Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Thi vào lớp 10 Ôn Chuyên đề Toán 9
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Ôn thi vào 10 môn Toán: Phương trình bậc hai và hệ thức Vi-ét

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 30 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 30 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Thông hiểu
    Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

    Tìm điều kiện của tham số m để phương trình x2 – 2(m – 2)x + m2 − 3m + 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt.

    Hướng dẫn:

    Để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt thì

    \begin{matrix} \Delta = b{'^2} - ac > 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {m - 2} ight)^2} - 1.\left( {{m^2} - 3m + 5} ight) > 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {m^2} - 4m + 4 - {m^2} + 3m - 5 > 0 \hfill \\ \Leftrightarrow - m - 1 > 0 \hfill \\ \Leftrightarrow m < - 1 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy m<-1 thì phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt.

  • Câu 2: Vận dụng
    Chọn đáp án chính xác

    Có bao nhiêu cặp số (x;y) thỏa mãn x^{2} + y^{2} = 20 và xy = 8?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    x^{2} + y^{2} = 20 và xy = 8

    Ta có: (x + y)^{2} = x^{2} + y^{2} + 2xy = 20 + 2.8 = 36

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x + y = 6 \\ x + y = - 6 \\ \end{matrix} ight.

    Với \left\{ \begin{matrix} x + y = 6 \\ xy = 8 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có: S^{2} - 4P = 6^{2} - 4.8 = 36 - 32 = 4 > 0 nên x;y là hai nghiệm của phương trình X^{2} - 6X + 8 = 0

    \Delta' = ( - 3)^{2} - 1.8 = 9 - 8 = 1 > 0. Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là

    X_{1} = \frac{3 + \sqrt{1}}{1} = 4;X_{2} = \frac{3 - \sqrt{1}}{1} = 2

    Vậy \left\{ \begin{matrix} x = 4 \\ y = 2 \\ \end{matrix} ight. hoặc \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 4 \\ \end{matrix} ight. (*)

    Với \left\{ \begin{matrix} x + y = - 6 \\ xy = 8 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có: S^{2} - 4P = ( - 6)^{2} - 4.8 = 36 - 32 = 4 > 0 nên x;y là hai nghiệm của phương trình X^{2} + 6X + 8 = 0

    \Delta' = (3)^{2} - 1.8 = 9 - 8 = 1 > 0. Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là

    X_{1} = \frac{- 3 + \sqrt{1}}{1} = - 2;X_{2} = \frac{- 3 - \sqrt{1}}{1} = - 4

    Vậy \left\{ \begin{matrix} x = - 4 \\ y = - 2 \\ \end{matrix} ight. hoặc \left\{ \begin{matrix} x = - 2 \\ y = - 4 \\ \end{matrix} ight.(**)

    Từ (*) và (**) suy ra (x;y) \in \left\{ (4;2),(2;4),( - 2; - 4),( - 4; - 2) ight\}

    Vậy có 4 cặp số (x;y) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

  • Câu 3: Vận dụng
    Chọn khẳng định đúng

    Cho phương trình x2 + (a + b + c)x + (ab + bc + ca) = 0 với a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Khẳng định nào sau đây là đúng?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} \Delta = {\left( {a + b + c} ight)^2} - 4\left( {ab + bc + ca} ight) \hfill \\ \Delta = {a^2} + 2ab + 2ac + {b^2} + 2bc + {c^2} - 4ab - 4bc - ca \hfill \\ \Delta = {a^2} - 2ab - 2ac + {b^2} - 2bc + {c^2} \hfill \\ \Delta = {\left( {a - b} ight)^2} - {c^2} + {\left( {b - c} ight)^2} - {a^2} + {\left( {a - c} ight)^2} - {b^2} \hfill \\ \Delta = \left( {a - b - c} ight)\left( {a - b + c} ight) + \left( {b - c - a} ight)\left( {b - c + a} ight) \hfill \\ + \left( {a - c - b} ight)\left( {a - c + b} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Vì a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác nên:

    \left\{ \begin{gathered} a - b - c < 0 \hfill \\ a - b + c > 0 \hfill \\ b - c - a < 0 \hfill \\ b - c + a > 0 \hfill \\ a - c - b < 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \Delta < 0;\forall a,b,c

    Vậy phương trình luôn vô nghiệm.

  • Câu 4: Nhận biết
    Tìm câu sai

    Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

    Hướng dẫn:

    Câu sai là: “\frac{4}{5} + 2x^{2} = \frac{1}{5}x - \frac{1}{5} \Leftrightarrow 2x^{2} + \frac{1}{5}x + 1 = 0 với a = 2;b = \frac{1}{5};c = 1”

    Vì \frac{4}{5} + 2x^{2} = \frac{1}{5}x - \frac{1}{5} \Leftrightarrow 2x^{2} - \frac{1}{5}x + 1 = 0 với a = 2;b = - \frac{1}{5};c = 1.

  • Câu 5: Nhận biết
    Chọn kết quả chính xác

    Cho phương trình 2x^{2} - mx + 5 = 0 với m là tham số. Biết phương trình có một nghiệm là 2. Hỏi nghiệm còn lại của phương trình là bao nhiêu?

    Hướng dẫn:

    Vì x = 2 là nghiệm của phương trình nên thay x = 2 vào phương trình ta được:

    8 - 2m + 5 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{13}}{2}

    Heo hệ thức Viète ta có: x_{1}x_{2} = \frac{5}{2} mà x_{1} = 2 suy ra {x_2} = \frac{5}{4}.

  • Câu 6: Vận dụng cao
    Xác định nghiệm của phương trình

    Cho phương trình x^{2} - (m - 1)x - m^{2} + m - 2 = 0 với m là tham số. Gọi x_{1};x_{2} là hai nghiệm của phương trình. Giá trị của tham số m để biểu thức A = \left( \frac{x_{1}}{x_{2}} ight)^{3} - \left( \frac{x_{2}}{x_{3}} ight)^{3} đạt giá trị lớn nhất là:

    Hướng dẫn:

    Xét a.c= - m^{2} + m - 2 = - \left( m -\frac{1}{2} ight)^{2} - \frac{3}{4} < 0,\forall m \in\mathbb{R}

    Vậy phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m.

    Gọi hai nghiệm của phương trình đã cho là x_{1},x_{2}.

    Lại có x_{1}x_{2} eq 0, do đó A được xác định với mọi x_{1},x_{2}.

    Do x_{1},x_{2} trái dấu nên \left( \frac{x_{1}}{x_{2}} ight)^{3} = - t với t > 0, suy ra \left( \frac{x_{2}}{x_{1}} ight)^{3} < 0, suy ra A < 0

    Đặt \left( \frac{x_{1}}{x_{2}} ight)^{3} = - t, với t > 0, suy ra \left( \frac{x_{2}}{x_{1}} ight)^{3} = - \frac{1}{t}.

    Khi đó A = - t - \frac{1}{t} mang giá trị âm và A đạt giá trị lớn nhất khi - A có giá trị nhỏ nhất.

    Ta có - A = t + \frac{1}{t} \geq 2, suy ra A \leq - 2.

    Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t = \frac{1}{t} \Leftrightarrow t^{2} = 1 \Rightarrow t = 1.

    Với t = 1, ta có
    \left( \frac{x_{1}}{x_{2}} ight)^{3} = - 1\Leftrightarrow \frac{x_{1}}{x_{2}} = - 1 \Leftrightarrow x_{1} = -x_{2}\Leftrightarrow x_{1} + x_{2} = 0 \Leftrightarrow - (m - 1) = 0\Leftrightarrow m = 1.

    Vậy với m = 1 thì biểu thức A đạt giá trị lớn nhất là -2 .

  • Câu 7: Nhận biết
    Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt

    Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có biệt thức b = 2b’; ∆' = b2 - ac. Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi?

    Hướng dẫn:

    Phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm phân biệt khi ∆' > 0.

  • Câu 8: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Cho phương trình mx^{2} - (2m + 1)x + m + 1 = 0(*) với m là tham số. Tìm giá trị của m để phương trình (*) có một nghiệm lớn hơn 2?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    Nếu m = 0 thì phương trình (*) trở thành - x + 1 = 0

    Phương trình này có nghiệm duy nhất x = 0.

    Nếu m eq 0 thì phương trình (*) là phương trình bậc hai có:

    \Delta = \left\lbrack - (2m + 1) ightbrack^{2} - 4m(m + 1) = 1 > 0

    Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt.

    Nếu m eq 0 thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt là:

    \left\lbrack \begin{matrix}x_{1} = \dfrac{(2m + 1) - 1}{2m} = 1 \\x_{2} = \dfrac{(2m + 1) + 1}{2m} = \dfrac{m + 1}{m} \\\end{matrix} ight.

    Vì nghiệm x_{1} = 1 < 2 nên ta phải xét nghiệm x_{2} > 2

    \frac{m + 1}{m} > 2 \Leftrightarrow \frac{m + 1}{m} - 2 > 0 \Leftrightarrow 0 < m < 1

    Vậy khi 0 < m < 1 thì phương trình (*) có một nghiệm lớn hơn 2.

  • Câu 9: Vận dụng
    Nối đáp án sao cho đúng

    Nối đáp án sao cho đúng

    Gọi x_{1};x_{2} là nghiệm của phương trình x^{2} - 3x - 7 = 0. Không giải phương trình, tính giá trị của các biểu thức:

    a) A = \left( 3x_{1} - 2x_{2}ight)\left( 3x_{2} - 2x_{1} ight)
    b) B = \frac{x_{2}}{x_{1} - 1} +\frac{x_{1}}{x_{2} - 1}
    c) C = {x_{1}}^{4} +{x_{2}}^{4}
    d) D = \frac{x_{1} + 2}{x_{1}} +\frac{x_{2} + 2}{x_{2}}
    - 229
    - \frac{{20}}{9}
    431
    \frac{8}{7}
    Đáp án đúng là:
    a) A = \left( 3x_{1} - 2x_{2}ight)\left( 3x_{2} - 2x_{1} ight)
    b) B = \frac{x_{2}}{x_{1} - 1} +\frac{x_{1}}{x_{2} - 1}
    c) C = {x_{1}}^{4} +{x_{2}}^{4}
    d) D = \frac{x_{1} + 2}{x_{1}} +\frac{x_{2} + 2}{x_{2}}
    - 229
    - \frac{{20}}{9}
    431
    \frac{8}{7}
  • Câu 10: Vận dụng
    Tìm q và hai nghiệm phương trình

    Cho phương trình bậc hai: x2 – q.x + 50 = 0. Tìm q > 0 và hai nghiệm x1; x2 của phương trình biết rằng x1 = 2x2.

    Hướng dẫn:

    Để phương trình có hai nghiệm ta có:

    \begin{matrix} \Delta \geqslant 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {q^2} - 200 \geqslant 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} q \geqslant 10\sqrt 2 \hfill \\ q \leqslant - 10\sqrt 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Áp dụng hệ thức Vi - et và kết hợp điều kiện đề bài ta có:

    \begin{matrix} \left\{ \begin{gathered} \begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} + {x_2} = q} \\ {{x_1}{x_2} = 50} \end{array} \hfill \\ {x_1} = 2{x_2} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \begin{array}{*{20}{c}} {3{x_2} = q} \\ {2{x_2}^2 = 50} \end{array} \hfill \\ {x_1} = 2{x_2} \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \begin{array}{*{20}{c}} {3{x_2} = q} \\ {{x_2}^2 = 25} \end{array} \hfill \\ {x_1} = 2{x_2} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \begin{array}{*{20}{c}} {q = 15} \\ {{x_2} = 5} \end{array} \hfill \\ {x_1} = 10 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Vì q>0=>x_2=5>0.

  • Câu 11: Nhận biết
    Chọn đáp án đúng

    Cho hai số biết số thứ nhất gấp 5 lần số thứ hai. Nếu gọi số thứ nhất là x thì số thứ hai sẽ là:

    Hướng dẫn:

    Vì số thứ nhất gấp 5 lần số thứ hai nên số thứ hai bằng \frac{1}{5} số thứ nhất. Khi đó số thứ hai là: \frac{x}{5}.

  • Câu 12: Nhận biết
    Điều kiện để phương trình vô nghiệm

    Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có biệt thức b = 2b’; ∆' = b2 - ac. Phương trình đã cho vô nghiệm khi?

    Hướng dẫn:

    Phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) vô nghiệm khi ∆' < 0.

  • Câu 13: Vận dụng
    Xác định nghiệm của phương trình

    Phương trình x^{4} - 6x^{2} - 7 = 0 có bao nhiêu nghiệm?

    Hướng dẫn:

    Đặt x^{2} = t;(t \geq 0) ta được phương trình: t^{2} - 6t - 7 = 0

    Phương trình t^{2} - 6t - 7 = 0 \Leftrightarrow (t + 1)(t - 7) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = - 1(ktm) \\ t = 7(tm) \\ \end{matrix} ight.

    Với t = 7 \Leftrightarrow x^{2} = 7 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{7}

    Vậy phương trình có hai nghiệm.

  • Câu 14: Nhận biết
    Chọn đáp án đúng

    Có bao nhiêu phương trình trong các phương trình sau đây là phương trình bậc hai một ẩn?

    2y^{2} + 2x + 3 = 0;x - \sqrt{x} + 4 =0;3y^{2} - 2021 = 0;\sqrt{2}x^{2} + 1 = 0

    Hướng dẫn:

    Phương trình bậc hai một ẩn có dạng ax^{2} + bx + c = 0;(a eq 0)

    Suy ra các phương trình 3y^{2} - 2021 = 0;\sqrt{2}x^{2} + 1 = 0 là các phương trình bậc nhất hai ẩn.

    Vậy có 2 phương trình thỏa mãn yêu cầu đề bài.

  • Câu 15: Nhận biết
    Chọn phát biểu đúng

    Cho phương trình ax^{2} + bx + c = 0;(a eq 0) có a - b + c = 0. Phát biểu nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Nếu phương trình ax^{2} + bx + c = 0;(a eq 0) có a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x_{1} = - 1 và nghiệm còn lại là x_{2} = - \frac{c}{a}.

  • Câu 16: Thông hiểu
    Giải phương trình

    Tập nghiệm của phương trình x + 4\sqrt x - 12 = 0 là:

    Hướng dẫn:

    Điều kiện x \geqslant 0

    Đặt t = \sqrt x ;\left( {t \geqslant 0} ight)

    Phương trình tương đương

    \begin{matrix} {t^2} + 4t - 12 = 0 \hfill \\ \Delta ' = {2^2} + 12 = 16 \Rightarrow \sqrt {\Delta '} = 4 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = \dfrac{{ - 2 + 4}}{1} = 2\left( {tm} ight)} \\ {t = \dfrac{{ - 2 - 4}}{1} = - 6\left( {ktm} ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Với t = 2 \Rightarrow \sqrt x = 2 \Rightarrow x = 4\left( {tm} ight)

    Vậy S = {4}.

  • Câu 17: Thông hiểu
    Tìm u - 2v

     Tìm u - 2v biết rằng u + v = 14, uv = 40 và u < v.

    Hướng dẫn:

    Ta có: S=u+v=14,P=uv=40

    Nhận thấy S^2=196>160=4P nên u,v là hai nghiệm của phương trình.

    \begin{matrix} {x^2} - 14x + 40 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {x - 4} ight)\left( {x - 10} ight) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x - 4 = 0 \hfill \\ x - 10 = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 4 \hfill \\ x = 10 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy u=4;v=10 (vì u < v) nên u-2v=4−2.10=−16.

  • Câu 18: Thông hiểu
    Tìm m để phương trình có 4 nghiệm

    Cho phương trình x^{4} + 4x^{2} - m + 4 = 0 (với m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt?

    Hướng dẫn:

    Ta có: x^{4} + 4x^{2} - m + 4 =0(*)

    Đặt x^{2} = t,(t \geq 0) phương trình (*) trở thành t^{2} + 4t - m + 4 = 0(**)

    Để phương trình (*)có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (**) có hai nghiệm dương phân biệt:

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}S > 0 \\P > 0 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}- 4 > 0 \\- m + 4 > 0 \\\end{matrix} ight.(vô lí)

    Vậy không có giá trị nào của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

  • Câu 19: Nhận biết
    Xác định nghiệm của phương trình

    Biết rằng phương trình mx^{2} + (3m - 1)x + 2m - 1 = 0 với m là tham số luôn có nghiệm x_{1};x_{2} với \forall m eq 0. Khi đó các nghiệm x_{1};x_{2} của phương trình là:

    Hướng dẫn:

    Với \forall m eq 0 phương trình mx^{2} + (3m - 1)x + 2m - 1 = 0 có \left\{ \begin{matrix} a = m \\ b = 3m - 1 \\ c = 2m - 1 \\ \end{matrix} ight..

    Vì a - b + c = 0 nên phương trình có hai nghiệm x_{1} = - 1;x_{2} = - \frac{c}{a} = \frac{1 - 2m}{m}.

  • Câu 20: Thông hiểu
    Chọn phương trình thỏa mãn yêu cầu

    Trong các phương trình sau, phương trình nào không có nghiệm nào bằng 1?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    x^{2} - 5x + 4 = 0 ta có: a + b + c = 1 - 5 + 4 = 0 nên phương trình có nghiệm là

    x_{1} = 1;x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{4}{1} = 4

    5x^{2} + 9x - 14 = 0 ta có: a + b + c = 5 + 9 - 14 = 0 nên phương trình có nghiệm là

    x_{1} = 1;x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{- 14}{5}

    5x^{2} - 7x + 2 = 0 ta có: a + b + c = 5 - 7 + 2 = 0 nên phương trình có nghiệm là

    x_{1} = 1;x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{2}{5}

    x^{2} - 7x + 10 = 0

    Vì 2 + 5 = 7 = - \frac{b}{a};2.5 = 10 = \frac{c}{a} nên x_{1} = 2;x_{2} = 5 là hai nghiệm của phương trình.

    Vậy phương trình không có nghiệm nào bằng 1 là: x^{2} - 7x + 10 = 0

  • Câu 21: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức

    Cho phương trinh x^{2} - 5x + 3 = 0. Gọi x_{1};x_{2} là nghiệm của phương trình đã cho. Em hãy xác định giá trị của biểu thức C = \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}?

    Hướng dẫn:

    Ta có: \Delta = ( - 5)^{2} - 4.1.3 = 25 - 12 = 13 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

    Áp dụng hệ thức Vi – et ta có: \left\{\begin{matrix}S = x_{1} + x_{2} = - \dfrac{- 5}{1} = 5 \\P = x_{1}.x_{2} = \dfrac{3}{1} = 3 \\\end{matrix} ight.

    C = \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1}.x_{2}} = \frac{5}{3}

    Vậy đáp án cần tìm là: C = \frac{5}{3}

  • Câu 22: Vận dụng
    Tìm số nghiệm của phương trình

    Phương trình x^{4} - 13x^{2} + 36 = 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    x^{4} - 13x^{2} + 36 = 0

    Đặt x^{2} = t;(t \geq 0)

    Phương trình trở thành

    t^{2} - 13t + 36 = 0

    \Delta = ( - 13)^{2} - 4.36 = 25 \Rightarrow \sqrt{\Delta} = 5

    \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}t_{1} = \dfrac{- ( - 13) + 5}{2} = 9 \\t_{2} = \dfrac{- ( - 13) - 5}{2} = 4 \\\end{matrix} ight.

    Với t = 9 \Rightarrow x^{2} = 9 \Leftrightarrow x = \pm 3.

    Với t = 4 \Rightarrow x^{2} = 4 \Leftrightarrow x = \pm 2

    Vậy phương trình x^{4} - 13x^{2} + 36 = 0 có tập nghiệm S = \left\{ \pm 3; \pm 2 ight\}.

  • Câu 23: Vận dụng cao
    Chọn kết quả chính xác

    Cho phương trình x^{2} - 2(m - 1)x + 2m^{2} - 3m + 1 = 0, với m là tham số. Gọi x_{1},x_{2} là nghiệm của phương trình. Giá trị của m để biểu thức \left| x_{1} + x_{2} + x_{1}x_{2} ight| \leq \frac{9}{8} là:

    Hướng dẫn:

    Ta có \Delta^{'} = (m - 1)^{2} - \left( 2m^{2} - 3m + 1 ight) = - m^{2} + m = m(1 - m).

    Để phương trình có hai nghiệm

    \Leftrightarrow \Delta^{'} \geq 0 \Leftrightarrow 0 \leq m \leq 1.

    Theo định lý Viet ta có: x_{1} + x_{2} = 2(m - 1) và x_{1}x_{2} = 2m^{2} - 3m + 1.

    Ta có:

    \left| x_{1} + x_{2} + x_{1}x_{2} ight| = \left| 2(m - 1) + 2m^{2} - 3m + 1 ight|

    = \left| 2m^{2} - m - 1 ight| = 2\left| m^{2} - \frac{m}{2} - \frac{1}{2} ight| = 2\left| \left( m - \frac{1}{4} ight)^{2} - \frac{9}{16} ight|

    = 2\left| \frac{9}{16} - \left( m - \frac{1}{4} ight)^{2} ight| = \frac{9}{8} - 2\left( m - \frac{1}{4} ight)^{2} \leq \frac{9}{8}

    Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi m = \frac{1}{4}.

  • Câu 24: Thông hiểu
    Ghi đáp án vào ô trống

    Người ta đổ thêm 100g nước vào một bình dung dịch chứa 50g muối thì nồng độ dung dịch giảm 25\%. Hỏi trước khi đổ thêm nước thì dung dịch chứa bao nhiêu gam nước?

    Đáp án: 50 (gam nước)

    Đáp án là:

    Người ta đổ thêm 100g nước vào một bình dung dịch chứa 50g muối thì nồng độ dung dịch giảm 25\%. Hỏi trước khi đổ thêm nước thì dung dịch chứa bao nhiêu gam nước?

    Đáp án: 50 (gam nước)

    Khi đó nồng độ muối của dung dịch là \frac{50}{x + 150}

    Theo bài ra ta có phương trình:

    \frac{50}{x + 50} - \frac{50}{x + 150} = 25\%

    \Leftrightarrow x^{2} + 200x - 12500 = 0

    \Delta = 100^{2} + 12500 = 22500

    x_{1} = \frac{- 100 - 150}{1} = - 250(ktm)

    x_{2} = \frac{- 100 + 150}{1} = 50(tm)

    Vậy trước khi đổ thêm nước thì dung dịch chứa 50 gam nước.

  • Câu 25: Thông hiểu
    Xác định phương trình thỏa mãn yêu cầu

    Tìm phương trình vô nghiệm trong các phương trình dưới đây?

    Hướng dẫn:

    Phương trình x^{2} - 2\left( \sqrt{3} + \sqrt{2} ight)x + 4\sqrt{6} = 0 có hai nghiệm phân biệt \left\lbrack \begin{matrix}x_{1} = \dfrac{\left( \sqrt{3} + \sqrt{2} ight) + \sqrt{\left( \sqrt{3}- \sqrt{2} ight)^{2}}}{1} = 2\sqrt{3} \\x_{2} = \dfrac{\left( \sqrt{3} + \sqrt{2} ight) - \sqrt{\left( \sqrt{3}- \sqrt{2} ight)^{2}}}{1} = 2\sqrt{2} \\\end{matrix} ight.

    Phương trình \sqrt{2}x - 2\left( \sqrt{3} - 1 ight)x + 3\sqrt{2} = 0 vô nghiệm.

    Phương trình 2x^{2} - x = 3 có hai nghiệm phân biệt \left\lbrack \begin{matrix}x_{1} = \dfrac{1 + \sqrt{25}}{2.2} = \dfrac{3}{2} \\x_{2} = \dfrac{1 - \sqrt{25}}{2.2} = - 1 \\\end{matrix} ight.

    Phương trình - x^{2} - 3x = x - 1 có hai nghiệm phân biệt \left\lbrack \begin{matrix}x_{1} = \dfrac{- 4 + \sqrt{20}}{2.1} = - 2 + \sqrt{5} \\x_{2} = \dfrac{- 4 - \sqrt{20}}{2.1} = - 2 - \sqrt{5} \\\end{matrix} ight.

  • Câu 26: Thông hiểu
    Xác định tổng các nghiệm phương trình

    Tổng hai nghiệm của phương trình x^{2} - 7x + 12 = 0 là:

    Hướng dẫn:

    Xét phương trình x^{2} - 7x + 12 = 0 ta có:

    \Delta = ( - 7)^{2} - 4.1.12 = 1 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt

    x_{1} = \frac{7 - 1}{2} = 3;x_{2} = \frac{7 + 1}{2} = 4

    Khi đó tổng hai nghiệm của phương trình là: 3 + 4 = 7.

  • Câu 27: Nhận biết
    Chọn phát biểu đúng

    Cho phương trình ax^{2} + bx + c = 0;(a eq 0) có a + b + c = 0. Phát biểu nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Nếu phương trình ax^{2} + bx + c = 0;(a eq 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x_{1} = 1 và nghiệm còn lại là x_{2} = \frac{c}{a}.

  • Câu 28: Vận dụng
    Chọn khẳng định đúng

    Giải phương trình x^2-(a+b)x + ab = 0 với a, b là hai số nguyên phân biệt cho trước.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} \Delta = {\left( {a + b} ight)^2} - 4ab \hfill \\ \Delta = {a^2} + 2ab + {b^2} - 4ab \hfill \\ \Delta = {a^2} - 2ab + {b^2} = {\left( {a - b} ight)^2} > 0\hfill \\ \Rightarrow \sqrt \Delta = \sqrt {{{\left( {a - b} ight)}^2}} = \left| {a - b} ight| \hfill \\ \end{matrix}

    (Do a, b là hai số nguyên phân biệt)

    => Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

    \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = \dfrac{{a + b + \left| {a - b} ight|}}{2}} \\ {{x_2} = \dfrac{{a + b - \left| {a - b} ight|}}{2}} \end{array}} ight.

    Giả sử a>b ta được: |a-b|=a-b khi đó

    \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = \dfrac{{a + b + a - b}}{2}} \\ {{x_2} = \dfrac{{a + b - \left( {a - b} ight)}}{2}} \end{array}} ight. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = a} \\ {{x_2} = b} \end{array}} ight. \in \mathbb{Z}

    Tương tự với a < b ta cũng được kết quả hai nghiệm phương trình là nghiệm nguyên.

    => Phương trình đã cho có hai nghiệm nguyên.

  • Câu 29: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Cho phương trình 3x^{2} + 5x - 6 = 0. Gọi x_{1};x_{2} là các nghiệm của phương trình trên. Không giải phương trình, hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm a_{1} = x_{1} + \frac{1}{x_{2}};a_{2} = x_{2} + \frac{1}{x_{1}}?

    Hướng dẫn:

    Ta có: \Delta = 5^{2} + 4.3.6 = 97 > 0

    Vậy phương trình luôn có nghiệm.

    Theo hệ thức Viète ta có: \left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - \frac{5}{3} \\ x_{1}.x_{2} = - 2 \\ \end{matrix} ight.

    Do đó:

    a_{1} + a_{2} = x_{1} + \frac{1}{x_{2}} + x_{2} + \frac{1}{x_{1}} = \left( x_{1} + x_{2} ight) + \frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1}x_{2}} = - \frac{5}{6}

    a_{1}.a_{2} = \left( x_{1} + \frac{1}{x_{2}} ight).\left( x_{2} + \frac{1}{x_{1}} ight) = 2 + x_{1}x_{2} + \frac{1}{x_{1}x_{2}} = - \frac{1}{2}

    Vậy phương trình cần tìm là: a^{2} + \frac{5}{6}a - \frac{1}{2} = 0 hay 6a^{2} + 5a - 3 = 0.

  • Câu 30: Nhận biết
    Chọn phát biểu đúng

    Cho phương trình ax^{2} + bx + c = 0;(a eq 0) có hai nghiệm x_{1};x_{2}. Phát biểu nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Theo hệ thức Viète ta có:

    Nếu x_{1};x_{2} là nghiệm của phương trình ax^{2} + bx + c = 0;(a eq 0) thì \left\{ \begin{matrix}x_{1} + x_{2} = - \dfrac{b}{a} \\x_{1}.x_{2} = \dfrac{c}{a} \\\end{matrix} ight..

0/30
30 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (33%):
    2/3
  • Thông hiểu (33%):
    2/3
  • Vận dụng (27%):
    2/3
  • Vận dụng cao (7%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
1
Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này
🖼️

Ôn Chuyên đề Toán 9
Xem thêm