Ôn thi vào 10 môn Toán: Các bài toán thực tế

Ta chứng minh với là các số thực không âm, thì

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi .

Thật vậy

* Với thì bất đẳng thức luôn đúng.

* Với 3 số dương.

Đặt: ⇒ ⇒

Bất đẳng thức trở thành

Xét

Vậy hay

Dấu “” xảy ra khi ⇔ .

* Gọi bán kính đáy là , chiều cao bồn chứa là .

Thể tích chứa của bồn là ().

Diện tích toàn phần của bồn chứa là:

Để chi phí xây dựng thấp nhất thì diện tích toàn phần của bồn phải nhỏ nhất.

Ta có

Áp dụng bất đẳng thức trên ta được

đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi (m)

Khi đó số tiền xây bồn thấp nhất mà cửa hàng phải trả là : 84 823 002 (đồng).

Gọi số lần giảm giá đồng/1tour để thu được doanh thu lớn nhất là (lần)

Sau lần giảm thì giá của một tour là:  (đồng).

Vì cứ sau lần giảm thì có thêm người tham gia nên sau lần giảm thì có thêm (người tham gia) nên tổng số người tham gia sau lần giảm giá là: (người )

Tổng doanh thu sau lần giảm giá là:

(đồng)

(đồng)

(đồng)

Xét

Vì nên

hay

Khi đó x = 5 (lần)

Vậy giá tour khi đó: (đồng).

Đổi nghìn đồng = triệu đồng.

Gọilà giá mới mà cửa hàng bán một chiếc máy tính (triệu đồng, )

Số tiền cửa hàng bị giảm khi bán một chiếc máy tính là (triệu đồng)

Khi đó, số lượng máy tính bán ra được trong một năm là:

(chiếc)

Lợi nhuận mà cửa hàng thu được khi bán giá mới là:

Dấu “ = ” xảy ra khi hay

Vậy giá bán mới một chiếc máy tính của cửa hàng là triệu đồng, giá trị lợi nhuận thu được cao nhất là (triệu đồng).

Giả sử tất cả các câu lạc bộ đều có không quá 8 học sinh.

Gọi n là số câu lạc bộ có hơn 1 học sinh.

+ Nếu thì từ 5 trong số các câu lạc bộ này, chọn mỗi câu lạc bộ 2 học sinh, khi đó 10 học sinh này không thỏa mãn điều kiện Bài toán.

+ Nếu thì khi đó số học sinh tham gia các câu lạc bộ này không quá , nghĩa là còn ít nhất học sinh, mỗi học sinh tham gia 1 câu lạc bộ mà câu lạc bộ này chỉ có 1 học sinh. Chọn 10 học sinh trong số này, không thỏa mãn điều kiện Bài toán.

Do đó .

Khi đó, số học sinh tham gia 4 câu lạc bộ này không quá nghĩa là còn ít nhất 3 học sinh, mỗi học sinh tham gia 1 câu lạc bộ mà câu lạc bộ này chỉ có 1 học sinh.

Chọn 2 trong số học sinh này và mỗi câu lạc bộ trên chọn 2 học sinh, khi đó 10 học sinh không thỏa mãn điều kiện.

Vậy điều giả sử sai, nghĩa là tồn tại một câu lạc bộ có ít nhất 9 học sinh tham gia.

Ta có phương trình

Suy ra , suy ra

Mặt khác ta có

Để nguyên thì chia hết cho , suy ra .

Kéo theo .

Do đó hay .

Vậy có cặp.

Gọi chiều rộng của hình chữ nhật đáy bể là (m) ()

Suy ra chiều dài của hình chữ nhật là (m).

Gọi chiều cao của bể là (m, ).

Thể tích của bể là suy ra suy ra.

Diện tích xây dựng của bể là

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho 2 số không âm (với hai số không âm ta có:

nên suy ra , dấu bằng xảy ra khi ):

Ta có

.

Và .

Khi đó .

Dấu “” xảy ra khi suy ra

Vậy chi phí thấp nhất thuê nhân công là đồng triệu đồng.

Gọi số máy móc công ty nên sử dụng là (máy). Điều kiện .

Trong một giờ, số quả bóng tennis sản xuất được là (quả bóng)

Như vậy, số giờ để sản xuất quả bóng là (giờ)

Mỗi giờ phải trả nghìn đồng cho người giám sát và chi phí thiết lập cho mỗi máy là nghìn đồng nên chi phí sản xuất là

(đồng).

Ta chứng minh bất đẳng thức sau (Bất đẳng thức AM-GM)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương và , ta được

.

Dấu "=" xảy ra khi

(nhận) hay (loại).

Vậy số máy móc công ty nên sử dụng là máy để chi phí sản xuất là thấp nhất.

Do loại hoa quả trên được đóng đều vào các thùng có khối lượng định sẵn nên số lượng hoa quả sẽ nguyên dương.

Gọi khối lượng lê và khối lượng mận vận chuyển tới cửa hàng lần lượt là

Suy ra khối lượng táo sẽ là (kg), khối lượng nho là (kg)

Tổng khối lượng loại hoa quả vận chuyển đến cửa hàng là tấn = kg nên ta có:

Hay

Do lượng táo và lê được đóng vào các hộp kg và kg nên là và

vì .

Suy ra .

+) Khi suy ra (tm)

Vậy Táo:kg, Lê: kg, Mận:kg, Nho: kg.

(Phần màu nhạt là phần giao nhau của hai khối cầu)

Gọi h là chiều cao của chỏm cầu.

Ta có

(là khoảng cách giữa hai tâm)

Diện tích xung quanh của chỏm cầu là:

Vì 2 khối cầu bằng nhau nên 2 hình chỏm cầu bằng nhau.

khối trang sức khối cầu chỏm cầu.

Khối trang sức có

Vậy số tiền dùng để mạ vàng khối trang sức đó là đồng.

Gọi  là số kg loại I cần sản xuất,  là số kg loại II cần sản xuất.

Suy ra số nguyên liệu cần dùng là , thời gian là , có mức lợi nhuận là .

Theo giả thiết bài toán xưởng có  nguyên liệu và  giờ làm việc tức là:

hay

Bài toán trở thành: Tìm x, y thoả mãn hệ phương trình:

với và

sao cho  đạt giá trị lớn nhất.

Trong mặt phẳng tọa độ vẽ các đường thẳng:.

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là phần tứ giác được giới hạn bởi hai đường thẳng và với hệ trục tọa độ.

Giá trị lớn nhất của  đạt tại một trong các điểm 

Ta có:  

Suy ra giá trị lớn nhất của là  khi .

Vậy cần sản xuất  kg sản phẩm loại I và kg sản phẩm loại II để có mức lợi nhuận lớn nhất.

Đặt lần lượt là đường kính và bán kính của các ống thép

Ký hiệu các điểm như hình minh họa bên.

là các tiếp điểm giữa dây đai với các ống thép

là tâm của một số ống thép.

Giả sử các ống thép tiếp xúc khít nhau và dây đai buộc chính xác.

Dễ thấy là hình chữ nhật.

Nên hiển hiên các điểm thẳng hàng.

Xét có:

Tương tự cũng tính được .

Như vậy nên là tam giác đều, suy ra

Suy ra (đối đỉnh).

Chiều dài cung bằng

Từ hình vẽ, kết hợp (1) và (2) ta tính được chiều dài dây đai là: