VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Ôn thi vào 10 môn Toán: Bất đẳng thức và các câu toán cực trị

Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 30 câu
Điểm số bài kiểm tra: 30 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

00:00:00

Câu 1: Thông hiểu
Tìm x thỏa mãn điều kiện
Tìm giá trị x sao cho giá trị của biểu thức $10x + 15$ không âm?
- A.
  $x \geq \frac{3}{2}$
- B.
  $x \geq - \frac{3}{2}$
- C.
  $x \leq \frac{3}{2}$
- D.
  $x \leq - \frac{3}{2}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$10x + 15 \geq 0 \Leftrightarrow 10x \geq - 15 \Leftrightarrow x \geq \frac{- 15}{10} \Leftrightarrow x \geq - \frac{3}{2}$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x \geq - \frac{3}{2}$ .
Câu 2: Thông hiểu
Tìm nghiệm của bất phương trình khi m = 2
Cho bất phương trình $\left( m^{2} - 2m ight)x + 1 < m$ . Khi $m = 2$ thì nghiệm của bất phương trình là:
- A.
  $x > 0$
- B.
  $\forall x\mathbb{\in R}$
- C.
  $x < 1$
- D.
  $x > - 1$
Hướng dẫn:
Thay $m = 2$ vào bất phương trình ta được:

$\left( 2^{2} - 2.2 ight)x + 1 < 2 \Leftrightarrow 0.x + 1 < 2 \Leftrightarrow 0.x < 1$

Vậy với m = 2 thì bất phương trình có nghiệm $\forall x\mathbb{\in R}$ .
Câu 3: Thông hiểu
Xác định nghiệm nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình
Tìm nghiệm nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình $2(3 - x) - 2(x - 3) < 3 - x$ ?
- A.
  $x = 0$
- B.
  $x = 4$
- C.
  $x = 2$
- D.
  $x = 6$
Hướng dẫn:
Ta có:

$2(3 - x) - 2(x - 3) < 3 - x$

$\Leftrightarrow 6 - 2x - 2x + 6 < 3 - x$

$\Leftrightarrow 12 - 4x < 3 - x \Leftrightarrow 3x > 9 \Leftrightarrow x > 3$

Vậy nghiệm nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình là x = 4.
Câu 4: Thông hiểu
Tìm số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình
Số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình $\frac{x + 4}{5} - x + 5 < \frac{x + 3}{3} - \frac{x - 2}{2}$ là:
- A.
  $7$
- B.
  $5$
- C.
  $6$
- D.
  $8$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\frac{x + 4}{5} - x + 5 < \frac{x + 3}{3} - \frac{x - 2}{2}$

$\Leftrightarrow 6(x + 4) - 30x + 150 < 10(x + 3) - 15(x - 2)$

$\Leftrightarrow 6x - 30x - 10x + 15x < 30 + 30 - 24 - 150$

$\Leftrightarrow - 19x < - 114 \Leftrightarrow x > 6$

Suy ra nghiệm của bất phương trình là $x > 6$

Vậy nghiệm nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình là $x = 7$ .
Câu 5: Vận dụng
Tìm a thỏa mãn điều kiện đề bài
Với giá trị nào của $x$ để biểu thức $A = \frac{5 - 2x}{x^{2} + 4}$ có giá trị dương?
- A.
  $x > 2$
- B.
  $x = \frac{5}{2}$
- C.
  $x < \frac{5}{2}$
- D.
  $x > \frac{5}{2}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$A = \frac{5 - 2x}{x^{2} + 4}$ có giá trị dương $\Rightarrow A > 0$

Ta có: $x^{2} \geq 0;\forall x\in\mathbb{R \Rightarrow}x^{2} + 4 > 0;\forall x\in \mathbb{R}$

$\Rightarrow A > 0 \Leftrightarrow 5 - 2x > 0 \Leftrightarrow x < \frac{5}{2}$

Vậy $x < \frac{5}{2}$ thì A có giá trị dương.
Câu 6: Vận dụng
Tìm nghiệm của bất phương trình
Giải phương trình $(2x - 1)(x + 3) - 3x + 1 \leq (x - 1)(2x + 3)$ ta được nghiệm là
- A.
  $x \geq \frac{- 5}{3}$ .
- B.
  $x \leq - 1$ .
- C.
  $x \leq \frac{- 5}{3}$ .
- D.
  $x \geq - 1$ .
Hướng dẫn:
Ta có $(2x - 1)(x + 3) - 3x + 1 \leq (x - 1)(2x + 3)$

Suy ra $2x^{2} + 5x - 3 - 3x + 1 \leq 2x^{2} + x - 3$

$x \leq - 1$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x \leq - 1$
Câu 7: Vận dụng
Tính đoạn đường tối thiểu mà người đó đã đi
Một người đi bộ một quãng đường dài 18 km trong khoảng thời gian không quá 4 giờ. Lúc đầu người đó đi với vận tốc 5km/h về sau đi với vận tốc 4km/h. Hỏi đoạn đường tối thiểu mà người đó đã đi với vận tốc 5km/h bằng bao nhiêu?
- A.
  $8km$
- B.
  $7km$
- C.
  $5km$
- D.
  $10km$
Hướng dẫn:
Gọi độ dài đoạn đường tối thiểu mà người đó đi được với vận tốc 5 km/h là x (km).
Điều kiện: 0 < x < 18.
Thời gian người đó đi với vận tốc 5 km/h là $\frac{x}{5}$ giờ
Quãng đường còn lại người đó đi với vận tốc 4 km/h là 18 − x (km).
Thời gian người đó đi với vận tốc 4 km/h là $\frac{18 - x}{4}$ giờ.
Do tổng thời gian đi bộ không quá 4 giờ nên ta có bất phương trình $\frac{x}{5} + \frac{18 - x}{4} \leq4$ .
Giải ra ta được x ≥ 10.
Kết hợp điều kiện ta được 10 ≤ x < 18.
Vậy độ dài tối thiểu mà người đó đi được với vận tốc 5 km/h là 10 km.
Câu 8: Vận dụng
Chọn đáp án đúng
Lan có số tiền không quá $50000$ đồng gồm $15$ tờ giấy bạc với hai loại mệnh giá: Loại $2000$ đồng và loại $5000$ đồng. Hỏi Lan có nhiều nhất bao nhiêu tờ giấy bạc loại $5000$ đồng?
- A.
  $5$ .
- B.
  $7$ .
- C.
  $6$ .
- D.
  $4$ .
Hướng dẫn:
Gọi $x$ là số tờ giấy bạc loại $5000$ đồng Lan có ( $0 < x < 10,x \in N$ )

Số tờ giấy bạc loại $2000$ đồng Lan có là $15 - x$ (tờ)

Tổng số tiền Lan có là: O10-2024-GV154 $5x + 2(15 - x)$ (nghìn đồng)

Vì số tiền Lan có không quá $50$ nghìn đồng nên ta có:

$5x + 2(15 - x) \leq 50$

Giải bất phương trình trên được $x \leq \frac{20}{3}$

Kết hợp với điều kiện và $x$ lớn nhất nên $x = 6$
Câu 9: Vận dụng
Tính số tiền gửi tiết kiệm ít nhất
Một ngân hàng đang áp dụng lãi suất gửi tiết kiệm kì hạn $12$ tháng là $6,9\%$ / năm. Bà Hoa dự kiến gửi một khoản tiền vào ngân hàng này và cần số tiền lãi hàng năm ít nhất là $50$ triệu để chi tiêu. Hỏi số tiền bà Hoa cần gửi tiết kiệm ít nhất là bao nhiêu (làm tròn đến triệu đồng)
- A. 800.
- B. 750.
- C. 650.
- D.
  725.
Hướng dẫn:
Gọi $x$ (triệu đồng) là số tiền bà Hoa cần gửi tiết kiệm. Ta có số tiền lãi gửi tiết kiệm $x$ (triệu đồng) trong một năm là $0,069x$ (triệu đồng)

Để có số tiền lãi ít nhất là $50$ triệu đồng/năm thì ta phải có

$0,069x \geq 50$

$x \geq 724,64$

Vậy bà Hoa cần gửi ngân hàng ít nhất $725$ triệu đồng
Câu 10: Vận dụng

Điền đáp án vào chỗ trống

Một người cần di chuyển đến địa điểm A, người đó bắt GrabCar để đi. Biết rằng khi đi GrabCar giá sẽ rẻ gấp đôi mỗi kilomet so với taxi truyền thống nhưng sẽ chịu giá mở xe là 5000 đồng (giá mở cửa xe là khi bạn đặt xe dù đi hay không tài khoản sẽ tự động trừ tiền). Biết rằng số tiền người đó phải trả là số tròn chục nghìn, số tiền đó lớn hơn 25000 đồng và nhỏ hơn 35000 đồng. Tính số tiền nếu người đó đi xe taxi truyền thống đến A?

Số tiền cần tìm là: 50000 đồng.

Đáp án là:

Một người cần di chuyển đến địa điểm A, người đó bắt GrabCar để đi. Biết rằng khi đi GrabCar giá sẽ rẻ gấp đôi mỗi kilomet so với taxi truyền thống nhưng sẽ chịu giá mở xe là 5000 đồng (giá mở cửa xe là khi bạn đặt xe dù đi hay không tài khoản sẽ tự động trừ tiền). Biết rằng số tiền người đó phải trả là số tròn chục nghìn, số tiền đó lớn hơn 25000 đồng và nhỏ hơn 35000 đồng. Tính số tiền nếu người đó đi xe taxi truyền thống đến A?

Số tiền cần tìm là: 50000 đồng.

Gọi số tiền người đó phải trả khi đi xe truyền thống là x (đồng)

Theo giả thiết, số tiền người đó phải trả khi di Grab là $\frac{x}{2} + 500$ đồng

Mà $25000 < \frac{x}{2} + 500 < 35000$ và đó là số tiền tròn chục nên suy ra $\frac{x}{2} + 5000 = 30000$

Từ đó tìm được $x = 50000$ đồng.
Câu 11: Vận dụng

Ghi lời giải bài toán vào ô trống

Một học sinh làm một bài thi Toán gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm, mỗi câu đúng được cộng 5 điểm, mỗi câu sai bị trừ 2 điểm, câu không làm thì không trừ cũng không cộng điểm. Biết học sinh đã làm 19 câu và đạt hơn 62 điểm. Hãy cho biết số câu đúng tối thiểu mà học sinh đã làm được.

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Một học sinh làm một bài thi Toán gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm, mỗi câu đúng được cộng 5 điểm, mỗi câu sai bị trừ 2 điểm, câu không làm thì không trừ cũng không cộng điểm. Biết học sinh đã làm 19 câu và đạt hơn 62 điểm. Hãy cho biết số câu đúng tối thiểu mà học sinh đã làm được.

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 12: Vận dụng
Tìm x để biểu thức thỏa mãn yêu cầu
Với giá trị nào của x để biểu thức $A = \frac{x - 3}{x + 1}$ có giá trị không lớn hơn 1?
- A.
  $x > - 1$
- B.
  $x \geq - 1$
- C.
  $x < - 1$
- D.
  $x < - 1$
Hướng dẫn:
Điều kiện xác định $x eq - 1$

Để biểu thức $A = \frac{x - 3}{x + 1}$ có giá trị không lớn hơn 1 thì:

$\frac{x - 3}{x + 1} \leq 1 \Leftrightarrow \frac{x - 3}{x + 1} - 1 \leq 0$

$\Leftrightarrow \frac{x - 3 - x - 1}{x + 1} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{- 4}{x + 1} \leq 0$

Vì $- 4 < 0$ và $x - 1 eq 0$ nên $x + 1 > 0 \Leftrightarrow x > - 1$

Vậy x > -1 để biểu thức $A = \frac{x - 3}{x + 1}$ có giá trị không lớn hơn 1.
Câu 13: Vận dụng cao
Xác định nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình
Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình $\frac{x + 1}{2019} + \frac{x + 2}{2018} + \frac{x + 3}{2017} + ... + \frac{x + 100}{1920} > - 100$ ?
- A.
  $2010$
- B.
  $- 2020$
- C.
  $- 2019$
- D.
  $2020$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\frac{x + 1}{2019} + \frac{x + 2}{2018} + \frac{x + 3}{2017} + ... + \frac{x + 100}{1920} > - 100$

$\Leftrightarrow \frac{x + 2020}{2019} + \frac{x + 2020}{2018} + \frac{x + 2020}{2017} + ... + \frac{x + 2020}{1920} > 0$

$\Leftrightarrow (x + 2020)\left( \frac{1}{2019} + \frac{1}{2018} + \frac{1}{2017} + ... + \frac{1}{1920} ight) > 0$

Vì $\frac{1}{2019} + \frac{1}{2018} + \frac{1}{2017} + ... + \frac{1}{1920} > 0$ nên $x + 2020 > 0 \Rightarrow x > - 2020$

Vậy giá trị nguyên nhỏ nhất cần tìm là x = -2019.
Câu 14: Vận dụng cao
Giải bất phương trình
Bất phương trình $\frac{x + 2004}{2005} +\frac{x + 2005}{2006} < \frac{x + 2006}{2007} + \frac{x +2007}{2008}$ có nghiệm là
- A.
  $x < 1$ .
- B.
  $x > 1$ .
- C.
  $x < - 1$ .
- D.
  $x > - 1$ .
Hướng dẫn:
Ta có

$\frac{x + 2004}{2005} + \frac{x + 2005}{2006} < \frac{x + 2006}{2007} + \frac{x + 2007}{2008}$

Suy ra $- \frac{x + 2004}{2005} - \frac{x + 2005}{2006} > - \frac{x + 2006}{2007} - \frac{x + 2007}{2008}$

$1 - \frac{x + 2004}{2005} + 1 - \frac{x + 2005}{2006} > 1 - \frac{x + 2006}{2007} + 1 - \frac{x + 2007}{2008}$

$\frac{2005}{2005} - \frac{x + 2004}{2005} + \frac{2006}{2006} - \frac{x + 2005}{2006} > \frac{2007}{2007} - \frac{x + 2006}{2007} + \frac{2008}{2008} - \frac{x + 2007}{2008}$

$\frac{2005 - x - 2004}{2005} + \frac{2006 - x - 2005}{2006} > \frac{2007 - x - 2006}{2007} + \frac{2008 - x - 2007}{2008}$

$\frac{1 - x}{2005} + \frac{1 - x}{2006} > \frac{1 - x}{2007} + \frac{1 - x}{2008}$

$(1 - x)\left( \frac{1}{2005} +\frac{1}{2006} - \frac{1}{2007} - \frac{1}{2008} \right) > 0$

$1 - x > 0$ ( vì $\frac{1}{2005} + \frac{1}{2006} - \frac{1}{2007} - \frac{1}{2008} > 0$ )

$1 > x$

Vậy bất phương trình trên có nghiệm là $1 > x$
Câu 15: Vận dụng cao
Chọn đáp án chính xác
Tìm số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình

$\frac{2017 - x}{15} + \frac{2018 - x}{16} + \frac{17 + x}{2019} + \frac{18 + x}{2020} \leq 4$
- A.
  $2002$
- B.
  $2020$
- C.
  $2004$
- D.
  $2000$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\frac{2017 - x}{15} + \frac{2018 - x}{16} + \frac{17 + x}{2019} + \frac{18 + x}{2020} \leq 4$

$\Leftrightarrow \frac{2002 + 15 - x}{15} + \frac{2002 + 16 - x}{16} + \frac{2017 - 2002 + x}{2019} + \frac{2020 - 2002 + x}{2020} \leq 4$

$\Leftrightarrow \frac{2002 - x}{15} + \frac{15}{15} + \frac{2002 - x}{16} + \frac{16}{16} + \frac{x - 2002}{2019} + \frac{2019}{2019} + \frac{x - 2002}{2020} + \frac{2020}{2020} \leq 4$

$\Leftrightarrow \frac{2002 - x}{15} + 1 + \frac{2002 - x}{16} + 1 + \frac{x - 2002}{2019} + 1 + \frac{x - 2002}{2020} + 1 \leq 4$

$\Leftrightarrow \frac{2002 - x}{15} + \frac{2002 - x}{16} + \frac{x - 2002}{2019} + \frac{x - 2002}{2020} \leq 0$

$\Leftrightarrow (x - 2002)\left( \frac{- 1}{15} + \frac{- 1}{16} + \frac{1}{2019} + \frac{1}{2020} ight) \leq 0$

Vì $\frac{- 1}{15} + \frac{- 1}{16} + \frac{1}{2019} + \frac{1}{2020} \leq 0$ nên $x - 2002 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 2002$

Vậy số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình đã cho là 2002.
Câu 16: Vận dụng cao
Giải bất phương trình và tìm nghiệm theo yêu cầu
Tìm số nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình:

$\frac{1987 - x}{15} + \frac{1988 - x}{16} + \frac{27 + x}{1999} + \frac{28 + x}{2000} > 4$
- A.
  $1985$
- B.
  $1970$
- C.
  $1988$
- D.
  $1971$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\frac{1987 - x}{15} + \frac{1988 - x}{16} + \frac{27 + x}{1999} + \frac{28 + x}{2000} > 4$

$\Leftrightarrow \left( \frac{1987 - x}{15} - 1 ight) + \left( \frac{1988 - x}{16} - 1 ight) + \left( \frac{27 + x}{1999} - 1 ight) + \left( \frac{28 + x}{2000} - 1 ight) > 0$

$\Leftrightarrow \frac{1972 - x}{15} + \frac{1972 - x}{16} + \frac{x - 1972}{1999} + \frac{x - 1972}{2000} > 0$

$\Leftrightarrow (1972 - x)\left( \frac{1}{15} + \frac{1}{16} + \frac{1}{1999} + \frac{1}{2000} ight) > 0$

Vì $\frac{1}{15} + \frac{1}{16} + \frac{1}{1999} + \frac{1}{2000} > 0$ nên $1972 - x > 0 \Leftrightarrow x < 1972$

Suy ra nghiệm của bất phương trình là $x < 1972$

Vậy số nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình là $1971$
Câu 17: Thông hiểu
Sắp xếp các số theo thứ tự giảm dần
Cho biết $a - 1 = b + 2 = c - 3$ . Sắp xếp các số $a;b;c$ theo thứ tự giảm dần ta được:
- A.
  $b;c;a$
- B.
  $c;a;b$
- C.
  $a;c;b$
- D.
  $c;b;a$
Hướng dẫn:
Từ $a - 1 = b + 2$ suy ra $a = b + 2 + 1 = b + 3$

Từ $b + 2 = c - 3$ suy ra $c = b + 2 + 3 = b + 5$

Mà $b < b + 3 < b + 5$ nên $b < a < c$

Vậy sắp xếp các số theo thứ tự giảm dần là $c;a;b$ .
Câu 18: Thông hiểu
Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = m^{2} - 2m$ với $0 \leq m \leq 2$ ?
- A.
  $- 2$
- B.
  $0$
- C.
  $2$
- D.
  $- 1$
Hướng dẫn:
Ta có:

$A = m^{2} - 2m = m^{2} - 2m + 1 - 1 = (m - 1)^{2} - 1$

Lại có $(m - 1)^{2} \geq 0 \Rightarrow (m - 1)^{2} - 1 \geq - 1\forall m\mathbb{\in R}$

Suy ra bất đẳng thức $A = m^{2} - 2m \geq - 1$

Dấu bằng xảy ra khi $(m - 1)^{2} = 0 \Leftrightarrow m = 1$

Vì $0 \leq m \leq 2$ nên m = 1 thỏa mãn điều kiện.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng -1 khi m = 1.
Câu 19: Thông hiểu
Chọn câu đúng
Cho $a - 5 \leq b - 5$ so sánh $a$ và $b$ ta được kết quả là:
- A.
  $a \leq b$
- B.
  $a < b$
- C.
  $a > b$
- D.
  $a = b$
Hướng dẫn:
Cộng hai vế của bất đẳng thức $a - 5 \leq b - 5$ với 5 ta được:

$a - 5 \leq b - 5 \Rightarrow a - 5 + 5 \leq b - 5 + 5$

$\Rightarrow a + 0 \leq b + 0 \Rightarrow a \leq b$
Câu 20: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng
Với $x;y$ bất kì. Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $(x + 2y)^{2} \leq 8xy$
- B.
  $(x + 2y)^{2} \geq 8xy$
- C.
  $(x + 2y)^{2} > 8xy$
- D.
  $(x + 2y)^{2} < 8xy$
Hướng dẫn:
Ta có:

$P = (x + 2y)^{2} - 8xy$

$= x^{2} + 4xy + 4y^{2} - 8xy$

$= x^{2} - 4xy + 4y^{2} = (x - 2y)^{2}$

Vì $(x - 2y)^{2} \geq 0;\forall x;y\mathbb{\in R}$

Nên $P \geq 0;\forall x;y\mathbb{\in R}$ suy ra $(x + 2y)^{2} \geq 8xy$
Câu 21: Vận dụng
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = a^{2} - 2a$ với $0 \leq a \leq 2$ ?
- A.
  $2$
- B.
  $4$
- C.
  $0$
- D.
  $1$
Hướng dẫn:
Ta có:

$0 \leq a \leq 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a \geq 0 \\ a \leq 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a \geq 0 \\ a - 2 \leq 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow a(a - 2) \leq 0 \Rightarrow a^{2} - 2a \leq 0$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a(a - 2) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 0 \\ a = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Vì $0 \leq a \leq 2$ nên $a = 0$ hoặc $a = 2$ tương đương với việc dấu bất đẳng thức $P = a^{2} - 2a \leq 0$ xảy ra được.

Vậy với $0 \leq a \leq 2$ thì giá trị lớn nhất của biểu thức P bằng 0 khi $a = 0$ hoặc $a = 2$ .
Câu 22: Vận dụng
Chọn kết luận đúng
Khẳng định nào sau đây đúng với mọi số thực dương $a$ và $b$ ?
- A.
  $\frac{(a + b)^{2}}{ab} \geq 4$
- B.
  $\frac{(a + b)^{2}}{ab} > 4$
- C.
  $\frac{(a + b)^{2}}{ab} < 4$
- D.
  $\frac{(a + b)^{2}}{ab} \leq 4$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\frac{(a + b)^{2}}{ab} - 4 = \frac{a^{2} + 2ab + b^{2} - 4ab}{ab}$

$= \frac{a^{2} - 2ab + b^{2}}{ab} = \frac{(a - b)^{2}}{ab}$

Do $\left\{ \begin{matrix} ab > 0 \\ (a - b)^{2} \geq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \forall a;b$ nên $\frac{(a - b)^{2}}{ab} \geq 0$ hay $\frac{(a + b)^{2}}{ab} \geq 4$ .
Câu 23: Vận dụng
Chọn kết luận đúng
Biết rằng $0 < a < b$ . Chọn kết luận đúng?
- A.
  $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} < 2$
- B.
  $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} > 2$
- C.
  $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$
- D.
  $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 1$
Hướng dẫn:
Với $0 < a < b$ ta có: $(a - b)^{2} > 0$

$\Leftrightarrow a^{2} - b^{2} - 2ab > 0$

$\Leftrightarrow a^{2} - b^{2} > 2ab$

$\Leftrightarrow \frac{a^{2} - b^{2}}{ab} > \frac{2ab}{ab}$ (vì $ab > 0$ )

$\Leftrightarrow \frac{a^{2}}{ab} - \frac{b^{2}}{ab} > 2 \Leftrightarrow \frac{a}{b} + \frac{b}{a} > 2$
Câu 24: Vận dụng
Chọn khẳng định sai
Với $a;b$ bất kì. Chọn khẳng định sai?
- A.
  $- ab - b^{2} \leq a^{2}$
- B.
  $a^{2} + 1 < - a$
- C.
  $4a + 4 \leq a^{2} + 8$
- D.
  $a^{2} + 3 > - 2a$
Hướng dẫn:
Ta có:

$a^{2} + 2a + 3 = a^{2} + 2a + 1 + 2 = (a + 1)^{2} + 2 > 0$ luôn đúng

Suy ra $a^{2} + 3 > - 2a$ đúng

$a^{2} + 8 - (4a + 4) = a^{2} - 4a + 4 = (a - 2)^{2} \geq 0$ luôn đúng

Suy ra $4a + 4 \leq a^{2} + 8$ đúng

$a^{2} + a + 1 = a^{2} + 2a.\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \left( a + \frac{1}{2} ight)^{2} + \frac{3}{4} > 0$ luôn đúng

Suy ra $a^{2} + 1 < - a$ sai

$a^{2} + ab + b^{2} = a^{2} + 2a.\frac{b}{2} + \frac{b^{2}}{4} + \frac{3b^{2}}{4}$

$= \left( a + \frac{b}{2} ight)^{2} + \frac{3b^{2}}{4} \geq 0$ luôn đúng

Suy ra $- ab - b^{2} \leq a^{2}$ đúng.
Câu 25: Vận dụng
Tính giá trị lớn nhất của biểu thức
Cho biểu thức $B = x + \frac{1}{x}$ . Tính giá trị lớn nhất của biểu thức $B$ ?
- A.
  $- 2$
- B.
  $1$
- C.
  $4$
- D.
  $0$
Hướng dẫn:
Ta có:

$B = x + \frac{1}{x} = \frac{x^{2} + 1}{x} + 2 - 2$

$= \frac{x^{2} + 2x + 1}{x} - 2 = \frac{(x + 1)^{2}}{x} - 2$

Ta có: $(x + 1)^{2} \geq 0;\forall x < 0$

$\Rightarrow (x + 1)^{2}.\frac{1}{x} \leq 0.\frac{1}{x}$

$\Rightarrow (x + 1)^{2}.\frac{1}{x} \leq 0$

$\Rightarrow (x + 1)^{2}.\frac{1}{x} - 2 \leq - 2$

$\Rightarrow B \leq - 2$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $(x + 1)^{2} = 0 \Leftrightarrow x = - 1(tm\ \ x\ < \ 0)$

Vậy với $x < 0$ giá trị lớn nhất của biểu thức B là -2 khi $x = - 1$ .
Câu 26: Vận dụng
Chọn kết luận đúng
Cho $x + y > 1$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $x^{2} + y^{2} < \frac{1}{2}$
- B.
  $x^{2} + y^{2} > \frac{1}{2}$
- C.
  $x^{2} + y^{2} \leq \frac{1}{2}$
- D.
  $x^{2} + y^{2} = \frac{1}{2}$
Hướng dẫn:
Từ $x + y > 1$ bình phương hai vế (hai vế đều dương) ta được $x^{2} + 2xy + y^{2} > 1(*)$

Từ $(x - y)^{2} \geq 0 \Rightarrow x^{2} - 2xy + y^{2} \geq 0(**)$

Cộng từng vế của (*) và (**) ta được:

$2x^{2} + 2y^{2} > 1$

Chia cả hai vế cho 2 ta được

$x^{2} + y^{2} > \frac{1}{2}$
Câu 27: Vận dụng cao
Chọn kết luận chính xác
Với các số $a,b,c$ bất kì. Hãy so sánh $3\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} ight)$ và $(a + b + c)^{2}$ ?
- A.
  $3\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} ight) \geq (a + b + c)^{2}$
- B.
  $3\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} ight) = (a + b + c)^{2}$
- C.
  $3\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} ight) < (a + b + c)^{2}$
- D.
  $3\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} ight) \leq (a + b + c)^{2}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$3\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} ight) - (a + b + c)^{2}$

$= 3a^{2} + 3b^{2} + 3c^{2} - a^{2} - b^{2} - c^{2} - 2ab - 2ac - 2bc$

$= 2a^{2} + 2b^{2} + 2c^{2} - 2ab - 2ac - 2bc$

$= (a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (c - a)^{2} \geq 0$

(vì $(a - b)^{2} \geq 0;(b - c)^{2} \geq 0;(c - a)^{2} \geq 0$ với mọi $a;b;c$ )

Nên $3\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} ight) \leq (a + b + c)^{2}$ .
Câu 28: Vận dụng cao
Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Cho hai số thực dương $x;y$ thỏa mãn $\frac{4}{x^{2}} + \frac{5}{y^{2}} \geq 9$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $C = 2x^{2} + \frac{6}{x^{2}} + 3y^{2} + \frac{8}{y^{2}}$ ?
- A.
  $x \geq - \frac{5}{3}$
- B.
  $x \geq \frac{5}{3}$
- C.
  $x \leq \frac{5}{3}$
- D.
  $x \leq - \frac{5}{3}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$C = 2x^{2} + \frac{6}{x^{2}} + 3y^{2} + \frac{8}{y^{2}}$

$= 2x^{2} + \frac{2}{x^{2}} + 3y^{2} + \frac{3}{y^{2}} + \frac{4}{x^{2}} + \frac{5}{y^{2}}$

$= 2\left( x^{2} + \frac{1}{x^{2}} ight) + 3\left( y^{2} + \frac{1}{y^{2}} ight) + \left( \frac{4}{x^{2}} + \frac{5}{y^{2}} ight)$

Mặt khác ta có:

$2\left( x^{2} + \frac{1}{x^{2}} ight) \geq 2.2 = 4$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x^{2} = \frac{1}{x^{2}} \Leftrightarrow x^{4} = 1 \Leftrightarrow x = 1$ (vì $x > 0$ )

$3\left( y^{2} + \frac{1}{y^{2}} ight) \geq 3.2 = 6$ dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $y^{2} = \frac{1}{y^{2}} \Leftrightarrow y^{4} = 1 \Leftrightarrow y = 1$ vì (y >0)

$\left( \frac{4}{x^{2}} + \frac{5}{y^{2}} ight) \geq 9$ theo giả thiết.

Khi x =1; y = 1 thì dấu bằng xảy ra

$\Rightarrow C \geq 4 + 6 + 9 = 19$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức C bằng 19 khi x = y = 1.
Câu 29: Vận dụng cao
Chọn khẳng định đúng
Cho $x + y \geq2$ . Chọn khẳng định đúng?
- A.
  $x^{2} + y^{2} \leq2$
- B.
  $x^{2} + y^{2} <2$
- C.
  $x^{2} + y^{2} >2$
- D.
  $x^{2} + y^{2} \geq2$
Hướng dẫn:
Từ $x + y \geq 2$ bình phương hai vế (hai vế đều dương) ta được $x^{2} + 2xy +y^{2} > 4(*)$
Từ $(x - y)^{2} \geq 0 \Rightarrow x^{2} -2xy + y^{2} \geq 0(**)$
Cộng từng vế của (*) và (**) ta được:
$2x^{2} + 2y^{2} \geq 4$
Chia cả hai vế cho 2 ta được
$x^{2} + y^{2} \geq 2$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\left\{\begin{matrix}x + y = 2 \\(x - y)^{2} = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x + y = 2 \\x = y \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow x = y = 1$
Câu 30: Vận dụng cao

Ghi lời giải bài toán vào ô trống

Cho $a, b, c$ là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện $a + b + c = 1$ .

Chứng minh rằng: $\sqrt{\frac{ab}{c + ab}} + \sqrt{\frac{bc}{a + bc}} + \sqrt{\frac{ca}{b + ca}} \leq \frac{3}{2}$ .

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho $a, b, c$ là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện $a + b + c = 1$ .

Chứng minh rằng: $\sqrt{\frac{ab}{c + ab}} + \sqrt{\frac{bc}{a + bc}} + \sqrt{\frac{ca}{b + ca}} \leq \frac{3}{2}$ .

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Thiên Bình

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Ôn thi vào 10 môn Toán: Bất đẳng thức và các câu toán cực trị

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Ôn tập Toán 9 theo chuyên đề

Bộ bài tập Toán 9 (cơ bản)

Ôn thi HSG Toán 9