Giải bài tập Toán 12 Nâng cao Chương 1 bài 3: GTLN-GTNN của hàm số

Giải bài tập sgk Toán 12 Nâng cao bài 3 Đại số và Giải tích giúp các em giải các bài tập trong sách giáo khoa Toán 12 nâng cao. Tài liệu hướng dẫn các em làm quen với các dạng bài tập về GTLN, GTNN của hàm số.

Bài 16 trang 22 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích bài 3

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(f\left( x \right) = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x\)

Giải

TXĐ: \(D=\mathbb R\)

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^2} + {\left( {{{\cos }^2}x} \right)^2} + 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x = 1 - {1 \over 2}{\sin ^2}2x \cr}\)

Vì \(0 \le {\sin ^2}2x \le 1 nên: \,\,f\left( x \right) \le 1 với mọi x \in {\mathbb{R}},f\left( 0 \right) = 1. Vậy \mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{x \in {\mathbb {R}}} = 1\)

\(*\,\,\,f\left( x \right) \ge {1 \over 2} với mọi x \in {\mathbb{R}},f\left( {{\pi \over 4}} \right) = 1 - {1 \over 2} = {1 \over 2}\)

Vậy \(\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{x \in {\mathbb {R}}} = {1 \over 2}\)

Bài 17 trang 22 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích bài 3

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a)\(f\left( x \right) = {x^2} + 2x - 5 trên đoạn \left[ { - 2;3} \right]\)

b) \(f\left( x \right) = {{{x^3}} \over 3} + 2{x^2} + 3x - 4\) trên đoạn \(\left[ { - 4;0} \right]\)

c)\(f\left( x \right) = x + {1 \over x}\)trên đoạn \(\left( {0; + \infty } \right)\)

d) \(f\left( x \right) = - {x^2} + 2x + 4\) trên đoạn \(\left[ {2;4} \right]\)

e) \(f\left( x \right) = {{2{x^2} + 5x + 4} \over {x + 2}}\) trên đoạn\(\left[ {0;1} \right]\)

f) \(f\left( x \right) = x - {1 \over x}\)trên đoạn \(\left( {0;2} \right]\)

Giải

a)\(D = \left[ { - 2;3} \right];f'\left( x \right) = 2x + 2;f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x=- 1 \in \left[ { - 2;3} \right]\)

Ta có: \(f\left( { - 2} \right) = - 5;f\left( { - 1} \right) = - 6;f\left( 3 \right) = 10\)

Vậy: \(\mathop {\min \,f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { - 2;3} \right]} = - 6;\,\,\,\,\,\,\mathop {\max \,f\left( x \right) = 10}\limits_{x \in \left[ { - 2;3} \right]}\)

b)

\(D = \left[ { - 4;0} \right];\,f'\left( x \right) = {x^2} + 4x + 3;f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - 1 \in \left[ { - 4;0} \right] \hfill \cr x = - 3 \in \left[ { - 4;0} \right] \hfill \cr} \right.\)

Ta có: \(f\left( { - 4} \right) = - {{16} \over 3};f\left( { - 1} \right) = - {{16} \over 3};f\left( { - 3} \right) = - 4;f\left( 0 \right) = - 4\)

Vậy\(\mathop {\min \,f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { - 4;0} \right]} = - {{16} \over 3};\,\,\mathop {\max \,f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { - 4;0} \right]} = - 4\)

c) \(D = \left( {0; + \infty } \right);f'\left( x \right) = 1 - {1 \over {{x^2}}} = {{{x^2} - 1} \over {{x^2}}}với mọi x \ne 0,f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\)

\(x=1\in \left\{ {0; + \infty } \right.)x=-1\not\in \left\{ {0; + \infty } \right.)\)\)

\(\mathop {\min \,\,f\left( x \right) = f\left( 1 \right)}\limits_{x \in \left( {0; + \infty } \right)} = 2\)

Hàm số không đạt giá trị lớn nhất trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)

d) \(D = \left[ {2;4} \right];f'\left( x \right) = - 2x + 2;f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \notin \left[ {2;4} \right]\)

Ta có: \(f\left( 2 \right) = 4;f\left( 4 \right) = - 4\)

Vậy\(\mathop {\min \,f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ {2;4} \right]} = - 4;\,\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ {2;4} \right]} = 4\)

e)

\(D = \left[ {0;1} \right];f'\left( x \right) = {{2{x^2} + 8x + 6} \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}};f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - 1 \notin \left[ {0;1} \right] \hfill \cr x = - 3 \notin \left[ {0;1} \right] \hfill \cr} \right.\)

Ta có: \(f\left( 0 \right) = 2;f\left( 1 \right) = {{11} \over 3}\)

Vậy\(\mathop {\min \,f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ {0;1} \right]} = 2;\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ {0;1} \right]} = {{11} \over 3}\)

f) \(D = \left( {0;2} \right];f'\left( x \right) = 1 + {1 \over {{x^2}}} > 0 với mọi x \in \left( {0;2} \right];f\left( 2 \right) = {3 \over 2}\)

\(\mathop {\,\max f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ {0;2} \right]} = {3 \over 2} . Hàm số không đạt giá trị nhỏ nhất trên \left( {0;2} \right]\)

Bài 18 trang 22 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích bài 3

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) \(y = 2{\sin ^2}x + 2\sin x - 1\)

b) \(y = {\cos ^2}2x - \sin x\cos x + 4\)

Giải

a) Đặt\(t = \sin x, - 1 \le t \le 1\)

\(y = f\left( t \right) = 2{t^2} + 2t - 1\)

Ta tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( t \right)\)trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\). Đó cũng là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên \(\mathbb R\)

\((f'\left( t \right) = 4t + 2;f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = - {1 \over 2}\)

Ta có: \(f\left( { - 1} \right) = - 1;f\left( { - {1 \over 2}} \right) = - {3 \over 2};f\left( 1 \right) = 3\mathop {\min \,\,f\left( t \right)}\limits_{t \in \left[ { - 1;1} \right]} = - {3 \over 2};\,\,\,\,\,\,\mathop {\max \,\,f\left( t \right)}\limits_{t \in \left[ { - 1;1} \right]} = 3\)

Vậy \(\mathop {\min \,\,y}\limits_{x \in {\mathbb{R}}} = - {3 \over 2};\,\,\,\,\,\,\mathop {\max \,\,y}\limits_{x \in {\mathbb{R}}} = 3\)

b) Ta có: \(y = 1 - {\sin ^2}2x - {1 \over 2}\sin 2x + 4 = - {\sin ^2}2x - {1 \over 2}\sin 2x + 5\)

Đặt \(t = \sin 2x, - 1 \le t \le 1\)

\(y = f\left( t \right) = - {t^2} - {1 \over 2}t + 5;f'\left( t \right) = - 2t - {1 \over 2};f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = - {1 \over 4} \in \left[ { - 1;1} \right]\)

Ta có: \(f\left( { - 1} \right) = {9 \over 2};f\left( { - {1 \over 4}} \right) = {{81} \over {16}};f\left( 1 \right) = {7 \over 2}\)

\(\mathop {\min \,\,f\left( t \right)}\limits_{t \in \left[ { - 1;1} \right]} = {7 \over 2};\,\,\,\,\,\mathop {\max \,\,f\left( t \right)}\limits_{t \in \left[ { - 1;1} \right]} = {{81} \over {16}}\)

Vậy\(\mathop {\min \,\,y}\limits_{x \in {\mathbb{R}}} = {7 \over 2};\,\,\,\,\,\mathop {\max \,\,y}\limits_{x \in {\mathbb{R}}} = {{81} \over {16}}\)

Bài 19 trang 22 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích bài 3

Cho một tam giác đều ABC cạnh a. Người ta dựng một hình chữ nhật MNPQ có cạnh MN nằm trên cạnh BC, hai đỉnh P và Q theo thứ tự nằm trên hai cạnh AC và AB của tam giác. Xác định vị trí của điểm M sao cho hình chữ nhật có diện tích lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó.

Giải

Đặt \(BM = x\left( {0 < x < {a \over 2}} \right)\)

Gọi H là trung điểm BC ta có AH =\({{a\sqrt 3 } \over 2}\)

\(\Delta BMQ = \Delta CNP\,\,\, \Rightarrow BM = NC = x\,\,\, \Rightarrow MN = a - 2x\)

\(QM//AH nên {{QM} \over {AH}} = {{BM} \over {BH}} \Rightarrow QM = {{AH.BM} \over {BH}} = {{{{a\sqrt 3 } \over 2}.x} \over {{a \over 2}}} = x\sqrt 3\)

Diện tích hình chữ nhật MNPQ là

\(S\left( x \right) = MN.QM = \left( {a - 2x} \right).x\sqrt 3 = \sqrt 3 \left( {ax - 2{x^2}} \right)\)

Ta tìm giá trị lớn nhất của \(S\left( x \right)\) trên khoảng \(\left( {0;{a \over 2}} \right)\)

Ta có : \(S'\left( x \right) = \sqrt 3 \left( {a - 4x} \right);S'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = {a \over 4};S\left( {{a \over 4}} \right) = {{\sqrt 3 } \over 8}{a^2}\)

Vậy \(S\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất tại điểm \(x = {a \over 4}\) và giá trị lớn nhất của diện tích hình chữ nhật là:\(\mathop {\max \,\,\,S\left( x \right)}\limits_{x \in \left( {0;{a \over 2}} \right)} = S\left( {{a \over 4}} \right) = {{\sqrt 3 } \over 8}{a^2}\)

Bài 20 trang 22 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích bài 3

Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng: Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng: \(P(n)=480 – 20n^2\)

Hỏi phải thả bao nhiêu cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất?

Giải

Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì sau một vụ, số cá trên mỗi đơn vị diện tích mặt hồ trung bình cân nặng:

Xét hàm số \(f\left( x \right) = 480 - 20{x^2}\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)

(Biến số \(n \in {\mathbb{N}}^*\) được thay bằng biến số \(x \in \left( {0; + \infty } \right))\)

Ta có \(f'\left( x \right) = 480 - 40x;f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 12\)

Bảng biến thiên:

Trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) hàm số f đạt giá trị lớn nhất tại điểm x=12. Từ đó suy ra rằng trên tập\(\mathbb N^*\)các số nguyên dương, hàm số f đạt giá trị lớn nhất tại điểm n=12

Vậy muốn thu hoạch được nhều nhất sau một vụ thì trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ phải thả 12 con cá.

Bài 21 trang 22 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích bài 3

Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) \(f\left( x \right) = {x \over {{x^2} + 1}};\)

b) \(f\left( x \right) = {{{x^3}} \over {x + 1}};\)

c) \(f\left( x \right) = \sqrt {5 - {x^2}} ;\)

d) \(f\left( x \right) = x + \sqrt {{x^2} - 1}\)

Giải

a) TXĐ: \(D = {\mathbb{R}}\)

\(f'\left( x \right) = {{{x^2} + 1 - 2{x^2}} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = {{1 - {x^2}} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}};f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1\,\,\,\,\,\,f\left( 1 \right) = {1 \over 2} \hfill \cr x = - 1\,\,\,f\left( { - 1} \right) = - {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\)

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm X=-1 giá trị cực tiểu \(f\left( { - 1} \right) = - {1 \over 2}\). Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=1\), giá trị cực đại \(f\left( 1 \right) = {1 \over 2}\)

b) TXĐ: \(D = {\mathbb {R}}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)

\(\eqalign{ & f'\left( x \right) = {{3{x^2}\left( {x + 1} \right) - {x^3}} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = {{2{x^3} + 3{x^2}} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \cr & f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2}\left( {2x + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0 \hfill \cr x = - {3 \over 2} \hfill \cr} \right. \cr & f\left( { - {3 \over 2}} \right) = {{27} \over 4} \cr}\)

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x = - {3 \over 2}\), giá trị cực tiểu\(f\left( { - {3 \over 2}} \right) = {{27} \over 4}\)

c) TXĐ:\(D = \left[ { - \sqrt 5 ;\sqrt 5 } \right]\)

\(f'\left( x \right) = {{ - 2x} \over {2\sqrt {5 - {x^2}} }} = {{ - x} \over {\sqrt {5 - {x^2}} }};f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0;f\left( 0 \right) = \sqrt 5\)

Hàm số đạt cực đại tại X=0, giá trị cực đại \((f\left( 0 \right) = \sqrt 5\)

d) \(f\left( x \right)\) xác định khi và chỉ khi \({x^2} - 1 \ge 0\Leftrightarrow x \le - 1hoặc x \ge 1\)

TXĐ:\(D = \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\)

\(f'\left( x \right) = 1 + {x \over {\sqrt {{x^2} - 1} }} = {{\sqrt {{x^2} - 1} + x} \over {\sqrt {{x^2} - 1} }}\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 1} = - x \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \le 0 \hfill \cr {x^2} - 1 = {x^2} \hfill \cr} \right. vô nghiệm\)

\(f'\left( { - 2} \right) < 0 \Rightarrow f'\left( x \right) < 0với mọi x < - 1\)

\(f'\left( { - 2} \right) > 0 \Rightarrow f'\left( x \right) > 2 với mọi x > 1\)

Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; - 1} \right]\) và đồng biến trên\(\left[ {1; + \infty } \right)\)

Hàm số không có cực trị.

Bài 22 trang 23 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích bài 3

Tìm giá trị của m để hàm số \(f\left( x \right) = {{{x^2} + mx - 1} \over {x - 1}}\) có cực đại và cực tiểu.

Giải

TXĐ: \(D = {\mathbb{R}}\backslash \left\{ 1 \right\}\)

\(f'\left( x \right) = {{\left( {2x + m} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} + mx - 1} \right)} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = {{{x^2} - 2x + 1 - m} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 - m = 0 (1)\)\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 - m = 0\) (1)

Hàm số f có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1, tức là

\(\left\{ \matrix{ \Delta ' = m > 0 \hfill \cr {1^2} - 2.1 + 1 - m \ne 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m > 0\).

Vậy m>0 thì hàm số \(f\left( x \right)\) có cực đại và cực tiểu.

Bài 23 trang 23 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích bài 3

Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức: \(G\left( x \right) = 0,025{x^2}\left( {30 - x} \right)\)\(G\left( x \right) = 0,025{x^2}\left( {30 - x} \right)\), trong đó x là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân x được tính bằng miligam. Tính liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất và tính độ giảm đó.

Giải

\(G\left( x \right) = 0,75{x^2} - 0,025{x^3}\);

\(D = \left( {0; + \infty } \right)\)\(D = \left( {0; + \infty } \right)\)

\(G'\left( x \right) = 1,5x - 0,075{x^2};G'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0 hoặc x = 20\)

\(\eqalign{ & \mathop {\max G\left( x \right)}\limits_{x > 0} = G\left( {20} \right) = 100 \cr & \cr}\)

Liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất là 20 mg. Khi đó, độ giảm huyết áp là 100

Bài 24 trang 23 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích bài 3

Cho parabol P \(y = x^2\) và điểm \(A (-3;0)\) Xác định điểm M thuộc parabol P sao cho khoảng cách AM là ngắn nhất và tìm khoảng cách ngắn nhất đó.

Giải

Gọi \(M\left( {x;{x^2}} \right)\)

Ta có: \(A{M^2} = {(x + 3)^2} + {x^4} = {x^4} + {x^2} + 6x + 9\)

AM đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi\(f(x) = {x^4} + {x^2} + 6x + 9\)đạt giá trị nhỏ nhất

Ta có: \(f'(x) = 4{x^3} + 2x + 6 = 2(x + 1)(2{x^2} - 2x + 3)\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = - 1;f\left( { - 1} \right) = 5\)

f đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x=-1, giá trị nhỏ nhất là f(-1) = 5

AM đạt giá trị nhỏ nhất khi M ở vị trí\({M_0}\)\((-1; 1)\) khi đó\(AM_0=\sqrt 5\)

Bài 25 trang 23 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích bài 3

Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt một khoảng cách là 300km. Vận tốc dòng nước là 6km/h. Nếu vận tốc bơi của con cá khi nước đứng yên là v(km/h) thì năng lượng tiêu hao của con cá trong t giờ được cho bởi công thức \(E\left( v \right) = c{v^3}t\), trong đó c là một hằng số, E được tính bằng jun. Tìm vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất.

Giải

Vận tốc của cá hồi khi bơi ngược là \(v – 6 (km/h)\) Thời gian cá bơi để vượt khoảng cách 300km là:\(t = {{300} \over {v- 6}}\,\,\left( h \right)\)

Năng lượng tiêu hao của cá để vượt khoảng cách đó là\(E\left( v \right) = c{v^3}.{{300} \over {v - 6}} = 300c.{{{v^3}} \over {v - 6}} (jun) với v>6\)

Đạo hàm \(E'\left( v \right) = 300c.{{3{v^2}\left( {v - 6} \right) - {v^3}} \over {{{\left( {v - 6} \right)}^2}}} = 300c.{{2{v^3} - 18v} \over {{{\left( {v - 6} \right)}^2}}} = 600c.{{{v^2}\left( {v - 9} \right)} \over {{{\left( {v - 6} \right)}^2}}}\)

Năng lượng cực tiểu khi: \(E'\left( v \right) = 0 \Leftrightarrow v = 9( vì v>6)E\left( 9 \right) = 72900c\)

Bảng biến thiên:

Để ít tiêu hao năng lượng nhất, cá phải bơi với vận tốc ( khi nước đứng yên) là 9 km/h

Bài 26 trang 23 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích bài 3

Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là

\(f\left( t \right) = 45{t^2} - {t^3},t = 0,1,2,...,25\)

Nếu coi f là hàm số xác định trên đoạn \(\left[ {0;25} \right] thì f'\left( t \right)\) được xem là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm t

a) Tính tốc độ truyền bệnh vào ngày thứ 5

b) Xác định ngày mà tốc độ truyền bệnh là lớn nhất và tính tốc độ đó;

c) Xác định các ngày mà tốc độ truyền bệnh lớn hơn 600

d) Xét chiều biến thiên của hàm số f trên đoạn \(\left[ {0;25} \right]\)

Giải

Số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là\(f\left( t \right) = 45{t^2} - {t^3}\) t nguyên và thuộc\(\left[ {0;25} \right]\)

Để xét tốc độ truyền bệnh người ta xem hàm số f xác định trên đoạn \(\left[ {0;25} \right]\)

a) \(f'\left( t \right) = 90t - 3{t^2} = 3t\left( {30 - t} \right)\)

Tốc độ truyền bệnh vào ngày thứ năm là \(f'(5) = 375\) (người/ngày)

b)\(f''\left( t \right) = 90 - 6t;f''\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 15,f'\left( t \right) = 675\)

Tốc độ truyền bệnh là lớn nhất vào ngày 15

Tốc độ đó là \(f'\left( {15} \right) = 675\) (người/ngày)

c)\(f'\left( t \right) > 0 \Leftrightarrow 90t - 3{t^2} > 600 \Leftrightarrow {t^2} - 30t + 200 < 0 \Leftrightarrow 10 < t < 20\)

Từ ngày thứ 11 đến ngày thứ 19, tốc độ truyền bệnh là lớn hơn 600 người mỗi ngày.

Bài 27 trang 24 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích bài 3

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a)\(f\left( x \right) = \sqrt {3 - 2x} trên đoạn \left[ { - 3;1} \right]\)

b) \(f\left( x \right) = x + \sqrt {4 - {x^2}}\)

c) \(f\left( x \right) = {\sin ^4}x + {\cos ^2}x + 2;\)

d)\(f\left( x \right) = x - \sin 2x trên đoan \left[ { - {\pi \over 2};\pi } \right]\)

Giải

a) TXĐ: \(D = \left[ { - 3;1} \right]; f'\left( x \right) = {{ - 1} \over {\sqrt {3 - 2x\,} }} < 0 với mọi x < {3 \over 2}\,\)

Hàm số f nghịch biến trên đoạn \(\left[ { - 3;1} \right]\)

Do đó \(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { - 3;1} \right]} = f\left( { - 3} \right) = 3; \mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { - 3;1} \right]} = f\left( 1 \right) = 1\)

b) TXĐ:\(D = \left[ { - 2;2} \right];f'\left( x \right) = 1 - {x \over {4 - {x^2}}} với x \in \left( { - 2;2} \right)\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 1 - {x \over {4 - {x^2}}} = 0 \Leftrightarrow \sqrt {4 - {x^2}} = x \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 0 < x < 2 \hfill \cr 4 - {x^2} = {x^2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = \sqrt 2\)

Ta có \(f\left( { - 2} \right) = - 2;f\left( {\sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2 ;f\left( 2 \right) = 2\)

Vậy \(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { - 2;2} \right]} = 2\sqrt 2 ;\,\,\,\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { - 2;2} \right]} = - 2\)

c) TXĐ: \(D =\mathbb R\)

Ta có: \(f\left( x \right) = {\sin ^4}x + 1 - {\sin ^2}x + 2 = {\sin ^4}x - {\sin ^2}x + 3\)

Đặt \(t = {\sin ^2}x;0 \le t \le 1\)

Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm \(g\left( t \right) = {t^2} - t + 3\)số trên đoạn \(\left[ {0;1} \right] g'\left( t \right) = 2t - 1;g'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = {1 \over 2}\)

Ta có: \(g\left( 0 \right) = 3;g\left( {{1 \over 2}} \right) = {{11} \over {14}};g\left( 1 \right) = 3\)

Do đó\(: \mathop {\min g\left( t \right)}\limits_{t \in \left[ {0;1} \right]} = {{11} \over {14}};\,\,\,\,\,\,\mathop {\max g\left( t \right)}\limits_{t \in \left[ {0;1} \right]} = 3\)

Vậy\(\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{x \in {\mathbb{R}}} = {{11} \over {14}};\,\,\,\,\,\,\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{x \in {\mathbb{R}}} = 3\)

d) TXĐ:\(D = \left[ { - {\pi \over 2};\pi } \right]\)

\(f'\left( x \right) = 1 - 2\cos 2x;\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = {1 \over 2} = \cos {\pi \over 3} \Leftrightarrow 2x = \pm {\pi \over 3} + k2\pi \Leftrightarrow x = \pm {\pi \over 6} + k\pi ,k \in {\mathbb{Z}}\)

Với\(- {\pi \over 2} < x < \pi ,f'\left( x \right) = 0 tại các điểm - {\pi \over 6},{\pi \over 6} và {{5\pi } \over 6}\)

Ta có\(f\left( { - {\pi \over 6}} \right) = - {\pi \over 6} + {{\sqrt 3 } \over 2};f\left( {{\pi \over 6}} \right) = {\pi \over 6} - {{\sqrt 3 } \over 2};f\left( {{{5\pi } \over 6}} \right) = {{5\pi } \over 6} + {{\sqrt 3 } \over 2}\)
.\(f\left( { - {\pi \over 2}} \right) = - {\pi \over 2};f\left( \pi \right) = \pi\)
So sánh năm giá trị trên ta được:
\(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { - {\pi \over 2};\pi } \right]} = {{5\pi } \over 6} + {{\sqrt 3 } \over 2} và \mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { - {\pi \over 2};\pi } \right]} = - {\pi \over 2}\)

Bài 28 trang 24 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích bài 3

Trong các hình chữ nhật có chu vi là 40cm, hãy xác định hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.

Giải

Gọi x cm là độ dài một cạnh của hình chữ nhật thì cạnh kia có độ dài \(20 – x (cm)\)

Điều kiện: 0<x<20

Diện tích hình chữ nhật là \((S\left( x \right) = x\left( {20 - x} \right) = 20x - {x^2} với x \in \left( {0;20} \right)\)

Ta có \(S'\left( x \right) = 20 - 2x;S'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 10S'\left( x \right) = 20 - 2x;S'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 10\)

\(S\left( {10} \right) = 100\)

Vậy hình chữ nhật có diện tích lớn nhất khi nó là hình vuông có cạnh dài 10 cm

Tài liệu tích hợp các phương pháp giải các bài tập cơ bản bám sát lí thuyết trong chương trình sách giáo khoa, rèn cho các em kĩ năng tư duy môn Toán 12 để các em làm bài hiệu quả. Đây cũng là tài liệu không thể thiếu để các em ôn luyện kiến thức cho các kì thi.

VnDoc xin giới thiệu tới các em Giải bài tập Toán 12 nâng cao bài 3 Đại số và Giải tích. Các em có thể tham khảo thêm tài liệu của các môn học khác tại mục Tài liệu học tập lớp 12 do VnDoc tổng hợp và đăng tải như: Trắc nghiệm Hóa học 12, Trắc nghiệm Tiếng Anh 12, Trắc nghiệm Sinh học 12,...