Giải bài tập SBT Hình học 11 nâng cao bài 1 chương 3

1 265

Toán 11 - Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ

VnDoc xin giới thiệu tới thầy cô và các bạn học sinh tài liệu Giải bài tập SBT Hình học 11 nâng cao bài 1 chương 3, với bộ câu hỏi bài tập kèm theo đáp án sẽ là nguồn thông tin hay để giúp các bạn học sinh có kết quả cao hơn trong học tập.

Giải bài tập SBT Hình học 11 nâng cao bài 1

Câu 1 trang 113 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Cho tứ diện ABCD, M và N là các điểm lần lượt thuộc AB và CD sao cho MA=−2MB,ND=−2NC. Các điểm I, J, K lần lượt thuộc AD, MN, BC sao cho IA=kID,JM=kJN,KB=kKC. Chứng minh rằng các điểm I, J, K thẳng hàng.

Trả lời:

Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ

Cách 1.

Ta có:

IJ= IA+ AM+MJ(1)

IJ=ID+DN+NJ(2)

Từ (1), (3) ta có:

(1−k)IJ=−AM−kDN

hayIJ=1/1−k.AM−k/1−kDN

Chứng minh tương tự như trên, ta có:

JK=1/1−kMB−k/1−kNC

Mặt khác MA=−2MB,ND=−2NC

nên IJ=2/1−kMB−2k/1−k.NC

Từ đó, ta có IJ=2IK

Vậy ba điểm I, J, K thẳng hàng.

Cách 2.

Vì MA=−2MB

nên với điểm O bất kì thì OM=OA+2OB/3

Tương tự

ON=OD+2OC/3OI=OA−kOD/1−k;

OK=OB−kOC/1−k;OJ=OM−kON/1−k.

Từ đó, ta có:

Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ

Mặt khác 1/3+2/3=1

Vậy 3 điểm I, J, K thẳng hàng.

Câu 2 trang 114 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’; các điểm M, N lần lượt thuộc các đường thẳng CA và DC’ sao cho MC−mMA,ND=mNC′. Xác định m để các đường thẳng MN và BD’ song song với nhau. Khi ấy, tính MN biết ˆABC=ˆABB′=ˆCBB′=600 và BA = a, BB’ = b, BC = c.

Trả lời:

Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ

Xác định m:

Đặt BA=a,BB=b,BC=c thì BD′=a+b+c.

Do MC=mMAM nên BM=BC−mBA1/−m=c−ma/1−m

Tương tự, ta có:

BN=BD−mBC′/1−m=a+c−m(b+c)/1−m

=1/1−m.a−m/1−m.b+c.

Từ đó

MN=BN−BM

=1+m/1−ma−m/1−mb−m/1−mc.

Do AC, BD’ chéo nhau và DC’, BD’ chéo nhau nên

MN//BD′⇔MN=kBD′

MN=ka+kb+kc

Mặt khác a,b,c không đồng phẳng nên điều ấy xảy ra khi và chỉ khi:

Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ

1+m=mm=1/2

Từ đó, ta có k=1/3

Vậy m=−1/2 thì MN // BD’.

Tính MN:

Khi ấy MN=1/3(a+b+c)

do đó

MN2→

Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ

hay MN2=1/9(a2+b2+c2+ab+ac+bc)

tức là MN=1/3\sqrt{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}

Câu 3 trang 114 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Cho hình lăng trụ ABC. A’B’C’. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của BB’ và A’C’. Điểm K thuộc B’C’ sao cho KC′=−2KB′. Chứng minh rằng bốn điểm A, I, J, K cùng thuộc một mặt phẳng.

Trả lời

Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ

Đặt AA′=a,AB=b,AC=c

Ta có:

AI=1/2(AB+AB′)

=1/2(b+a+b)

=1/2(a+2b);(1)

AJ=1/2(AA′+−−→AC′)

=1/2(a+a+c)

=1/2(2a+c).(2)

AK=AC′+2AB′/3

=a+c+2(a+b)/3

=3a+2b+c/3.(3)

Từ (1), (2), (3) ta có AK=2/3(AI+AJ)

Vậy KAI,AJ,AK đồng phẳng, tức là các điểm A, I, J, K cùng thuộc một mặt phẳng.

Chú ý: Có thể chứng minh các điểm A, I, J, K thuộc một mặt phẳng bằng cách chứng minh AI và JK cắt nhau tại điểm M.

Câu 4 trang 114 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Một mặt phẳng (P) bất kì không đi qua S, cắt các cạnh bên SA, SB, SC, SD lần lượt tại các điểm A1,B1,C1,D1. Dùng phương pháp vectơ, chứng minh rằng

SA/SA1+SC/SC1=SB/SB1+SD/SD1

Trả lời:

Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ

Vì ABCD là hình bình hành nên

SA+SC=SB+SD

hay SD=SA+SC−SB

Đặt

SA=aSA1,SB=bSB1

SC=cSC1,SD=dSD1

(với a, b, c, d là các số lớn hơn 1)

Khi đó:

SA/SA1+SC/SC1=a+c

SB/SB1+SD/SD1=b+d

SD1=1/d.SD=1/d(SA+SC−SB)

=1/d(aSA1+cSC1−bSB1)

=a/d.SA1+c/d.SC1−b/d.→SB1

Mặt khác các điểm A1,B1,C1,D1 thuộc mặt phẳng, nên từ đẳng thức đó suy ra

a/d+c/d−b/d=1

tức là a + c = b + d

Như vậy SA/SA1+SC/SC1=SB/SB1+SD/SD1

Câu 5 trang 114 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh bằng m, các góc tại A bằng 600 (ˆBAD=ˆA′AB=ˆA′AD=600)(BAD^=A′AB^=A′AD^=600) . Gọi P và Q là các điểm xác định bởi AP=D′A,C′Q=DC'. Chứng minh rằng đường thẳng PQ đi qua trung điểm của cạnh BB’. Tính độ dài đoạn thẳng PQ.

Trả lời:

Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ

Đặt AA′=a,AB=b,AD=c

a.b=b.c=c.a=1/2m2

và a2→=b2→=c2→=m2 .

Gọi M là trung điểm của BB’ thì

MP=MB+BA+AP

Do AP=D′A=−a−c.

nên

MP=−a/2−b−a−c

=−3/2a−b−c

Mặt khác

MQ=MB′+B′C′+C′Q

=MB′+B′C′+DC′

=3/2a+b+c

Như vậy MP=MQ, tức là ba điểm P, M, Q thẳng hàng hay đường thẳng PQ đi qua trung điểm của cạnh BB’.

Ta có:

Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ

Câu 6 trang 114 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi D1,D2,D3 lần lượt là điểm đối xứng của điểm D’ qua A, B’, C. Chứng tỏ rằng B là trọng tâm của tứ diện D1D2D3D′.

Trả lời:

Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ

Cách 1.

Đặt AA′=a,AB=b,AD=c

Từ giả thiết, ta có

BD′+BD1=2BA=−2b

mà BD′=a−b+c

Vậy BD1=−a−b−c.

Lập luận tương tự như trên, ta có BD2=a+b−c

và BD3=−a+b+c

Vậy BD1+BD2+BD3+BD′=0

Điều này chứng tỏ B là trọng tâm của tứ diện D1D2D3D′

Cách 2.

Gọi I là giao điểm của BD’ và mp(AB’C) thì D’I = 2IB.

Gọi J là giao điểm của BD’ với mp (D1D2D3), do D1, D2, D3 là các điểm đối xứng của D’ lần lượt qua A, B’, C nên IJ = ID’ hay D′B=3/4D′J.

Mặt khác I là trọng tâm tam giác AB’C nên J là trọng tâm tam giác D1D2D3. Từ đó B là trọng tâm của tứ diện D1D2D3D′.

Câu 7 trang 114 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi M và N lần lượt là các điểm thuộc AD’ và DB sao cho MA=kMD′,ND=kNB(k≠0,k≠1)

a) Chứng minh rằng MN luôn song song với mp (A’BC).

b) Khi đường thẳng MN song song với đường thẳng A’C, chứng tỏ rằng MN vuông góc với AD’ và DB

Trả lời:

Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ

a) Đặt AA′=a,AB=b,AD=c.

Khi đó, ta có:

a.b=b.c=c.a=0.

và a2→=b2→=c2→.

Vì MA=kMD′ nên MA=k(MA+AD′).

Vậy AM=k/k−1(a+c).

Tương tự như trên, ta có:

AN=AD−kAB/1−k=−k/1−k.b+1.1−k.c.

Từ đó: MN=AN−AM

=1+k/1−k.c+k/1−k(a−b)

hay ′MN=1+k/1−k.BC+k/1−k.BA′.

Như vậy ba vectơ ­MN,BC,BA′ đồng phẳng.

Mặt khác AD’, DB cắt mp(A’BCD’); các điểm M, N lần lượt thuộc AD’, DB với k ≠0, k ≠1 nên MN không thuộc mp(A’BC). Vậy MN song song với mp(A’BC).

b) Ta có A′C=−a+b+c; A’C, AD’ chéo nhau; A’C, BD chéo nhau mà M∈AD′,N∈DB. Do đó, đường thẳng MN song song với đường thẳng A’C khi và chỉ khi MN=mA′C , tức là

k/1−ka−k/1−kb+1+k/1−kc=−ma+mb+mc

Do a,b,c là ba vectơ không đồng phẳng nên đẳng thức trên xảy ra khi bà chỉ khi

Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ

Suy ra −k=1+k⇔k=−1/2

Vậy khi k=−1/2 thì MN song song với A’C.

Khi đó MN=−1/3(a−b−c)

Mặt khác AD′=a+c,DB=b−c

Vậy

MN.AD′=−1/3(a2→−c2→)=0

MN.DB=−1/3(−b2→+c2→)=0

Điều này khẳng định MN vuông góc với AD’ và DB.

Câu 8 trang 114 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Cho hình tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng m. Các điểm M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.

a) Tính độ dài MN.

b) Tính góc giữa đường thẳng MN với các đường thẳng BC, AB và CD.

Trả lời:

Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ

Đặt AD=a,AB=b,AC=c .

Khi đó, ta có:

a.b=b.c=c.a=1/2m2 và a2→=b2→=c2→=m2

a) Vì M, N là trung điểm của AB và CD nên

MN=1/2(AD+BC)

hay MN=1/2(a+c−b)

Vậy

Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ

Tức là MN=m√2/2

b) Ta có

MN.AB=1/2(a+c−b).b

=1/2(a.b+b.c−b→2)=1/2(m2/2+m2/2−m2)=0

Vậy góc giữa hai đường thẳng MN và AB bằng 90°

Ta có:

Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ

Vậy góc giữa hai đường thẳng MN và CD bằng 90°.

Ta có:

Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ

Tức là:

|MN|.|BC|cos⁡(MN,BC)=1/2m2

Từ đó cos(MN,BC)=m2/2/m.m√2/2=√2/2

Vậy góc giữa hai đường thẳng MN và BC bằng 45°.

Câu 9 trang 114 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Cho hình tứ diện ABCD; I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD; M là điểm thuộc AC sao cho MA=k1MC ; N là điểm thuộc BD sao cho NB=k2ND. Chứng minh rằng các điểm I, J, M, N cùng thuộc một mặt phẳng khi và chỉ khi k1 = k2.

Trả lời:

Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ

Vì MA=k1MC

nên IM=IA−k1IC/1−k1

Tương tự, ta có:

IN=IB−k2ID/1−k2=−IA−k2ID/1−k2

Mặt khác: IJ=1/2(IC+ID)

Để các điểm I, I, M, N thuộc một mặt phẳng, điều kiện cần và đủ là ba vectơ IM,IN,IJ đồng phẳng. Rõ ràng là IN và IJ không cùng phương nên điều khẳng định IM,IN,IJ đồng phẳng tương đương với IM=pIN+qIJ

hay

Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ

Do IA,IC,ID không đồng phẳng nên đẳng thức trên tương đương với

Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ

⇒k1/1−k1=−pk2/1−k2=k2/1−k1

hay k1 = k2

Câu 10 trang 115 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng.

a) Đặt ˆxOy=α,ˆyOz=β,ˆzOx=γ. Chứng minh rằng:

cosα+cosβ+cosγ>−3/2

b) Gọi Ox1,Oy1,Oz1 lần lượt là các tia phân giác của các góc xOy, yOz, zOx. Chứng minh rằng nếu Ox1 và Oy1 vuông góc với nhau thì Oz1 vuông góc với cả Ox1 và Oy1.

Trả lời:

Lấy E1,E2,E3 lần lượt thuộc các tia Ox, Oy, Oz sao cho OE1=OE2=OE3.

Đặt OE1=e1,OE2=e2,OE3=e3.

a) Do ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng nên (e1+e2+e3)2>0, tức là

e21+e22+e23+2(e1.e2+e2.e3+e3.e1)>0

⇔3OE21+2OE21(cosα+cosβ+cosγ)>0

Vậy cosα+cosβ+cosγ>−3/2

Dễ thấy

OE1+OE2//Ox1

OE2+OE3//Oy1

OE3+OE1//Oz1

Ox1⊥Oy1⇔(OE1+OE2)(OE2+OE3)=0

hay OE22+OE1.OE2+OE1.OE3+OE2.OE3=0

Ta có:

(OE1+OE2)(OE3+OE1)

=OE12→+OE1.OE2+OE2.OE3+OE1.OE3=0

Vậy Ox1⊥Oz1

Tương tự, ta cũng có Oy1⊥Oz1

-----------------------------------

Trên đây VnDoc.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Giải bài tập SBT Hình học 11 nâng cao bài 1 chương 3. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Sinh học lớp 11, Vật lý lớp 11, Hóa học lớp 11, Giải bài tập Toán 11 mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.

Đánh giá bài viết
1 265
Giải bài tập SBT Toán 11 nâng cao Xem thêm