VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Ôn thi vào 10 môn Toán: Bất đẳng thức và các câu toán cực trị

Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 30 câu
Điểm số bài kiểm tra: 30 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

00:00:00

Câu 1: Thông hiểu
Tìm nghiệm của bất phương trình
Tìm điều kiện của x thỏa mãn bất phương trình $\frac{3 - x}{4} \geq \frac{3x + 1}{3}$ ?
- A.
  $x \leq 5$
- B.
  $x \geq \frac{1}{5}$
- C.
  $x \geq 5$
- D.
  $x \leq \frac{1}{5}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\frac{3 - x}{4} \geq \frac{3x + 1}{3} \Leftrightarrow 3(3 - x) \geq 4(3x + 1)$

$\Leftrightarrow 9 - 3x \geq 12x + 4 \Leftrightarrow 5 \geq 15x \Leftrightarrow x \leq \frac{1}{5}$

Vậy điều kiện của x thỏa mãn yêu cầu là $x \leq \frac{1}{5}$ .
Câu 2: Thông hiểu
Tìm nghiệm của bất phương trình
Cho bất phương trình $3(5x + 2) \geq 4x + 1$ . Nghiệm của bất phương trình là:
- A.
  $x \leq - \frac{2}{11}$
- B.
  $x \geq \frac{- 5}{11}$
- C.
  $x \leq \frac{- 5}{11}$
- D.
  $x \geq - \frac{2}{11}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$3(5x + 2) \geq 4x + 1$

$\Leftrightarrow 15x + 6 \geq 4x + 1$

$\Leftrightarrow 15x - 4x \geq 1 - 6$

$\Leftrightarrow 11x \geq - 5 \Leftrightarrow x \geq - \frac{5}{11}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $x \geq \frac{- 5}{11}$ .
Câu 3: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Một người có số tiền không quá $72000$ đồng gồm các tờ giấy bạc với mệnh giá $5000$ đồng. Hỏi người đó có nhiều nhất bao nhiêu tờ giấy bạc loại $5000$ đồng?
- A.
  $14$ .
- B.
  $12$ .
- C.
  $15$ .
- D.
  $13$ .
Hướng dẫn:
Gọi $x$ (tờ) là số tờ giấy bạc loại $5000$ đồng người đó có ( $x$ ∈ ℕ*).

Số tiền ứng với $x$ tờ giấy bạc loại $5000$ đồng là $5000x$ ( đồng)

Theo bài, người đó có không quá $72000$ đồng nên ta có bất phương trình:

$5000x \leq 72000$

$x \leq \frac{72}{5}$

Vì $x$ ∈ ℕ*, $x \leq \frac{72}{5} \Rightarrow x = 14$

Vậy người đó có nhiều nhất $14$ tờ loại $5000$ đồng.
Câu 4: Thông hiểu
Tìm nghiệm nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình
Số nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình $(x - 2)^{2} - x^{2} - 8x + 3 \geq 0$ là:
- A.
  $2$
- B.
  $- 1$
- C.
  $1$
- D.
  $0$
Hướng dẫn:
Ta có:

$(x - 2)^{2} - x^{2} - 8x + 3 \geq 0$

$\Leftrightarrow x^{2} - 4x + 4 - x^{2} - 8x + 3 \geq 0$

$\Leftrightarrow - 12x + 7 \geq 0 \Leftrightarrow - 12x \geq - 7 \Leftrightarrow x \leq \frac{7}{12}$

Suy ra nghiệm của bất phương trình là $x \leq \frac{7}{12}$

Vậy số nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình là x = 0.
Câu 5: Vận dụng
Tìm a thỏa mãn điều kiện đề bài
Với giá trị nào của $x$ để biểu thức $A = \frac{5 - 2x}{x^{2} + 4}$ có giá trị dương?
- A.
  $x > 2$
- B.
  $x > \frac{5}{2}$
- C.
  $x < \frac{5}{2}$
- D.
  $x = \frac{5}{2}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$A = \frac{5 - 2x}{x^{2} + 4}$ có giá trị dương $\Rightarrow A > 0$

Ta có: $x^{2} \geq 0;\forall x\in\mathbb{R \Rightarrow}x^{2} + 4 > 0;\forall x\in \mathbb{R}$

$\Rightarrow A > 0 \Leftrightarrow 5 - 2x > 0 \Leftrightarrow x < \frac{5}{2}$

Vậy $x < \frac{5}{2}$ thì A có giá trị dương.
Câu 6: Vận dụng
Tính số tiền gửi tiết kiệm ít nhất
Một ngân hàng đang áp dụng lãi suất gửi tiết kiệm kì hạn $12$ tháng là $6,9\%$ / năm. Bà Hoa dự kiến gửi một khoản tiền vào ngân hàng này và cần số tiền lãi hàng năm ít nhất là $50$ triệu để chi tiêu. Hỏi số tiền bà Hoa cần gửi tiết kiệm ít nhất là bao nhiêu (làm tròn đến triệu đồng)
- A. 750.
- B. 650.
- C.
  725.
- D. 800.
Hướng dẫn:
Gọi $x$ (triệu đồng) là số tiền bà Hoa cần gửi tiết kiệm. Ta có số tiền lãi gửi tiết kiệm $x$ (triệu đồng) trong một năm là $0,069x$ (triệu đồng)

Để có số tiền lãi ít nhất là $50$ triệu đồng/năm thì ta phải có

$0,069x \geq 50$

$x \geq 724,64$

Vậy bà Hoa cần gửi ngân hàng ít nhất $725$ triệu đồng
Câu 7: Vận dụng

Ghi lời giải bài toán vào ô trống

Một học sinh làm một bài thi Toán gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm, mỗi câu đúng được cộng 5 điểm, mỗi câu sai bị trừ 2 điểm, câu không làm thì không trừ cũng không cộng điểm. Biết học sinh đã làm 19 câu và đạt hơn 62 điểm. Hãy cho biết số câu đúng tối thiểu mà học sinh đã làm được.

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Một học sinh làm một bài thi Toán gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm, mỗi câu đúng được cộng 5 điểm, mỗi câu sai bị trừ 2 điểm, câu không làm thì không trừ cũng không cộng điểm. Biết học sinh đã làm 19 câu và đạt hơn 62 điểm. Hãy cho biết số câu đúng tối thiểu mà học sinh đã làm được.

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 8: Vận dụng
Chọn phương án thích hợp
Bạn Nam tham dự kì thi kiểm tra năng lực tiếng Anh gồm bốn bài, mỗi bài kiểm tra được cho điểm là số nguyên từ $0$ đến $10$ . Điểm trung bình của ba bài kiểm tra An đã làm là $6,6$ . Hỏi bài kiểm tra thứ tư An cần làm được thấp nhất là bao nhiêu điểm để có điểm trung bình của cả bốn bài kiểm tra từ $7$ điểm trở lên?
- A.
  $7$ .
- B.
  $9$ .
- C.
  $8$ .
- D.
  $6$ .
Hướng dẫn:
Gọi $x$ là số điểm bài kiểm tra thứ tư của An ( $x$ nguyên, $0 \leq x \leq 10$ )

Theo bài ra ta có bất phương trình

$\frac{x + 6,6.3}{4} \geq 7$

Giải ra được $x \geq 8,2$

Mà $x$ nguyên, $0 \leq x \leq 10$

Suy ra $x \in \left\{ 9;10 \right\}$

Vậy bài kiểm tra thứ tư An cần làm được thấp nhất là 9 điểm.
Câu 9: Vận dụng
Tìm x để biểu thức không âm
Với điều kiện nào của x thì biểu thức $B = \frac{2x - 4}{3 - x}$ nhận giá trị không âm?
- A.
  $2 \leq x < 3$
- B.
  $2 < x < 3$
- C.
  $2 \leq x \leq 3$
- D.
  $2 < x \leq 3$
Hướng dẫn:
Điều kiện xác định $x eq 3$

Để biểu thức $B = \frac{2x - 4}{3 - x}$ nhận giá trị không âm thì $\frac{2x - 4}{3 - x} \geq 0$ có hai trường hợp xảy ra:

TH1: $\left\{ \begin{matrix} 2x - 4 \geq 0 \\ 3 - x > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 2 \\ x < 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow 2 \leq x < 3$

TH2: $\left\{ \begin{matrix} 2x - 4 \leq 0 \\ 3 - x < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \leq 2 \\ x > 3 \\ \end{matrix} ight.$ (vô lí)

Vậy để biểu thức $B = \frac{2x - 4}{3 - x}$ nhận giá trị không âm thì $2 \leq x < 3$ .
Câu 10: Vận dụng

Ghi lời giải bài toán vào ô trống

Ông Năm vào cửa hàng điện máy xanh chọn mua một cái máy lạnh trong mùa nắng nóng, ông định lựa chọn 1 trong 2 loại sau: máy lạnh DAIKIN có giá 12 triệu đồng và sử dụng trung bình khoảng 10000KWh điện trong một năm, máy lạnh PANASONIC giá 10 triệu đồng và sử dụng trung bình khoảng 11000KWh điện trong 1 năm, biết rằng 2 loại máy lạnh đều có công năng như nhau và giá 1KWh điện là 2000đ.

Biết tổng chi phí cho mỗi loại máy lạnh bao gồm tiền mua máy và tiền điện; theo em với thời gian sử dụng bao lâu thì ông Năm mua máy lạnh DAIKIN sẽ có lợi hơn?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Ông Năm vào cửa hàng điện máy xanh chọn mua một cái máy lạnh trong mùa nắng nóng, ông định lựa chọn 1 trong 2 loại sau: máy lạnh DAIKIN có giá 12 triệu đồng và sử dụng trung bình khoảng 10000KWh điện trong một năm, máy lạnh PANASONIC giá 10 triệu đồng và sử dụng trung bình khoảng 11000KWh điện trong 1 năm, biết rằng 2 loại máy lạnh đều có công năng như nhau và giá 1KWh điện là 2000đ.

Biết tổng chi phí cho mỗi loại máy lạnh bao gồm tiền mua máy và tiền điện; theo em với thời gian sử dụng bao lâu thì ông Năm mua máy lạnh DAIKIN sẽ có lợi hơn?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 11: Vận dụng
Xác định độ dài đoạn đường tối thiểu
Một người đi bộ một quảng đường dài 10 km trong khoảng thời gian không nhiều hơn 3 giờ. Lúc đầu người đó đi với vận tốc 4 km/h, về sau đi với vận tốc 3 km/h. Xác định độ dài đoạn đường tối thiểu mà người đó đã đi với vận tốc 4 km/h.
- A.
  $4km$
- B.
  $5km$
- C.
  $6km$
- D.
  $3km$
Hướng dẫn:
Gọi độ dài đoạn đường tối thiểu mà người đó đi được với vận tốc 4 km/h là x (km).

Điều kiện: 0 < x < 10.

Quãng đường lúc sau là 10 − x (km).

Thời gian lúc đầu là $\frac{x}{4}$ giờ

Thời gian lúc sau $\frac{10 - x}{3}$ giờ

Do tổng thời gian đi bộ không quá 3 giờ nên ta có bất phương trình $\frac{x}{4} + \frac{10 - x}{3} \leq 3$ Giải ra ta được x ≥ 4.

Kết hợp điều kiện ta được 4 ≤ x < 10.

Vậy độ dài tối thiểu mà người đó đi được với vận tốc 4 km/h là 4 km.
Câu 12: Vận dụng
Tìm x để biểu thức nhỏ hơn 0
Cho biểu thức $A = \frac{x^{2} + 6x + 9}{x^{3} + 27}:\frac{- x^{3} + 3x^{2} + 9x - 27}{x^{2} - 6x + 9}$ . Tìm x để $A < 0$ ?
- A.
  $x eq \pm 3$
- B.
  $x > 3$
- C.
  $x > 9$
- D.
  $x < - 3$
Hướng dẫn:
Điều kiện xác định: $x eq \pm 3$

Ta có:

$A = \frac{x^{2} + 6x + 9}{x^{3} + 27}:\frac{- x^{3} + 3x^{2} + 9x - 27}{x^{2} - 6x + 9}$

$A = \frac{(x + 3)^{2}}{(x + 3)\left( x^{2} - 3x + 9 ight)}.\frac{(x - 3)^{2}}{\left( x^{2} - 9 ight)(3 - x)} = - \frac{1}{x^{2} - 3x + 9}$

Vì $x^{2} - 3x + 9 = \left( x - \frac{3}{2} ight)^{2} + \frac{27}{4} > 0\forall x$

Do đó $A < 0$ với mọi $x eq \pm 3$ .
Câu 13: Vận dụng cao
Tìm giá trị nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình
Cho bất phương trình $\frac{2x - 4}{2014} + \frac{2x - 2}{2016} < \frac{2x - 1}{2017} + \frac{2x - 3}{2015}$ . Tìm giá trị nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình đã cho?
- A.
  $1010$
- B.
  $1009$
- C.
  $1012$
- D.
  $1008$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\frac{2x - 4}{2014} + \frac{2x - 2}{2016} < \frac{2x - 1}{2017} + \frac{2x - 3}{2015}$

$\Leftrightarrow \frac{2x - 4}{2014} + \frac{2x - 2}{2016} - \frac{2x - 1}{2017} - \frac{2x - 3}{2015} < 0$

$\Leftrightarrow \left( \frac{2x - 4}{2014} - 1 ight) + \left( \frac{2x - 2}{2016} - 1 ight) - \left( \frac{2x - 1}{2017} - 1 ight) - \left( \frac{2x - 3}{2015} - 1 ight) > 0$

$\Leftrightarrow \frac{2x - 2018}{2014} + \frac{2x - 2018}{2016} - \frac{2x - 2018}{2017} - \frac{2x - 2018}{2015} < 0$

$\Leftrightarrow (2x - 2018)\left( \frac{1}{2014} + \frac{1}{2016} - \frac{1}{2017} - \frac{1}{2018} ight) < 0$

Vì $\frac{1}{2014} + \frac{1}{2016} - \frac{1}{2017} - \frac{1}{2018} > 0$ nên $2x - 2018 < 0 \Leftrightarrow x < 1009$

Suy ra nghiệm của bất phương trình là $x < 1009$

Vậy số nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình là $1008$ .
Câu 14: Vận dụng cao
Giải bất phương trình
Bất phương trình $\frac{x + 2004}{2005} +\frac{x + 2005}{2006} < \frac{x + 2006}{2007} + \frac{x +2007}{2008}$ có nghiệm là
- A.
  $x < - 1$ .
- B.
  $x < 1$ .
- C.
  $x > - 1$ .
- D.
  $x > 1$ .
Hướng dẫn:
Ta có

$\frac{x + 2004}{2005} + \frac{x + 2005}{2006} < \frac{x + 2006}{2007} + \frac{x + 2007}{2008}$

Suy ra $- \frac{x + 2004}{2005} - \frac{x + 2005}{2006} > - \frac{x + 2006}{2007} - \frac{x + 2007}{2008}$

$1 - \frac{x + 2004}{2005} + 1 - \frac{x + 2005}{2006} > 1 - \frac{x + 2006}{2007} + 1 - \frac{x + 2007}{2008}$

$\frac{2005}{2005} - \frac{x + 2004}{2005} + \frac{2006}{2006} - \frac{x + 2005}{2006} > \frac{2007}{2007} - \frac{x + 2006}{2007} + \frac{2008}{2008} - \frac{x + 2007}{2008}$

$\frac{2005 - x - 2004}{2005} + \frac{2006 - x - 2005}{2006} > \frac{2007 - x - 2006}{2007} + \frac{2008 - x - 2007}{2008}$

$\frac{1 - x}{2005} + \frac{1 - x}{2006} > \frac{1 - x}{2007} + \frac{1 - x}{2008}$

$(1 - x)\left( \frac{1}{2005} +\frac{1}{2006} - \frac{1}{2007} - \frac{1}{2008} \right) > 0$

$1 - x > 0$ ( vì $\frac{1}{2005} + \frac{1}{2006} - \frac{1}{2007} - \frac{1}{2008} > 0$ )

$1 > x$

Vậy bất phương trình trên có nghiệm là $1 > x$
Câu 15: Vận dụng cao
Giải bất phương trình và tìm nghiệm theo yêu cầu
Tìm số nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình:

$\frac{1987 - x}{15} + \frac{1988 - x}{16} + \frac{27 + x}{1999} + \frac{28 + x}{2000} > 4$
- A.
  $1970$
- B.
  $1971$
- C.
  $1985$
- D.
  $1988$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\frac{1987 - x}{15} + \frac{1988 - x}{16} + \frac{27 + x}{1999} + \frac{28 + x}{2000} > 4$

$\Leftrightarrow \left( \frac{1987 - x}{15} - 1 ight) + \left( \frac{1988 - x}{16} - 1 ight) + \left( \frac{27 + x}{1999} - 1 ight) + \left( \frac{28 + x}{2000} - 1 ight) > 0$

$\Leftrightarrow \frac{1972 - x}{15} + \frac{1972 - x}{16} + \frac{x - 1972}{1999} + \frac{x - 1972}{2000} > 0$

$\Leftrightarrow (1972 - x)\left( \frac{1}{15} + \frac{1}{16} + \frac{1}{1999} + \frac{1}{2000} ight) > 0$

Vì $\frac{1}{15} + \frac{1}{16} + \frac{1}{1999} + \frac{1}{2000} > 0$ nên $1972 - x > 0 \Leftrightarrow x < 1972$

Suy ra nghiệm của bất phương trình là $x < 1972$

Vậy số nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình là $1971$
Câu 16: Vận dụng cao
Tính giá máy tính bảng lúc ban đầu
Sau một thời gian phát hành, nhà sản xuất đã ra quyết định giảm giá một dòng máy tính bảng để khuyến mãi. Đợt một giảm $5\%$ đợt hai giảm $4\%$ trên giá sau khi giảm đợt một. Sau hai đợt giảm giá, một chiếc máy tính bảng hiện được bán với giá gần đến $4560000$ đồng. Hỏi giá chiếc máy tính bảng ban đầu khoảng bao nhiêu ?
- A.
  khoảng $6$ triệu đồng.
- B.
  khoảng $7$ triệu đồng.
- C.
  khoảng $8$ triệu đồng.
- D.
  khoảng $5$ triệu đồng.
Hướng dẫn:
Gọi $x$ (đồng) là giá ban đầu của máy tính bảng

Theo đề bài ta có

$x(100\% - 5\%)(100\% - 4\%) < 4560000$

$x < 5000000$

Vậy máy tính bảng ban đầu có giá khoảng $5$ triệu đồng.
Câu 17: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng
Cho biết $a - 1 = b + 2 = c - 3$ . Chọn khẳng định đúng?
- A.
  $a < c < b$
- B.
  $b < c < a$
- C.
  $b < a < c$
- D.
  $a < b < c$
Hướng dẫn:
Từ $a - 1 = b + 2$ suy ra $a = b + 2 + 1 = b + 3$

Từ $b + 2 = c - 3$ suy ra $c = b + 2 + 3 = b + 5$

Mà $b < b + 3 < b + 5$ nên $b < a < c$
Câu 18: Thông hiểu
Chọn bất đẳng thức thỏa mãn yêu cầu
Trong các bất đẳng thức sau, bất đẳng thức nào cho kết quả $a < b$ ?
- A.
  $\frac{1}{2}a > \frac{1}{2}b$
- B.
  $\frac{1}{2}a + 3 > \frac{1}{2}b + 3$
- C.
  $\left( \sqrt{5} - 2 ight)a - 1 < \left( \sqrt{5} - 2 ight)b - 1$
- D.
  $- 7a < - 7b$
Hướng dẫn:
$\frac{1}{2}a > \frac{1}{2}b \Leftrightarrow 2.\left( \frac{1}{2}a ight) > 2.\left( \frac{1}{2}b ight) \Leftrightarrow a > b$

Ta có:

$- 7a < - 7b \Leftrightarrow - 7a.\left( - \frac{1}{7} ight) > - 7b.\left( - \frac{1}{7} ight) \Leftrightarrow a > b$

Ta có:

$\frac{1}{2}a + 3 > \frac{1}{2}b + 3 \Leftrightarrow \frac{1}{2}a + 3 - 3 > \frac{1}{2}b + 3 - 3$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}a > \frac{1}{2}b \Leftrightarrow 2.\frac{1}{2}a > 2.\frac{1}{2}b \Leftrightarrow a > b$

Ta có:

$\left( \sqrt{5} - 2 ight)a - 1 < \left( \sqrt{5} - 2 ight)b - 1$

$\Leftrightarrow \left( \sqrt{5} - 2 ight)a - 1 + 1 < \left( \sqrt{5} - 2 ight)b - 1 + 1$

$\Leftrightarrow \left( \sqrt{5} - 2 ight)a < \left( \sqrt{5} - 2 ight)b$

$\Leftrightarrow \left( \sqrt{5} - 2 ight)a.\frac{1}{\sqrt{5} - 2} < \left( \sqrt{5} - 2 ight)b.\frac{1}{\sqrt{5} - 2}$

$\Leftrightarrow a < b$
Câu 19: Thông hiểu
So sánh hai biểu thức
Cho $a + 8 < b$ . So sánh $a - 7$ và $b - 15$ ta được kết quả là:
- A.
  $a - 7 > b - 15$
- B.
  $a - 7 \leq b - 15$
- C.
  $a - 7 < b - 15$
- D.
  $a - 7 \geq b - 15$
Hướng dẫn:
Ta có: $a + 8 < b$

Cộng vào hai vế bất đẳng thức với -15 ta được:

$a + 8 < b \Rightarrow a + 8 + ( - 15) < b + ( - 15)$

$\Rightarrow a - 7 < b - 15$
Câu 20: Thông hiểu
Tìm các bất đẳng thức đúng
Chọn một số $a$ bất kì, cho các bất đẳng thức sau:

(1) $2a - 5 < 2a + 1$

(2) $3a - 3 > 3a - 1$

(3) $4a < 4a + 1$

(4) $5a + 1 > 5a - 2$

Hỏi có bao nhiêu bất đẳng thức đúng?
- A.
  2
- B.
  3
- C.
  1
- D.
  4
Hướng dẫn:
Vì $- 5 < 1$ nên cộng hai vế của bất đẳng thức với số $2a$ bất kì ta được:

$2a - 5 < 2a + 1$ (đúng)

Vì $0 < 1$ nên cộng hai vế của bất đẳng thức với số $4a$ bất kì ta được:

$4a < 4a + 1$ (đúng)

Vì $1 > - 2$ nên cộng hai vế của bất đẳng thức với số $5a$ bất kì ta được:

$5a + 1 > 5a - 2$ (đúng)

Vì $- 3 < - 1$ nên cộng hai vế của bất đẳng thức với số $3a$ bất kì ta được:

$3a - 3 < 3a - 1$ vậy bất đẳng thức $3a - 3 > 3a - 1$ (sai)
Câu 21: Vận dụng
Chọn khẳng định sai
Với $a;b$ bất kì. Chọn khẳng định sai?
- A.
  $a^{2} + 1 < - a$
- B.
  $4a + 4 \leq a^{2} + 8$
- C.
  $a^{2} + 3 > - 2a$
- D.
  $- ab - b^{2} \leq a^{2}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$a^{2} + 2a + 3 = a^{2} + 2a + 1 + 2 = (a + 1)^{2} + 2 > 0$ luôn đúng

Suy ra $a^{2} + 3 > - 2a$ đúng

$a^{2} + 8 - (4a + 4) = a^{2} - 4a + 4 = (a - 2)^{2} \geq 0$ luôn đúng

Suy ra $4a + 4 \leq a^{2} + 8$ đúng

$a^{2} + a + 1 = a^{2} + 2a.\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \left( a + \frac{1}{2} ight)^{2} + \frac{3}{4} > 0$ luôn đúng

Suy ra $a^{2} + 1 < - a$ sai

$a^{2} + ab + b^{2} = a^{2} + 2a.\frac{b}{2} + \frac{b^{2}}{4} + \frac{3b^{2}}{4}$

$= \left( a + \frac{b}{2} ight)^{2} + \frac{3b^{2}}{4} \geq 0$ luôn đúng

Suy ra $- ab - b^{2} \leq a^{2}$ đúng.
Câu 22: Vận dụng
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = a^{2} - 2a$ với $0 \leq a \leq 2$ ?
- A.
  $1$
- B.
  $4$
- C.
  $0$
- D.
  $2$
Hướng dẫn:
Ta có:

$0 \leq a \leq 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a \geq 0 \\ a \leq 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a \geq 0 \\ a - 2 \leq 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow a(a - 2) \leq 0 \Rightarrow a^{2} - 2a \leq 0$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a(a - 2) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 0 \\ a = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Vì $0 \leq a \leq 2$ nên $a = 0$ hoặc $a = 2$ tương đương với việc dấu bất đẳng thức $P = a^{2} - 2a \leq 0$ xảy ra được.

Vậy với $0 \leq a \leq 2$ thì giá trị lớn nhất của biểu thức P bằng 0 khi $a = 0$ hoặc $a = 2$ .
Câu 23: Vận dụng
Tính giá trị lớn nhất của biểu thức
Cho biểu thức $B = x + \frac{1}{x}$ . Tính giá trị lớn nhất của biểu thức $B$ ?
- A.
  $4$
- B.
  $- 2$
- C.
  $0$
- D.
  $1$
Hướng dẫn:
Ta có:

$B = x + \frac{1}{x} = \frac{x^{2} + 1}{x} + 2 - 2$

$= \frac{x^{2} + 2x + 1}{x} - 2 = \frac{(x + 1)^{2}}{x} - 2$

Ta có: $(x + 1)^{2} \geq 0;\forall x < 0$

$\Rightarrow (x + 1)^{2}.\frac{1}{x} \leq 0.\frac{1}{x}$

$\Rightarrow (x + 1)^{2}.\frac{1}{x} \leq 0$

$\Rightarrow (x + 1)^{2}.\frac{1}{x} - 2 \leq - 2$

$\Rightarrow B \leq - 2$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $(x + 1)^{2} = 0 \Leftrightarrow x = - 1(tm\ \ x\ < \ 0)$

Vậy với $x < 0$ giá trị lớn nhất của biểu thức B là -2 khi $x = - 1$ .
Câu 24: Vận dụng
Chọn khẳng định sai
Với điều kiện $a;b$ bất kì. Chọn khẳng định sai?
- A.
  $a^{2} + 5 > 4a$
- B.
  $a^{2} + 1 > a$
- C.
  $a^{2} + 10 < 6a + 1$
- D.
  $ab - b^{2} \leq a^{2}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$a^{2} + 5 - 4a = a^{2} - 4a + 4 + 1 = (a - 2)^{2} + 1 > 0$ (luôn đúng) nên $a^{2} + 5 > 4a$ .

$a^{2} + 1 - a = a^{2} - 2a.\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \left( a - \frac{1}{2} ight)^{2} + \frac{3}{4} > 0$ (luôn đúng) nên $a^{2} + 1 > a$ .

$a^{2} + 10 - (6a + 1) = a^{2} - 6a + 9 = (a - 3)^{2}$

Vì $(a - 3)^{2} \geq 0$ luôn đúng nên $a^{2} + 10 \ge 6a - 1$

Suy ra khẳng định $a^{2} + 10 < 6a + 1$ sai.

Ta có:

$a^{2} - ab + b^{2}$

$= a^{2} - 2a.\frac{b}{2} + \frac{b^{2}}{4} + \frac{3b^{2}}{4}$

$= \left( a - \frac{b}{2} ight)^{2} + \frac{3b^{2}}{4}$

Vì $\left( a - \frac{b}{2} ight)^{2} \geq 0;\forall a,b\mathbb{\in R}$ suy ra $\left( a - \frac{b}{2} ight)^{2} + \frac{3b^{2}}{4} \geq 0$ luôn đúng

Suy ra $ab - b^{2} \leq a^{2}$
Câu 25: Vận dụng
Chọn kết luận đúng
Cho $x + y > 1$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $x^{2} + y^{2} > \frac{1}{2}$
- B.
  $x^{2} + y^{2} \leq \frac{1}{2}$
- C.
  $x^{2} + y^{2} = \frac{1}{2}$
- D.
  $x^{2} + y^{2} < \frac{1}{2}$
Hướng dẫn:
Từ $x + y > 1$ bình phương hai vế (hai vế đều dương) ta được $x^{2} + 2xy + y^{2} > 1(*)$

Từ $(x - y)^{2} \geq 0 \Rightarrow x^{2} - 2xy + y^{2} \geq 0(**)$

Cộng từng vế của (*) và (**) ta được:

$2x^{2} + 2y^{2} > 1$

Chia cả hai vế cho 2 ta được

$x^{2} + y^{2} > \frac{1}{2}$
Câu 26: Vận dụng
Tìm số khẳng định đúng
Với mọi $x > 0;y > 0$ , cho các khẳng định sau:

(1) $(x + y)\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} ight) \geq 4$

(2) $x^{2} + y^{3} \leq 0$

(3) $(x + y)\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} ight) < 4$

Trong các khẳng định trên, có bao nhiêu khẳng định đúng?
- A.
  $1$
- B.
  $0$
- C.
  $3$
- D.
  $2$
Hướng dẫn:
Ta có:

$(x + y)\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} ight) \geq 4 \Leftrightarrow 1 + \frac{y}{x} + \frac{x}{y} + 1 \geq 4$

$\Leftrightarrow \frac{x^{2} + y^{2}}{xy} \geq 2 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} \geq 2xy$ (do $x > 0;y > 0 \Rightarrow xy > 0$ )

$\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 2xy \geq 0 \Leftrightarrow (x - y)^{2} \geq 0\forall x;y$

Suy ra $(x + y)\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} ight) \geq 4$ đúng và $(x + y)\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} ight) < 4$ sai

$x^{2} + y^{3} \leq 0$ với $\left\{ \begin{matrix} x > 0 \\ y > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x^{2} > 0 \\ y^{2} > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow x^{2} + y^{3} > 0$

Suy ra $x^{2} + y^{3} \leq 0$ sai.
Câu 27: Vận dụng cao

Ghi lời giải bài toán vào ô trống

Cho $a, b, c$ là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện $a + b + c = 1$ .

Chứng minh rằng: $\sqrt{\frac{ab}{c + ab}} + \sqrt{\frac{bc}{a + bc}} + \sqrt{\frac{ca}{b + ca}} \leq \frac{3}{2}$ .

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho $a, b, c$ là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện $a + b + c = 1$ .

Chứng minh rằng: $\sqrt{\frac{ab}{c + ab}} + \sqrt{\frac{bc}{a + bc}} + \sqrt{\frac{ca}{b + ca}} \leq \frac{3}{2}$ .

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 28: Vận dụng cao
Chọn khẳng định đúng
Cho $x + y \geq2$ . Chọn khẳng định đúng?
- A.
  $x^{2} + y^{2} \geq2$
- B.
  $x^{2} + y^{2} \leq2$
- C.
  $x^{2} + y^{2} >2$
- D.
  $x^{2} + y^{2} <2$
Hướng dẫn:
Từ $x + y \geq 2$ bình phương hai vế (hai vế đều dương) ta được $x^{2} + 2xy +y^{2} > 4(*)$
Từ $(x - y)^{2} \geq 0 \Rightarrow x^{2} -2xy + y^{2} \geq 0(**)$
Cộng từng vế của (*) và (**) ta được:
$2x^{2} + 2y^{2} \geq 4$
Chia cả hai vế cho 2 ta được
$x^{2} + y^{2} \geq 2$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\left\{\begin{matrix}x + y = 2 \\(x - y)^{2} = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x + y = 2 \\x = y \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow x = y = 1$
Câu 29: Vận dụng cao
Chọn kết luận chính xác
Với các số $a,b,c$ bất kì. Hãy so sánh $3\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} ight)$ và $(a + b + c)^{2}$ ?
- A.
  $3\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} ight) < (a + b + c)^{2}$
- B.
  $3\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} ight) \geq (a + b + c)^{2}$
- C.
  $3\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} ight) \leq (a + b + c)^{2}$
- D.
  $3\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} ight) = (a + b + c)^{2}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$3\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} ight) - (a + b + c)^{2}$

$= 3a^{2} + 3b^{2} + 3c^{2} - a^{2} - b^{2} - c^{2} - 2ab - 2ac - 2bc$

$= 2a^{2} + 2b^{2} + 2c^{2} - 2ab - 2ac - 2bc$

$= (a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (c - a)^{2} \geq 0$

(vì $(a - b)^{2} \geq 0;(b - c)^{2} \geq 0;(c - a)^{2} \geq 0$ với mọi $a;b;c$ )

Nên $3\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} ight) \leq (a + b + c)^{2}$ .
Câu 30: Vận dụng cao
Chọn khẳng định đúng
Khẳng định nào sau đây đúng với mọi $a;b;c$ ?
- A.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} > ab + bc + ca$
- B.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} \leq ab + bc + ca$
- C.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq ab + bc + ca$
- D.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} = ab + bc + ca$
Hướng dẫn:
Ta có:

$a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - bc - ca$

$= \frac{1}{2}\left( 2a^{2} + 2b^{2} + 2c^{2} - 2ab - 2bc - 2ca ight)$

$= \frac{1}{2}\left\lbrack \left( a^{2} - 2ab + b^{2} ight) + \left( b^{2} - 2bc + c^{2} ight) + \left( c^{2} - 2ca + a^{2} ight) ightbrack$

$= \frac{1}{2}\left\lbrack (a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (c - a)^{2} ightbrack \geq 0$

Vì $(a - b)^{2} \geq 0;(b - c)^{2} \geq 0;(c - a)^{2} \geq 0$ với mọi $a;b;c$ )

Nên $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq ab + bc + ca$

Dấu bằng xảy ra khi $a = b = c$ .

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Thiên Bình

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Ôn thi vào 10 môn Toán: Bất đẳng thức và các câu toán cực trị

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!