Giải bài tập Toán 12 Nâng cao Chương 2 bài 1: Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Giải bài tập Toán 12 Nâng cao Chương 2 bài 1: Lũy thừa với số mũ hữu tỉ hướng dẫn các em giải các bài tập trong sách giáo khoa Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích, giúp các em nắm vững kiến thức môn Toán 12.

Tài liệu phục vụ các em làm bài tập ở nhà và chuẩn bị kiến thức cho những kì thi quan trọng trong đó có kì thi THPT Quốc gia. Mời các em tham khảo:

Giải bài 1 trang 75 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

a) Với số thực a và các số nguyên m, n, ta có

a^m.aⁿ= a^m.n; \(\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\)

b) Với hai số thực a, b cùng khác 0 và số nguyên n, ta có:

(a.b)ⁿ= aⁿ.bⁿ ; \(\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}\)

c) Với hai số thực a, b thỏa mãn 0<ad) Với số thực a khác 0 và hai số nguyên m, n, ta có:

Nếu m>n thì $a^m>a^n$.

Giải

a) Sai.

b) Đúng.

c) Sai ( chẳng hạn\(0<2 {2^{ - 3}}\)).
d) Sai ( chẳng hạn 3>2 nhưng \(\left(\frac{1}{2}\right)^3<\left(\frac{1}{2}\right)^2\)

Giải bài 2 trang 75 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích

Xét khẳng định: “Với số thực a và hai số hữu tỉ r, s, ta có ( a^r))⁸= a^r8

Với điều kiện nào trong các điều kiện sau thì khẳng định trên đúng?

(A) a bất kì (B) a≠0

(C) a>0 (D) a<1.

Giải

( C) đúng.

Giải bài 3 trang 76 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích

Viết các số sau dưới dạng số nguyên hay phân số tối giản:

7⁻¹.14; \(\frac{4}{3^{-2}}\);\(\left(\frac{4}{5}\right)^{-2}\); \(\frac{\left(-18\right)^2.5}{^{ }15^2.3}\)

Giải

7⁻¹.14 = \(\frac{14}{7}=2\)

\(\frac{4}{3^{-2}}=4.3^2=36\)

\(\left(\frac{4}{5}\right)^{-2}=\left(\frac{5}{4}\right)^2=\frac{25}{16}\)

\(\frac{\left(-18\right)^2.5}{15^2.3}=\frac{18^2.5}{5^2.3^3}=\frac{2^2.5.3^4}{5^2.3^3}=\frac{2^2.3}{5}=\frac{12}{5}\)

Giải bài 4 trang 76 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích

a) 81^−0,75 +\(\left(\frac{1}{125}\right)^{^{\frac{-1}{3}}}\) − \(\left(\frac{1}{32}\right)^{\frac{-3}{5}}\)

b) \(\left(0,001\right)^{\frac{-1}{3}}\)−(−2)⁻².\(\left(64\right)^{\frac{2}{3}}\)−\(\left(8\right)^{1\frac{1}{3}}\)+(9^o)²

c) \(\left(27\right)^{\frac{2}{3}}\)+\(\left(\frac{1}{16}\right)^{-0,75}\)−25^0,5

d) (−0,5)⁻⁴−625^0,25− \(\left(2\frac{1}{4}\right)^{-1\frac{1}{2}}\)+ 19.(-3)^-3

Giải

a) 81^−0,75+\(\left(\frac{1}{125}\right)^{\frac{-1}{3}}\)−\(\left(\frac{1}{32}\right)^{\frac{-3}{5}}\)= \(\left(3^4\right)^{\frac{-3}{4}}\)+ \(\left(\left(\frac{1}{5}\right)^3\right)^{\frac{-1}{3}}\)-\(\left(\left(\frac{1}{2}\right)^5\right)^{\frac{-3}{5}}\)

=(3)⁻³+\(\left(\frac{1}{5}\right)^{-1}\)−\(\left(\frac{1}{2}\right)^{-3}\)=\(\frac{1}{27}+5-8=\frac{1}{27}-3=\frac{-80}{27}\)

b)\(\left(0,001\right)^{\frac{-1}{3}}\)−(−2)⁻².\(64^{\frac{2}{3}}\)−\(\left(-8\right)^{-1\frac{1}{3}}\)+(9^o)²=\(\left(10^{-3}\right)^{\frac{-1}{3}}\)−2⁻².\(\left(2^6\right)^{^{\frac{2}{3}}}\)−\(\left(2^3\right)^{\frac{-4}{3}}\)+1

=10−2²−2⁻⁴+1=\(7-\frac{1}{16}=\frac{111}{16}\)

c) \(27^{\frac{2}{3}}\)+\(\left(\frac{1}{16}\right)^{-0,75}\)− 25^0,5= \(\left(3^3\right)^{\frac{2}{3}}\)+\(\left(2^{-4}\right)^{\frac{-3}{4}}\)−\(\left(5^2\right)^{\frac{1}{2}}\)= 3²+2³−5=12

d) (−0,5)⁻⁴− 625^0,25−\(\left(2\frac{1}{4}\right)^{-1\frac{1}{2}}\)+19(−3)⁻³=((−2)⁻¹)⁻⁴−\(\left(5^4\right)^{\frac{1}{4}}\)− \(\left(\left(\frac{3}{2}\right)^2\right)^{\frac{-3}{2}}\) + \(\frac{19}{-27}\)

=2⁴−5−\(\left(\frac{3}{2}\right)^{-3}\)− \(\frac{19}{27}\)= 11− \(\frac{8}{27}\)− \(\frac{19}{27}\)= 10.

Giải bài 5 trang 76 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích

Đơn giản biểu thức ( với a, b là những số dương)

a. \(\frac{\left(\sqrt[4]{a^3b^2}\right)^4}{\sqrt[3]{\sqrt{\left(a^{12}b^6\right)}}}\)

b. \(\frac{a^{\frac{1}{3}}-a^{\frac{7}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}-a^{\frac{4}{3}}}-\frac{a^{\frac{-1}{3}}-a^{\frac{5}{3}}}{a^{\frac{2}{3}}+a^{\frac{-1}{3}}}\)

Giải

a.\(\frac{\left(\sqrt[4]{\left(a^3b^2\right)}\right)^4}{\sqrt[3]{\sqrt{a^{12}b^6}}}=\frac{a^3b^2}{\sqrt[6]{\left(a^{12}b^6\right)}}=\frac{a^3b^2}{a^2b}=ab\)

b. \(\frac{a^{\frac{1}{3}}-a^{\frac{7}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}-a^{\frac{4}{3}}}-\frac{a^{\frac{-1}{3}}-a^{\frac{5}{3}}}{a^{\frac{2}{3}}+a^{\frac{-1}{3}}}=\frac{a^{\frac{1}{3}}\left(1-a^2\right)}{a^{\frac{1}{3}}\left(1-a\right)}-\frac{a^{\frac{-1}{3}}\left(1-a^2\right)}{a^{\frac{-1}{3}}\left(a+1\right)}=1+a-\left(1-a\right)=2a\)

Giải bài 6 trang 76 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích

So sánh các số

a. \(\sqrt{2\ }\) và \(\sqrt[3]{3}\)

b. \(\sqrt{3}\) + \(\sqrt[3]{30}\) và \(\sqrt[3]{63}\)

c.\(\sqrt[3]{7}+\sqrt{15}\) và\(\sqrt{10}+\sqrt[3]{28}\)

Giải

a. Ta có \(\left(\sqrt{2}\right)^6=2^3=8;\ \left(\sqrt[3]{3}\right)^6=3^{^2}=9\)

Do 9>8 nên ta có \(\left(\sqrt{2}\right)^{6\ }\)< \(\left(\sqrt[3]{3}\right)^6\) do đó \(\sqrt{2}<\ \sqrt[3]{3}\)

b. \(\sqrt{3}+\sqrt[3]{30}>1+\sqrt[3]{27}=4=\sqrt[3]{64}>\sqrt[3]{63}\)

c. \(\sqrt[3]{7}+\sqrt{15\ }<\ 2+4=3+3<\sqrt{10}+\sqrt[3]{28}\)

Giải bài 7 trang 76 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích

Chứng minh \(\sqrt[3]{\left(7+5\sqrt{2}\right)}+\sqrt[3]{\left(7-5\sqrt{2}\right)}=2\)

Giải

Đặt \(\sqrt[3]{\left(7+5\sqrt{2}\right)}+\sqrt[3]{\left(7-5\sqrt{2}\right)}=x\) ta có

\(x^3=\left(\sqrt[3]{\left(7+5\sqrt{2}\right)}+\sqrt[3]{\left(7-5\sqrt{2}\right)}\right)^3\)= \(7+5\sqrt{2}+7-5\sqrt{2\ }+3\sqrt[3]{\left(7+5\sqrt{2}\right)^2}.\sqrt[3]{\left(7-5\sqrt{2}\right)}+3\sqrt[3]{\left(7+5\sqrt{2}\right)}.\sqrt[3]{\left(7-5\sqrt{2}\right)^2}\)

= 14-3 \(\left(\sqrt[3]{\left(7+5\sqrt{2}\right)}+\sqrt[3]{\left(7-5\sqrt{2}\right)}\right)=14-3x\)

Từ đó suy ra: x³+3x−14=0 (1)

(1)⇔(x−2)(x²+2x+7)=0⇔x−2=0⇔x=2 ( vì x²+2x+7>0)

Vậy \(\sqrt[3]{\left(7+5\sqrt{2}\right)}+\sqrt[3]{\left(7-5\sqrt{2}\right)}=2\)

Giải bài 8 trang 78 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích

Đơn giản biểu thức:

a. \(\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b}}-\frac{\sqrt{a}+\sqrt[4]{ab}}{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}}\)

b. \(\frac{a-b}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}-\frac{a+b}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}\)

c.\(\left(\frac{a+b}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}-\sqrt[3]{ab}\right):\left(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}\right)^2\)

d. \(\frac{a-1}{a^{\frac{3}{4}}+a^{\frac{1}{2}}}.\frac{\sqrt{a}+\sqrt[4]{a}}{\sqrt{a}+1}.a^{\frac{1}{4}}+1\)

Giải

a.\(\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b}}-\frac{\sqrt{a}+\sqrt[4]{ab}}{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}}=\frac{\left(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}\right).\left(\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b}\right)}{\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b}}-\frac{\sqrt[4]{a}\left(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}\right)}{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}}=\sqrt[4]{b}\)

b. \(\frac{a-b}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}-\frac{a+b}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}\)

=\(\frac{\left(\sqrt[3]{a}\right)^3-\left(\sqrt[3]{b}\right)^3}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}-\frac{\left(\sqrt[3]{a}\right)^3+\left(\sqrt[3]{b}\right)^3}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}^{ }\)

= \(\sqrt[3]{a^{2\ }}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}-\left(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab\ }+\sqrt[3]{b^2}\right)=2\sqrt[3]{ab}\)

c. \(\left(\frac{a+b}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}-\sqrt[3]{ab}\right):\left(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}\right)^2=\left(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}-\sqrt[3]{ab}\right):\ \left(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}\right)^{^2}\)

= \(\left(\sqrt[3]{a^2}-2\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}\right):\left(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}\right)^{^2}\)

=\(\left(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}\right)^2:\ \left(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}\right)^2=1\)

d. \(\frac{a-1}{a^{\frac{3}{4}}+a^{\frac{1}{2}}}.\frac{\sqrt{a}+\sqrt[4]{a}}{\sqrt{a}+1}.a^{\frac{1}{4}}+1\)

= \(\frac{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}{\sqrt{a\left(\sqrt[4]{a}+1\right)}}.\frac{\sqrt[4]{a}\left(\sqrt[4]{a}+1\right)}{\sqrt{a}+1}.\sqrt[4]{a}+1\)

= \(\sqrt{a}-1\ +1\ =\sqrt{a}\)

Giải bài 9 trang 78 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích

Từ tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương, chứng minh:

\(\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}.\ \sqrt[n]{b}\) ( a≥0,b≥0 a≥0,b≥0, n nguyên dương)

Giải

Theo tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương, ta có:

\(\left(\sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b}\right)^n=\left(\sqrt[n]{a}\right)^n.\ \left(\sqrt[n]{b}\right)^n=ab\)

Do đó theo định nghĩa căn bậc n của một số, ta có \(\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b}\)

Giải bài 10 trang 78 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích

Chứng minh

a. \(\sqrt{\left(4+2\sqrt{3}\right)}-\sqrt{\left(4-2\sqrt{3}\right)}=2\)

b. \(\sqrt[3]{\left(9+\sqrt{80}\right)}+\sqrt[3]{\left(9-\sqrt{80}\right)}=\ 3\)

Giải

a. Ta có \(4\ \pm\ 2\sqrt{3}=\left(\sqrt{3}\right)^2\ \pm\ 2\sqrt{3}+1=\left(\sqrt{3}\pm1\right)^2\)

nên \(\sqrt{\left(4+2\sqrt{3}\right)}-\sqrt{\left(4-2\sqrt{3}\right)}=\left(\sqrt{3}+1\right)-\left(\sqrt{3}-1\right)=2\)

b. Đặt x=\(\sqrt[3]{\left(9+\sqrt{80}\right)}+\sqrt[3]{\left(9-\sqrt{80}\right)}\)

Ta có: \(x^3=\left(\sqrt[3]{\left(9+\sqrt{80}\right)}+\sqrt[3]{\left(9-\sqrt{80}\right)}\right)^3\)

=\(9+\sqrt{80}+9-\sqrt{80}+3\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}.\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}.x\)

= \(18+3\sqrt[3]{81-80}.x\)

=18 + 3x

Do đó: x³−3x−18=0 (∗)

Mà x³−3x−18=(x−3)(x²+3x+6) nên từ phương trình đã cho suy ra

x=3 (vì x²+3x+6>0,∀x)

Vậy \(\sqrt[3]{\left(9+\sqrt{80}\right)}+\sqrt[3]{\left(9-\sqrt{80}\right)}=3\)

Giải bài 11 trang 78 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích

So sánh các số

a. \(\left(\sqrt{3}\right)^{\frac{5}{6}}\) và \(\sqrt[3]{3^{-1}.\sqrt[4]{\frac{1}{3}}}\)

b. 3⁶⁰⁰ và 5⁴⁰⁰

^{C.\(\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{-5}{7}}\) và \(\sqrt{2}.2^{\frac{3}{14}}\)}

d. 7³⁰ và 4⁴⁰

Giải

a. \(\left(\sqrt{3}\right)^{\frac{-5}{6}}=3^{\frac{-5}{12}}\) và \(\sqrt[3]{3^{-1}.\sqrt[4]{\frac{1}{3}}}=\sqrt[3]{3^{-1}.\frac{1}{3^{\frac{1}{4}}}}=\sqrt[3]{3^{-1}.3^{\frac{-1}{4}}}=\sqrt[3]{3^{\frac{-5}{4}}}=3^{\frac{-5}{12}}\)

vậy \(\left(\sqrt{3}\right)^{\frac{-5}{6}}=\sqrt[3]{3^{-1}.\sqrt[4]{\frac{1}{3}}}\)

b. Ta có: 3⁶⁰⁰=(3³)²⁰⁰=27²⁰⁰ và 5⁴⁰⁰=(5²)²⁰⁰=25²⁰⁰

Vậy 3⁶⁰⁰ > 5⁴⁰⁰

C. Ta có \(\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{-5}{7}}=2^{\frac{5}{7}}\) và \(\sqrt{2}.2^{\frac{3}{14}}=2^{\frac{1}{2}}.2^{\frac{3}{14}}=2^{\frac{1}{2}+\frac{3}{14}}=2^{\frac{5}{7}}\)

Vậy \(\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{-5}{7}}=\sqrt{2}.2^{\frac{3}{14}}\)

d. Ta có: 7³⁰=(7³)¹⁰=343¹⁰

4⁴⁰=(4⁴)¹⁰=256¹⁰

Vậy 7³⁰ >4⁴⁰

VnDoc xin giới thiệu tới các em Giải bài tập Toán 12 Nâng cao Chương 2 bài 1: Lũy thừa với số mũ hữu tỉ. Hi vọng tài liệu sẽ là nguồn tham khảo hữu ích hỗ trợ các em trong quá trình ôn tập môn Toán hiệu quả. Mời các em tham khảo thêm các tài liệu hay khác tại mục Tài liệu học tập lớp 12 do VnDoc tổng hợp và đăng tải. Chúc các em học tốt!