Giải bài tập Toán Nâng cao 12 bài 4

Giải bài tập sgk Toán 12 Nâng cao bài 4 Đại số và Giải tích là tài liệu hướng dẫn các em giải các bài tập trong sách giáo khoa Toán 12 Nâng cao.Tài liệu được trình bày rõ ràng, chi tiết để các em dễ nắm bắt kiến thức.

Bài 29 trang 27 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích

Xác định đỉnh $I$ của mỗi parabol P sau đây. Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{OI}$ và viết phương trình của parabol P đối với hệ tọa độ $IXY$.

a)$y=2x^2-3x+1$

b)$y=\frac{1}{2}{x}^2-x-3;$

c) $y=x-4x^2$

d)$y=2x^2-5$

Giải

a) $y^{\prime }=4x-3;y^{\prime }=0\iff x=\frac{3}{4};y\left(\frac{3}{4}\right)=-\frac{1}{8}$

Đỉnh $I\left(\frac{3}{4};-\frac{1}{8}\right)$

Công thức chuyển trục tọa độ tịnh tiến theo

$\overrightarrow{OI}:\{\begin{array}{c}x=X+\frac{3}{4}\hfill \\ y=Y-\frac{1}{8}\hfill \end{array}$

Phương trình của P đối với hệ tọa độ $IXY$ là

$Y-\frac{1}{8}=2{\left(X+\frac{3}{4}\right)}^2-3\left(X+\frac{3}{4}\right)+1\iff Y=2X^2$

b) $y^{\prime }=x-1;y^{\prime }=0\iff x=1;y\left(1\right)=-\frac{7}{2}$

Đỉnh $I\left(1;-\frac{7}{2}\right)$

Công thức chuyển trục tọa độ tịnh tiến theo

$\overrightarrow{OI}:\{\begin{array}{c}x=1+X\hfill \\ y=-\frac{7}{2}+Y\hfill \end{array}$

Phương trình của P đối với hệ tọa độ $IXY$ là

$Y-\frac{7}{2}=\frac{1}{2}{\left(X+1\right)}^2-\left(X+1\right)-3\iff Y=\frac{1}{2}{X}^2$

c) $y^{\prime }=1-8x;y^{\prime }=0\iff x=\frac{1}{8};y\left(\frac{1}{8}\right)=\frac{1}{16}$

Đỉnh $I\left(\frac{1}{8};\frac{1}{16}\right)$

Công thức chuyển trục tọa độ tịnh tiến theo

$\overrightarrow{OI}:\{\begin{array}{c}x=X+\frac{1}{8}\hfill \\ y=Y+\frac{1}{16}\hfill \end{array}$

Phương trình của P đối với hệ tọa độ IXY là

$Y+\frac{1}{16}=X+\frac{1}{8}-4{\left(X+\frac{1}{8}\right)}^2\iff Y=-4X^2$

d) $y^{\prime }=4x;y^{\prime }=0\iff x=0;y\left(0\right)=-5$

Đỉnh $I\left(0;-5\right)$

Công thức chuyển trục tọa độ tịnh tiến theo

$\overrightarrow{OI}:\{\begin{array}{c}x=X\hfill \\ y=Y-5\hfill \end{array}$

Phương trình của P đối với hệ tọa độ IXY là

$Y-5=2X^2-5\iff Y=2X^2$

Bài 30 trang 27 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích

Cho hàm số $f\left(x\right)=x^3-3x^2+1$

a) Xác định điểm I thuộc đồ thị C của hàm số đã cho biết rằng hoành độ của điểm I là nghiệm của phương trình $f^{″}\left(x\right)=0$
b) Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép định tiến theo vectơ $\overrightarrow{OI}$ và viết phương trình của đường cong C đối với hệ tọa độ IXY. Từ đó suy ra rằng I là tâm đối xứng của đường cong C

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong C tại điểm I đối với hệ tọa độ Oxy. Chứng minh rằng trên khoảng$\left(-\mathrm{\infty };1\right)$ đường cong C nằm phía dưới tiếp tuyến tại I của C và trên khoảng $\left(1;+\mathrm{\infty }\right)$ đường cong C nằm phía trên tiếp tuyến đó.

Hướng dẫn: Trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };1\right)$, đường cong C nằm phía dưới tiếp tuyến$y=ax+b$ nếu $f\left(x\right)<ax+bvớimọix<1$

Giải

a) $f^{\prime }\left(x\right)=3x^2-6x;f^{″}\left(x\right)=6x-6(f^{″}\left(x\right)=0\iff x=1;f\left(1\right)=-1$

Vậy $I\left(1;-1\right)$
b) Công thức chuyển trục tọa độ tịnh tiến theo $\overrightarrow{OI}$ là

$\{\begin{array}{c}x=X+1\hfill \\ y=Y-1\hfill \end{array}$

Phương trình đường cong C đối với hệ tọa độ IXY là

$\begin{array}{rl}& Y-1={\left(X+1\right)}^3-3{\left(X+1\right)}^2+1\\ & =X^3+3X^2+3X+1-3X^2-6X-3+1\iff Y=X^3-3X\end{array}$

Vì đây là một hàm số lẻ nên đồ thị C của nó nhận gốc tọa độ I làm tâm đối xứng.

c) Phương trình tiếp tuyến của đường cong C tại điểm I đối với hệ trục tọa độ $Oxy$ là:

Đặt

$g\left(x\right)=-3x+2f\left(x\right)-g\left(x\right)=x^3-3x^2+1-\left(-3x+2\right)=x^3-3x^2+3x-1={\left(x-1\right)}^3$
Vì $f\left(x\right)-g\left(x\right)<0vớix<1$

Do đó trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };1\right),(C)$ nằm phía dưới tiếp tuyến tại I của C và trên khoảng $\left(1;+\mathrm{\infty }\right)$, C nằm phía trên tiếp tuyến đó.

Bài 31 trang 27 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích

Cho đường cong C có phương trình là $y=2-\frac{1}{x+2}$ và điểm $I\left(-2;2\right)$. Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{OI}$ và viết phương trình của đường cong C đối với hệ tọa độ IXY. Từ đó suy ra I là tâm đối xứng của C.

Giải

Công thức chuyển trục tọa độ tịnh tiến theo $\overrightarrow{OI}$

$\{\begin{array}{c}x=X-2\hfill \\ y=Y+2\hfill \end{array}$

Phương trình của đường cong C đối với hệ tọa độ IXY

$Y+2=2-\frac{1}{X-2+2}\iff Y=\frac{-1}{X}$

Đây là hàm số lẻ nên đồ thị C nhận gốc tọa độ I làm tâm đối xứng.

Bài 32 trang 28 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích

a)$y=\frac{2}{x-1}+1;$

b) $y=\frac{3x-2}{x+1}$
Hướng dẫn: Viết công thức đã cho dưới dạng $y=3-\frac{5}{x+1}$

Giải

a) Ta có: $y=\frac{2}{x-1}+1\iff y-1=\frac{2}{x-1}$

Đặt

$\{\begin{array}{c}y-1=Y\hfill \\ x-1=X\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}y=Y+1\hfill \\ x=X+1\hfill \end{array}$

Đây là công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{OI}vớiI(1;1)$
Khi đó $Y=\frac{2}{X}$là phương trình của (C) nhận gốc tọa độ I làm tâm đối xứng.
b) Ta có $y=\frac{3x-2}{x+1}=\frac{3\left(x+1\right)-5}{x+1}=3-\frac{5}{x+1}\iff y-3=\frac{-5}{x+1}$

Đặt

$\{\begin{array}{c}x+1=X\hfill \\ y-3=Y\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=X-1\hfill \\ y=Y+3\hfill \end{array}$

Đây là công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo$\overrightarrow{OI}vớiI(-3;3)$và $Y=\frac{-5}{X}$ là phương trình của (C) đối với hệ tọa độ IXY $Y=\frac{-5}{X}$ là hàm lẻ nên đồ thị (C) nhận gốc tọa độ I làm tâm đối xứng.

Bài 33 trang 28 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích

Cho đường cong C có phương trình $y=ax+b+\frac{c}{x-x_o}$ trong đó $a\ne 0,c\ne 0$ và điểm$I\left(x_o;y_o\right)$ thỏa mãn: $y_o=a{x}_o+b$ . Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{OI}$ và phương trình của C đối với hệ tọa độ IXY. Từ đó suy ra rằng I là tâm đối xứng của đường cong C

Giải

Ta có:

$y=ax+b+\frac{c}{x-x_o}\iff y=a\left(x-x_o\right)+a{x}_o+b+\frac{c}{x-x_o}\iff y-y_o=a\left(x-x_o\right)+\frac{c}{x-x_o}$

Đặt

$\{\begin{array}{c}x-x_o=X\hfill \\ y-y_o=Y\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=X+x_o\hfill \\ y=Y+y_o\hfill \end{array}$

Đây là công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{OI}$ với $I\left(x_o;y_o\right)$ và $Y=X+\frac{c}{X}$ là phương trình của C đối với hệ tọa độ IXY, $Y=aX+\frac{c}{X}$ là hàm số lẻ nên đồ thị C nhận gốc tọa độ I làm tâm đối xứng.

Tài liệu giúp các em củng cố và những kiến thức đã được học, các em có thể tham khảo để tự học bài ở nhà, trang bị kiến thức cho mình để tự tin bước vào các kì thi với tâm lí sẵn sàng nhất. Để quá trình làm bài được hiệu quả các em có thể tham khảo thêm Toán 12. Hi vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các ôn luyện và nâng cao kĩ năng tư duy.

VnDoc xin giới thiệu tới các em Giải bài tập Toán 12 nâng cao bài 4 Đại số và Giải tích. Các em có thể tham khảo thêm tài liệu của các môn học khác tại mục Tài liệu học tập lớp 12 do VnDoc tổng hợp và đăng tải như: Trắc nghiệm Hóa học 12, Trắc nghiệm Tiếng Anh 12, Trắc nghiệm Sinh học 12,...