VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Ôn thi vào 10 môn Toán: Bất đẳng thức và các câu toán cực trị

Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 30 câu
Điểm số bài kiểm tra: 30 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

00:00:00

Câu 1: Thông hiểu
Xác định nghiệm bất phương trình
Nghiệm của bất phương trình $2 + x \leq 10$ là
- A.
  $x \leq 5$ .
- B.
  $x \geq 5$ .
- C.
  $x \geq 12$ .
- D.
  $x \leq 8$ .
Hướng dẫn:
Ta có:

$2 + x \leq 10$

$x \leq 10 - 2$

$x \leq 8$

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là $x \leq 8$ .
Câu 2: Thông hiểu
Chọn kết luận đúng
Kết luận nào sau đây đúng khi nói về nghiệm của bất phương trình

$(x + 3)(x + 4) - 25 < (x - 2)(x + 9)$ ?
- A.
  Bất phương trình vô nghiệm
- B.
  Bất phương trình có nghiệm $x > 0$
- C.
  Bất phương trình có vô số nghiệm $x\mathbb{\in R}$
- D.
  Bất phương trình có nghiệm $x < 0$
Hướng dẫn:
Ta có:

$(x + 3)(x + 4) - 25 < (x - 2)(x + 9)$

$\Leftrightarrow x^{2} + 7x + 12 - 25 < x^{2} + 7x - 18$

$\Leftrightarrow x^{2} + 7x + 12 - 25 - x^{2} - 7x + 18 < 0$

$\Leftrightarrow 5 < 0$ (vô lí)

Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.
Câu 3: Thông hiểu
Chọn phương án thích hợp
Một hãng taxi có giá mở cửa là $15$ nghìn đồng và giá $12$ nghìn đồng cho mỗi kilômét tiếp theo. Hỏi với $200$ nghìn đồng thì hành khách có thể di chuyển được tối đa bao nhiêu kilômét (làm tròn đến hàng đơn vị)?
- A.
  $10$ .
- B.
  $15$ .
- C.
  $14$ .
- D.
  $20$ .
Hướng dẫn:
Gọi $x$ là số kilômét mà hành khách đó có thể di chuyển với $200$ nghìn đồng ( $x$ > 0).

Giá tiền cho $x$ km là $12x$ (nghìn đồng).

Giá mở cửa của taxi là $15$ nghìn đồng nên số tiền cần thanh toán khi đi $x$ km là: $15 + 12x$ (nghìn đồng). Theo bài, ta có:

$15 + 12x \leq 200$

$12x \leq 185$

$x \leq \frac{185}{12}$

Mà $x$ > 0 và làm tròn đến hàng đơn vị nên với $200$ nghìn đồng thì hành khách có thể di chuyển được tối đa $15$ kilômét.
Câu 4: Thông hiểu
Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn
Nghiệm của bất phương trình $\frac{1 - 2x}{3} - 2 > \frac{1 - 5x}{6}$ là:
- A.
  $x > - 1$
- B.
  $x < - 5$
- C.
  $x > 11$
- D.
  $x < 8$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\frac{1 - 2x}{3} - 2 > \frac{1 - 5x}{6}$

$\Leftrightarrow \frac{1 - 2x - 6}{3} > \frac{1 - 5x}{6}$

$\Leftrightarrow 2( - 2x - 5) > 1 - 5x \Leftrightarrow - 4x - 10 > 1 - 5x$

$\Leftrightarrow 5x - 4x > 1 + 10 \Leftrightarrow x > 11$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x > 11$ .
Câu 5: Vận dụng
Tìm x để biểu thức không âm
Với điều kiện nào của x thì biểu thức $B = \frac{2x - 4}{3 - x}$ nhận giá trị không âm?
- A.
  $2 < x \leq 3$
- B.
  $2 \leq x < 3$
- C.
  $2 \leq x \leq 3$
- D.
  $2 < x < 3$
Hướng dẫn:
Điều kiện xác định $x eq 3$

Để biểu thức $B = \frac{2x - 4}{3 - x}$ nhận giá trị không âm thì $\frac{2x - 4}{3 - x} \geq 0$ có hai trường hợp xảy ra:

TH1: $\left\{ \begin{matrix} 2x - 4 \geq 0 \\ 3 - x > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 2 \\ x < 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow 2 \leq x < 3$

TH2: $\left\{ \begin{matrix} 2x - 4 \leq 0 \\ 3 - x < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \leq 2 \\ x > 3 \\ \end{matrix} ight.$ (vô lí)

Vậy để biểu thức $B = \frac{2x - 4}{3 - x}$ nhận giá trị không âm thì $2 \leq x < 3$ .
Câu 6: Vận dụng
Xác định độ dài đoạn đường tối thiểu
Một người đi bộ một quảng đường dài 10 km trong khoảng thời gian không nhiều hơn 3 giờ. Lúc đầu người đó đi với vận tốc 4 km/h, về sau đi với vận tốc 3 km/h. Xác định độ dài đoạn đường tối thiểu mà người đó đã đi với vận tốc 4 km/h.
- A.
  $6km$
- B.
  $5km$
- C.
  $4km$
- D.
  $3km$
Hướng dẫn:
Gọi độ dài đoạn đường tối thiểu mà người đó đi được với vận tốc 4 km/h là x (km).

Điều kiện: 0 < x < 10.

Quãng đường lúc sau là 10 − x (km).

Thời gian lúc đầu là $\frac{x}{4}$ giờ

Thời gian lúc sau $\frac{10 - x}{3}$ giờ

Do tổng thời gian đi bộ không quá 3 giờ nên ta có bất phương trình $\frac{x}{4} + \frac{10 - x}{3} \leq 3$ Giải ra ta được x ≥ 4.

Kết hợp điều kiện ta được 4 ≤ x < 10.

Vậy độ dài tối thiểu mà người đó đi được với vận tốc 4 km/h là 4 km.
Câu 7: Vận dụng

Điền đáp án vào chỗ trống

Một người cần di chuyển đến địa điểm A, người đó bắt GrabCar để đi. Biết rằng khi đi GrabCar giá sẽ rẻ gấp đôi mỗi kilomet so với taxi truyền thống nhưng sẽ chịu giá mở xe là 5000 đồng (giá mở cửa xe là khi bạn đặt xe dù đi hay không tài khoản sẽ tự động trừ tiền). Biết rằng số tiền người đó phải trả là số tròn chục nghìn, số tiền đó lớn hơn 25000 đồng và nhỏ hơn 35000 đồng. Tính số tiền nếu người đó đi xe taxi truyền thống đến A?

Số tiền cần tìm là: 50000 đồng.

Đáp án là:

Một người cần di chuyển đến địa điểm A, người đó bắt GrabCar để đi. Biết rằng khi đi GrabCar giá sẽ rẻ gấp đôi mỗi kilomet so với taxi truyền thống nhưng sẽ chịu giá mở xe là 5000 đồng (giá mở cửa xe là khi bạn đặt xe dù đi hay không tài khoản sẽ tự động trừ tiền). Biết rằng số tiền người đó phải trả là số tròn chục nghìn, số tiền đó lớn hơn 25000 đồng và nhỏ hơn 35000 đồng. Tính số tiền nếu người đó đi xe taxi truyền thống đến A?

Số tiền cần tìm là: 50000 đồng.

Gọi số tiền người đó phải trả khi đi xe truyền thống là x (đồng)

Theo giả thiết, số tiền người đó phải trả khi di Grab là $\frac{x}{2} + 500$ đồng

Mà $25000 < \frac{x}{2} + 500 < 35000$ và đó là số tiền tròn chục nên suy ra $\frac{x}{2} + 5000 = 30000$

Từ đó tìm được $x = 50000$ đồng.
Câu 8: Vận dụng
Tìm x để biểu thức thỏa mãn yêu cầu
Với giá trị nào của x để biểu thức $A = \frac{x - 3}{x + 1}$ có giá trị không lớn hơn 1?
- A.
  $x > - 1$
- B.
  $x < - 1$
- C.
  $x < - 1$
- D.
  $x \geq - 1$
Hướng dẫn:
Điều kiện xác định $x eq - 1$

Để biểu thức $A = \frac{x - 3}{x + 1}$ có giá trị không lớn hơn 1 thì:

$\frac{x - 3}{x + 1} \leq 1 \Leftrightarrow \frac{x - 3}{x + 1} - 1 \leq 0$

$\Leftrightarrow \frac{x - 3 - x - 1}{x + 1} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{- 4}{x + 1} \leq 0$

Vì $- 4 < 0$ và $x - 1 eq 0$ nên $x + 1 > 0 \Leftrightarrow x > - 1$

Vậy x > -1 để biểu thức $A = \frac{x - 3}{x + 1}$ có giá trị không lớn hơn 1.
Câu 9: Vận dụng
Chọn phương án thích hợp
Bạn Nam tham dự kì thi kiểm tra năng lực tiếng Anh gồm bốn bài, mỗi bài kiểm tra được cho điểm là số nguyên từ $0$ đến $10$ . Điểm trung bình của ba bài kiểm tra An đã làm là $6,6$ . Hỏi bài kiểm tra thứ tư An cần làm được thấp nhất là bao nhiêu điểm để có điểm trung bình của cả bốn bài kiểm tra từ $7$ điểm trở lên?
- A.
  $7$ .
- B.
  $6$ .
- C.
  $9$ .
- D.
  $8$ .
Hướng dẫn:
Gọi $x$ là số điểm bài kiểm tra thứ tư của An ( $x$ nguyên, $0 \leq x \leq 10$ )

Theo bài ra ta có bất phương trình

$\frac{x + 6,6.3}{4} \geq 7$

Giải ra được $x \geq 8,2$

Mà $x$ nguyên, $0 \leq x \leq 10$

Suy ra $x \in \left\{ 9;10 \right\}$

Vậy bài kiểm tra thứ tư An cần làm được thấp nhất là 9 điểm.
Câu 10: Vận dụng
Tìm x để biểu thức nhỏ hơn 0
Cho biểu thức $A = \frac{x^{2} + 6x + 9}{x^{3} + 27}:\frac{- x^{3} + 3x^{2} + 9x - 27}{x^{2} - 6x + 9}$ . Tìm x để $A < 0$ ?
- A.
  $x > 3$
- B.
  $x eq \pm 3$
- C.
  $x < - 3$
- D.
  $x > 9$
Hướng dẫn:
Điều kiện xác định: $x eq \pm 3$

Ta có:

$A = \frac{x^{2} + 6x + 9}{x^{3} + 27}:\frac{- x^{3} + 3x^{2} + 9x - 27}{x^{2} - 6x + 9}$

$A = \frac{(x + 3)^{2}}{(x + 3)\left( x^{2} - 3x + 9 ight)}.\frac{(x - 3)^{2}}{\left( x^{2} - 9 ight)(3 - x)} = - \frac{1}{x^{2} - 3x + 9}$

Vì $x^{2} - 3x + 9 = \left( x - \frac{3}{2} ight)^{2} + \frac{27}{4} > 0\forall x$

Do đó $A < 0$ với mọi $x eq \pm 3$ .
Câu 11: Vận dụng
Tìm x để biểu thức A dương
Cho biểu thức $A = \left( \frac{1}{1 - x} + \frac{2}{x + 1} - \frac{5 - x}{1 - x^{2}} ight):\frac{1 - 2x}{x^{2} - 1}$ . Tìm x để $A > 0$ ?
- A.
  $x < \frac{1}{2};x eq - 1$
- B.
  $x < \frac{1}{2}$
- C.
  $x > \frac{1}{2}$
- D.
  $x > \frac{1}{2};x eq 1$
Hướng dẫn:
Điều kiện $x eq \pm 1$

Ta có:

$A = \left( \frac{1}{1 - x} + \frac{2}{x + 1} - \frac{5 - x}{1 - x^{2}} ight):\frac{1 - 2x}{x^{2} - 1}$

$A = \left\lbrack \frac{1}{1 - x} + \frac{2}{x + 1} - \frac{5 - x}{(1 - x)(1 + x)} ightbrack:\frac{1 - 2x}{x^{2} - 1}$

$A = \left\lbrack \frac{x + 1 + 2(1 - x) - 5 + x}{(1 - x)(1 + x)} ightbrack:\frac{1 - 2x}{x^{2} - 1}$

$A = \frac{- 2}{(1 - x)(1 + x)}.\frac{x^{2} - 1}{1 - 2x}$

$A = \frac{2}{x^{2} - 1}.\frac{x^{2} - 1}{1 - 2x} = \frac{2}{1 - 2x}$

Để $A > 0 \Leftrightarrow \frac{2}{1 - 2x} > 0$

Vì $2 > 0 \Rightarrow 1 - 2x > 0 \Leftrightarrow - 2x > - 1 \Leftrightarrow x < \frac{1}{2}$

Kết hợp với điều kiện đề bài ta suy ra $x < \frac{1}{2};x eq - 1$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Vậy $x < \frac{1}{2};x eq - 1$ là các giá trị cần tìm.
Câu 12: Vận dụng

Ghi lời giải bài toán vào ô trống

a) Trong các bất phương trình sau đâu là bất phương trình bậc nhất một ẩn vì sao?

$- x + 2 \leq 0;x^{2} + 1 > 0$

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

b) Tìm một số là nghiệm, một số không là nghiệm của bất phương trình bậc nhất một ẩn tìm được ở câu a).

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

c) Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn tìm được ở câu a).

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

a) Trong các bất phương trình sau đâu là bất phương trình bậc nhất một ẩn vì sao?

$- x + 2 \leq 0;x^{2} + 1 > 0$

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

b) Tìm một số là nghiệm, một số không là nghiệm của bất phương trình bậc nhất một ẩn tìm được ở câu a).

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

c) Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn tìm được ở câu a).

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 13: Vận dụng cao
Giải bất phương trình và tìm nghiệm theo yêu cầu
Tìm số nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình:

$\frac{1987 - x}{15} + \frac{1988 - x}{16} + \frac{27 + x}{1999} + \frac{28 + x}{2000} > 4$
- A.
  $1985$
- B.
  $1971$
- C.
  $1988$
- D.
  $1970$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\frac{1987 - x}{15} + \frac{1988 - x}{16} + \frac{27 + x}{1999} + \frac{28 + x}{2000} > 4$

$\Leftrightarrow \left( \frac{1987 - x}{15} - 1 ight) + \left( \frac{1988 - x}{16} - 1 ight) + \left( \frac{27 + x}{1999} - 1 ight) + \left( \frac{28 + x}{2000} - 1 ight) > 0$

$\Leftrightarrow \frac{1972 - x}{15} + \frac{1972 - x}{16} + \frac{x - 1972}{1999} + \frac{x - 1972}{2000} > 0$

$\Leftrightarrow (1972 - x)\left( \frac{1}{15} + \frac{1}{16} + \frac{1}{1999} + \frac{1}{2000} ight) > 0$

Vì $\frac{1}{15} + \frac{1}{16} + \frac{1}{1999} + \frac{1}{2000} > 0$ nên $1972 - x > 0 \Leftrightarrow x < 1972$

Suy ra nghiệm của bất phương trình là $x < 1972$

Vậy số nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình là $1971$
Câu 14: Vận dụng cao
Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình
Giá trị nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình $\frac{x - 2}{2002} + \frac{x - 4}{2000} < \frac{x - 3}{2001} + \frac{x - 5}{1999}$ là:
- A.
  $2004$
- B.
  $2005$
- C.
  $2010$
- D.
  $2008$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\frac{x - 2}{2002} + \frac{x - 4}{2000} < \frac{x - 3}{2001} + \frac{x - 5}{1999}$

$\Leftrightarrow \frac{x - 2}{2002} - 1 + \frac{x - 4}{2000} - 1 < \frac{x - 3}{2001} - 1 + \frac{x - 5}{1999} - 1$

$\Leftrightarrow \frac{x - 2004}{2002} + \frac{x - 2004}{2000} < \frac{x - 2004}{2001} + \frac{x - 2004}{1999}$

$\Leftrightarrow (x - 2004)\left( \frac{1}{2002} + \frac{1}{2000} - \frac{1}{2001} - \frac{1}{1999} ight) < 0$

Vì $\frac{1}{2002} + \frac{1}{2000} - \frac{1}{2001} - \frac{1}{1999} < 0$ nên $x - 2004 > 0 \Leftrightarrow x > 2004$

Vậy giá trị nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình là 2005.
Câu 15: Vận dụng cao
Tính giá máy tính bảng lúc ban đầu
Sau một thời gian phát hành, nhà sản xuất đã ra quyết định giảm giá một dòng máy tính bảng để khuyến mãi. Đợt một giảm $5\%$ đợt hai giảm $4\%$ trên giá sau khi giảm đợt một. Sau hai đợt giảm giá, một chiếc máy tính bảng hiện được bán với giá gần đến $4560000$ đồng. Hỏi giá chiếc máy tính bảng ban đầu khoảng bao nhiêu ?
- A.
  khoảng $6$ triệu đồng.
- B.
  khoảng $8$ triệu đồng.
- C.
  khoảng $7$ triệu đồng.
- D.
  khoảng $5$ triệu đồng.
Hướng dẫn:
Gọi $x$ (đồng) là giá ban đầu của máy tính bảng

Theo đề bài ta có

$x(100\% - 5\%)(100\% - 4\%) < 4560000$

$x < 5000000$

Vậy máy tính bảng ban đầu có giá khoảng $5$ triệu đồng.
Câu 16: Vận dụng cao
Giải bất phương trình
Bất phương trình $\frac{x + 2004}{2005} +\frac{x + 2005}{2006} < \frac{x + 2006}{2007} + \frac{x +2007}{2008}$ có nghiệm là
- A.
  $x < - 1$ .
- B.
  $x > 1$ .
- C.
  $x > - 1$ .
- D.
  $x < 1$ .
Hướng dẫn:
Ta có

$\frac{x + 2004}{2005} + \frac{x + 2005}{2006} < \frac{x + 2006}{2007} + \frac{x + 2007}{2008}$

Suy ra $- \frac{x + 2004}{2005} - \frac{x + 2005}{2006} > - \frac{x + 2006}{2007} - \frac{x + 2007}{2008}$

$1 - \frac{x + 2004}{2005} + 1 - \frac{x + 2005}{2006} > 1 - \frac{x + 2006}{2007} + 1 - \frac{x + 2007}{2008}$

$\frac{2005}{2005} - \frac{x + 2004}{2005} + \frac{2006}{2006} - \frac{x + 2005}{2006} > \frac{2007}{2007} - \frac{x + 2006}{2007} + \frac{2008}{2008} - \frac{x + 2007}{2008}$

$\frac{2005 - x - 2004}{2005} + \frac{2006 - x - 2005}{2006} > \frac{2007 - x - 2006}{2007} + \frac{2008 - x - 2007}{2008}$

$\frac{1 - x}{2005} + \frac{1 - x}{2006} > \frac{1 - x}{2007} + \frac{1 - x}{2008}$

$(1 - x)\left( \frac{1}{2005} +\frac{1}{2006} - \frac{1}{2007} - \frac{1}{2008} \right) > 0$

$1 - x > 0$ ( vì $\frac{1}{2005} + \frac{1}{2006} - \frac{1}{2007} - \frac{1}{2008} > 0$ )

$1 > x$

Vậy bất phương trình trên có nghiệm là $1 > x$
Câu 17: Thông hiểu
Chọn kết luận đúng
Biết rằng $x + \frac{1}{2} = y$ . So sánh $x$ và $y$ ?
- A.
  $y \leq x$
- B.
  $x \geq y$
- C.
  $x < y$
- D.
  $x > y$
Hướng dẫn:
Ta có:

$x + \frac{1}{2} = y \Rightarrow x - y = - \frac{1}{2} < 0 \Rightarrow x < y$ .
Câu 18: Thông hiểu
Chọn câu đúng
Hãy chọn câu đúng. Nếu $a \geq b$ thì
- A.
  $- 3b \geq - 3a$
- B.
  $- 3b \leq - 3a$
- C.
  $- 3a<- 3b$
- D.
  $- 3a > - 3b$
Hướng dẫn:
Ta có:

$a \geq b$

$- 3a \leq - 3b$ hay $- 3b \geq - 3a$ .
Câu 19: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng
Cho biết $a - 1 = b + 2 = c - 3$ . Chọn khẳng định đúng?
- A.
  $a < b < c$
- B.
  $b < a < c$
- C.
  $a < c < b$
- D.
  $b < c < a$
Hướng dẫn:
Từ $a - 1 = b + 2$ suy ra $a = b + 2 + 1 = b + 3$

Từ $b + 2 = c - 3$ suy ra $c = b + 2 + 3 = b + 5$

Mà $b < b + 3 < b + 5$ nên $b < a < c$
Câu 20: Thông hiểu
So sánh m và n
Biết rằng $m - \frac{1}{2} = n$ . So sánh $m$ và $n$ ta được kết quả:
- A.
  $m > n$
- B.
  $m \leq n$
- C.
  $m = n$
- D.
  $m < n$
Hướng dẫn:
Ta có:

$m - \frac{1}{2} = n \Rightarrow m - n = \frac{1}{2} \Rightarrow m - n > 0 \Rightarrow m > n$ .
Câu 21: Vận dụng
Chọn kết luận đúng
Cho $x + y > 1$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $x^{2} + y^{2} < \frac{1}{2}$
- B.
  $x^{2} + y^{2} \leq \frac{1}{2}$
- C.
  $x^{2} + y^{2} > \frac{1}{2}$
- D.
  $x^{2} + y^{2} = \frac{1}{2}$
Hướng dẫn:
Từ $x + y > 1$ bình phương hai vế (hai vế đều dương) ta được $x^{2} + 2xy + y^{2} > 1(*)$

Từ $(x - y)^{2} \geq 0 \Rightarrow x^{2} - 2xy + y^{2} \geq 0(**)$

Cộng từng vế của (*) và (**) ta được:

$2x^{2} + 2y^{2} > 1$

Chia cả hai vế cho 2 ta được

$x^{2} + y^{2} > \frac{1}{2}$
Câu 22: Vận dụng
Chọn kết luận đúng
Biết rằng $0 < a < b$ . Chọn kết luận đúng?
- A.
  $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} > 2$
- B.
  $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$
- C.
  $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 1$
- D.
  $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} < 2$
Hướng dẫn:
Với $0 < a < b$ ta có: $(a - b)^{2} > 0$

$\Leftrightarrow a^{2} - b^{2} - 2ab > 0$

$\Leftrightarrow a^{2} - b^{2} > 2ab$

$\Leftrightarrow \frac{a^{2} - b^{2}}{ab} > \frac{2ab}{ab}$ (vì $ab > 0$ )

$\Leftrightarrow \frac{a^{2}}{ab} - \frac{b^{2}}{ab} > 2 \Leftrightarrow \frac{a}{b} + \frac{b}{a} > 2$
Câu 23: Vận dụng
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = a^{2} - 2a$ với $0 \leq a \leq 2$ ?
- A.
  $4$
- B.
  $0$
- C.
  $1$
- D.
  $2$
Hướng dẫn:
Ta có:

$0 \leq a \leq 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a \geq 0 \\ a \leq 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a \geq 0 \\ a - 2 \leq 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow a(a - 2) \leq 0 \Rightarrow a^{2} - 2a \leq 0$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a(a - 2) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 0 \\ a = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Vì $0 \leq a \leq 2$ nên $a = 0$ hoặc $a = 2$ tương đương với việc dấu bất đẳng thức $P = a^{2} - 2a \leq 0$ xảy ra được.

Vậy với $0 \leq a \leq 2$ thì giá trị lớn nhất của biểu thức P bằng 0 khi $a = 0$ hoặc $a = 2$ .
Câu 24: Vận dụng
Chọn khẳng định sai
Với $a;b$ bất kì. Chọn khẳng định sai?
- A.
  $a^{2} + 3 > - 2a$
- B.
  $4a + 4 \leq a^{2} + 8$
- C.
  $- ab - b^{2} \leq a^{2}$
- D.
  $a^{2} + 1 < - a$
Hướng dẫn:
Ta có:

$a^{2} + 2a + 3 = a^{2} + 2a + 1 + 2 = (a + 1)^{2} + 2 > 0$ luôn đúng

Suy ra $a^{2} + 3 > - 2a$ đúng

$a^{2} + 8 - (4a + 4) = a^{2} - 4a + 4 = (a - 2)^{2} \geq 0$ luôn đúng

Suy ra $4a + 4 \leq a^{2} + 8$ đúng

$a^{2} + a + 1 = a^{2} + 2a.\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \left( a + \frac{1}{2} ight)^{2} + \frac{3}{4} > 0$ luôn đúng

Suy ra $a^{2} + 1 < - a$ sai

$a^{2} + ab + b^{2} = a^{2} + 2a.\frac{b}{2} + \frac{b^{2}}{4} + \frac{3b^{2}}{4}$

$= \left( a + \frac{b}{2} ight)^{2} + \frac{3b^{2}}{4} \geq 0$ luôn đúng

Suy ra $- ab - b^{2} \leq a^{2}$ đúng.
Câu 25: Vận dụng
Tìm số khẳng định đúng
Với mọi $x > 0;y > 0$ , cho các khẳng định sau:

(1) $(x + y)\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} ight) \geq 4$

(2) $x^{2} + y^{3} \leq 0$

(3) $(x + y)\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} ight) < 4$

Trong các khẳng định trên, có bao nhiêu khẳng định đúng?
- A.
  $1$
- B.
  $3$
- C.
  $2$
- D.
  $0$
Hướng dẫn:
Ta có:

$(x + y)\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} ight) \geq 4 \Leftrightarrow 1 + \frac{y}{x} + \frac{x}{y} + 1 \geq 4$

$\Leftrightarrow \frac{x^{2} + y^{2}}{xy} \geq 2 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} \geq 2xy$ (do $x > 0;y > 0 \Rightarrow xy > 0$ )

$\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 2xy \geq 0 \Leftrightarrow (x - y)^{2} \geq 0\forall x;y$

Suy ra $(x + y)\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} ight) \geq 4$ đúng và $(x + y)\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} ight) < 4$ sai

$x^{2} + y^{3} \leq 0$ với $\left\{ \begin{matrix} x > 0 \\ y > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x^{2} > 0 \\ y^{2} > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow x^{2} + y^{3} > 0$

Suy ra $x^{2} + y^{3} \leq 0$ sai.
Câu 26: Vận dụng
Chọn kết luận đúng
Khẳng định nào sau đây đúng với mọi $a;b;c$ ?
- A.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq 2ab + 2bc - 2ca$
- B.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} \leq 2ab + 2bc - 2ca$
- C.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} > 2ab + 2bc - 2ca$
- D.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} < 2ab + 2bc - 2ca$
Hướng dẫn:
Ta có:

$a^{2} + b^{2} + c^{2} - (2ab + 2bc - 2ca)$

$= a^{2} + b^{2} + c^{2} - 2ab - 2bc + 2ca$

$= a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2a( - b) + 2( - b)c + 2ca$

$= \left\lbrack a + ( - b) + c ightbrack^{2} = (a - b + c)^{2} \geq 0$ với mọi $a;b;c$

Do đó $a^{2} + b^{2} + c^{2} - (2ab + 2bc - 2ca) \geq 0$

$\Rightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq 2ab + 2bc - 2ca$

Dấu bằng xảy ra khi $a - b + c = 0$ .
Câu 27: Vận dụng cao
Chọn kết luận chính xác
Với các số $a,b,c$ bất kì. Hãy so sánh $3\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} ight)$ và $(a + b + c)^{2}$ ?
- A.
  $3\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} ight) \leq (a + b + c)^{2}$
- B.
  $3\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} ight) = (a + b + c)^{2}$
- C.
  $3\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} ight) < (a + b + c)^{2}$
- D.
  $3\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} ight) \geq (a + b + c)^{2}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$3\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} ight) - (a + b + c)^{2}$

$= 3a^{2} + 3b^{2} + 3c^{2} - a^{2} - b^{2} - c^{2} - 2ab - 2ac - 2bc$

$= 2a^{2} + 2b^{2} + 2c^{2} - 2ab - 2ac - 2bc$

$= (a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (c - a)^{2} \geq 0$

(vì $(a - b)^{2} \geq 0;(b - c)^{2} \geq 0;(c - a)^{2} \geq 0$ với mọi $a;b;c$ )

Nên $3\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} ight) \leq (a + b + c)^{2}$ .
Câu 28: Vận dụng cao
Chọn khẳng định đúng
Khẳng định nào sau đây đúng với mọi $a;b;c$ ?
- A.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} = ab + bc + ca$
- B.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq ab + bc + ca$
- C.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} > ab + bc + ca$
- D.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} \leq ab + bc + ca$
Hướng dẫn:
Ta có:

$a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - bc - ca$

$= \frac{1}{2}\left( 2a^{2} + 2b^{2} + 2c^{2} - 2ab - 2bc - 2ca ight)$

$= \frac{1}{2}\left\lbrack \left( a^{2} - 2ab + b^{2} ight) + \left( b^{2} - 2bc + c^{2} ight) + \left( c^{2} - 2ca + a^{2} ight) ightbrack$

$= \frac{1}{2}\left\lbrack (a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (c - a)^{2} ightbrack \geq 0$

Vì $(a - b)^{2} \geq 0;(b - c)^{2} \geq 0;(c - a)^{2} \geq 0$ với mọi $a;b;c$ )

Nên $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq ab + bc + ca$

Dấu bằng xảy ra khi $a = b = c$ .
Câu 29: Vận dụng cao
Chọn khẳng định đúng
Cho $x + y \geq2$ . Chọn khẳng định đúng?
- A.
  $x^{2} + y^{2} \leq2$
- B.
  $x^{2} + y^{2} >2$
- C.
  $x^{2} + y^{2} \geq2$
- D.
  $x^{2} + y^{2} <2$
Hướng dẫn:
Từ $x + y \geq 2$ bình phương hai vế (hai vế đều dương) ta được $x^{2} + 2xy +y^{2} > 4(*)$
Từ $(x - y)^{2} \geq 0 \Rightarrow x^{2} -2xy + y^{2} \geq 0(**)$
Cộng từng vế của (*) và (**) ta được:
$2x^{2} + 2y^{2} \geq 4$
Chia cả hai vế cho 2 ta được
$x^{2} + y^{2} \geq 2$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\left\{\begin{matrix}x + y = 2 \\(x - y)^{2} = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x + y = 2 \\x = y \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow x = y = 1$
Câu 30: Vận dụng cao
Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Cho hai số thực dương $x;y$ thỏa mãn $\frac{4}{x^{2}} + \frac{5}{y^{2}} \geq 9$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $C = 2x^{2} + \frac{6}{x^{2}} + 3y^{2} + \frac{8}{y^{2}}$ ?
- A.
  $x \leq - \frac{5}{3}$
- B.
  $x \leq \frac{5}{3}$
- C.
  $x \geq - \frac{5}{3}$
- D.
  $x \geq \frac{5}{3}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$C = 2x^{2} + \frac{6}{x^{2}} + 3y^{2} + \frac{8}{y^{2}}$

$= 2x^{2} + \frac{2}{x^{2}} + 3y^{2} + \frac{3}{y^{2}} + \frac{4}{x^{2}} + \frac{5}{y^{2}}$

$= 2\left( x^{2} + \frac{1}{x^{2}} ight) + 3\left( y^{2} + \frac{1}{y^{2}} ight) + \left( \frac{4}{x^{2}} + \frac{5}{y^{2}} ight)$

Mặt khác ta có:

$2\left( x^{2} + \frac{1}{x^{2}} ight) \geq 2.2 = 4$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x^{2} = \frac{1}{x^{2}} \Leftrightarrow x^{4} = 1 \Leftrightarrow x = 1$ (vì $x > 0$ )

$3\left( y^{2} + \frac{1}{y^{2}} ight) \geq 3.2 = 6$ dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $y^{2} = \frac{1}{y^{2}} \Leftrightarrow y^{4} = 1 \Leftrightarrow y = 1$ vì (y >0)

$\left( \frac{4}{x^{2}} + \frac{5}{y^{2}} ight) \geq 9$ theo giả thiết.

Khi x =1; y = 1 thì dấu bằng xảy ra

$\Rightarrow C \geq 4 + 6 + 9 = 19$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức C bằng 19 khi x = y = 1.

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Thiên Bình

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Ôn thi vào 10 môn Toán: Bất đẳng thức và các câu toán cực trị

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!