VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Ôn thi vào 10 môn Toán: Bất đẳng thức và các câu toán cực trị

Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 30 câu
Điểm số bài kiểm tra: 30 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

00:00:00

Câu 1: Thông hiểu
Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn
Tìm nghiệm của bất phương trình $\frac{2x + 3}{5} - \frac{1}{2} \geq 0$ ?
- A.
  $x \geq \frac{- 1}{4}$
- B.
  $x \leq - \frac{2}{3}$
- C.
  $x \leq \frac{- 1}{4}$
- D.
  $x \geq - \frac{2}{3}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\frac{2x + 3}{5} - \frac{1}{2} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{2(2x + 3)}{2.5} - \frac{5}{10} \geq 0$

$\Leftrightarrow 4x + 1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq - \frac{1}{4}$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x \geq - \frac{1}{4}$ .
Câu 2: Thông hiểu
Giải bất phương trình và tìm nghiệm nguyên lớn nhất
Nghiệm nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình $4(2 - 3x) - (4 - 2x) > 10 - 3x$ là:
- A.
  $x = 1$
- B.
  $x = - 1$
- C.
  $x = - 2$
- D.
  $x = 0$
Hướng dẫn:
Ta có:

$4(2 - 3x) - (4 - 2x) > 10 - 3x$

$\Leftrightarrow 8 - 12x - 4 + 2x > 10 - 3x$

$\Leftrightarrow 4 - 10x > 10 - 3x \Leftrightarrow - 7x > 6 \Leftrightarrow x < - \frac{6}{7}$

Vậy nghiệm nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình là x = -1.
Câu 3: Thông hiểu
Xác định nghiệm của bất phương trình
Bất phương trình $3(x + 6) - 2(x - 2) < 4(x + 1)$ có nghiệm là:
- A.
  $x > 6$
- B.
  $x \leq 6$
- C.
  $x < 6$
- D.
  $x \geq 6$
Hướng dẫn:
Ta có:

$3(x + 6) - 2(x - 2) < 4(x + 1)$

$\Leftrightarrow 3x + 18 - 2x + 4 < 4x + 4$

$\Leftrightarrow 3x - 4x - 2x < 4 - 18 - 4$

$\Leftrightarrow - 3x < - 18 \Leftrightarrow x > 6$

Vậy bất phương trình có nghiệm $x > 6$ .
Câu 4: Thông hiểu
Tìm m thỏa mãn yêu cầu đề bài
Xác định giá trị tham số m để $x = 3$ là nghiệm của bất phương trình $2\sqrt{2x + 10} - mx \leq 4(x - 2)$ ?
- A.
  $m \geq \frac{3}{4}$
- B.
  $m \leq \frac{3}{4}$
- C.
  $m \leq \frac{4}{3}$
- D.
  $m \geq \frac{4}{3}$
Hướng dẫn:
Thay $x = 3$ vào bất phương trình $2\sqrt{2x + 10} - mx \leq 4(x - 2)$ ta được:

$2\sqrt{2.3 + 10} - m.3 \leq 4(3 - 2)$

$\Leftrightarrow - 3m \leq - 4 \Leftrightarrow m \geq \frac{4}{3}$

Vậy $m \geq \frac{4}{3}$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 5: Vận dụng
Tính đoạn đường tối thiểu mà người đó đã đi
Một người đi bộ một quãng đường dài 18 km trong khoảng thời gian không quá 4 giờ. Lúc đầu người đó đi với vận tốc 5km/h về sau đi với vận tốc 4km/h. Hỏi đoạn đường tối thiểu mà người đó đã đi với vận tốc 5km/h bằng bao nhiêu?
- A.
  $5km$
- B.
  $8km$
- C.
  $7km$
- D.
  $10km$
Hướng dẫn:
Gọi độ dài đoạn đường tối thiểu mà người đó đi được với vận tốc 5 km/h là x (km).
Điều kiện: 0 < x < 18.
Thời gian người đó đi với vận tốc 5 km/h là $\frac{x}{5}$ giờ
Quãng đường còn lại người đó đi với vận tốc 4 km/h là 18 − x (km).
Thời gian người đó đi với vận tốc 4 km/h là $\frac{18 - x}{4}$ giờ.
Do tổng thời gian đi bộ không quá 4 giờ nên ta có bất phương trình $\frac{x}{5} + \frac{18 - x}{4} \leq4$ .
Giải ra ta được x ≥ 10.
Kết hợp điều kiện ta được 10 ≤ x < 18.
Vậy độ dài tối thiểu mà người đó đi được với vận tốc 5 km/h là 10 km.
Câu 6: Vận dụng

Điền đáp án vào chỗ trống

Một người cần di chuyển đến địa điểm A, người đó bắt GrabCar để đi. Biết rằng khi đi GrabCar giá sẽ rẻ gấp đôi mỗi kilomet so với taxi truyền thống nhưng sẽ chịu giá mở xe là 5000 đồng (giá mở cửa xe là khi bạn đặt xe dù đi hay không tài khoản sẽ tự động trừ tiền). Biết rằng số tiền người đó phải trả là số tròn chục nghìn, số tiền đó lớn hơn 25000 đồng và nhỏ hơn 35000 đồng. Tính số tiền nếu người đó đi xe taxi truyền thống đến A?

Số tiền cần tìm là: 50000 đồng.

Đáp án là:

Một người cần di chuyển đến địa điểm A, người đó bắt GrabCar để đi. Biết rằng khi đi GrabCar giá sẽ rẻ gấp đôi mỗi kilomet so với taxi truyền thống nhưng sẽ chịu giá mở xe là 5000 đồng (giá mở cửa xe là khi bạn đặt xe dù đi hay không tài khoản sẽ tự động trừ tiền). Biết rằng số tiền người đó phải trả là số tròn chục nghìn, số tiền đó lớn hơn 25000 đồng và nhỏ hơn 35000 đồng. Tính số tiền nếu người đó đi xe taxi truyền thống đến A?

Số tiền cần tìm là: 50000 đồng.

Gọi số tiền người đó phải trả khi đi xe truyền thống là x (đồng)

Theo giả thiết, số tiền người đó phải trả khi di Grab là $\frac{x}{2} + 500$ đồng

Mà $25000 < \frac{x}{2} + 500 < 35000$ và đó là số tiền tròn chục nên suy ra $\frac{x}{2} + 5000 = 30000$

Từ đó tìm được $x = 50000$ đồng.
Câu 7: Vận dụng
Chọn kết luận đúng
Giải bất phương trình $\frac{x^{2} + 5}{x - 3} \leq 0$ . Kết luận nào sau đây đúng?
- A.
  $x \geq 3$
- B.
  $x > 3$
- C.
  $x \leq 3$
- D.
  $x < 3$
Hướng dẫn:
Điều kiện xác định $x eq 3$

Ta có:

$\frac{x^{2} + 5}{x - 3} \leq 0 \Leftrightarrow x - 3 < 0$ (vì $x^{2} + 5 \geq 0\forall x\mathbb{\in R}$ và $x - 3 eq 0$ )

$\Leftrightarrow x < 3$

Vậy kết luận đúng là $x < 3$ .
Câu 8: Vận dụng

Ghi lời giải bài toán vào ô trống

Để lập đội tuyển năng khiếu về bóng rổ của trường THCS Nguyễn Hiền, thầy Nam đưa ra quy định tuyển chọn như sau: mỗi bạn dự tuyển sẽ được ném 15 quả bóng vào rổ, quả bóng vào rổ được cộng 2 điểm; quả bóng ném ra ngoài bị trừ 1 điểm. Nếu bạn nào có số điểm từ 15 điểm trở lên thì sẽ được chọn vào đội tuyển. Hỏi một học sinh muốn được chọn vào đội tuyển thì phải ném ít nhất bao nhiêu quả vào rổ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Để lập đội tuyển năng khiếu về bóng rổ của trường THCS Nguyễn Hiền, thầy Nam đưa ra quy định tuyển chọn như sau: mỗi bạn dự tuyển sẽ được ném 15 quả bóng vào rổ, quả bóng vào rổ được cộng 2 điểm; quả bóng ném ra ngoài bị trừ 1 điểm. Nếu bạn nào có số điểm từ 15 điểm trở lên thì sẽ được chọn vào đội tuyển. Hỏi một học sinh muốn được chọn vào đội tuyển thì phải ném ít nhất bao nhiêu quả vào rổ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 9: Vận dụng
Tìm x để biểu thức không âm
Với điều kiện nào của x thì biểu thức $B = \frac{2x - 4}{3 - x}$ nhận giá trị không âm?
- A.
  $2 < x < 3$
- B.
  $2 \leq x < 3$
- C.
  $2 < x \leq 3$
- D.
  $2 \leq x \leq 3$
Hướng dẫn:
Điều kiện xác định $x eq 3$

Để biểu thức $B = \frac{2x - 4}{3 - x}$ nhận giá trị không âm thì $\frac{2x - 4}{3 - x} \geq 0$ có hai trường hợp xảy ra:

TH1: $\left\{ \begin{matrix} 2x - 4 \geq 0 \\ 3 - x > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 2 \\ x < 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow 2 \leq x < 3$

TH2: $\left\{ \begin{matrix} 2x - 4 \leq 0 \\ 3 - x < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \leq 2 \\ x > 3 \\ \end{matrix} ight.$ (vô lí)

Vậy để biểu thức $B = \frac{2x - 4}{3 - x}$ nhận giá trị không âm thì $2 \leq x < 3$ .
Câu 10: Vận dụng
Tìm x để biểu thức A dương
Cho biểu thức $A = \left( \frac{1}{1 - x} + \frac{2}{x + 1} - \frac{5 - x}{1 - x^{2}} ight):\frac{1 - 2x}{x^{2} - 1}$ . Tìm x để $A > 0$ ?
- A.
  $x > \frac{1}{2};x eq 1$
- B.
  $x < \frac{1}{2}$
- C.
  $x < \frac{1}{2};x eq - 1$
- D.
  $x > \frac{1}{2}$
Hướng dẫn:
Điều kiện $x eq \pm 1$

Ta có:

$A = \left( \frac{1}{1 - x} + \frac{2}{x + 1} - \frac{5 - x}{1 - x^{2}} ight):\frac{1 - 2x}{x^{2} - 1}$

$A = \left\lbrack \frac{1}{1 - x} + \frac{2}{x + 1} - \frac{5 - x}{(1 - x)(1 + x)} ightbrack:\frac{1 - 2x}{x^{2} - 1}$

$A = \left\lbrack \frac{x + 1 + 2(1 - x) - 5 + x}{(1 - x)(1 + x)} ightbrack:\frac{1 - 2x}{x^{2} - 1}$

$A = \frac{- 2}{(1 - x)(1 + x)}.\frac{x^{2} - 1}{1 - 2x}$

$A = \frac{2}{x^{2} - 1}.\frac{x^{2} - 1}{1 - 2x} = \frac{2}{1 - 2x}$

Để $A > 0 \Leftrightarrow \frac{2}{1 - 2x} > 0$

Vì $2 > 0 \Rightarrow 1 - 2x > 0 \Leftrightarrow - 2x > - 1 \Leftrightarrow x < \frac{1}{2}$

Kết hợp với điều kiện đề bài ta suy ra $x < \frac{1}{2};x eq - 1$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Vậy $x < \frac{1}{2};x eq - 1$ là các giá trị cần tìm.
Câu 11: Vận dụng
Tìm x để biểu thức nhỏ hơn 0
Cho biểu thức $A = \frac{x^{2} + 6x + 9}{x^{3} + 27}:\frac{- x^{3} + 3x^{2} + 9x - 27}{x^{2} - 6x + 9}$ . Tìm x để $A < 0$ ?
- A.
  $x < - 3$
- B.
  $x > 3$
- C.
  $x > 9$
- D.
  $x eq \pm 3$
Hướng dẫn:
Điều kiện xác định: $x eq \pm 3$

Ta có:

$A = \frac{x^{2} + 6x + 9}{x^{3} + 27}:\frac{- x^{3} + 3x^{2} + 9x - 27}{x^{2} - 6x + 9}$

$A = \frac{(x + 3)^{2}}{(x + 3)\left( x^{2} - 3x + 9 ight)}.\frac{(x - 3)^{2}}{\left( x^{2} - 9 ight)(3 - x)} = - \frac{1}{x^{2} - 3x + 9}$

Vì $x^{2} - 3x + 9 = \left( x - \frac{3}{2} ight)^{2} + \frac{27}{4} > 0\forall x$

Do đó $A < 0$ với mọi $x eq \pm 3$ .
Câu 12: Vận dụng

Ghi lời giải bài toán vào ô trống

Ông Năm vào cửa hàng điện máy xanh chọn mua một cái máy lạnh trong mùa nắng nóng, ông định lựa chọn 1 trong 2 loại sau: máy lạnh DAIKIN có giá 12 triệu đồng và sử dụng trung bình khoảng 10000KWh điện trong một năm, máy lạnh PANASONIC giá 10 triệu đồng và sử dụng trung bình khoảng 11000KWh điện trong 1 năm, biết rằng 2 loại máy lạnh đều có công năng như nhau và giá 1KWh điện là 2000đ.

Biết tổng chi phí cho mỗi loại máy lạnh bao gồm tiền mua máy và tiền điện; theo em với thời gian sử dụng bao lâu thì ông Năm mua máy lạnh DAIKIN sẽ có lợi hơn?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Ông Năm vào cửa hàng điện máy xanh chọn mua một cái máy lạnh trong mùa nắng nóng, ông định lựa chọn 1 trong 2 loại sau: máy lạnh DAIKIN có giá 12 triệu đồng và sử dụng trung bình khoảng 10000KWh điện trong một năm, máy lạnh PANASONIC giá 10 triệu đồng và sử dụng trung bình khoảng 11000KWh điện trong 1 năm, biết rằng 2 loại máy lạnh đều có công năng như nhau và giá 1KWh điện là 2000đ.

Biết tổng chi phí cho mỗi loại máy lạnh bao gồm tiền mua máy và tiền điện; theo em với thời gian sử dụng bao lâu thì ông Năm mua máy lạnh DAIKIN sẽ có lợi hơn?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 13: Vận dụng cao
Chọn đáp án chính xác
Tìm số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình

$\frac{2017 - x}{15} + \frac{2018 - x}{16} + \frac{17 + x}{2019} + \frac{18 + x}{2020} \leq 4$
- A.
  $2020$
- B.
  $2002$
- C.
  $2004$
- D.
  $2000$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\frac{2017 - x}{15} + \frac{2018 - x}{16} + \frac{17 + x}{2019} + \frac{18 + x}{2020} \leq 4$

$\Leftrightarrow \frac{2002 + 15 - x}{15} + \frac{2002 + 16 - x}{16} + \frac{2017 - 2002 + x}{2019} + \frac{2020 - 2002 + x}{2020} \leq 4$

$\Leftrightarrow \frac{2002 - x}{15} + \frac{15}{15} + \frac{2002 - x}{16} + \frac{16}{16} + \frac{x - 2002}{2019} + \frac{2019}{2019} + \frac{x - 2002}{2020} + \frac{2020}{2020} \leq 4$

$\Leftrightarrow \frac{2002 - x}{15} + 1 + \frac{2002 - x}{16} + 1 + \frac{x - 2002}{2019} + 1 + \frac{x - 2002}{2020} + 1 \leq 4$

$\Leftrightarrow \frac{2002 - x}{15} + \frac{2002 - x}{16} + \frac{x - 2002}{2019} + \frac{x - 2002}{2020} \leq 0$

$\Leftrightarrow (x - 2002)\left( \frac{- 1}{15} + \frac{- 1}{16} + \frac{1}{2019} + \frac{1}{2020} ight) \leq 0$

Vì $\frac{- 1}{15} + \frac{- 1}{16} + \frac{1}{2019} + \frac{1}{2020} \leq 0$ nên $x - 2002 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 2002$

Vậy số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình đã cho là 2002.
Câu 14: Vận dụng cao
Tìm giá trị nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình
Cho bất phương trình $\frac{2x - 4}{2014} + \frac{2x - 2}{2016} < \frac{2x - 1}{2017} + \frac{2x - 3}{2015}$ . Tìm giá trị nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình đã cho?
- A.
  $1012$
- B.
  $1009$
- C.
  $1008$
- D.
  $1010$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\frac{2x - 4}{2014} + \frac{2x - 2}{2016} < \frac{2x - 1}{2017} + \frac{2x - 3}{2015}$

$\Leftrightarrow \frac{2x - 4}{2014} + \frac{2x - 2}{2016} - \frac{2x - 1}{2017} - \frac{2x - 3}{2015} < 0$

$\Leftrightarrow \left( \frac{2x - 4}{2014} - 1 ight) + \left( \frac{2x - 2}{2016} - 1 ight) - \left( \frac{2x - 1}{2017} - 1 ight) - \left( \frac{2x - 3}{2015} - 1 ight) > 0$

$\Leftrightarrow \frac{2x - 2018}{2014} + \frac{2x - 2018}{2016} - \frac{2x - 2018}{2017} - \frac{2x - 2018}{2015} < 0$

$\Leftrightarrow (2x - 2018)\left( \frac{1}{2014} + \frac{1}{2016} - \frac{1}{2017} - \frac{1}{2018} ight) < 0$

Vì $\frac{1}{2014} + \frac{1}{2016} - \frac{1}{2017} - \frac{1}{2018} > 0$ nên $2x - 2018 < 0 \Leftrightarrow x < 1009$

Suy ra nghiệm của bất phương trình là $x < 1009$

Vậy số nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình là $1008$ .
Câu 15: Vận dụng cao
Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình
Giá trị nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình $\frac{x - 2}{2002} + \frac{x - 4}{2000} < \frac{x - 3}{2001} + \frac{x - 5}{1999}$ là:
- A.
  $2010$
- B.
  $2008$
- C.
  $2005$
- D.
  $2004$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\frac{x - 2}{2002} + \frac{x - 4}{2000} < \frac{x - 3}{2001} + \frac{x - 5}{1999}$

$\Leftrightarrow \frac{x - 2}{2002} - 1 + \frac{x - 4}{2000} - 1 < \frac{x - 3}{2001} - 1 + \frac{x - 5}{1999} - 1$

$\Leftrightarrow \frac{x - 2004}{2002} + \frac{x - 2004}{2000} < \frac{x - 2004}{2001} + \frac{x - 2004}{1999}$

$\Leftrightarrow (x - 2004)\left( \frac{1}{2002} + \frac{1}{2000} - \frac{1}{2001} - \frac{1}{1999} ight) < 0$

Vì $\frac{1}{2002} + \frac{1}{2000} - \frac{1}{2001} - \frac{1}{1999} < 0$ nên $x - 2004 > 0 \Leftrightarrow x > 2004$

Vậy giá trị nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình là 2005.
Câu 16: Vận dụng cao
Xác định nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình
Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình $\frac{x + 1}{2019} + \frac{x + 2}{2018} + \frac{x + 3}{2017} + ... + \frac{x + 100}{1920} > - 100$ ?
- A.
  $2020$
- B.
  $2010$
- C.
  $- 2020$
- D.
  $- 2019$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\frac{x + 1}{2019} + \frac{x + 2}{2018} + \frac{x + 3}{2017} + ... + \frac{x + 100}{1920} > - 100$

$\Leftrightarrow \frac{x + 2020}{2019} + \frac{x + 2020}{2018} + \frac{x + 2020}{2017} + ... + \frac{x + 2020}{1920} > 0$

$\Leftrightarrow (x + 2020)\left( \frac{1}{2019} + \frac{1}{2018} + \frac{1}{2017} + ... + \frac{1}{1920} ight) > 0$

Vì $\frac{1}{2019} + \frac{1}{2018} + \frac{1}{2017} + ... + \frac{1}{1920} > 0$ nên $x + 2020 > 0 \Rightarrow x > - 2020$

Vậy giá trị nguyên nhỏ nhất cần tìm là x = -2019.
Câu 17: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng
Cho bất đẳng thức $a < b$ . Khẳng định nào sau đây là đúng.
- A.
  $a + 2 > b + 2$
- B.
  $2a > 2b$
- C.
  $a + 2 < b + 2$
- D.
  $-2a < -2b$
Hướng dẫn:
Khẳng định đúng: “ $a + 2 < b + 2$ ”

Khi cộng cùng một số vào hai vế của một bất đẳng thức ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.
Câu 18: Thông hiểu
So sánh hai biểu thức
Cho $a + 8 < b$ . So sánh $a - 7$ và $b - 15$ ta được kết quả là:
- A.
  $a - 7 \leq b - 15$
- B.
  $a - 7 \geq b - 15$
- C.
  $a - 7 < b - 15$
- D.
  $a - 7 > b - 15$
Hướng dẫn:
Ta có: $a + 8 < b$

Cộng vào hai vế bất đẳng thức với -15 ta được:

$a + 8 < b \Rightarrow a + 8 + ( - 15) < b + ( - 15)$

$\Rightarrow a - 7 < b - 15$
Câu 19: Thông hiểu
Xác định số khẳng định đúng
Biết $a < b$ . Cho các khẳng định sau:

(1) $a - 1 < b - 1$

(2) $a - 1 < b$

(3) $a + 2 < b + 1$

Trong các khẳng định trên, số khẳng định đúng là:
- A.
  $3$
- B.
  $2$
- C.
  $4$
- D.
  $1$
Hướng dẫn:
Vì $a < b$ cộng hai vế của bất đẳng thức với $- 1$ ta được $a - 1 < b - 1$

Suy ra (1) đúng.

Vì $a - 1 < b - 1$ (chứng minh trên) mà $b - 1 < b$ nên $a - 1 < b$ (tính chất bắc cầu)

Suy ra (2) đúng.

Vì $a < b$ cộng hai vế của bất đẳng thức với 1 ta được $a + 1 < b + 1$ mà $a + 1 < a + 2$ nên chưa đủ dữ liệu để nói rằng $a + 2 < b + 1$

Suy ra (3) sai.

Vậy có 2 khẳng định đúng.
Câu 20: Thông hiểu
Chọn câu đúng
Cho $a - 5 \leq b - 5$ so sánh $a$ và $b$ ta được kết quả là:
- A.
  $a \leq b$
- B.
  $a < b$
- C.
  $a = b$
- D.
  $a > b$
Hướng dẫn:
Cộng hai vế của bất đẳng thức $a - 5 \leq b - 5$ với 5 ta được:

$a - 5 \leq b - 5 \Rightarrow a - 5 + 5 \leq b - 5 + 5$

$\Rightarrow a + 0 \leq b + 0 \Rightarrow a \leq b$
Câu 21: Vận dụng
Chọn kết luận đúng
Biết rằng $0 < a < b$ . Chọn kết luận đúng?
- A.
  $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 1$
- B.
  $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} < 2$
- C.
  $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$
- D.
  $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} > 2$
Hướng dẫn:
Với $0 < a < b$ ta có: $(a - b)^{2} > 0$

$\Leftrightarrow a^{2} - b^{2} - 2ab > 0$

$\Leftrightarrow a^{2} - b^{2} > 2ab$

$\Leftrightarrow \frac{a^{2} - b^{2}}{ab} > \frac{2ab}{ab}$ (vì $ab > 0$ )

$\Leftrightarrow \frac{a^{2}}{ab} - \frac{b^{2}}{ab} > 2 \Leftrightarrow \frac{a}{b} + \frac{b}{a} > 2$
Câu 22: Vận dụng
Tính giá trị nhỏ nhất của P
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = (a - 3)^{2} + (a + 1)^{2}$ với $a\mathbb{\in R}$ ?
- A.
  $8$
- B.
  $0$
- C.
  $16$
- D.
  $4$
Hướng dẫn:
Ta có:

$P = (a - 3)^{2} + (a + 1)^{2}$

$= a^{2} - 6a + 9 + a^{2} + 2a + 1$

$= 2a^{2} - 4a + 10 = 2\left( a^{2} - 2a + 5 ight)$

$= 2(a - 1)^{2} + 8$

Với $a\mathbb{\in R}$ ta có: $(a - 1)^{2} \geq 0 \Rightarrow P = 2(a - 1)^{2} + 8 \geq 8$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $(a - 1)^{2} = 0 \Leftrightarrow a = 1$

Vậy biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 8 khi và chỉ khi $a = 1$ .
Câu 23: Vận dụng
Chọn kết luận đúng
Khẳng định nào sau đây đúng với mọi $a;b;c$ ?
- A.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} \leq 2ab + 2bc - 2ca$
- B.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq 2ab + 2bc - 2ca$
- C.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} > 2ab + 2bc - 2ca$
- D.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} < 2ab + 2bc - 2ca$
Hướng dẫn:
Ta có:

$a^{2} + b^{2} + c^{2} - (2ab + 2bc - 2ca)$

$= a^{2} + b^{2} + c^{2} - 2ab - 2bc + 2ca$

$= a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2a( - b) + 2( - b)c + 2ca$

$= \left\lbrack a + ( - b) + c ightbrack^{2} = (a - b + c)^{2} \geq 0$ với mọi $a;b;c$

Do đó $a^{2} + b^{2} + c^{2} - (2ab + 2bc - 2ca) \geq 0$

$\Rightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq 2ab + 2bc - 2ca$

Dấu bằng xảy ra khi $a - b + c = 0$ .
Câu 24: Vận dụng
Chọn kết luận đúng
Cho $x + y > 1$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $x^{2} + y^{2} < \frac{1}{2}$
- B.
  $x^{2} + y^{2} > \frac{1}{2}$
- C.
  $x^{2} + y^{2} = \frac{1}{2}$
- D.
  $x^{2} + y^{2} \leq \frac{1}{2}$
Hướng dẫn:
Từ $x + y > 1$ bình phương hai vế (hai vế đều dương) ta được $x^{2} + 2xy + y^{2} > 1(*)$

Từ $(x - y)^{2} \geq 0 \Rightarrow x^{2} - 2xy + y^{2} \geq 0(**)$

Cộng từng vế của (*) và (**) ta được:

$2x^{2} + 2y^{2} > 1$

Chia cả hai vế cho 2 ta được

$x^{2} + y^{2} > \frac{1}{2}$
Câu 25: Vận dụng
Chọn khẳng định sai
Với $a;b$ bất kì. Chọn khẳng định sai?
- A.
  $4a + 4 \leq a^{2} + 8$
- B.
  $a^{2} + 1 < - a$
- C.
  $- ab - b^{2} \leq a^{2}$
- D.
  $a^{2} + 3 > - 2a$
Hướng dẫn:
Ta có:

$a^{2} + 2a + 3 = a^{2} + 2a + 1 + 2 = (a + 1)^{2} + 2 > 0$ luôn đúng

Suy ra $a^{2} + 3 > - 2a$ đúng

$a^{2} + 8 - (4a + 4) = a^{2} - 4a + 4 = (a - 2)^{2} \geq 0$ luôn đúng

Suy ra $4a + 4 \leq a^{2} + 8$ đúng

$a^{2} + a + 1 = a^{2} + 2a.\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \left( a + \frac{1}{2} ight)^{2} + \frac{3}{4} > 0$ luôn đúng

Suy ra $a^{2} + 1 < - a$ sai

$a^{2} + ab + b^{2} = a^{2} + 2a.\frac{b}{2} + \frac{b^{2}}{4} + \frac{3b^{2}}{4}$

$= \left( a + \frac{b}{2} ight)^{2} + \frac{3b^{2}}{4} \geq 0$ luôn đúng

Suy ra $- ab - b^{2} \leq a^{2}$ đúng.
Câu 26: Vận dụng
Chọn khẳng định sai
Với điều kiện $a;b$ bất kì. Chọn khẳng định sai?
- A.
  $a^{2} + 1 > a$
- B.
  $ab - b^{2} \leq a^{2}$
- C.
  $a^{2} + 10 < 6a + 1$
- D.
  $a^{2} + 5 > 4a$
Hướng dẫn:
Ta có:

$a^{2} + 5 - 4a = a^{2} - 4a + 4 + 1 = (a - 2)^{2} + 1 > 0$ (luôn đúng) nên $a^{2} + 5 > 4a$ .

$a^{2} + 1 - a = a^{2} - 2a.\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \left( a - \frac{1}{2} ight)^{2} + \frac{3}{4} > 0$ (luôn đúng) nên $a^{2} + 1 > a$ .

$a^{2} + 10 - (6a + 1) = a^{2} - 6a + 9 = (a - 3)^{2}$

Vì $(a - 3)^{2} \geq 0$ luôn đúng nên $a^{2} + 10 \ge 6a - 1$

Suy ra khẳng định $a^{2} + 10 < 6a + 1$ sai.

Ta có:

$a^{2} - ab + b^{2}$

$= a^{2} - 2a.\frac{b}{2} + \frac{b^{2}}{4} + \frac{3b^{2}}{4}$

$= \left( a - \frac{b}{2} ight)^{2} + \frac{3b^{2}}{4}$

Vì $\left( a - \frac{b}{2} ight)^{2} \geq 0;\forall a,b\mathbb{\in R}$ suy ra $\left( a - \frac{b}{2} ight)^{2} + \frac{3b^{2}}{4} \geq 0$ luôn đúng

Suy ra $ab - b^{2} \leq a^{2}$
Câu 27: Vận dụng cao
Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Cho hai số thực dương $x;y$ thỏa mãn $\frac{4}{x^{2}} + \frac{5}{y^{2}} \geq 9$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $C = 2x^{2} + \frac{6}{x^{2}} + 3y^{2} + \frac{8}{y^{2}}$ ?
- A.
  $x \leq - \frac{5}{3}$
- B.
  $x \leq \frac{5}{3}$
- C.
  $x \geq - \frac{5}{3}$
- D.
  $x \geq \frac{5}{3}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$C = 2x^{2} + \frac{6}{x^{2}} + 3y^{2} + \frac{8}{y^{2}}$

$= 2x^{2} + \frac{2}{x^{2}} + 3y^{2} + \frac{3}{y^{2}} + \frac{4}{x^{2}} + \frac{5}{y^{2}}$

$= 2\left( x^{2} + \frac{1}{x^{2}} ight) + 3\left( y^{2} + \frac{1}{y^{2}} ight) + \left( \frac{4}{x^{2}} + \frac{5}{y^{2}} ight)$

Mặt khác ta có:

$2\left( x^{2} + \frac{1}{x^{2}} ight) \geq 2.2 = 4$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x^{2} = \frac{1}{x^{2}} \Leftrightarrow x^{4} = 1 \Leftrightarrow x = 1$ (vì $x > 0$ )

$3\left( y^{2} + \frac{1}{y^{2}} ight) \geq 3.2 = 6$ dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $y^{2} = \frac{1}{y^{2}} \Leftrightarrow y^{4} = 1 \Leftrightarrow y = 1$ vì (y >0)

$\left( \frac{4}{x^{2}} + \frac{5}{y^{2}} ight) \geq 9$ theo giả thiết.

Khi x =1; y = 1 thì dấu bằng xảy ra

$\Rightarrow C \geq 4 + 6 + 9 = 19$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức C bằng 19 khi x = y = 1.
Câu 28: Vận dụng cao
Chọn khẳng định đúng
Khẳng định nào sau đây đúng với mọi $a;b;c$ ?
- A.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} > ab + bc + ca$
- B.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq ab + bc + ca$
- C.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} \leq ab + bc + ca$
- D.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} = ab + bc + ca$
Hướng dẫn:
Ta có:

$a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - bc - ca$

$= \frac{1}{2}\left( 2a^{2} + 2b^{2} + 2c^{2} - 2ab - 2bc - 2ca ight)$

$= \frac{1}{2}\left\lbrack \left( a^{2} - 2ab + b^{2} ight) + \left( b^{2} - 2bc + c^{2} ight) + \left( c^{2} - 2ca + a^{2} ight) ightbrack$

$= \frac{1}{2}\left\lbrack (a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (c - a)^{2} ightbrack \geq 0$

Vì $(a - b)^{2} \geq 0;(b - c)^{2} \geq 0;(c - a)^{2} \geq 0$ với mọi $a;b;c$ )

Nên $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq ab + bc + ca$

Dấu bằng xảy ra khi $a = b = c$ .
Câu 29: Vận dụng cao

Ghi lời giải bài toán vào ô trống

Cho $a, b, c$ là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện $a + b + c = 1$ .

Chứng minh rằng: $\sqrt{\frac{ab}{c + ab}} + \sqrt{\frac{bc}{a + bc}} + \sqrt{\frac{ca}{b + ca}} \leq \frac{3}{2}$ .

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho $a, b, c$ là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện $a + b + c = 1$ .

Chứng minh rằng: $\sqrt{\frac{ab}{c + ab}} + \sqrt{\frac{bc}{a + bc}} + \sqrt{\frac{ca}{b + ca}} \leq \frac{3}{2}$ .

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 30: Vận dụng cao
Chọn kết luận chính xác
Với các số $a,b,c$ bất kì. Hãy so sánh $3\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} ight)$ và $(a + b + c)^{2}$ ?
- A.
  $3\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} ight) \leq (a + b + c)^{2}$
- B.
  $3\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} ight) \geq (a + b + c)^{2}$
- C.
  $3\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} ight) < (a + b + c)^{2}$
- D.
  $3\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} ight) = (a + b + c)^{2}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$3\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} ight) - (a + b + c)^{2}$

$= 3a^{2} + 3b^{2} + 3c^{2} - a^{2} - b^{2} - c^{2} - 2ab - 2ac - 2bc$

$= 2a^{2} + 2b^{2} + 2c^{2} - 2ab - 2ac - 2bc$

$= (a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (c - a)^{2} \geq 0$

(vì $(a - b)^{2} \geq 0;(b - c)^{2} \geq 0;(c - a)^{2} \geq 0$ với mọi $a;b;c$ )

Nên $3\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} ight) \leq (a + b + c)^{2}$ .

Tải file làm trên giấy

Đấu trường Ôn thi vào 10 môn Toán: Bất đẳng thức và các câu toán cực trị

Đang tìm đối thủ...

Đang tải...

Chia sẻ bởi:
Thiên Bình

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Ôn thi vào 10 môn Toán: Bất đẳng thức và các câu toán cực trị

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đấu trường Ôn thi vào 10 môn Toán: Bất đẳng thức và các câu toán cực trị

Đang tìm đối thủ...