VnDoc.com

Tổng hợp kiến thức Hình học lớp 9

Tài liệu môn Toán lớp 9

Tải về

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Loại File: PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

1) Hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông:

*AB

2

= BH. BC ; AC

2

= HC. BC

* AH

2

= BH. HC

* AB. AC = AH. BC

*

*Với 2 góc nhọn

;

* Nếu

*Tỷ số lượng giác của một số góc đặc biệt

Tỷ số

lượng giác

30

0

45

0

60

0

1

2

3

2

Cos

3

2

1

2

Tg

3

1

3

Cotg

3

1

3

3)Giải tam giác vuông :

B

A

C

H

A



Sin

B

a

c

b

A

C

a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác ABC vuông tại A

* b = a.sinB = a.CosC ; c = a. sinC = a. cosB

* b = c.tgB = c.cotgC ; c = b.tgC = b.cotgB

huyền

đối

kề

huyền

đối

kề

đối

*ΔABC vuông tại A  BC =

AB = ; AC =

TỔNG HỢP KIẾN THỨC HÌNH HỌC LỚP 9

CHƯƠNG I: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

AH AB AC

1 1 1

2 2 2



* ΔABC vuông tại A  AB

2

+ AC

2

= BC

2

( Định lý Pythagore thuận, đảo)

2)Tỷ số lượng giác của một góc nhọn :

B





(= )

BC

AB





=

BC

AC

* Sin





=

AB

AC





= ; cot

* tan

AC

AB

* Cos

C



nếu ta có Sin

α



S

i

n

β (hoặc cos



= Cosβ ; tan



= tanβ ; cot



= cotβ

) thì

=





α +

β

=

9

0

thì ta có :

S

in



=

C

o

sβ

;

C

o

sα

=

S

in

β

; tan

α

=

c

o

t

β

; co

t

α

= tan

β

2

BC 3

 ΔABC vuông tại A có

B

= 60

0

 AC =

2

BC

 ΔABC vuông tại A có

C

= 30

0

 AB =

22

BC AB

22

BC AC

22

AB AC

1)Định nghĩa và sự xác định đường tròn:

a) Định nghĩa : Tập hợp các điểm cách điểm O cố định một khoảng không đổi bằng R là đường

tròn tâm O, bán kính R . Kí hiệu : đường tròn ( O; R ) hay đường tròn ( O ) .

b) Vị trí của một điểm đối với đường tròn :

* Điểm M nằm trên đường tròn ( O ; R )  OM = R .

* Điểm M nằm ngoài đường tròn ( O ; R )  OM > R .

* Điểm M nằm trong đường tròn ( O ; R )  OM < R .

* Định lý : Đường kính là dây cung lớn nhất của đường tròn .

Định lí :

* Đường tròn đi qua ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

( Tam giác ABC gọi là tam giác nội tiếp đường tròn )

* Tâm của đường tròn ngoại tiếp t/g là giao điểm các đường trung trực của các cạnh tam giác .

2) Tính chất đối xứng của đường tròn :

* Định lí : Trong một đường tròn :

*Đường thẳng và đường tròn không giao nhau :

- Số điểm chung : 0 ; - Hệ thức : d > R

*Định lí : Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm

của dây đó .

(Đường tròn ( O ) có OM ⊥ AB tại I  I là trung điểm của AB ).

*Định lí đảo : đường kính đi qua trung điểm của một dây (dây không

là đường kính ) thì vuông góc với dây đó . (Đường tròn ( O ) có OM

cắt AB tại I và I là trung điểm của dây AB  OM ⊥ AB tại I )

(Đường tròn ( O )có AB = CD, OI ⊥AB tạiI, OK ⊥CD tại K  OI = OK )

O

d

O

H

d

c) So sánh độ dài dây và đường kính :

d) Sự xác định của đường tròn:

A

B

M

I

O

N

b) Liên hệ giữa dây và khoảng cách đến tâm :

a) Liên hệ giữa đường kính và dây cung:

+ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm

+ Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau

(Đường Tròn (O) có OI ⊥AB tại I, OK⊥CD tại K, OI = OK  AB = CD)

A

B

C

D

O

I

K

3)Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn :

Ghi chú : d = OH là khoảng cách từ tâm đ. tròn ( O, R ) đến đ .thẳng a

*Đường thẳng và đường tròn cắt nhau :

a

- Số điểm chung : 2 ;- Hệ thức : d < R

+Trường hợp này đường thẳng a gọi là cát tuyến của

đường tròn ( O, R )

a

CHƯƠNG II: ĐƯỜNG TRÒN

* Định lí 1:( t/c của tiếp tuyến ) Nếu một đ.thẳng là tiếp tuyến của đ. tròn thì nó vuông góc với

b.kính đi qua t. điểm (Nếu a là tiếp tuyến của đ. tròn tâm O và H là tiếp điểm thì a ⊥OH hay a ⊥d )

* Định lí 2 ( dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến ) Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đưòng tròn

và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường tròn .

( Đường tròn ( O , R ) có OH = R và OH ⊥ a thì a là tiếp tuyến của đường tròn ( O ) ).

* Định lí 3: ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ) Nếu MA và MB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O)

+ Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao

điểm các đường phân giác trong của tam giác .

Ghi chú : d là khoảng cách hai tâm hai đường tròn ( O; R) và

( I ; r ), d = OI, giả sử R > r > 0 .

* Hai đường tròn không giao nhau :

- Số điểm chung : 0 ;-Hệ thức giữa d , R , r :

O

Ở ngoài nhau : d > R + r Đựng nhau : d < R – r Đặc biệt : đồng tâm ( d = 0 )

* Hai đường tròn cắt nhau : - Số điểm chung : 2

- Hệ thức giữa d, R, r là: R – r < d < R + r

+ Tính chất đường nối tâm : Nếu hai đường tròn cắt nhau thì đường

nối tâm vuông góc với dây chung và đi qua trung điểm của dây chung

( Nếu đường tròn (O) và đường tròn (I) cắt nhau tại hai điểm A và B thì

O

a

d

( A và B là hai tiếp điểm ) thì :

+ MA = MB .

+ OM là phân giác của góc AOB

+ MO là phân giác của góc AMB

A

B

C

O

* Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC gọi là đường

tròn nội tiếp tam giác ABC ( Tam giác ABC gọi là tam giác ngoại

tiếp đường tròn )

B

A

I

O

I

O

r

R

F

E

I

O

I

* Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc :

- Số điểm chung : 1 ; - Hệ thức : d = R

+ Trường hợp này đường thẳng a gọi là tiếp tuyến của

đường tròn ( O ; R )

và H gọi là tiếp điểm

H

+ OM ⊥ AB tại I ; I là trung điểm của AB ( OM là trung trực của AB )

O

A

B

M

5) Vị trí tương đối của hai đường tròn :

Hệ thống các kiến thức Hình học lớp 9

Hình học lớp 9 là một trong những nội dung quan trọng nhất trong chương trình Toán THCS, đồng thời cũng là phần kiến thức nền tảng phục vụ trực tiếp cho kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10. Việc nắm chắc các định lý, hệ thức và phương pháp giải trong hình học không chỉ giúp học sinh rèn luyện kỹ năng tư duy logic, mà còn nâng cao khả năng giải quyết các bài toán thực tế. Bài viết này sẽ tổng hợp kiến thức Hình học lớp 9 một cách đầy đủ, khoa học và dễ hiểu, đồng thời gợi ý các bài tập minh họa có đáp án chi tiết để học sinh thuận tiện trong việc ôn tập. Đây chắc chắn sẽ là tài liệu môn Toán lớp 9 hữu ích, hỗ trợ học sinh học tập và luyện thi hiệu quả.

Chương I. Hệ thức lượng trong tam giác

1. Hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH:

Định lý Pythagore: $BC^{2} = AB^{2} + AC^{2}$

Phát biểu thành lời: Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông của tam giác đó.

$AB^{2} = BC.BH$ $AC^{2} = BC.CH$

$AH^{2} = BH.CH$ $AB.AC = BC.AH$ $\frac{1}{AH^{2}} = \frac{1}{AB^{2}} + \frac{1}{AC^{2}}$

2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Hình vẽ minh họa:

$\sin\alpha = \frac{AC}{BC};cos\alpha = \frac{AB}{BC}$

Sin α bằng cạnh đối chia cạnh huyền

cos α bằng cạnh kề trên cạnh huyền

$\tan\alpha = \frac{AC}{AB};cot\alpha = \frac{AB}{AC}$

Tan α bằng cạnh đối trên cạnh kề

Cot α bằng cạnh kề trên cạnh đối

Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cosin góc kia, tang góc này bằng cotang góc kia.

Nếu $\alpha + \beta = 90^{0}$ thì

$\sin\alpha = \cos\beta$ $\cos\alpha = \sin\beta$

$\tan\alpha = \cot\beta$ $\cot\alpha = \tan\beta$

Với hai góc nhọn $\alpha;\beta$ . Nếu ta có: $\sin\alpha = \sin\beta$ (hoặc $\cos\alpha = \cos\beta$ ; $\tan\alpha = \tan\beta$ ; $\cot\alpha = \cot\beta$ ) thì ta có $\alpha = \beta$ .

Bảng tỉ số lượng giác của một số góc đặc biệt:

3. Giải tam giác

Hình vẽ minh họa

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác ABC vuông tại A:

$b = a.sin\widehat{B} = a.cos\widehat{C}$ $c = a.sin\widehat{C} = a.cos\widehat{B}$

$b = c.tan\widehat{B} = c.cot\widehat{C}$ $c = b.tan\widehat{C} = b.cot\widehat{B}$

Tam giác ABC vuông tại A suy ra $BC = \sqrt{AB^{2} + AC^{2}}$

$AB = \sqrt{BC^{2} - AC^{2}};AC = \sqrt{BC^{2} - AB^{2}}$

Tam giác ABC vuông tại A có $\widehat{C} = 30^{0} \Rightarrow AB = \frac{BC}{2}$

Tam giác ABC vuông tại A có $\widehat{B} = 60^{0} \Rightarrow AC = \frac{BC\sqrt{3}}{2}$

Công thức tính diện tích tam giác

$S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2}ab.sin\widehat{C} = \frac{1}{2}bc.sin\widehat{A} = \frac{1}{2}ac.sin\widehat{B}$

Phát biểu thành lời: Diện tích tam giác bằng một nửa tích hai cạnh kề với sin góc xen giữ hai cạnh đó.

$S_{\Delta ABC} = p.r = \frac{abc}{4R}$

R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

R là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Trong tam giác bất kì ta có: $\frac{b}{\sin\widehat{B}} = \frac{a}{\sin\widehat{A}} = \frac{c}{\sin\widehat{C}}$

Chương II. Đường tròn

1. Định nghĩa và sự xác định của đường tròn

a. Định nghĩa: Tập hợp các điểm cách O một khoảng cố định không đổi bằng R là đường tròn tâm O, bán kính R. Kí hiệu: Đường tròn (O: R) hay đường tròn (O)

b. Vị trí của một điểm đối với đường tròn

Điểm M nằm trên đường tròn (O; R) ⇔ OM = R

Điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O; R) ⇔ OM > R

Điểm M nằm bên trong đường tròn (O; R) ⇔ OM < R

c. So sánh độ dài dây và đường kính

Định lý: Đường kính là dây cung lớn nhất của đường tròn:

d. Sự xác định của đường tròn

Định lý: Đường tròn đi qua ba đỉnh A; B; C của tam giác ABC gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tam giác ABC gọi là tam giác nội tiếp đường tròn

Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của ba đường trung trực của các cạnh tam giác.

2. Tính chất đối xứng của đường tròn

a. Liên hệ giữa đường kính và dây cung

Định lý: Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây đó:

(Đường tròn (O) có OM⊥AB tại I => I là trung điểm của AB)

Định lý đảo: Đường kính đi qua trung điểm của một dây (dây không là đường kính) thì vuông góc với dây đó. (Đường tròn (O) có OM cắt AB tại I và I là trung điểm của dây AB => OM⊥AB tại I).

b. Liên hệ giữa dây và khoảng cách đến tâm

Định lý: Trong một đường tròn:

Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm:

(Đường tròn (O) có AB = CD; OI⊥AB tai I, OK⊥CD tại K => OI⊥OK)

Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau

(Đường tròn (O) có OI⊥AB tại I, OK⊥CD tại K; OI = OK => AB = CD)

3. Vị trí của một điểm đối với đường tròn:

a) Điểm M nằm trên đường tròn $(O;R) \Leftrightarrow OM = R$

b) Điểm M nằm ngoài đường tròn $(O;R) \Leftrightarrow OM > R$

c) Điểm M nằm trong đường tròn $(O;R) \Leftrightarrow OM < R$

4. a) Nếu điểm M thuộc đường tròn đường kính AB thì $AMB = 1v = 90^{\circ}$

b) Nếu $\Delta AMB$ vuông tại M thì tâm của đường tròn ngoại tiếp $\Delta AMB$ là trung điểm O của cạnh huyền AB và $OA = OB = OM = \frac{1}{2}AB$

5. Nếu tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh góc vuông $AB = AC = a$ thì bán kính của đường tròn ( $O;R$ ) ngoại tiếp $\bigtriangleup ABC$ là

$OB = OA = OC = R = = \frac{AB\sqrt{2}}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

6. a) Khi đường thẳng a và đường tròn $(O;R)$ có hai điểm chung A và B ta nói đường thẳng a và đường tròn $(O)$ cắt nhau. Đường thẳng a còn gọi là cát tuyến của đường tròn $(O;R)$

b) $OH\bot a$ tại H. Đường thẳng a và đường tròn $(O;R)$ cắt nhau khi và chi khi $OH < R$

7. a) Khi đường thẳng a và đường tròn $(O;R)$ chỉ có một điểm chung C, ta nói đường thẳng a và đường tròn $(O)$ tiếp xúc nhau. Ta còn nói đường thẳng a là tiếp tuyến của đường tròn $(O;R)$ . Điểm C gọi là tiếp điểm

b) $OH\bot a$ tại H, đường thẳng a và đường tròn $(O;R)$ tiếp xúc nhau $\Leftrightarrow OH = R$

8. Đường thẳng a là tiếp tuyến của $(O);C$ là tiếp điểm thì $a\bot OC$

9. Nếu A là điểm chính giữa của cung NM thì $NA = AM$

10. Đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC (Tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn $(O)$ ) thì O chính là giao điểm ba đường phân giác trong cua tam giác của ABC.

11. Đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC (Tam giác ABC nội tiếp đường tròn $(O)$ ) thì O chính là giao điểm ba đường trung trực của tam giác của ABC.

12. Trong một đường tròn hai cung chắn bởi hai dây song song thì bằng nhau.

13)* Trong một đường tròn đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy.

** Trong một đường tròn đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây ấy.

14. Đường tròn (O) có $AB//DC$ (AB và CD là 2 dây) $\Rightarrow AD = BC$

15. Đường tròn (O) có PQ là đường kính; MN là dây cung; $MI = IN$ và $PQ \cap NM = \{ I\} \Rightarrow P$ là điểm chính giữa của cung $NM \Rightarrow PN = PM$

17. Đường tròn (O) có PQ là đường kính; MN là dây có $PN = PM$ và $PQ \cap NM = \{ I\} \Rightarrow I$ là trung điểm của dây NM

18. Trong một đường tròn đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại.

Trong một đường tròn hai cung bị chắn giữa

a) Đường tròn $(O)$ có E là điểm chính giữa của cung $CD \Rightarrow OE\bot CD$

b) Đường tròn $(O)$ có $OE\bot CD(E$ thuộc cung CD $) \Rightarrow E$ là điểm chính giữa của cung CD hay $sdCE = sdED = \frac{1}{2}sdCD$

19. Hình thang ABCD nội tiếp đường tròn $\Leftrightarrow ABCD$ là hình thang cân.

20. Với đa giác đều nội tiếp đường tròn $(O;R)$ :

a) Nếu lục giác đều có cạnh là a thì $a = R$ .

b) Nếu hình vuông có cạnh là $b$ thì $b = R\sqrt{2}$

c) Nếu tam giác đều có cạnh là c thì $c = R\sqrt{3}$ .

Tài liệu quá dài để hiển thị hết — hãy nhấn Tải về để xem trọn bộ!

-------------------------------------------------------------------------

Có thể nói, tổng hợp kiến thức Hình học lớp 9 chính là kim chỉ nam giúp học sinh hệ thống lại toàn bộ chuyên đề trọng tâm như hệ thức lượng trong tam giác vuông, đường tròn, tứ giác nội tiếp, các bài toán thực tế,… Việc học theo hệ thống không chỉ giúp tiết kiệm thời gian ôn tập, mà còn giúp các em dễ dàng nhận diện dạng bài, chọn phương pháp giải phù hợp và hạn chế sai sót. Với tài liệu này, học sinh hoàn toàn có thể tự học ở nhà, củng cố lại phần kiến thức đã học trên lớp và nâng cao khả năng giải toán. Đây cũng là hành trang vững chắc để bước vào kỳ thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán với sự tự tin và kết quả cao nhất.

Tải về

Chọn file muốn tải về: