Đề thi học sinh giỏi Toán thành phố Hà Nội năm 2013 - 2014

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN THÀNH PHỐ HÀ NỘI
Năm học: 2013 - 2014

Thời gian làm bài: 180 phút

Bài 1: (5 điểm)

Cho hàm số y = x³ -3x + 4 có đồ thị (C)

a. Tìm các điểm M, N cùng nằm trên (C) sao cho điểm I(-1/2; 2) là trung điểm của đoạn thẳng MN.

b. Cho ba điểm phân biệt A, B, C cùng thuộc (C). Các tiếp tuyến của (C) tại A, B, C cắt (C) tại điểm thứ hai lần lượt là A'; B'; C'. Chứng minh rằng nếu A, B, C thẳng hàng thì A’, B’, C’ cũng thẳng hàng.

Bài 2: (5 điểm)

a. Giải phương trình:

b. Giải hệ phương trình:

Bài 3: (2 điểm)

Cho các số thực a, b, c sao cho a ≥ 0, b ≥ 0, 0 ≤ c ≤ 1 và a² + b² + c² = 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

Bài 4: (3 điểm)

Trong không gian cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng. Đặt góc xOy = α, góc yOz = β, góc zOx = γ. Lấy các điểm A, B, C lần lượt trên các tia Ox, Oy, Oz sao cho OA = OB = OC = a với a > 0.

a. Gọi M là điểm nằm trên đoạn BC sao cho BM = 2MC và I là trung điểm của đoạn thẳng AM. Tính độ dài đoạn thẳng OI theo α trong trường hợp α = γ = 60^o, β = 90^o

b. Chứng minh rằng: cosα + cosγ + cosβ > -3/2

Bài 5: (3 điểm)

Cho dãy số (u_n) thỏa mãn điều kiện:

a. Chứng minh rằng (u_n) là dãy số tăng

b. Với mỗi n ≥ 1, n thuộc N, đặt . Chứng minh rằng: v₁ + v₂ + ... + v_n < 2014 với mọi n ≥ 1.