nội tiếp

 

I

của ta

m giác

ABC

tiếp xúc với các cạnh

, ,BC CA AB

lần lượt tại

, , .D E F

Đường tròn

 

A

có tâm A bán

kính AE cắt đoạn thẳng AH tại điểm K. Đường thẳng IK cắt đường thẳng BC tại P. Các

đường thẳng DK và PK cắt đường tròn

 

A

lần

lượt tại Q và T khác

.K

a)

Chứng minh rằng tứ giác TDPQ nội tiếp và ba điểm

, ,Q A

P

thẳng hàng.

b) Đường thẳng DK cắt đường tròn

 

I

tại điểm thứ hai là X. Chứng minh rằng ba

đường thẳng

, ,AX

EF TI

đồng quy.

c) Chứng minh rằng đường tròn đường kính AP tiếp xúc với đường tròn

 

.I

Câu

4. Cho

 

P x

là

một đa thức khác hằng số với hệ số thực sao cho tất cả các nghiệm

của nó đều là số thực. Giả sử tồn tại một đa thức

 

Q x

với hệ số thực sao cho

   

 

2

( )

P x

P Q x



với

mọi

.

x



Chứng m

inh rằng tất cả các nghiệm của đa thức

 

P x

đều b

ằng nhau.

Câu 5. Một tập hợp gồm 3 số nguyên dương được gọi là tập Pytago nếu 3 số này là độ

dài ba cạnh của một tam giác vuông. Chứng minh rằng với hai tập Pytago

, P Q

bất

kỳ, ta

luôn tìm được

m

tập Pytago

1 2

, ,..., ( 2)

m

P P P m



sao cho

1

,

m

P P P Q 

và

1i i

P P



 

với

mọi

1 1.

i m

  

------------ HẾT ------------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

ĐỀ CHÍNH THỨC

Họ và tên thí sinh: ……….………..……................…… Số báo danh: ……………………………

FINAL

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12

CHƯƠNG TRÌNH THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2019-2020

HƯỚNG DẪN MÔN: TOÁN

I

.

LƯU Ý CHUNG:

- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học

s

inh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.

- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.

- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần

đó.

I

I.

ĐÁP ÁN:

Câu Ý Nội dung trình bày Điểm

1

a)

Cho dãy số

 

n

x

được

xác định bởi

1

x



và

1

2

3

n

x







với

mọi

*

.

n



Chứng

minh rằng dãy số

 

n

x

có giới

hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

b)

T

ìm tất cả các hàm số xác định và liên tục trong khoảng

 

0

;





s

ao cho

 

2

2 2

,

0

3

x x x

f x f x

x x

  

 



  





 

 

3,0

a

Xét

số b>0 là nghiệm của phương trình

2

3

1.

3

b

b b

b





  



Dễ t

hấy

0, 1

n

x n

  

n

ên ta có:





 

1

2

2 1

0

3 3 3 3 9

n

n n

x x b

b

x

b x b

x

b x b



 





     



  

1,0

Suy

ra

2

1 1 1

0

9 9 9

n

n n n

x

b x b x b x b







  



      



  

   

Do

1

l

im 0

9

n

x

b

 









 

nên theo nguyên lý kẹp suy ra

lim 3 1

n

x b

  

1,0

b

T

a có

   

2

2 2 2 2

3 3 3 3

x x x x x

f

x f f x f x

x x x x

    

   



    



  

   

   

Suy ra

 

2

,

0

3

x x

f x x f x

x x

 

 



   





 

 

Đặt

     

2

,

0 (1)

3

x

g

x f x x g x g x

x



 

     

 

 



0,5

Chọn

0

a



tùy

ý, xét dãy

 

n

x

ác định bởi

*

1

2

;

,

3

n

x

a x n

x





  





.

Hoàn

toàn tương tự phần a) thì

l

im 3 1

n

x

b



 

Từ (1

) suy ra

       

*

1

2

..

. ,

n

g

a g x g x g x n



    



0,25

Do hà

m

 

g

x

l

iên tục trên

 

0

;



nên

 













lim lim 3 1

n

g a g x g x g c    

Suy

ra

 

g

x c



ha

y

(

)

f

x x c





với

mọi

0

.

x



0,25

(Đá

p án có 05 trang)

FINAL

T

hử lại ta thấy hàm số cần tìm là

 

f

x x c





với mọi

0,

x



c l

à hằng số tùy ý.

2

a)

Cho số tự nhiên

2

a



sa

o cho

1a 

có

ước nguyên tố lẻ là

p

.

Chứ

ng

m

inh rằng

2

1

.

p

a

p





b)

Chứng minh rằng tồn tại vô số những số tự nhiên

n

s

ao cho

2019 1 .

n





2,0

a

T

a có

 

2

1 2

1

1 1 ... 1 1

p

p p p p

a

a m m m m m A

 



         

, với

.

p

m a



0,5

Do p lẻ nên

1

p

a

a p





 

1 1 modm p m p

    



.

Do đó

 

1 2

..

. 1 0 mod

p p

A

m m m p p

 



     

0,5

Suy

ra

 

2

1

m

A p





,

tức là

2

1

.

p

a

p





0,5

b

T

rước hết ta chứng minh mệnh đề sau bằng quy nạp theo k: Cho số tự nhiên

2

a



sao

cho

1a 

có

ước nguyên tố lẻ là

p

.

Khi đó

*

1

, (1)

k

p

k

a

p k  





T

heo giả thiết thì ta thấy ngay (1) đúng với

1

.

k



Giả sử (1

) đúng với k, ta chứng minh (1) đúng với

1k 

.

Ta có

 

1

2

1

1 1 ... 1 1

k

p

p p p

a

a m m m m m A







         

,

trong đó

.

k

p

m

a



Th

eo giả thiết quy nạp

1

k

m

p





. Lại

có

 

1

1 mod

m

p m p



  



.

Do đó

 

1

2

... 1 0 mod

p

A m m m p p



      

Suy

ra

 

1

k

m

A p





,

tức là

1

k

p

k

a p





.

Vậy (1) đúng với

1

.

k



0,25

T

rở lại bài toán: Với

2

019

a



thì

1

2020

a





có ước

nguyên tố lẻ là

5

nên t

heo

(1) các số

5

k

n



sẽ t

hỏa mãn

2019 1 .

n





Chú

ý: Nếu học sinh chứng minh trực tiếp

5

*

2

019 1 5 ,

k



 





th

ì vẫn cho tối

đã điểm.

0,25

3

Cho

tam giác nhọn

A

BC

có đường cao

AH

. Đường tròn nội tiếp

 

I

của tam

giác

A

BC

tiếp

xúc với các cạnh

, ,BC CA AB

lần

lượt tại

, , .D E F

Đường

tròn

 

A

có tâm

A

bán kính

A

E

cắt đoạn thẳng

AH

tại điểm K. Đường thẳng IK cắt

đường thẳng BC tại P. Các đường thẳng DK và PK cắt đường tròn

 

A

lần

lượt

tại Q và T khác

.K

a) C

hứng minh rằng tứ giác TDPQ nội tiếp và ba điểm

, ,Q A P

t

hẳng hàng.

b) Đường thẳng DK cắt đường tròn

 

I

tại

điểm thứ hai là X. Chứng minh rằ

ng

ba đườn

g thẳng

,

A

X EF TI

đồng

quy.

c) Chứn

g minh rằng đường tròn đường kính AP tiếp xúc với đường tròn

 

.I

3,0

FINAL

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 có đáp án

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 THPT chuyên năm học 2019-2020, sở GD&ĐT Vĩnh Phúc có kèm theo đáp án được biên soạn theo dạng đề tự luận với 05 bài toán giúp các em ôn luyện và bồi dưỡng kiến thức môn Toán 12.

Đề được đánh giá là rất hay và trọng tâm, chủ yếu bám sát những nội dung kiến thức cơ bản các em đã được học, giúp các em làm quen và cọ sát với các dạng đề cơ bản thường gặp. Các em có thể tự học bài ở nhà và chuẩn bị kiến thức để bước vào kì thi học sinh giỏi. Các em có thể xem thêm đề thi học sinh giỏi lớp 12 của các môn học khác để nâng cao hiệu quả.

VnDoc xin giới thiệu tới các em Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 THPT chuyên năm học 2019-2020, sở GD&ĐT Vĩnh Phúc có kèm theo đáp án. Hi vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích hỗ trợ các em ôn tập thật tốt. Mời các em tham khảo thêm các tài liệu khác tại mục Tài liệu học tập lớp 12 do VnDoc tổng hợp và đăng tải như: Giải bài tập Toán 12, Học tốt Ngữ văn 12, Trắc nghiệm Hóa học 12,...