Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Thi vào lớp 10 Ôn Chuyên đề Toán 9
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Ôn thi vào 10 môn Toán: Phương trình bậc hai và hệ thức Vi-ét

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 30 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 30 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Thông hiểu
    Chọn phương trình thích hợp

    Biết rằng phương trình x^{2} - ax + a - 2 = 0 (a là tham số) có hai nghiệm x_{1};x_{2} thỏa mãn đẳng thức \frac{{x_{1}}^{2} - 2}{x_{1} - 1}.\frac{{x_{2}}^{2} - 2}{x_{2} - 1} = 4. Khi đó tham số a là nghiệm của phương trình nào?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \Delta = a^{2} - 4(a - 2) = a^{2} - 4a + 8 > 0

    => Phương trình x^{2} - ax + a - 2 = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt.

    Áp dụng hệ thức Vi – et ta có: \left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = a \\ x_{1}.x_{2} = a - 2 \\ \end{matrix} ight.

    Theo bài ra ta có:

    \frac{{x_{1}}^{2} - 2}{x_{1} - 1}.\frac{{x_{2}}^{2} - 2}{x_{2} - 1} = 4

    \Leftrightarrow \frac{{x_{1}}^{2}{x_{2}}^{2} - 2\left( {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} ight) + 4}{x_{1}x_{2} - \left( x_{1} + x_{2} ight) + 1} = 4

    \Leftrightarrow \frac{\left( x_{1}x_{2} ight)^{2} - 2\left\lbrack \left( x_{1} + x_{2} ight) - 2x_{1}x_{2} ightbrack + 4}{x_{1}x_{2} - \left( x_{1} + x_{2} ight) + 1} = 4

    \Leftrightarrow \frac{(a - 2)^{2} - 2\left\lbrack a - 2(a - 2) ightbrack + 4}{a - 2 - a + 1} = 4

    \Leftrightarrow 3m^{2} - 8m + 16 = 8m - 4

    \Leftrightarrow 3a^{2} - 16a + 20 = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}a = \dfrac{10}{3} \\a = 2 \\\end{matrix} ight.

    Vậy a = \frac{10}{3};a = 2 là nghiệm của phương trình a^{2} - 3a + 2 = 0.

  • Câu 2: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức

    Gọi x_{1};x_{2} là nghiệm của phương trình x^{2} - 5x + 3 = 0. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức B = {x_{1}}^{2}x_{2} + x_{1}{x_{2}}^{2}?

    Hướng dẫn:

    Ta có: \Delta = ( - 5)^{2} - 4.1.3 = 25 - 12 = 13 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

    Áp dụng hệ thức Vi – et ta có: \left\{\begin{matrix}S = x_{1} + x_{2} = - \dfrac{- 5}{1} = 5 \\P = x_{1}.x_{2} = \dfrac{3}{1} = 3 \\\end{matrix} ight.

    B = {x_1}^2{x_2} + {x_1}{x_2}^2 = {x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} ight) = 3.5 = 15

    Vậy đáp án cần tìm là: 15

  • Câu 3: Nhận biết
    Xác định phương trình bậc hai một ẩn

    x_{1} = \sqrt{3} + \sqrt{2};x_{2} = \sqrt{3} - \sqrt{2} là nghiệm của phương trình nào?

    Hướng dẫn:

    Phương trình có hai nghiệm x_{1} = \sqrt{3} + \sqrt{2};x_{2} = \sqrt{3} - \sqrt{2} nên áp dụng hệ thức Vi – et ta có: \left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 2\sqrt{3} \\ x_{1}.x_{2} = - 1 \\ \end{matrix} ight.

    => Phương trình x^{2} - 2\sqrt{3}x - 1 = 0 thỏa mãn.

  • Câu 4: Vận dụng
    Tìm số nghiệm của phương trình

    Phương trình x^{4} - 13x^{2} + 36 = 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    x^{4} - 13x^{2} + 36 = 0

    Đặt x^{2} = t;(t \geq 0)

    Phương trình trở thành

    t^{2} - 13t + 36 = 0

    \Delta = ( - 13)^{2} - 4.36 = 25 \Rightarrow \sqrt{\Delta} = 5

    \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}t_{1} = \dfrac{- ( - 13) + 5}{2} = 9 \\t_{2} = \dfrac{- ( - 13) - 5}{2} = 4 \\\end{matrix} ight.

    Với t = 9 \Rightarrow x^{2} = 9 \Leftrightarrow x = \pm 3.

    Với t = 4 \Rightarrow x^{2} = 4 \Leftrightarrow x = \pm 2

    Vậy phương trình x^{4} - 13x^{2} + 36 = 0 có tập nghiệm S = \left\{ \pm 3; \pm 2 ight\}.

  • Câu 5: Thông hiểu
    Tìm điều kiện của tham số m thỏa mãn điều kiện

    Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình mx^{2} - 2x + 4 = 0 có hai nghiệm x_{1};x_{2} phân biệt?

    Hướng dẫn:

    Phương trình mx^{2} - 2x + 4 = 0 là hàm số bậc hai khi m eq 0

    Phương trình mx^{2} - 2x + 4 = 0 có hai nghiệm phân biệt khi \Delta' > 0 \Leftrightarrow 1 - 4m > 0 \Leftrightarrow m < \frac{1}{4}

    Vậy m < \frac{1}{4},m eq 0 thỏa mãn yêu cầu đều bài.

  • Câu 6: Nhận biết
    Chọn phương trình thích hợp

    Cho hai số a;b thỏa mãn điều kiện a - b = 5;a.b = 24. Khi đó a và - b là hai nghiệm của phương trình:

    Hướng dẫn:

    Vì tổng hai nghiệm là: S = a + ( - b) = 5

    Tích hai nghiệm là: P = 24 \Rightarrow a.( - b) = - 24

    Nên cặp số a và - b là nghiệm của phương trình x^{2} - 5x - 24 = 0.

  • Câu 7: Vận dụng cao
    Xác định nghiệm của phương trình

    Cho phương trình x^{2} - (m - 1)x - m^{2} + m - 2 = 0 với m là tham số. Gọi x_{1};x_{2} là hai nghiệm của phương trình. Giá trị của tham số m để biểu thức A = \left( \frac{x_{1}}{x_{2}} ight)^{3} - \left( \frac{x_{2}}{x_{3}} ight)^{3} đạt giá trị lớn nhất là:

    Hướng dẫn:

    Xét a.c= - m^{2} + m - 2 = - \left( m -\frac{1}{2} ight)^{2} - \frac{3}{4} < 0,\forall m \in\mathbb{R}

    Vậy phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m.

    Gọi hai nghiệm của phương trình đã cho là x_{1},x_{2}.

    Lại có x_{1}x_{2} eq 0, do đó A được xác định với mọi x_{1},x_{2}.

    Do x_{1},x_{2} trái dấu nên \left( \frac{x_{1}}{x_{2}} ight)^{3} = - t với t > 0, suy ra \left( \frac{x_{2}}{x_{1}} ight)^{3} < 0, suy ra A < 0

    Đặt \left( \frac{x_{1}}{x_{2}} ight)^{3} = - t, với t > 0, suy ra \left( \frac{x_{2}}{x_{1}} ight)^{3} = - \frac{1}{t}.

    Khi đó A = - t - \frac{1}{t} mang giá trị âm và A đạt giá trị lớn nhất khi - A có giá trị nhỏ nhất.

    Ta có - A = t + \frac{1}{t} \geq 2, suy ra A \leq - 2.

    Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t = \frac{1}{t} \Leftrightarrow t^{2} = 1 \Rightarrow t = 1.

    Với t = 1, ta có
    \left( \frac{x_{1}}{x_{2}} ight)^{3} = - 1\Leftrightarrow \frac{x_{1}}{x_{2}} = - 1 \Leftrightarrow x_{1} = -x_{2}\Leftrightarrow x_{1} + x_{2} = 0 \Leftrightarrow - (m - 1) = 0\Leftrightarrow m = 1.

    Vậy với m = 1 thì biểu thức A đạt giá trị lớn nhất là -2 .

  • Câu 8: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Biết rằng phương trình x^{2} - (m + 5)x + 3m + 6 = 0 luôn có hai nghiệm x_{1};x_{2} với mọi tham số m. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số?

    Hướng dẫn:

    Theo hệ thức Viète ta có:

    \left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = m + 5 \\ x_{1}.x_{2} = 3m + 6 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 3\left( x_{1} + x_{2} ight) = 3m + 15 \\ x_{1}.x_{2} = 3m + 6 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow 3\left( x_{1} + x_{2} ight) - x_{1}.x_{2} = 3m + 15 - 3m - 6 = 9

    Vậy hệ thức cần tìm là: 3\left( x_{1} + x_{2} ight) - x_{1}.x_{2} = 9.

  • Câu 9: Nhận biết
    Xác định nghiệm của phương trình

    Tổng S và tích P hai nghiệm của phương trình x^{2} + 6x - 2017 = 0 lần lượt là:

    Hướng dẫn:

    Phương trình x^{2} + 6x - 2021 = 0 có \Delta' = 3^{2} - 1.( - 2017) = 2026 > 0 nên phương trình có hai nghiệm x_{1};x_{2}.

    Theo hệ thức Vi-et ta có:

    \left\{ \begin{matrix}S = x_{1} + x_{2} = - \dfrac{b}{a} = - 6 \\P = x_{1}.x_{2} = \dfrac{c}{a} = - 2017 \\\end{matrix} ight.

  • Câu 10: Thông hiểu
    Tìm số nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

    Tính biệt thức ∆ từ đó tìm số nghiệm của phương trình: 9x2 − 15x + 3 = 0

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} \Delta = {b^2} - 4ac \hfill \\ \Rightarrow \Delta = {\left( { - 15} ight)^2} - 4.9.3 = 117 > 0 \hfill \\ \end{matrix}

    => Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

  • Câu 11: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Tính biệt thức \Delta từ đó tìm nghiệm (nếu có) của phương trình \sqrt{3}x^{2} + \left( \sqrt{3} - 1 ight)x - 1 = 0?

    Hướng dẫn:

    Ta có biệt thức:

    \Delta = b^{2} - 4ac

    = \left( \sqrt{3} - 1 ight)^{2} + 4.\sqrt{3}.1

    = 3 - 2\sqrt{3} + 1 + 4.\sqrt{3} = 4 + 2\sqrt{3}

    = \left( \sqrt{3} ight)^{2} + 2\sqrt{3} + 1 = \left( \sqrt{3} + 1 ight)^{2}

    \Rightarrow \Delta > 0

    Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x_{1} = \frac{- \left( \sqrt{3} - 1 ight) - \sqrt{\Delta}}{2.\sqrt{3}} = - 1;x_{2} = \frac{- \left( \sqrt{3} - 1 ight) + \sqrt{\Delta}}{2.\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}

  • Câu 12: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Cho phương trình 3x^{2} + 5x - 6 = 0. Gọi x_{1};x_{2} là các nghiệm của phương trình trên. Không giải phương trình, hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm a_{1} = x_{1} + \frac{1}{x_{2}};a_{2} = x_{2} + \frac{1}{x_{1}}?

    Hướng dẫn:

    Ta có: \Delta = 5^{2} + 4.3.6 = 97 > 0

    Vậy phương trình luôn có nghiệm.

    Theo hệ thức Viète ta có: \left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - \frac{5}{3} \\ x_{1}.x_{2} = - 2 \\ \end{matrix} ight.

    Do đó:

    a_{1} + a_{2} = x_{1} + \frac{1}{x_{2}} + x_{2} + \frac{1}{x_{1}} = \left( x_{1} + x_{2} ight) + \frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1}x_{2}} = - \frac{5}{6}

    a_{1}.a_{2} = \left( x_{1} + \frac{1}{x_{2}} ight).\left( x_{2} + \frac{1}{x_{1}} ight) = 2 + x_{1}x_{2} + \frac{1}{x_{1}x_{2}} = - \frac{1}{2}

    Vậy phương trình cần tìm là: a^{2} + \frac{5}{6}a - \frac{1}{2} = 0 hay 6a^{2} + 5a - 3 = 0.

  • Câu 13: Vận dụng
    Tính giá trị biểu thức

    Hai nghiệm của phương trình \frac{x}{{x + 1}} - \frac{{10\left( {x + 1} ight)}}{x} = 3 là x1 > x2. Tính 3x1 + 4x2.

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định: x e 0;x e - 1

    Đặt: \frac{x}{{x + 1}} = a;\left( {a e 0} ight) phương trình trở thành:

    \begin{matrix} a - \dfrac{{10}}{a} = 3 \Leftrightarrow {a^2} - 3a - 10 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = \dfrac{{3 + \sqrt {49} }}{2} = 5\left( {tm} ight)} \\ {a = \dfrac{{3 - \sqrt {49} }}{2} = - 2\left( {tm} ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Với a = 5 ta được: 

    \begin{matrix} \dfrac{x}{{x + 1}} = 5 \hfill \\ \Leftrightarrow 5x + 5 = x \hfill \\ \Leftrightarrow x = - \dfrac{5}{4}\left( {tm} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Với a = -2 ta được:

    \begin{matrix} \dfrac{x}{{x + 1}} = - 2 \hfill \\ \Leftrightarrow - 2x - 2 = x \hfill \\ \Leftrightarrow x = - \dfrac{2}{3}\left( {tm} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Ta lại có: {x_1} > {x_2} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = - \dfrac{2}{3}} \\ {{x_2} = - \dfrac{5}{4}} \end{array}} ight.

    \Rightarrow 3{x_1} + 4{x_2} = 3.\left( { - \frac{2}{3}} ight) + 4.\left( { - \frac{5}{4}} ight) = - 7

  • Câu 14: Vận dụng
    Chọn câu đúng

    Cho phương trình x^{2} - 2(m + 1)x +m^{2} - 4m + 3 = 0 với m là tham số. Điều kiện tham số m để phương trình có hai nghiệm dương là:

    Hướng dẫn:

    Phương trình đã cho có hai nghiệm âm.

    \left\{ \begin{matrix}a eq 0 \\\Delta' > 0 \\S = x_{1} + x_{2} < 0 \\P = x_{1}.x_{2} > 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}1 eq 0 \\(m + 1)^{2} - \left( m^{2} - 4m + 3 ight) > 0 \\2(m + 1) < 0 \\m^{2} - 4m + 3 > 0 \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m > \frac{1}{3} \hfill \\ m < - 1 \hfill \\ \left[ \begin{gathered} m < 1 \hfill \\ m > 3 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow m \in \emptyset

    Vậy đáp án cần tìm là: m \in \emptyset

  • Câu 15: Vận dụng
    Tìm điều kiện tham số m

    Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P):y = 2x^{2} và đường thẳng (d):y = - 2mx + m + 1. Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt x_{1};x_{2} sao cho \frac{1}{\left( 2x_{1} - 1 ight)^{2}} + \frac{1}{\left( 2x_{2} - 1 ight)^{2}} = 2.

    Hướng dẫn:

    Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:

    2x^{2} = - 2mx + m + 1 \Leftrightarrow 2x^{2} + 2mx - m - 1 = 0(*)

    Ta có: \Delta' = m^{2} - 2( - m - 1) = m^{2} + 2m + 2 = (m + 1)^{2} + 1 \geq 0\forall m nên phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt

    Suy ra (d) và (P) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A;B

    Ta thấy: 2\left( \frac{1}{2} ight)^{2} + 2m.\left( \frac{1}{2} ight) - m - 1 eq 0\forall m nên hai nghiệm của phương trình (*) luôn khác \frac{1}{2}

    Ta có:

    \frac{1}{\left( 2x_{1} - 1 ight)^{2}} + \frac{1}{\left( 2x_{2} - 1 ight)^{2}}

    = \left( \frac{1}{2x_{1} - 1} + \frac{1}{2x_{2} - 1} ight)^{2} - \frac{2}{\left( 2x_{1} - 1 ight)\left( 2x_{1} + 1 ight)}

    = 4\left\lbrack \frac{x_{1} + x_{2} - 1}{4x_{1}x_{2} + 2\left( x_{1} + x_{2} ight) + 1} ightbrack - \frac{2}{4x_{1}x_{2} - 2\left( x_{1} + x_{2} ight) + 1}(**)

    Theo hệ thức Vi – ét ta có:\left\{\begin{matrix}x_{1} + x_{2} = - m \\x_{1}x_{2} = - \dfrac{m + 1}{2} \\\end{matrix} ight.

    Thay vào (**) ta được:

    \frac{1}{\left( 2x_{1} - 1 ight)^{2}} + \frac{1}{\left( 2x_{2} - 1 ight)^{2}} = 4\left\lbrack \frac{- m - 1}{- 2(m + 1) + 2m + 1} ightbrack = 4(m + 1)^{2} + 2

    Yêu cầu bài toán tương đương với

    4(m + 1)^{2} + 2 = 2 \Leftrightarrow m = - 1

    Vậy m = - 1 là giá trị cần tìm

  • Câu 16: Nhận biết
    Chọn kết quả chính xác

    Cho phương trình 2x^{2} - mx + 5 = 0 với m là tham số. Biết phương trình có một nghiệm là 2. Hỏi nghiệm còn lại của phương trình là bao nhiêu?

    Hướng dẫn:

    Vì x = 2 là nghiệm của phương trình nên thay x = 2 vào phương trình ta được:

    8 - 2m + 5 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{13}}{2}

    Heo hệ thức Viète ta có: x_{1}x_{2} = \frac{5}{2} mà x_{1} = 2 suy ra {x_2} = \frac{5}{4}.

  • Câu 17: Vận dụng
    Xác định nghiệm của phương trình

    Phương trình x^{4} - 6x^{2} - 7 = 0 có bao nhiêu nghiệm?

    Hướng dẫn:

    Đặt x^{2} = t;(t \geq 0) ta được phương trình: t^{2} - 6t - 7 = 0

    Phương trình t^{2} - 6t - 7 = 0 \Leftrightarrow (t + 1)(t - 7) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = - 1(ktm) \\ t = 7(tm) \\ \end{matrix} ight.

    Với t = 7 \Leftrightarrow x^{2} = 7 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{7}

    Vậy phương trình có hai nghiệm.

  • Câu 18: Thông hiểu
    Xác định tham số m

    Tìm giá trị của tham số m để các phương trình 3x^{2} + m^{2}x + 4m = 0 có một nghiệm bằng 1?

    Hướng dẫn:

    Vì x = 1 là nghiệm của phương trình 3x^{2} + m^{2}x + 4m = 0 nên

    3.1^{2} + m^{2}.1 + 4m = 0 \Leftrightarrow m^{2} + 4m + 3 = 0

    \Leftrightarrow (m + 1)(m + 3) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = - 1 \\ m = - 3 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy m \in \left\{ - 1; - 3 ight\} thì phương trình 3x^{2} + m^{2}x + 4m = 0 có một nghiệm bằng 1.

  • Câu 19: Vận dụng
    Chọn khẳng định đúng

    Giải phương trình x^2-(a+b)x + ab = 0 với a, b là hai số nguyên phân biệt cho trước.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} \Delta = {\left( {a + b} ight)^2} - 4ab \hfill \\ \Delta = {a^2} + 2ab + {b^2} - 4ab \hfill \\ \Delta = {a^2} - 2ab + {b^2} = {\left( {a - b} ight)^2} > 0\hfill \\ \Rightarrow \sqrt \Delta = \sqrt {{{\left( {a - b} ight)}^2}} = \left| {a - b} ight| \hfill \\ \end{matrix}

    (Do a, b là hai số nguyên phân biệt)

    => Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

    \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = \dfrac{{a + b + \left| {a - b} ight|}}{2}} \\ {{x_2} = \dfrac{{a + b - \left| {a - b} ight|}}{2}} \end{array}} ight.

    Giả sử a>b ta được: |a-b|=a-b khi đó

    \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = \dfrac{{a + b + a - b}}{2}} \\ {{x_2} = \dfrac{{a + b - \left( {a - b} ight)}}{2}} \end{array}} ight. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = a} \\ {{x_2} = b} \end{array}} ight. \in \mathbb{Z}

    Tương tự với a < b ta cũng được kết quả hai nghiệm phương trình là nghiệm nguyên.

    => Phương trình đã cho có hai nghiệm nguyên.

  • Câu 20: Nhận biết
    Chọn đáp án đúng

    Phương trình nào dưới đây là phương trình bậc hai một ẩn?

    Hướng dẫn:

     Phương trình bậc hai một ẩn là \frac{1}{2}{x^2} - 2 = 0.

     

  • Câu 21: Vận dụng
    Chọn đáp án chính xác

    Có bao nhiêu cặp số (x;y) thỏa mãn x^{2} + y^{2} = 20 và xy = 8?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    x^{2} + y^{2} = 20 và xy = 8

    Ta có: (x + y)^{2} = x^{2} + y^{2} + 2xy = 20 + 2.8 = 36

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x + y = 6 \\ x + y = - 6 \\ \end{matrix} ight.

    Với \left\{ \begin{matrix} x + y = 6 \\ xy = 8 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có: S^{2} - 4P = 6^{2} - 4.8 = 36 - 32 = 4 > 0 nên x;y là hai nghiệm của phương trình X^{2} - 6X + 8 = 0

    \Delta' = ( - 3)^{2} - 1.8 = 9 - 8 = 1 > 0. Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là

    X_{1} = \frac{3 + \sqrt{1}}{1} = 4;X_{2} = \frac{3 - \sqrt{1}}{1} = 2

    Vậy \left\{ \begin{matrix} x = 4 \\ y = 2 \\ \end{matrix} ight. hoặc \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 4 \\ \end{matrix} ight. (*)

    Với \left\{ \begin{matrix} x + y = - 6 \\ xy = 8 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có: S^{2} - 4P = ( - 6)^{2} - 4.8 = 36 - 32 = 4 > 0 nên x;y là hai nghiệm của phương trình X^{2} + 6X + 8 = 0

    \Delta' = (3)^{2} - 1.8 = 9 - 8 = 1 > 0. Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là

    X_{1} = \frac{- 3 + \sqrt{1}}{1} = - 2;X_{2} = \frac{- 3 - \sqrt{1}}{1} = - 4

    Vậy \left\{ \begin{matrix} x = - 4 \\ y = - 2 \\ \end{matrix} ight. hoặc \left\{ \begin{matrix} x = - 2 \\ y = - 4 \\ \end{matrix} ight.(**)

    Từ (*) và (**) suy ra (x;y) \in \left\{ (4;2),(2;4),( - 2; - 4),( - 4; - 2) ight\}

    Vậy có 4 cặp số (x;y) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

  • Câu 22: Vận dụng cao
    Chọn kết quả chính xác

    Cho phương trình x^{2} - 2(m - 1)x + 2m^{2} - 3m + 1 = 0, với m là tham số. Gọi x_{1},x_{2} là nghiệm của phương trình. Giá trị của m để biểu thức \left| x_{1} + x_{2} + x_{1}x_{2} ight| \leq \frac{9}{8} là:

    Hướng dẫn:

    Ta có \Delta^{'} = (m - 1)^{2} - \left( 2m^{2} - 3m + 1 ight) = - m^{2} + m = m(1 - m).

    Để phương trình có hai nghiệm

    \Leftrightarrow \Delta^{'} \geq 0 \Leftrightarrow 0 \leq m \leq 1.

    Theo định lý Viet ta có: x_{1} + x_{2} = 2(m - 1) và x_{1}x_{2} = 2m^{2} - 3m + 1.

    Ta có:

    \left| x_{1} + x_{2} + x_{1}x_{2} ight| = \left| 2(m - 1) + 2m^{2} - 3m + 1 ight|

    = \left| 2m^{2} - m - 1 ight| = 2\left| m^{2} - \frac{m}{2} - \frac{1}{2} ight| = 2\left| \left( m - \frac{1}{4} ight)^{2} - \frac{9}{16} ight|

    = 2\left| \frac{9}{16} - \left( m - \frac{1}{4} ight)^{2} ight| = \frac{9}{8} - 2\left( m - \frac{1}{4} ight)^{2} \leq \frac{9}{8}

    Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi m = \frac{1}{4}.

  • Câu 23: Nhận biết
    Chọn kết luận đúng

    Cho phương trình ax^{2} + bx + c = 0;(a eq 0), có biệt thức \Delta = b^{2} - 4ac. Phương trình đã cho có nghiệm khi

    Hướng dẫn:

    Phương trình ax^{2} + bx + c = 0;(a eq 0), có biệt thức \Delta = b^{2} - 4ac.

    Phương trình đã cho vô nghiệm khi \Delta < 0

    Phương trình có nghiệm kép khi \Delta = 0

    \Rightarrow x_{1} = x_{2} = \frac{- b}{2a}

    Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi \Delta > 0

    x_{1} = \frac{- b - \sqrt{\Delta}}{2a};x_{2} = \frac{- b + \sqrt{\Delta}}{2a}

    Vậy phương trình có nghiệm khi \Delta \geq 0.

  • Câu 24: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Cho phương trình mx^{2} - 2(m - 1)x + m + 1 = 0 với m là tham số. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt?

    Hướng dẫn:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} a = m;b = - (m - 1);c = m + 1 \\ \Delta' = (m - 1)^{2} - m(m + 1) = - 3m + 1 \\ \end{matrix} ight.

    Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a eq 0 \\ \Delta' > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m eq 0 \\ - 3m + 1 > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m eq 0 \\ m < \frac{1}{3} \\ \end{matrix} ight.

    Vậy m eq 0;m < \frac{1}{3} thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

  • Câu 25: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Cho phương trình mx^{2} - (2m + 1)x + m + 1 = 0(*) với m là tham số. Tìm giá trị của m để phương trình (*) có một nghiệm lớn hơn 2?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    Nếu m = 0 thì phương trình (*) trở thành - x + 1 = 0

    Phương trình này có nghiệm duy nhất x = 0.

    Nếu m eq 0 thì phương trình (*) là phương trình bậc hai có:

    \Delta = \left\lbrack - (2m + 1) ightbrack^{2} - 4m(m + 1) = 1 > 0

    Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt.

    Nếu m eq 0 thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt là:

    \left\lbrack \begin{matrix}x_{1} = \dfrac{(2m + 1) - 1}{2m} = 1 \\x_{2} = \dfrac{(2m + 1) + 1}{2m} = \dfrac{m + 1}{m} \\\end{matrix} ight.

    Vì nghiệm x_{1} = 1 < 2 nên ta phải xét nghiệm x_{2} > 2

    \frac{m + 1}{m} > 2 \Leftrightarrow \frac{m + 1}{m} - 2 > 0 \Leftrightarrow 0 < m < 1

    Vậy khi 0 < m < 1 thì phương trình (*) có một nghiệm lớn hơn 2.

  • Câu 26: Nhận biết
    Chọn đáp án đúng

    Có bao nhiêu phương trình sau đây là phương trình bậc hai một ẩn?

    x^{2} + 2x = - 1;3x^{2} - 1 = 0;x^{2} + x^{3} - 1 = 0;\frac{1}{x} + x^{2} - 2 = 0

    Hướng dẫn:

    Phương trình bậc hai một ẩn có dạng ax^{2} + bx + c = 0;(a eq 0)

    Vậy trong các phương trình đã cho, các phương trình bậc hai một ẩn là:

    x^{2} + 2x = - 1;3x^{2} - 1 = 0

  • Câu 27: Nhận biết
    Ghi đáp án vào ô trống

    Gọi x_{1};x_{2} là nghiệm của phương trình x^{2} - 4321x - \left( m^{6} + 3 ight) = 0 với m là tham số. Giá trị của biểu thức 2\left( x_{1} + x_{2} ight) =8642

    Đáp án là:

    Gọi x_{1};x_{2} là nghiệm của phương trình x^{2} - 4321x - \left( m^{6} + 3 ight) = 0 với m là tham số. Giá trị của biểu thức 2\left( x_{1} + x_{2} ight) =8642

    Ta có: a.c = - \left( m^{6} + 3 ight) < 0;\forall m\mathbb{\in R} nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

    Áp dụng hệ thức Viète ta có: x_{1} + x_{2} = 4321 \Rightarrow 2\left( x_{1} + x_{2} ight) = 2.4321 = 8642

  • Câu 28: Nhận biết
    Điều kiện để phương trình vô nghiệm

    Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có biệt thức b = 2b’; ∆' = b2 - ac. Phương trình đã cho vô nghiệm khi?

    Hướng dẫn:

    Phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) vô nghiệm khi ∆' < 0.

  • Câu 29: Thông hiểu
    Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

    Cho phương trình: {x^2} - 3\left( {m - 5} ight)x + {m^2} - 9 = 0. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt trái dấu.

    Hướng dẫn:

    Phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu khi và chỉ khi

    \begin{matrix} a.c < 0 \hfill \\ \Leftrightarrow 1.\left( {{m^2} - 9} ight) < 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {m - 3} ight)\left( {m + 3} ight) < 0 \hfill \\ \end{matrix}

    Trường hợp 1: \left\{ \begin{gathered} m - 3 > 0 \hfill \\ m + 3 < 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m > 3 \hfill \\ m < - 3 \hfill \\ \end{gathered} ight. (Vô lí)

    Trường hợp 2: \left\{ \begin{gathered} m - 3 < 0 \hfill \\ m + 3 > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m < 3} \\ {m > - 3} \end{array}} ight. 

    Vậy { - 3 < m < 3} phương trình có 2 nghiệm phân biệt trái dấu. 

  • Câu 30: Nhận biết
    Điều kiện để phương trình vô nghiệm

    Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có biệt thức Δ = b2 – 4ac. Phương trình đã cho vô nghiệm khi:

    Hướng dẫn:

    Để phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) vô nghiệm thì Δ < 0.

0/30
30 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (33%):
    2/3
  • Thông hiểu (33%):
    2/3
  • Vận dụng (27%):
    2/3
  • Vận dụng cao (7%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
26 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này