Đề thi học sinh giỏi Quốc gia THPT năm 2014

Bài 1 (5.0 điểm).

Cho hai dãy số dương (x_n), (y_n) xác định bởi x₁ = 1, y₁ = √3 và

với mọi n = 1, 2, ... Chứng minh rằng hai dãy số trên hội tụ và tìm giới hạn của chúng.

Bài 2 (5.0 điểm).

Cho đa thức P(x) = (x² - 7x + 6)²ⁿ + 13 với n là số nguyên dương. Chứng minh rằng P(x) không thể biểu diễn được dưới dạng tích của n + 1 đa thức khác hằng số với hệ số nguyên.

Bài 3 (5.0 điểm).

Cho đa giác đều có 103 cạnh. Tô màu đỏ 79 đỉnh của đa giác và tô màu xanh các đỉnh còn lại. Gọi A là số cặp đỉnh đỏ kề nhau và B là số cặp đỉnh xanh kề nhau.

1. Tìm tất cả các giá trị có thể nhận được của cặp (A, B).

2. Xác định số cách tô màu các đỉnh của đa giác để B = 14. Biết rằng, hai cách tô màu được xem là như nhau nếu chúng có thể nhận được từ nhau qua một phép quay quanh tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác.

Bài 4 (5.0 điểm).

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) với AB < AC. Gọi I là trung điểm cung BC không chứa A. Trên AC lấy điểm K khác C sao cho IK = IC. Đường thẳng BK cắt (O) tại D (D # B) và cắt đường thẳng AI tại E. Đường thẳng DI cắt đường thẳng AC tại F.

1. Chứng minh rằng

2. Trên DI lấy điểm M sao cho CM song song với AD. Đường thẳng KM cắt đường thẳng BC tại N. Đường tròn ngoại tiếp tam giác BNK cắt (O) tại P (P # B). Chứng minh rằng đường thẳng PK đi qua trung điểm đoạn thẳng AD.