VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Ôn thi vào 10 môn Toán: Bất đẳng thức và các câu toán cực trị

Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 30 câu
Điểm số bài kiểm tra: 30 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

00:00:00

Câu 1: Thông hiểu
Tìm x thỏa mãn yêu cầu đề bài
Tìm điều kiện của x để biểu thức $\frac{x + 2}{3}$ không lớn hơn giá trị của biểu thức $\frac{2x - 3}{2}$ ?
- A.
  $x \geq - \frac{13}{4}$
- B.
  $x < - \frac{13}{4}$
- C.
  $x \geq \frac{13}{4}$
- D.
  $x < \frac{13}{4}$
Hướng dẫn:
Ta có để biểu thức $\frac{x + 2}{3}$ không lớn hơn giá trị của biểu thức $\frac{2x - 3}{2}$ thì

$\frac{x + 2}{3} \leq \frac{2x - 3}{2} \Leftrightarrow 2(x + 2) \leq 3(2x - 3)$

$\Leftrightarrow 2x + 4 \leq 6x - 9 \Leftrightarrow 13 \leq 4x \Leftrightarrow x \geq \frac{13}{4}$

Vậy $x \geq \frac{13}{4}$ thì biểu thức $\frac{x + 2}{3}$ không lớn hơn giá trị của biểu thức $\frac{2x - 3}{2}$ .
Câu 2: Thông hiểu
Tìm m thỏa mãn điều kiện
Để $x = 2$ là một nghiệm của bất phương trình $mx + 2 < x + 3 + m$ thì $m$ thoả mãn:
- A.
  $m < - 3$ .
- B.
  $m = 2$ .
- C.
  $m < 3$ .
- D.
  $m > 1$ .
Hướng dẫn:
Vì $x = 2$ là một nghiệm của bất phương trình nên

$m.2 + 2 < 2 + 3 + m$

Suy ra $m.2 - m < 2 + 3 - 2$

$m < 3$
Câu 3: Thông hiểu
Tìm nghiệm của bất phương trình khi m = 2
Cho bất phương trình $\left( m^{2} - 2m ight)x + 1 < m$ . Khi $m = 2$ thì nghiệm của bất phương trình là:
- A.
  $\forall x\mathbb{\in R}$
- B.
  $x > - 1$
- C.
  $x > 0$
- D.
  $x < 1$
Hướng dẫn:
Thay $m = 2$ vào bất phương trình ta được:

$\left( 2^{2} - 2.2 ight)x + 1 < 2 \Leftrightarrow 0.x + 1 < 2 \Leftrightarrow 0.x < 1$

Vậy với m = 2 thì bất phương trình có nghiệm $\forall x\mathbb{\in R}$ .
Câu 4: Thông hiểu

Ghi đáp án vào chỗ trống

a) Rút gọn biểu thức sau: $\sqrt{\left( \sqrt{5} - 1 ight)^{2}} - \sqrt{5}$

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

b) Giải bất phương trình sau: $3x - 6 > 0$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

a) Rút gọn biểu thức sau: $\sqrt{\left( \sqrt{5} - 1 ight)^{2}} - \sqrt{5}$

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

b) Giải bất phương trình sau: $3x - 6 > 0$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 5: Vận dụng
Tính số tiền gửi tiết kiệm ít nhất
Một ngân hàng đang áp dụng lãi suất gửi tiết kiệm kì hạn $12$ tháng là $6,9\%$ / năm. Bà Hoa dự kiến gửi một khoản tiền vào ngân hàng này và cần số tiền lãi hàng năm ít nhất là $50$ triệu để chi tiêu. Hỏi số tiền bà Hoa cần gửi tiết kiệm ít nhất là bao nhiêu (làm tròn đến triệu đồng)
- A. 800.
- B. 650.
- C.
  725.
- D. 750.
Hướng dẫn:
Gọi $x$ (triệu đồng) là số tiền bà Hoa cần gửi tiết kiệm. Ta có số tiền lãi gửi tiết kiệm $x$ (triệu đồng) trong một năm là $0,069x$ (triệu đồng)

Để có số tiền lãi ít nhất là $50$ triệu đồng/năm thì ta phải có

$0,069x \geq 50$

$x \geq 724,64$

Vậy bà Hoa cần gửi ngân hàng ít nhất $725$ triệu đồng
Câu 6: Vận dụng
Tìm x để biểu thức thỏa mãn yêu cầu
Với giá trị nào của x để biểu thức $A = \frac{x - 3}{x + 1}$ có giá trị không lớn hơn 1?
- A.
  $x \geq - 1$
- B.
  $x > - 1$
- C.
  $x < - 1$
- D.
  $x < - 1$
Hướng dẫn:
Điều kiện xác định $x eq - 1$

Để biểu thức $A = \frac{x - 3}{x + 1}$ có giá trị không lớn hơn 1 thì:

$\frac{x - 3}{x + 1} \leq 1 \Leftrightarrow \frac{x - 3}{x + 1} - 1 \leq 0$

$\Leftrightarrow \frac{x - 3 - x - 1}{x + 1} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{- 4}{x + 1} \leq 0$

Vì $- 4 < 0$ và $x - 1 eq 0$ nên $x + 1 > 0 \Leftrightarrow x > - 1$

Vậy x > -1 để biểu thức $A = \frac{x - 3}{x + 1}$ có giá trị không lớn hơn 1.
Câu 7: Vận dụng
Tìm x để biểu thức nhỏ hơn 0
Cho biểu thức $A = \frac{x^{2} + 6x + 9}{x^{3} + 27}:\frac{- x^{3} + 3x^{2} + 9x - 27}{x^{2} - 6x + 9}$ . Tìm x để $A < 0$ ?
- A.
  $x < - 3$
- B.
  $x > 9$
- C.
  $x > 3$
- D.
  $x eq \pm 3$
Hướng dẫn:
Điều kiện xác định: $x eq \pm 3$

Ta có:

$A = \frac{x^{2} + 6x + 9}{x^{3} + 27}:\frac{- x^{3} + 3x^{2} + 9x - 27}{x^{2} - 6x + 9}$

$A = \frac{(x + 3)^{2}}{(x + 3)\left( x^{2} - 3x + 9 ight)}.\frac{(x - 3)^{2}}{\left( x^{2} - 9 ight)(3 - x)} = - \frac{1}{x^{2} - 3x + 9}$

Vì $x^{2} - 3x + 9 = \left( x - \frac{3}{2} ight)^{2} + \frac{27}{4} > 0\forall x$

Do đó $A < 0$ với mọi $x eq \pm 3$ .
Câu 8: Vận dụng

Ghi lời giải bài toán vào ô trống

Ông Năm vào cửa hàng điện máy xanh chọn mua một cái máy lạnh trong mùa nắng nóng, ông định lựa chọn 1 trong 2 loại sau: máy lạnh DAIKIN có giá 12 triệu đồng và sử dụng trung bình khoảng 10000KWh điện trong một năm, máy lạnh PANASONIC giá 10 triệu đồng và sử dụng trung bình khoảng 11000KWh điện trong 1 năm, biết rằng 2 loại máy lạnh đều có công năng như nhau và giá 1KWh điện là 2000đ.

Biết tổng chi phí cho mỗi loại máy lạnh bao gồm tiền mua máy và tiền điện; theo em với thời gian sử dụng bao lâu thì ông Năm mua máy lạnh DAIKIN sẽ có lợi hơn?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Ông Năm vào cửa hàng điện máy xanh chọn mua một cái máy lạnh trong mùa nắng nóng, ông định lựa chọn 1 trong 2 loại sau: máy lạnh DAIKIN có giá 12 triệu đồng và sử dụng trung bình khoảng 10000KWh điện trong một năm, máy lạnh PANASONIC giá 10 triệu đồng và sử dụng trung bình khoảng 11000KWh điện trong 1 năm, biết rằng 2 loại máy lạnh đều có công năng như nhau và giá 1KWh điện là 2000đ.

Biết tổng chi phí cho mỗi loại máy lạnh bao gồm tiền mua máy và tiền điện; theo em với thời gian sử dụng bao lâu thì ông Năm mua máy lạnh DAIKIN sẽ có lợi hơn?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 9: Vận dụng

Ghi lời giải bài toán vào ô trống

Để lập đội tuyển năng khiếu về bóng rổ của trường THCS Nguyễn Hiền, thầy Nam đưa ra quy định tuyển chọn như sau: mỗi bạn dự tuyển sẽ được ném 15 quả bóng vào rổ, quả bóng vào rổ được cộng 2 điểm; quả bóng ném ra ngoài bị trừ 1 điểm. Nếu bạn nào có số điểm từ 15 điểm trở lên thì sẽ được chọn vào đội tuyển. Hỏi một học sinh muốn được chọn vào đội tuyển thì phải ném ít nhất bao nhiêu quả vào rổ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Để lập đội tuyển năng khiếu về bóng rổ của trường THCS Nguyễn Hiền, thầy Nam đưa ra quy định tuyển chọn như sau: mỗi bạn dự tuyển sẽ được ném 15 quả bóng vào rổ, quả bóng vào rổ được cộng 2 điểm; quả bóng ném ra ngoài bị trừ 1 điểm. Nếu bạn nào có số điểm từ 15 điểm trở lên thì sẽ được chọn vào đội tuyển. Hỏi một học sinh muốn được chọn vào đội tuyển thì phải ném ít nhất bao nhiêu quả vào rổ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 10: Vận dụng
Chọn đáp án đúng
Lan có số tiền không quá $50000$ đồng gồm $15$ tờ giấy bạc với hai loại mệnh giá: Loại $2000$ đồng và loại $5000$ đồng. Hỏi Lan có nhiều nhất bao nhiêu tờ giấy bạc loại $5000$ đồng?
- A.
  $6$ .
- B.
  $5$ .
- C.
  $7$ .
- D.
  $4$ .
Hướng dẫn:
Gọi $x$ là số tờ giấy bạc loại $5000$ đồng Lan có ( $0 < x < 10,x \in N$ )

Số tờ giấy bạc loại $2000$ đồng Lan có là $15 - x$ (tờ)

Tổng số tiền Lan có là: O10-2024-GV154 $5x + 2(15 - x)$ (nghìn đồng)

Vì số tiền Lan có không quá $50$ nghìn đồng nên ta có:

$5x + 2(15 - x) \leq 50$

Giải bất phương trình trên được $x \leq \frac{20}{3}$

Kết hợp với điều kiện và $x$ lớn nhất nên $x = 6$
Câu 11: Vận dụng
Xác định độ dài đoạn đường tối thiểu
Một người đi bộ một quảng đường dài 10 km trong khoảng thời gian không nhiều hơn 3 giờ. Lúc đầu người đó đi với vận tốc 4 km/h, về sau đi với vận tốc 3 km/h. Xác định độ dài đoạn đường tối thiểu mà người đó đã đi với vận tốc 4 km/h.
- A.
  $4km$
- B.
  $5km$
- C.
  $6km$
- D.
  $3km$
Hướng dẫn:
Gọi độ dài đoạn đường tối thiểu mà người đó đi được với vận tốc 4 km/h là x (km).

Điều kiện: 0 < x < 10.

Quãng đường lúc sau là 10 − x (km).

Thời gian lúc đầu là $\frac{x}{4}$ giờ

Thời gian lúc sau $\frac{10 - x}{3}$ giờ

Do tổng thời gian đi bộ không quá 3 giờ nên ta có bất phương trình $\frac{x}{4} + \frac{10 - x}{3} \leq 3$ Giải ra ta được x ≥ 4.

Kết hợp điều kiện ta được 4 ≤ x < 10.

Vậy độ dài tối thiểu mà người đó đi được với vận tốc 4 km/h là 4 km.
Câu 12: Vận dụng

Ghi lời giải bài toán vào ô trống

a) Trong các bất phương trình sau đâu là bất phương trình bậc nhất một ẩn vì sao?

$- x + 2 \leq 0;x^{2} + 1 > 0$

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

b) Tìm một số là nghiệm, một số không là nghiệm của bất phương trình bậc nhất một ẩn tìm được ở câu a).

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

c) Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn tìm được ở câu a).

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

a) Trong các bất phương trình sau đâu là bất phương trình bậc nhất một ẩn vì sao?

$- x + 2 \leq 0;x^{2} + 1 > 0$

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

b) Tìm một số là nghiệm, một số không là nghiệm của bất phương trình bậc nhất một ẩn tìm được ở câu a).

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

c) Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn tìm được ở câu a).

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 13: Vận dụng cao
Tính giá máy tính bảng lúc ban đầu
Sau một thời gian phát hành, nhà sản xuất đã ra quyết định giảm giá một dòng máy tính bảng để khuyến mãi. Đợt một giảm $5\%$ đợt hai giảm $4\%$ trên giá sau khi giảm đợt một. Sau hai đợt giảm giá, một chiếc máy tính bảng hiện được bán với giá gần đến $4560000$ đồng. Hỏi giá chiếc máy tính bảng ban đầu khoảng bao nhiêu ?
- A.
  khoảng $8$ triệu đồng.
- B.
  khoảng $7$ triệu đồng.
- C.
  khoảng $6$ triệu đồng.
- D.
  khoảng $5$ triệu đồng.
Hướng dẫn:
Gọi $x$ (đồng) là giá ban đầu của máy tính bảng

Theo đề bài ta có

$x(100\% - 5\%)(100\% - 4\%) < 4560000$

$x < 5000000$

Vậy máy tính bảng ban đầu có giá khoảng $5$ triệu đồng.
Câu 14: Vận dụng cao
Giải bất phương trình và tìm nghiệm theo yêu cầu
Tìm số nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình:

$\frac{1987 - x}{15} + \frac{1988 - x}{16} + \frac{27 + x}{1999} + \frac{28 + x}{2000} > 4$
- A.
  $1971$
- B.
  $1988$
- C.
  $1970$
- D.
  $1985$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\frac{1987 - x}{15} + \frac{1988 - x}{16} + \frac{27 + x}{1999} + \frac{28 + x}{2000} > 4$

$\Leftrightarrow \left( \frac{1987 - x}{15} - 1 ight) + \left( \frac{1988 - x}{16} - 1 ight) + \left( \frac{27 + x}{1999} - 1 ight) + \left( \frac{28 + x}{2000} - 1 ight) > 0$

$\Leftrightarrow \frac{1972 - x}{15} + \frac{1972 - x}{16} + \frac{x - 1972}{1999} + \frac{x - 1972}{2000} > 0$

$\Leftrightarrow (1972 - x)\left( \frac{1}{15} + \frac{1}{16} + \frac{1}{1999} + \frac{1}{2000} ight) > 0$

Vì $\frac{1}{15} + \frac{1}{16} + \frac{1}{1999} + \frac{1}{2000} > 0$ nên $1972 - x > 0 \Leftrightarrow x < 1972$

Suy ra nghiệm của bất phương trình là $x < 1972$

Vậy số nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình là $1971$
Câu 15: Vận dụng cao
Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình
Giá trị nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình $\frac{x - 2}{2002} + \frac{x - 4}{2000} < \frac{x - 3}{2001} + \frac{x - 5}{1999}$ là:
- A.
  $2008$
- B.
  $2005$
- C.
  $2004$
- D.
  $2010$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\frac{x - 2}{2002} + \frac{x - 4}{2000} < \frac{x - 3}{2001} + \frac{x - 5}{1999}$

$\Leftrightarrow \frac{x - 2}{2002} - 1 + \frac{x - 4}{2000} - 1 < \frac{x - 3}{2001} - 1 + \frac{x - 5}{1999} - 1$

$\Leftrightarrow \frac{x - 2004}{2002} + \frac{x - 2004}{2000} < \frac{x - 2004}{2001} + \frac{x - 2004}{1999}$

$\Leftrightarrow (x - 2004)\left( \frac{1}{2002} + \frac{1}{2000} - \frac{1}{2001} - \frac{1}{1999} ight) < 0$

Vì $\frac{1}{2002} + \frac{1}{2000} - \frac{1}{2001} - \frac{1}{1999} < 0$ nên $x - 2004 > 0 \Leftrightarrow x > 2004$

Vậy giá trị nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình là 2005.
Câu 16: Vận dụng cao
Tìm giá trị nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình
Cho bất phương trình $\frac{2x - 4}{2014} + \frac{2x - 2}{2016} < \frac{2x - 1}{2017} + \frac{2x - 3}{2015}$ . Tìm giá trị nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình đã cho?
- A.
  $1012$
- B.
  $1009$
- C.
  $1008$
- D.
  $1010$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\frac{2x - 4}{2014} + \frac{2x - 2}{2016} < \frac{2x - 1}{2017} + \frac{2x - 3}{2015}$

$\Leftrightarrow \frac{2x - 4}{2014} + \frac{2x - 2}{2016} - \frac{2x - 1}{2017} - \frac{2x - 3}{2015} < 0$

$\Leftrightarrow \left( \frac{2x - 4}{2014} - 1 ight) + \left( \frac{2x - 2}{2016} - 1 ight) - \left( \frac{2x - 1}{2017} - 1 ight) - \left( \frac{2x - 3}{2015} - 1 ight) > 0$

$\Leftrightarrow \frac{2x - 2018}{2014} + \frac{2x - 2018}{2016} - \frac{2x - 2018}{2017} - \frac{2x - 2018}{2015} < 0$

$\Leftrightarrow (2x - 2018)\left( \frac{1}{2014} + \frac{1}{2016} - \frac{1}{2017} - \frac{1}{2018} ight) < 0$

Vì $\frac{1}{2014} + \frac{1}{2016} - \frac{1}{2017} - \frac{1}{2018} > 0$ nên $2x - 2018 < 0 \Leftrightarrow x < 1009$

Suy ra nghiệm của bất phương trình là $x < 1009$

Vậy số nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình là $1008$ .
Câu 17: Thông hiểu

Ghi lời giải bài toán vào ô trống

a) Trong các cặp số sau $(12;1);(1;1)$ cặp số nào là nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn $2x - 5y = 19$ .

b) Cho $x > y$ . Hãy so sánh $2x - 5$ và $2y - 5$ .

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

c) Đưa biểu thức sau ra ngoài dấu căn: $\sqrt[3]{(x - 1)^{3}}$

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

d) Tính: $\sqrt{\left( 2 - \sqrt{5} ight)^{2}} + \sqrt{45} - \sqrt{20}$

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

a) Trong các cặp số sau $(12;1);(1;1)$ cặp số nào là nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn $2x - 5y = 19$ .

b) Cho $x > y$ . Hãy so sánh $2x - 5$ và $2y - 5$ .

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

c) Đưa biểu thức sau ra ngoài dấu căn: $\sqrt[3]{(x - 1)^{3}}$

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

d) Tính: $\sqrt{\left( 2 - \sqrt{5} ight)^{2}} + \sqrt{45} - \sqrt{20}$

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 18: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng
Với $x,y$ bất kì. Chọn khẳng định đúng?
- A.
  $(x + y)^{2} \geq 4xy$
- B.
  $(x + y)^{2} > 4xy$
- C.
  $(x + y)^{2} \leq 4xy$
- D.
  $(x + y)^{2} < 4xy$
Hướng dẫn:
Xét biểu thức

$A = (x + y)^{2} - 4xy = x^{2} + 2xy + y^{2} - 4xy$

$= x^{2} - 4xy + y^{2} = (x - y)^{2}$

Mà $(x - y)^{2} \geq 0;\forall x;y\mathbb{\in R}$ suy ra $A \geq 0;\forall x;y\mathbb{\in R}$

Suy ra $(x + y)^{2} \geq 4xy$ .
Câu 19: Thông hiểu
Chọn kết luận đúng
Cho $a > b > 0$ . Kết luận nào đúng?
- A.
  $a^{2} < ab$ và $a^{3} < b^{3}$
- B.
  $a^{2} < ab$ và $a^{3} > b^{3}$ .
- C.
  $a^{2} > ab$ và $a^{3} < b^{3}$
- D.
  $a^{2} > ab$ và $a^{3} > b^{3}$
Hướng dẫn:
Với $a > b > 0$ ta có:

$a.a > a.b \Leftrightarrow a^{2} > ab$

Ta có: $a^{2} > ab \Rightarrow a^{2}.a > a.ab \Rightarrow a^{3} > a^{2}b$

Mà $a > b > 0 \Rightarrow a.b > b.b \Rightarrow a.b > b^{2}$

$\Rightarrow a.b.b > b^{2}.b \Rightarrow a.b^{2} > b^{3} \Rightarrow a^{3} > a.b^{2} > b^{3}$

Vậy $a^{2} > ab$ và $a^{3} > b^{3}$ .
Câu 20: Thông hiểu
Tìm số khẳng định sai
Biết $a < b$ . Cho các khẳng định sau:

(1) $a - 1 < b - 1$

(2) $a - 1 < b$

(3) $a + 2 < b + 1$

Trong các khẳng định trên, số khẳng định sai là:
- A.
  $4$
- B.
  $1$
- C.
  $3$
- D.
  $2$
Hướng dẫn:
Vì $a < b$ cộng hai vế của bất đẳng thức với $- 1$ ta được $a - 1 < b - 1$

Suy ra (1) đúng.

Vì $a - 1 < b - 1$ (chứng minh trên) mà $b - 1 < b$ nên $a - 1 < b$ (tính chất bắc cầu)

Suy ra (2) đúng.

Vì $a < b$ cộng hai vế của bất đẳng thức với 1 ta được $a + 1 < b + 1$ mà $a + 1 < a + 2$ nên chưa đủ dữ liệu để nói rằng $a + 2 < b + 1$

Suy ra (3) sai.
Câu 21: Vận dụng
Tính giá trị lớn nhất của biểu thức
Cho biểu thức $B = x + \frac{1}{x}$ . Tính giá trị lớn nhất của biểu thức $B$ ?
- A.
  $0$
- B.
  $- 2$
- C.
  $1$
- D.
  $4$
Hướng dẫn:
Ta có:

$B = x + \frac{1}{x} = \frac{x^{2} + 1}{x} + 2 - 2$

$= \frac{x^{2} + 2x + 1}{x} - 2 = \frac{(x + 1)^{2}}{x} - 2$

Ta có: $(x + 1)^{2} \geq 0;\forall x < 0$

$\Rightarrow (x + 1)^{2}.\frac{1}{x} \leq 0.\frac{1}{x}$

$\Rightarrow (x + 1)^{2}.\frac{1}{x} \leq 0$

$\Rightarrow (x + 1)^{2}.\frac{1}{x} - 2 \leq - 2$

$\Rightarrow B \leq - 2$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $(x + 1)^{2} = 0 \Leftrightarrow x = - 1(tm\ \ x\ < \ 0)$

Vậy với $x < 0$ giá trị lớn nhất của biểu thức B là -2 khi $x = - 1$ .
Câu 22: Vận dụng
Chọn khẳng định sai
Với $a;b$ bất kì. Chọn khẳng định sai?
- A.
  $4a + 4 \leq a^{2} + 8$
- B.
  $a^{2} + 3 > - 2a$
- C.
  $- ab - b^{2} \leq a^{2}$
- D.
  $a^{2} + 1 < - a$
Hướng dẫn:
Ta có:

$a^{2} + 2a + 3 = a^{2} + 2a + 1 + 2 = (a + 1)^{2} + 2 > 0$ luôn đúng

Suy ra $a^{2} + 3 > - 2a$ đúng

$a^{2} + 8 - (4a + 4) = a^{2} - 4a + 4 = (a - 2)^{2} \geq 0$ luôn đúng

Suy ra $4a + 4 \leq a^{2} + 8$ đúng

$a^{2} + a + 1 = a^{2} + 2a.\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \left( a + \frac{1}{2} ight)^{2} + \frac{3}{4} > 0$ luôn đúng

Suy ra $a^{2} + 1 < - a$ sai

$a^{2} + ab + b^{2} = a^{2} + 2a.\frac{b}{2} + \frac{b^{2}}{4} + \frac{3b^{2}}{4}$

$= \left( a + \frac{b}{2} ight)^{2} + \frac{3b^{2}}{4} \geq 0$ luôn đúng

Suy ra $- ab - b^{2} \leq a^{2}$ đúng.
Câu 23: Vận dụng
Chọn kết luận đúng
Biết rằng $0 < a < b$ . Chọn kết luận đúng?
- A.
  $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} < 2$
- B.
  $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 1$
- C.
  $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} > 2$
- D.
  $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$
Hướng dẫn:
Với $0 < a < b$ ta có: $(a - b)^{2} > 0$

$\Leftrightarrow a^{2} - b^{2} - 2ab > 0$

$\Leftrightarrow a^{2} - b^{2} > 2ab$

$\Leftrightarrow \frac{a^{2} - b^{2}}{ab} > \frac{2ab}{ab}$ (vì $ab > 0$ )

$\Leftrightarrow \frac{a^{2}}{ab} - \frac{b^{2}}{ab} > 2 \Leftrightarrow \frac{a}{b} + \frac{b}{a} > 2$
Câu 24: Vận dụng
Chọn kết luận đúng
Cho $x + y > 1$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $x^{2} + y^{2} = \frac{1}{2}$
- B.
  $x^{2} + y^{2} < \frac{1}{2}$
- C.
  $x^{2} + y^{2} \leq \frac{1}{2}$
- D.
  $x^{2} + y^{2} > \frac{1}{2}$
Hướng dẫn:
Từ $x + y > 1$ bình phương hai vế (hai vế đều dương) ta được $x^{2} + 2xy + y^{2} > 1(*)$

Từ $(x - y)^{2} \geq 0 \Rightarrow x^{2} - 2xy + y^{2} \geq 0(**)$

Cộng từng vế của (*) và (**) ta được:

$2x^{2} + 2y^{2} > 1$

Chia cả hai vế cho 2 ta được

$x^{2} + y^{2} > \frac{1}{2}$
Câu 25: Vận dụng
Chọn khẳng định sai
Với điều kiện $a;b$ bất kì. Chọn khẳng định sai?
- A.
  $a^{2} + 5 > 4a$
- B.
  $a^{2} + 1 > a$
- C.
  $a^{2} + 10 < 6a + 1$
- D.
  $ab - b^{2} \leq a^{2}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$a^{2} + 5 - 4a = a^{2} - 4a + 4 + 1 = (a - 2)^{2} + 1 > 0$ (luôn đúng) nên $a^{2} + 5 > 4a$ .

$a^{2} + 1 - a = a^{2} - 2a.\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \left( a - \frac{1}{2} ight)^{2} + \frac{3}{4} > 0$ (luôn đúng) nên $a^{2} + 1 > a$ .

$a^{2} + 10 - (6a + 1) = a^{2} - 6a + 9 = (a - 3)^{2}$

Vì $(a - 3)^{2} \geq 0$ luôn đúng nên $a^{2} + 10 \ge 6a - 1$

Suy ra khẳng định $a^{2} + 10 < 6a + 1$ sai.

Ta có:

$a^{2} - ab + b^{2}$

$= a^{2} - 2a.\frac{b}{2} + \frac{b^{2}}{4} + \frac{3b^{2}}{4}$

$= \left( a - \frac{b}{2} ight)^{2} + \frac{3b^{2}}{4}$

Vì $\left( a - \frac{b}{2} ight)^{2} \geq 0;\forall a,b\mathbb{\in R}$ suy ra $\left( a - \frac{b}{2} ight)^{2} + \frac{3b^{2}}{4} \geq 0$ luôn đúng

Suy ra $ab - b^{2} \leq a^{2}$
Câu 26: Vận dụng
Chọn kết luận đúng
Khẳng định nào sau đây đúng với mọi $a;b;c$ ?
- A.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} \leq 2ab + 2bc - 2ca$
- B.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} > 2ab + 2bc - 2ca$
- C.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq 2ab + 2bc - 2ca$
- D.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} < 2ab + 2bc - 2ca$
Hướng dẫn:
Ta có:

$a^{2} + b^{2} + c^{2} - (2ab + 2bc - 2ca)$

$= a^{2} + b^{2} + c^{2} - 2ab - 2bc + 2ca$

$= a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2a( - b) + 2( - b)c + 2ca$

$= \left\lbrack a + ( - b) + c ightbrack^{2} = (a - b + c)^{2} \geq 0$ với mọi $a;b;c$

Do đó $a^{2} + b^{2} + c^{2} - (2ab + 2bc - 2ca) \geq 0$

$\Rightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq 2ab + 2bc - 2ca$

Dấu bằng xảy ra khi $a - b + c = 0$ .
Câu 27: Vận dụng cao
Chọn kết luận chính xác
Với các số $a,b,c$ bất kì. Hãy so sánh $3\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} ight)$ và $(a + b + c)^{2}$ ?
- A.
  $3\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} ight) < (a + b + c)^{2}$
- B.
  $3\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} ight) \leq (a + b + c)^{2}$
- C.
  $3\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} ight) \geq (a + b + c)^{2}$
- D.
  $3\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} ight) = (a + b + c)^{2}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$3\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} ight) - (a + b + c)^{2}$

$= 3a^{2} + 3b^{2} + 3c^{2} - a^{2} - b^{2} - c^{2} - 2ab - 2ac - 2bc$

$= 2a^{2} + 2b^{2} + 2c^{2} - 2ab - 2ac - 2bc$

$= (a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (c - a)^{2} \geq 0$

(vì $(a - b)^{2} \geq 0;(b - c)^{2} \geq 0;(c - a)^{2} \geq 0$ với mọi $a;b;c$ )

Nên $3\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} ight) \leq (a + b + c)^{2}$ .
Câu 28: Vận dụng cao
Chọn khẳng định đúng
Cho $x + y \geq2$ . Chọn khẳng định đúng?
- A.
  $x^{2} + y^{2} >2$
- B.
  $x^{2} + y^{2} <2$
- C.
  $x^{2} + y^{2} \geq2$
- D.
  $x^{2} + y^{2} \leq2$
Hướng dẫn:
Từ $x + y \geq 2$ bình phương hai vế (hai vế đều dương) ta được $x^{2} + 2xy +y^{2} > 4(*)$
Từ $(x - y)^{2} \geq 0 \Rightarrow x^{2} -2xy + y^{2} \geq 0(**)$
Cộng từng vế của (*) và (**) ta được:
$2x^{2} + 2y^{2} \geq 4$
Chia cả hai vế cho 2 ta được
$x^{2} + y^{2} \geq 2$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\left\{\begin{matrix}x + y = 2 \\(x - y)^{2} = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x + y = 2 \\x = y \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow x = y = 1$
Câu 29: Vận dụng cao
Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Cho hai số thực dương $x;y$ thỏa mãn $\frac{4}{x^{2}} + \frac{5}{y^{2}} \geq 9$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $C = 2x^{2} + \frac{6}{x^{2}} + 3y^{2} + \frac{8}{y^{2}}$ ?
- A.
  $x \leq \frac{5}{3}$
- B.
  $x \geq \frac{5}{3}$
- C.
  $x \geq - \frac{5}{3}$
- D.
  $x \leq - \frac{5}{3}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$C = 2x^{2} + \frac{6}{x^{2}} + 3y^{2} + \frac{8}{y^{2}}$

$= 2x^{2} + \frac{2}{x^{2}} + 3y^{2} + \frac{3}{y^{2}} + \frac{4}{x^{2}} + \frac{5}{y^{2}}$

$= 2\left( x^{2} + \frac{1}{x^{2}} ight) + 3\left( y^{2} + \frac{1}{y^{2}} ight) + \left( \frac{4}{x^{2}} + \frac{5}{y^{2}} ight)$

Mặt khác ta có:

$2\left( x^{2} + \frac{1}{x^{2}} ight) \geq 2.2 = 4$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x^{2} = \frac{1}{x^{2}} \Leftrightarrow x^{4} = 1 \Leftrightarrow x = 1$ (vì $x > 0$ )

$3\left( y^{2} + \frac{1}{y^{2}} ight) \geq 3.2 = 6$ dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $y^{2} = \frac{1}{y^{2}} \Leftrightarrow y^{4} = 1 \Leftrightarrow y = 1$ vì (y >0)

$\left( \frac{4}{x^{2}} + \frac{5}{y^{2}} ight) \geq 9$ theo giả thiết.

Khi x =1; y = 1 thì dấu bằng xảy ra

$\Rightarrow C \geq 4 + 6 + 9 = 19$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức C bằng 19 khi x = y = 1.
Câu 30: Vận dụng cao

Ghi lời giải bài toán vào ô trống

Cho $a, b, c$ là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện $a + b + c = 1$ .

Chứng minh rằng: $\sqrt{\frac{ab}{c + ab}} + \sqrt{\frac{bc}{a + bc}} + \sqrt{\frac{ca}{b + ca}} \leq \frac{3}{2}$ .

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho $a, b, c$ là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện $a + b + c = 1$ .

Chứng minh rằng: $\sqrt{\frac{ab}{c + ab}} + \sqrt{\frac{bc}{a + bc}} + \sqrt{\frac{ca}{b + ca}} \leq \frac{3}{2}$ .

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Thiên Bình

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Ôn thi vào 10 môn Toán: Bất đẳng thức và các câu toán cực trị

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Ôn tập Toán 9 theo chuyên đề

Bộ bài tập Toán 9 (cơ bản)

Ôn thi HSG Toán 9