Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Thi vào lớp 10 Ôn Chuyên đề Toán 9
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Ôn thi vào 10 môn Toán: Nón – trụ – cầu và hình khối

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 30 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 30 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Nhận biết
    Chọn đáp án đúng

    Hình chữ nhật có chiều dài 8 cm, chiều rộng 6 cm. Quay hình chữ nhật đó một vòng quanh chiều dài của nó ta được một hình trụ có chiều cao h và bán kính đáy r. Khi đó:

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Khi quay hình chữ nhật một vòng quanh một cạnh của nó thì ta được hình trụ có chiều cao bằng độ dài trục và bán kính đáy bằng kích thước còn lại.

    Vậy chiều cao của hình trụ bằng chiều dài của hình chữ nhật (h = 8 cm), bán kính đáy của hình trụ bằng chiều rộng của hình chữ nhật (r = 6 cm).

  • Câu 2: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Cho đường tròn (O;R) ngoại tiếp tam giác đều ABC. Quay đường tròn này một vòng quanh đường kính AOD ta được một hình cầu ngoại tiếp một hình nón. Tính thể tích phần bên trong hình cầu và bên ngoài hình nón?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Độ dài cạnh của tam giác đều là: AB = R\sqrt{3}

    Bán kính đáy hình tròn là: r = \frac{R\sqrt{3}}{2}.

    Chiều cao hình nón là: h = \frac{R\sqrt{3}.\sqrt{3}}{2} = \frac{3R}{2}

    Thể tích hình cầu là: V_{1} = \frac{4}{3}\pi r^{3}

    Thể tích hình nón là: V_{2} = \frac{1}{3}\pi r^{2}h = \frac{1}{3}\pi\left( \frac{R\sqrt{3}}{2} ight)^{2}.\frac{3}{2}R = \frac{3}{8}\pi R^{3}

    Thể tích phần cần tìm là: V = V_{1} - V_{2} = \frac{23}{24}.\pi R^{3}

  • Câu 3: Nhận biết
    Chọn đáp án đúng

    Diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy r và chiều cao h bằng:

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy r và chiều cao h.

    Ta có độ dài đường sinh của hình nón là: l = \sqrt{r^{2} + h^{2}}

    Vậy diện tích xung quanh hình nón là: S = \pi rl = \pi r\sqrt{r^{2} + h^{2}}

  • Câu 4: Thông hiểu
    Xác định thể tích khối trụ

    Một hình trụ có chu vi đường tròn đáy 4\pi a, chiều cao a. Thể tích của khối trụ này bằng

    Hướng dẫn:

    Vì chu vi đường tròn đáy của hình trụ bằng 4\pi a

    \Rightarrow 2\pi R = 4\pi a \RightarrowR = 2a

    Lại có h = a

    Nên thể tích của khối trụ là V = \piR^{2}.a = \pi(2a)^{2}.a = 4\pi a^{3}.

  • Câu 5: Vận dụng
    Chọn phương án thích hợp

    Một bình thủy tinh hình trụ cao 40 cm, bán kính đáy bằng 4dm. Trong bình chứa nước cao đến 3dm. Hỏi phải đổ thêm lượng nước vào bình là bao nhiêu để bình nước vừa đầy (Lấy π ≈ 3,14).

    Hướng dẫn:

    Đổi 40cm = 4dm

    Thể tích của bình thủy tinh là:

    V = \pi R^{2}h = 3,14.4^{2}.4 \approx 631,33\left( dm^{3} ight)

    Thể tích của mực nước trong bình là:

    V = \pi R^{2}h = 3,14.4^{2}.3 \approx 473,50\left( dm^{3} ight)

    Số lít nước cần đổ thêm để đầy bình là:

    631,33 - 473,50 = 157,83\left( dm^{3} ight)

    Vậy cần phải đổ thêm 157,83 lít thì đầy bình.

  • Câu 6: Thông hiểu
    Tính thể tích khối hình nón

    Cho hình nón đỉnh S có bán kính đáy r = 2(cm) biết diện tích xung quanh của hình nón là 2\sqrt{5}\pi(cm). Tính thể tích của khối hình nón là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    S_{xq} = \pi rl \Leftrightarrow 2\sqrt{5}\pi = \pi.2l \Leftrightarrow l = \sqrt{5}(cm)

    Lại có l^{2} = r^{2} + h^{2} \Leftrightarrow \left( \sqrt{5} ight)^{2} = 2^{2} + h^{2} \Leftrightarrow h^{2} = 1 \Leftrightarrow h = 1

    Vậy thể tích khối nón là: V = \frac{1}{3}\pi R^{2}h = \frac{1}{3}\pi.2^{2}.1 = \frac{4\pi}{3}\left( cm^{3} ight)

  • Câu 7: Vận dụng
    Tính diện tích của mặt cầu

    Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8cm; AD = 6cm. Tính diện tích mặt cầu thu được khi quay nửa đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD quay quanh đường thẳng MN với M là trung điểm AD, N là trung điểm BC

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Tính diện tích của mặt cầu

    Gọi O là tâm của hình chữ nhật

    => OA = OB = OC = OD

    => O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD.

    => Bán kính đường tròn là R = OA = AC/2

    Áp dụng định lí Pi - ta - go cho tam giác ADC ta có:

    \begin{matrix} A{C^2} = A{D^2} + D{C^2} \hfill \\ \Rightarrow AC = \sqrt {A{D^2} + D{C^2}} \hfill \\ \Rightarrow AC = \sqrt {{6^2} + {8^2}} = 10 \hfill \\ \Rightarrow R = 5\left( {cm} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Khi quay nửa đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD quay quanh đường thẳng MN với M là trung điểm AD, N là trung điểm BC ta được một hình cầu tâm O bán kính R = 5cm

    Diện tích mặt cầu là: 

    S = 4\pi {R^2} = 4\pi {.5^2} = 100\pi \left( {c{m^2}} ight)

  • Câu 8: Thông hiểu
    Ghi đáp án vào ô trống

    Một hình trụ được “đặt khít” vào bên trong một hình cầu bán kính r = 12 cm như hình vẽ.

    Tính:

    a) Diện tích xung quanh của hình trụ, biết chiều cao của hình trụ bằng đường kính đáy của nó.

    Đáp án: 288\pi\left( cm^{2} ight)

    b) Thể tích của hình cầu.

    Đáp án: 2304\pi\left( cm^{2} ight)

    c) Diện tích mặt cầu.

    Đáp án: 576\pi\left( cm^{2} ight)

    Đáp án là:

    Một hình trụ được “đặt khít” vào bên trong một hình cầu bán kính r = 12 cm như hình vẽ.

    Tính:

    a) Diện tích xung quanh của hình trụ, biết chiều cao của hình trụ bằng đường kính đáy của nó.

    Đáp án: 288\pi\left( cm^{2} ight)

    b) Thể tích của hình cầu.

    Đáp án: 2304\pi\left( cm^{2} ight)

    c) Diện tích mặt cầu.

    Đáp án: 576\pi\left( cm^{2} ight)

    a) Nhận thấy: r_{t} = \frac{r}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2} cm, với h = 2r_{t} = 12\sqrt{2} cm \Rightarrow S_{xq} = 2\pi rh = 288\pi cm2.

    b) Áp dụng công thức tính thể tích hình cầu V = \frac{4}{3}\pi R^{3} \Rightarrow V = \frac{4}{3}\pi \cdot 12^{3} = 2304\pi cm3.

    c) Áp dụng công thức tính diện tích mặt cầu S = 4\pi R^{2} \Rightarrow S= 4\pi . 12^{2} = 576\pi cm\ ^{2}.

  • Câu 9: Vận dụng
    Tính thể tích khúc gỗ

    Một khối gỗ hình trụ có chiều cao gập 3 lần đường kính đáy. Biết diện tích toàn phần của khối gỗ là 7π m2. Tính thể tích của khối gỗ theo đơn vị 3m. (Lấy π ≈ 3,14 và làm tròn kết quá đến hai chữ số thập phân).

    Hướng dẫn:

    Vì chiều cao gấp 3 lần đường kính nên chiều cao gấp 6 lần bán kính

    Ta có: h = 6R

    Diện tích toàn phần của khối gỗ là:

    S_{tp} = S_{xq} + S_{2d} = 2\pi Rh + 2\pi R^{2} = 14\pi R^{2}\left( m^{2} ight)

    Hay 14\pi R^{2} = 7\pi \Leftrightarrow R = \frac{\sqrt{2}}{2}(m) khi đó h = 6R = 3\sqrt{2}(m)

    Thể tích khối gỗ hình trụ là:

    V = \pi R^{2}h = \frac{3.3,14.\sqrt{2}}{2} = 6,66\left( m^{3} ight)

  • Câu 10: Nhận biết
    Chọn đáp án đúng

    Một hình cầu có diện tích bề mặt là 100\pi m^{2}. Tính thể tích của hình cầu đó?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    4\pi R^{2} = 100\pi \Rightarrow R = 5(m)

    Thể tích hình cầu là: V = \frac{4}{3}\pi R^{3} = \frac{500\pi}{3}\left( cm^{3} ight)

  • Câu 11: Nhận biết
    Chọn đáp án đúng

    Hình cầu tâm O bán kính R được tạo ra khi quay

    Hướng dẫn:

    Hình cầu tâm O bán kính R được tạo ra khi quay nửa hình tròn tâm O bán kính R quanh đường kính của nó.

  • Câu 12: Vận dụng
    Chọn kết luận đúng

    Cho tam giác ABC đều có cạnh AB = 10cm, đường cao AH. Tính diện tích mặt cầu được tạo thành khi quay nửa đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC một vòng quanh đường thẳng AH?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    AH = \sqrt{AB^{2} - BH^{2}} = \sqrt{10^{2} - 5^{2}} = 5\sqrt{3}(cm)

    Khi quay nửa đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC quanh đường thẳng AH ta được một hình cầu bán kính R = \frac{2}{3}AH = \frac{2}{3}.5\sqrt{3} = \frac{10\sqrt{3}}{3}(cm)

    Diện tích mặt cầu được tạo thành là:

    S = 4\pi R^{2} = 4\pi.\left( \frac{10\sqrt{3}}{3} ight)^{2} = \frac{400\pi}{3}\left( cm^{2} ight)

  • Câu 13: Vận dụng
    Chọn kết luận đúng

    Hình vẽ dưới đây mô tả cách người ta cắt bỏ đi từ một khối gỗ có dạng hình lập phương cạnh a để được một khối gỗ có dạng hình nón.

    Tính thể tích của phẩn gỗ bị cắt bỏ đi theo a?

    Hướng dẫn:

    Thể tích khối lập phương là: V_{1} = a^{3}

    Bán kính đáy của hình nón \frac{a}{2}

    Chiều cao của hình nón bằng a

    Thể tích khối nón là:

    V_{2} = \frac{1}{3}\pi.r^{2}.h = \frac{1}{3}.\pi.\left( \frac{a}{2} ight)^{2}.a = \frac{\pi a^{3}}{12}

    Thể tích phần gỗ bị cắt bỏ là:

    V = V_{1} - V_{2} = a^{3} - \frac{\pi a^{3}}{12} = \frac{a^{3}(12 - \pi)}{12}

  • Câu 14: Vận dụng
    Tính diện tích toàn phần của hình nón

    Cho tam giác ABC đều cạnh a, đường trung tuyến AM. Quay tam giác ABC quanh cạnh AM. Tính diện tích toàn phần của hình nón tạo thành?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Xét tam giác ABC đều có AM vừa là đường trung tuyến, vừa là đường trung trực, đường cao, đương phân giác.

    Nên ta có: MC = \frac{BC}{2} = \frac{a}{2}

    Khi quay tam giác ABC quanh cạnh AM ta được hình nón có đỉnh A bán kính đáy là MC, đường sinh AC và chiều cao AM

    Diện tích toàn phần của hình nón là:

    S_{tp} = \pi R.l + \pi R^{2}

    = \pi.MC.AC + \pi.MC^{2}

    = \pi.\frac{a}{2}.a + \pi.\left( \frac{a}{2} ight)^{2} = \frac{3\pi a^{2}}{4}

  • Câu 15: Vận dụng cao
    Tính diện tích xung quanh hình nón cụt

    Cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và B, biết cạnh AB = BC = 3cm;AD = 5cm. Tính diện tích xung quanh hình nón cụt tạo thành khi quay hình thang quanh cạnh AB.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Xét tam giác vuông ABD ta có:

    BD = \sqrt{AD^{2} - AB^{2}} = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 4(cm)

    Kẻ CH ⊥ BD tại H

    Khi đó ACHB là hình vuông nên CH = AB = AC = BH = 3cm

    \Rightarrow HD = 4 - 3 = 1(cm)

    Xét tam giác vuông CHD ta có:

    CD^{2} = CH^{2} + HD^{2} = 3^{2} + 1^{2} = 10

    \Rightarrow CD = \sqrt{10}(cm)

    Khi quay hình thang vuông ABDC quanh cạnh AB ta được hình nón cụt có bán kính đáy nhỏ AC, bán kính đáy lớn BD, đường sinh CD và chiều cao AB.

    Khi đó diện tích xung quanh hình nón cụt là:

    S_{xq} = \pi(R + r).l = \pi(3 + 4).\sqrt{10} = 7\pi\sqrt{10}\left( cm^{2} ight)

  • Câu 16: Nhận biết
    Chọn đáp án thích hợp

    Khi quay tam giác vuông ABC;\left( \widehat{A} = 90^{0} ight) quanh cạnh góc vuông AB thì ta thu được hình nón có đường kính đáy là:

    Hướng dẫn:

    Khi quay tam giác vuông ABC;\left( \widehat{A} = 90^{0} ight) quanh cạnh góc vuông AB thì ta thu được hình nón có đường kính đáy là 2AC.

  • Câu 17: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Hình trụ (T) được sinh ra khi quay hình chữ nhật ABCD một vòng quanh cạnh AB. Biết AC = 2a\sqrt{2};\widehat{ACB} = 45^{0}. Diện tích toàn phần S_{tp} của hình trụ (T) là

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa:

    Vì trục AB vuông góc với mặt đáy nên ∆ABC vuông tại B mà \widehat{ACB} = 45^{0}

    Suy ra ∆ABC vuông cân tại B.

    Suy ra AB = BC \Rightarrow 2AB^{2} = AC^{2}(Theo định lý Pytago)

    Mà AC = 2a\sqrt{2}

    \Rightarrow 2AB^{2} = \left( 2a\sqrt{2} ight)^{2} = 8a^{2}

    \Rightarrow AB = 2a

    Suy ra hình trụ (T) có chiều cao là h = AB = 2a và bán kính đáy là r = BC = 2a

    Suy ra S_{tp} = 2\pi.2a.2a + 2\pi.(2a)^{2} = 16\pi a^{2}

  • Câu 18: Vận dụng cao
    Xác định bán kính đáy hình trụ

    Một hình trụ có thể tích V không đổi. Hỏi bán kính đáy bằng bao nhiêu để diện tích toàn phần của hình trụ đó là nhỏ nhất

    Hướng dẫn:

    Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình trụ lần lượt là R;h;(R > 0;h > 0)

    Ta có:

    8 = \pi R^{2}h \Rightarrow h = \frac{8}{\pi R^{2}}

    Diện tích toàn phần của hình trụ:

    S_{tp} = S_{xq} + S_{2d}

    \Rightarrow S_{tp} = 2\pi.R.h + 2\pi R^{2}

    \Rightarrow S_{tp} = 2\pi.R.\frac{8}{\pi R^{2}} + 2\pi R^{2}

    \Rightarrow S_{tp} = \frac{16}{R} + 2\pi R^{2} = \frac{8}{R} + \frac{8}{R} + 2\pi R^{2}\geq3\sqrt[3]{\frac{8}{R}.\frac{8}{R}.2\pi R^{2}} = 3\sqrt[3]{2\pi.64} =12\sqrt[3]{2\pi}

    Dấu “=” xảy ra: \frac{8}{R} = 2\pi R^{2}\Rightarrow R = \sqrt[3]{\frac{4}{\pi}}

    Vậy với R = \sqrt[3]{\frac{4}{\pi}} thì diện tích toàn phần hình trụ đạt giá trị nhỏ nhất là 12\sqrt[3]{2\pi}.

  • Câu 19: Thông hiểu
    Tính số đo cung

    Cắt mặt xung quanh của hình nón theo một đường sinh và trải phẳng ra tạo thành một hình quạt. Biết bán kính của hình quạt tròn bằng độ dài đường sinh và độ dài cung bằng chu vi đáy. Quan sát hình vẽ dưới đây và tính số đo cung của hình quạt tròn.

    Hướng dẫn:

    Chu vi đường tròn đáy là C = 2\pi.5 = 10\pi

    Số đo cung hình quạt là \alpha = \frac{c}{R}.\frac{180^{0}}{\pi} = \frac{10\pi}{13}.\frac{180^{0}}{\pi} \approx 138^{0}27'

  • Câu 20: Nhận biết
    Chọn đáp án đúng

    Cho hình trụ có chu vi đáy là 4π và chiều cao h = 8. Tính thể tích hình trụ?

    Hướng dẫn:

    Ta có chu vi đáy C = 2\pi R = 4\pi\Rightarrow R = 2

    Thể tích hình trụ là V = \pi R^{2}h =\pi.2^{2}.8 = 32\pi(dvdt)

  • Câu 21: Vận dụng
    Tính chiều cao đống cát

    Một đống cát hình nón có chu vi đáy bằng 4\pi(m). Người ta dùng xe cải tiến để chở đống cát đó đi 20 chuyến thì hết. Biết mỗi chuyến chở được 250dm^{3}. Hỏi đống cát đó cao khoảng bao nhiêu mét? (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất và \pi \approx 3,14)

    Hướng dẫn:

    Gọi r là bán kính đáy đống cát và h là chiều cao của đống cát.

    Vì chu vi đáy đống cát là 4\pi(m) suy ra 2\pi R = 4\pi \Rightarrow R = 2(m)

    Vì chở 20 chuyến xe thì hết đống cát và mỗi chuyến chở được 250dm^{3}nên thể tích đống cát là

    V = 250.20 = 5000\left( dm^{3} ight) = 5m^{3}

    Khi đó chiều cao đống cát là: h = \frac{3V}{\pi R^{2}} \approx 1,2(m)

    Vậy chiều cao đống cát khoảng 1,2m.

  • Câu 22: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Cho tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh góc vuông bằng a. Tính diện tích mặt cầu được tạo thành khi quay nửa đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC một vòng quanh cạnh BC

    Hướng dẫn:

    Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Sử dụng công thức diện tích mặt cầu S = 4\pi R^{2}.

    Vì tam giác ABC vuông tại A nên có đường tròn ngoại tiếp là đường tròn đường kính BC.

    Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là R = \frac{BC}{2}

    Theo định lý Pytago ta có:

    BC^{2} = AB^{2} + AC^{2} = 2a^{2} \Rightarrow BC = a\sqrt{2} \Rightarrow R = \frac{a\sqrt{2}}{2}

    Khi quay nửa đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC một vòng quay quanh cạnh BC ta được hình cầu có bán kính R = \frac{a\sqrt{2}}{2} nên diện tích mặt cầu là: S = 4\pi R^{2} = 4\pi\left( \frac{a\sqrt{2}}{2} ight)^{2} = 2\pi a^{2}.

  • Câu 23: Vận dụng
    Chọn phương án thích hợp

    Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 4,BC = 2. Quay hình chữ nhật đó quanh AB thì được hình trụ có thể tích V_{1}; quay quanh BC thì được hình trụ có thể tích V_{2}. Trong các đẳng thức dưới đây đẳng thức nào đúng?

    Hướng dẫn:

    Ta thấy rằng,

    Khi quay hình chữ nhật quanh AB thì h = AB = 4, R = BC = 2 và V_{1} = \pi R^{2}h = \pi.2^{2}.4 = 16\pi.

    Khi quay hình chữ nhật quanh BC thì h = BC = 2, R = AB = 4 và V_{2} = \pi R^{2}h = \pi.4^{2}.2 = 32\pi.

    Suy ra V_{2} = 2V_{1}.

  • Câu 24: Thông hiểu
    Tính độ dài đường sinh

    Một hình nón có diện tích xung quanh là 72π ,bán kính đáy là 6cm. Độ dài đường sinh là:

    Hướng dẫn:

    Diện tích xung quanh hình nón là:

    \begin{matrix} {S_{xq}} = \pi rl \hfill \\ \Rightarrow l = \dfrac{{{S_{xq}}}}{{\pi r}} = \dfrac{{72\pi }}{{6\pi }} = 12\left( {cm} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy độ dài đường sinh của hình nón là 12cm.

  • Câu 25: Thông hiểu
    Tính thể tích hình cầu

    Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB bằng 6cm cố định. Quay nửa hình tròn đó quanh AB thì được một hình cầu có thể tích bằng:

    Hướng dẫn:

    Bán kính hình cầu là r = 3 cm

    => Thể tích hình cầu là:

    V = \frac{4}{3}\pi {r^3} = \frac{4}{3}\pi {.3^3} = 36\pi \left( {c{m^3}} ight)

    Vậy thể tích hình cầu là 36\pi \left( {c{m^3}} ight)

  • Câu 26: Thông hiểu
    Tính thể tích phần vật thể còn lại

    Một vật thể có thể dáng hình trụ, bán kính đường tròn đáy và độ dài của nó đều bằng 2r (cm). Người ta khoan một lỗ cũng có dạng hình trụ như hình vẽ có bán kính đáy và độ sâu đều bằng r (cm).

    Thể tích phần vật thể còn lại tính theo cm^{3} là:

    Hướng dẫn:

    Gọi V là thể tích khối trụ bán kính đáy 2r và V_{1} là thể tích khối trụ bán kính đáy r.

    Khi đó

    V = \pi(2r)^{2}.2r = 8\pi r^{3}.

    V_{1} = \pi r^{2}.r = \pi r^{3}.

    Thể tích phần vật thể còn lại là V - V_{1} = 8\pi r^{3} - \pi r^{3} = 7\pi r^{3}.

  • Câu 27: Vận dụng cao
    Chọn đáp án chính xác

    Một bồn hình trụ chứa dấu, được đặt nằm ngang. Bồn có chiều dài 5 m, bán kính đáy 1 m, nắp bồn đặt trên mặt nằm ngang của mặt trụ. Người ta rút dầu trong bồn tương ứng với 0,5 m của đường kính đáy (như hình vẽ). Thể tích gần đúng nhất của lượng dầu còn lại trong bồn (theo đơn vị 3 m) là:

    Hướng dẫn:

    Diện tích mặt đáy của bồn là S_{1} = \pi r^{2} = \pi\left( m^{2} ight)

    Vì OC = 1m; IC = 0,5 m ⇒ IO = 0,5 m

    Áp dụng tỉ số lượng giác vào ∆AOI vuông tại I ta được:

    \cos\widehat{AOI} = \frac{IO}{OA} = 0,5 \Rightarrow \widehat{AOI} = 60^{0} \Rightarrow \widehat{AOB} = 120^{0}

    Diện tích hình quạt AOB bằng 1/3 diện tích mặt đáy suy ra:

    S_{2} = \frac{S_{1}}{3} = \frac{\pi}{3}\left( m^{2} ight)

    Diện tích hình quạt giới hạn bởi cung AB lớn và 2 bán kính OA, OB là:

    S_{3} = \frac{2\pi}{3}\left( m^{2} ight)

    Áp dụng định lý Pytago vào ∆AOI vuông tại I ta được:

    AI^{2} = AO^{2} - OI^{2} = \frac{3}{4} \Rightarrow AI = \frac{\sqrt{3}}{2}(m)

    \Rightarrow S_{AOI} = \frac{1}{2}AI.OI = \frac{1}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{8}\left( m^{2} ight)

    Diện tích ∆AOB là: S_{4} = 2S_{AOI} = \frac{\sqrt{3}}{4}\left( m^{2} ight)

    Diện tích mặt đáy của lượng dầu còn lại trong bồn là:

    S_{5} = S_{3} + S_{4} = \frac{2\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{8}\left( m^{2} ight)

    Vậy thể tích khối dầu còn lại trong bồn là:

    V = S_{5}.h = \left( \frac{2\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{8} ight) \approx 12,637\left( m^{3} ight)

  • Câu 28: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Một hình nón có diện tích xung quanh và diện tích toàn phần lần lượt bằng 65\pi\left( cm^{2} ight) và 115\pi\left( cm^{2} ight). Hỏi chiều cao của hình nón đó bằng bao nhiêu centimet (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

    Hướng dẫn:

    Gọi bán kính đáy của hình nón đó là r.

    Kí hiệu diện tích toàn phần và diện tích xung quanh của hình nón đó lần lượt là S_{xq};S_{tp}

    Ta có S_{tp} = S_{xq} + \pi r^{2}

    Do đó:

    115\pi = 65\pi + \pi r^{2} \Rightarrow r^{2} = 50 \Rightarrow r = 5\sqrt{2}(cm)

    Mặt khác, diện tích xung quanh của hình nón là 65\pi nên đường sinh l của nó thỏa mãn:

    \pi.5\sqrt{2}.l = 65\pi \Rightarrow l = \frac{13\sqrt{2}}{2}(cm)

    Vậy chiều cao của hình nón đó là:

    h = \sqrt{l^{2} - r^{2}} = \sqrt{\left( \frac{13\sqrt{2}}{2} ight)^{2} - \left( 5\sqrt{2} ight)^{2}} \approx 6(cm)

  • Câu 29: Vận dụng cao
    Chọn phương án thích hợp nhất

    Trong đời sống hàng ngày, ta thường gặp rất nhiều kiểu hộp hình trụ như: hộp sữa, lon nước ngọt, lon bia, …. Cần làm những hộp đó (có nắp) như thế nào để tiết kiệm được nguyên liệu mà thể tích lại lớn nhất

    Hướng dẫn:

    Gọi h;r;S_{tp} lần lượt là chiều cao, bán kính đáy và diện tích toàn phần của hình trụ.

    Ta có:

    S_{tp} = S_{xq} + S_{2d} = 2\pi.r.h + 2\pi.r^{2}

    = 2\pi.\left( r.h + r^{2} ight) = 2\pi.\left( \frac{r.h}{2} + \frac{r.h}{2} + r^{2} ight)

    Vì h > 0;r > 0 nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số \frac{r.h}{2};\frac{r.h}{2};r^{2} ta có:

    \frac{r.h}{2} + \frac{r.h}{2} + r^{2} \geq 3\sqrt[3]{\frac{r.h}{2}.\frac{r.h}{2}.r^{2}} = 3\sqrt[3]{\frac{r^{4}.h^{2}}{4}}

    \Rightarrow S_{tp} \geq 2\pi.3\sqrt[3]{\frac{r^{4}.h^{2}}{4}} = 2\pi.3\sqrt[3]{\frac{\pi^{2}.r^{4}.h^{2}}{4\pi^{2}}} = 2\pi.3\sqrt[3]{\frac{\left( \pi r^{2}h ight)^{2}}{4\pi^{2}}}

    Mà V = \pi r^{2}h \Rightarrow S_{tp} \geq 6\pi.\sqrt[3]{\frac{V^{2}}{4\pi^{2}}}

    \Rightarrow \left( S_{tp} ight)^{3}\geq \left( 6\pi.\sqrt[3]{\frac{V^{2}}{4\pi^{2}}} ight)^{3}\Rightarrow \left( S_{tp} ight)^{3} \geq216\pi^{3}.\frac{V^{2}}{4\pi^{2}} = 54\pi V^{2}

    \Rightarrow V^{2} \leq \frac{\left( S_{tp} ight)^{3}}{54\pi} \Rightarrow V \leq \sqrt{\frac{\left( S_{tp} ight)^{3}}{54\pi}}

    Dấu “= ” xảy ra \Leftrightarrow r^{2} = \frac{rh}{2} \Leftrightarrow r = \frac{h}{2}

    Vậy thể tích lớn nhất khi r = \frac{h}{2}.

  • Câu 30: Thông hiểu
    Tính đường kính mặt cầu

    Cho mặt cầu có thể tích V = 288π (cm3). Tính đường kính mặt cầu.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} \hfill \\ \Leftrightarrow 288\pi = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} \hfill \\ \Leftrightarrow R = 6\left( {cm} ight) \hfill \\ \Rightarrow d = 2R = 2.6 = 12\left( {cm} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy đường kính mặt cầu là 12cm.

0/30
30 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (20%):
    2/3
  • Thông hiểu (27%):
    2/3
  • Vận dụng (40%):
    2/3
  • Vận dụng cao (13%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại

Đấu trường Ôn thi vào 10 môn Toán: Nón – trụ – cầu và hình khối

Đang tìm đối thủ...

Đang tải...

Tạo phòng ngay Đấu trường chung
1
11 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này