Đề thi học sinh giỏi lớp 10 khu vực Duyên Hải và đồng bằng Bắc Bộ năm 2013 - 2014

Nhằm giúp các bạn học sinh lớp 9 chuẩn bị thi vào lớp 10 năm học 2014 - 2015. VnDoc.com xin giới thiệu tới bạn đọc: Đề thi học sinh giỏi lớp 10 khu vực Duyên Hải và đồng bằng Bắc Bộ môn Toán.

Đề thi học sinh giỏi lớp 10 khu vực Duyên Hải và đồng bằng Bắc Bộ:

Câu 1 (4 điểm):

Giải phương trình sau trên tập số thực:

Câu 2 (4 điểm):

Cho tam giác ABC (BC < AC). Gọi M là trung điểm của AB, AP vuông góc với BC tại P, BQ vuông góc với AC tại Q. Giả sử đường thẳng PQ cắt đường thẳng AB tại T. Chứng minh rằng TH vuông góc CM, trong đó H là trực tâm tam giác ABC.

Bài 3 (4 điểm):

Cho hàm số f: R → R (R là tập số thực) thỏa mãn (với mọi x thuộc R). Chứng minh rằng tồn tại 3 số thực phân biệt a, b, c sao cho f(a) + f(b) + f(c) = 0.

Bài 4 (4 điểm):

Tìm giá trị lớn nhất của k để bất đẳng thức sau đúng với mọi giá trị a, b, c:

a⁴ + b⁴ + c⁴ + abc(a + b + c) ≥ k(ab + bc + ca)²

Bài 5 (4 điểm):

Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để 2013ⁿ - 1 chia hết cho 2²⁰¹⁴.