Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Thi vào lớp 10 Ôn Chuyên đề Toán 9
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Ôn thi vào 10 môn Toán: Phương trình bậc hai và hệ thức Vi-ét

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 30 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 30 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Nhận biết
    Xác định phương trình

    Trong các phương trình sau, phương trình nào nhận x = 1 và x = - 3 làm nghiệm?

    Hướng dẫn:

    Phương trình nhận x = 1 và x = - 3 làm nghiệm có dạng

    (x - 1)(x + 3) = 0;(*)

    Phương trình (*) \Leftrightarrow x^{2} + 3x - x - 3 = 0 \Leftrightarrow x^{2} + 2x - 3 = 0.

  • Câu 2: Nhận biết
    Chọn kết luận đúng

    Biết x + y = - 15;xy = - 7. Khi đó x;y là hai nghiệm của phương trình:

    Hướng dẫn:

    Ta có:\left\{ \begin{matrix} S = x + y = - 15 \\ P = xy = - 7 \\ \end{matrix} ight..

    Nhận thấy S^{2} = 225 > - 28 = 4P nên x;y là hai nghiệm của phương trình m^{2} + 15m - 7 = 0.

  • Câu 3: Thông hiểu
    Ghi đáp án vào ô trống

    Người ta đổ thêm 100g nước vào một bình dung dịch chứa 50g muối thì nồng độ dung dịch giảm 25\%. Hỏi trước khi đổ thêm nước thì dung dịch chứa bao nhiêu gam nước?

    Đáp án: 50 (gam nước)

    Đáp án là:

    Người ta đổ thêm 100g nước vào một bình dung dịch chứa 50g muối thì nồng độ dung dịch giảm 25\%. Hỏi trước khi đổ thêm nước thì dung dịch chứa bao nhiêu gam nước?

    Đáp án: 50 (gam nước)

    Khi đó nồng độ muối của dung dịch là \frac{50}{x + 150}

    Theo bài ra ta có phương trình:

    \frac{50}{x + 50} - \frac{50}{x + 150} = 25\%

    \Leftrightarrow x^{2} + 200x - 12500 = 0

    \Delta = 100^{2} + 12500 = 22500

    x_{1} = \frac{- 100 - 150}{1} = - 250(ktm)

    x_{2} = \frac{- 100 + 150}{1} = 50(tm)

    Vậy trước khi đổ thêm nước thì dung dịch chứa 50 gam nước.

  • Câu 4: Thông hiểu
    Giải phương trình

    Phương trình 2x4 − 9x2 + 7 = 0 có bao nhiêu nghiệm?

    Hướng dẫn:

     Đặt {x^2} = t;\left( {t > 0} ight)

    Phương trình đã cho trở thành:

    2{t^2} - 9t + 7 = 0 (*)

    Nhận thấy a + b + c = 2 - 9 + 7 = 0

    => Phương trình (*) có hai nghiệm \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{t_1} = 1 \Rightarrow x = \pm 1} \\ {{t_2} = \dfrac{7}{2} \Rightarrow x = \pm \sqrt {\dfrac{7}{2}} } \end{array}} ight.

    Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt.

  • Câu 5: Vận dụng
    Tính tổng các nghiệm của phương trình

    Tổng các nghiệm của phương trình x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 8 là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} x\left( {x + 1} ight)\left( {x + 2} ight)\left( {x + 3} ight) = 8 \hfill \\ \Leftrightarrow x\left( {x + 3} ight)\left( {x + 1} ight)\left( {x + 2} ight) = 8 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 3x} ight)\left( {{x^2} + 3x + 2} ight) = 8 \hfill \\ \end{matrix}

    Đặt t = {x^2} + 3x + 1

    Phương trình trở thành

    \begin{matrix} \Leftrightarrow \left( {t - 1} ight)\left( {t + 1} ight) = 8 \hfill \\ \Leftrightarrow {t^2} - 1 = 8 \hfill \\ \Leftrightarrow {t^2} = 9 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = 3} \\ {t = - 3} \end{array}} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} + 3x + 1 = 3} \\ {{x^2} + 3x + 1 = - 3} \end{array}} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} + 3x - 2 = 0} \\ {{x^2} + 3x + 4 = 0} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Xét phương trình {x^2} + 3x - 2 = 0 có: 

    \begin{matrix} \Delta = 17 \Rightarrow \sqrt \Delta = \sqrt {17} \hfill \\ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{{ - 3 + \sqrt {17} }}{2}} \\ {x = \dfrac{{ - 3 - \sqrt {17} }}{2}} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Xét phương trình {x^2} + 3x + 4 = 0 có: \Delta = - 7 < 0

    => Phương trình {x^2} + 3x + 4 = 0 vô nghiệm.

    => Tổng các nghiệm của phương trình đã cho là: 

    S = \frac{{ - 3 + \sqrt {17} }}{2} + \frac{{ - 3 - \sqrt {17} }}{2} = - 3

  • Câu 6: Nhận biết
    Điều kiện để phương trình vô nghiệm

    Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có biệt thức Δ = b2 – 4ac. Phương trình đã cho vô nghiệm khi:

    Hướng dẫn:

    Để phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) vô nghiệm thì Δ < 0.

  • Câu 7: Vận dụng
    Tính tổng bình phương các nghiệm phương trình

    Tổng bình phương các nghiệm của phương trình \left( {x - 2} ight)\sqrt {2x + 7} = {x^2} - 4 là:

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định: x \geqslant - \frac{7}{2}

    Ta có:

    \begin{matrix} \left( {x - 2} ight)\sqrt {2x + 7} = {x^2} - 4 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} ight)\sqrt {2x + 7} = \left( {x - 2} ight)\left( {x + 2} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} ight)\left[ {\sqrt {2x + 7} - \left( {x + 2} ight)} ight] = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x - 2 = 0 \hfill \\ \sqrt {2x + 7} - \left( {x + 2} ight) = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 2 \hfill \\ \sqrt {2x + 7} - \left( {x + 2} ight) = 0\left( * ight) \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Xét phương trình (*)

    \begin{matrix} \Leftrightarrow \sqrt {2x + 7} = x + 2 \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + 2 \geqslant 0} \\ {2x + 7 = {{\left( {x + 2} ight)}^2}} \end{array}} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \geqslant - 2} \\ {{x^2} + 2x - 3 = 0} \end{array}} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \geqslant - 2} \\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1\left( {tm} ight)} \\ {x = - 3\left( {ktm} ight)} \end{array}} ight.} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy tổng bình phương các nghiệm phương trình là: S = {1^2} + {2^2} = 5

  • Câu 8: Nhận biết
    Điều kiện để phương trình vô nghiệm

    Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có biệt thức b = 2b’; ∆' = b2 - ac. Phương trình đã cho vô nghiệm khi?

    Hướng dẫn:

    Phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) vô nghiệm khi ∆' < 0.

  • Câu 9: Vận dụng
    Xác định giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu

    Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P):y = x^{2} và đường thẳng (d):y = (m - 1)x + 1 với m là tham số. Gọi x_{1},x_{2} là các hoành độ giao điểm của (P) và (d). Tìm giá trị tham số m sao cho {x_{1}}^{2}x_{2} + {x_{2}}^{2}x_{1} - 2{x_{1}}^{3}{x_{2}}^{3} = 3.

    Hướng dẫn:

    Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

    x^{2} = (m - 1)x + 1 \Leftrightarrow x^{2} - (m - 1)x - 1 = 0(*)

    Do \Delta = (m - 1)^{2} + 4 \geq 4\forall m nên phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt.

    Suy ra đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

    Ta có:

    {x_{1}}^{2}x_{2} + {x_{2}}^{2}x_{1} - 2{x_{1}}^{3}{x_{2}}^{3} = 3 \Leftrightarrow x_{1}x_{2}\left( x_{1} + x_{2} ight) - 2{x_{1}}^{3}{x_{2}}^{3} = 3(**)

    Theo hệ thức Vi – et ta có: \left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = m - 1 \\ x_{1}x_{2} = - 1 \\ \end{matrix} ight. thay vào (**) ta được:

    - 1(m - 1) + 2 = 3 \Leftrightarrow m = 0

    Vậy m = 0 là giá trị cần tìm.

  • Câu 10: Nhận biết
    Chọn đáp án đúng

    Biết phương trình x^{2} - 3x + 2 = 0 có hai nghiệm và một trong số đó bằng 1. Hỏi nghiệm còn lại của phương trình bằng bao nhiêu?

    Hướng dẫn:

    Theo định lí Viète ta có: x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} = 3 mà một nghiệm x_{1} = 1 \Rightarrow x_{2} = 3 - 1 = 2

    Vậy nghiệm còn lại của phương trình bằng 2.

  • Câu 11: Vận dụng cao
    Xác định nghiệm của phương trình

    Cho phương trình x^{2} - (m - 1)x - m^{2} + m - 2 = 0 với m là tham số. Gọi x_{1};x_{2} là hai nghiệm của phương trình. Giá trị của tham số m để biểu thức A = \left( \frac{x_{1}}{x_{2}} ight)^{3} - \left( \frac{x_{2}}{x_{3}} ight)^{3} đạt giá trị lớn nhất là:

    Hướng dẫn:

    Xét a.c= - m^{2} + m - 2 = - \left( m -\frac{1}{2} ight)^{2} - \frac{3}{4} < 0,\forall m \in\mathbb{R}

    Vậy phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m.

    Gọi hai nghiệm của phương trình đã cho là x_{1},x_{2}.

    Lại có x_{1}x_{2} eq 0, do đó A được xác định với mọi x_{1},x_{2}.

    Do x_{1},x_{2} trái dấu nên \left( \frac{x_{1}}{x_{2}} ight)^{3} = - t với t > 0, suy ra \left( \frac{x_{2}}{x_{1}} ight)^{3} < 0, suy ra A < 0

    Đặt \left( \frac{x_{1}}{x_{2}} ight)^{3} = - t, với t > 0, suy ra \left( \frac{x_{2}}{x_{1}} ight)^{3} = - \frac{1}{t}.

    Khi đó A = - t - \frac{1}{t} mang giá trị âm và A đạt giá trị lớn nhất khi - A có giá trị nhỏ nhất.

    Ta có - A = t + \frac{1}{t} \geq 2, suy ra A \leq - 2.

    Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t = \frac{1}{t} \Leftrightarrow t^{2} = 1 \Rightarrow t = 1.

    Với t = 1, ta có
    \left( \frac{x_{1}}{x_{2}} ight)^{3} = - 1\Leftrightarrow \frac{x_{1}}{x_{2}} = - 1 \Leftrightarrow x_{1} = -x_{2}\Leftrightarrow x_{1} + x_{2} = 0 \Leftrightarrow - (m - 1) = 0\Leftrightarrow m = 1.

    Vậy với m = 1 thì biểu thức A đạt giá trị lớn nhất là -2 .

  • Câu 12: Thông hiểu
    Tính x, y

    Cho hai số x,y, biết x + y = 12 và xy = 36. Tính x, y

    Hướng dẫn:

    Cách 1:

    Ta có: \begin{matrix} \left\{ \begin{gathered} S = x + y = 12 \hfill \\ P = x.y = 36 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ {S^2} = 144 = 4P \hfill \\ \end{matrix}

    => x, y là nghiệm của phương trình: {a^2} - 12a + 36 = 0 khi đó ta có:

    \begin{matrix} {a^2} - 12a + 36 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {a - 6} ight)^2} = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow a - 6 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow a = 6 \hfill \\ \Rightarrow x = y = 6 \hfill \\ \end{matrix}

    Cách 2: 

    Ta có: 

    \begin{matrix} \left\{ \begin{gathered} x + y = 12 \hfill \\ x.y = 36 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 12 - y \hfill \\ \left( {12 - y} ight).y = 36 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 12 - y \hfill \\ - {y^2} + 12y - 36 = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 12 - y \hfill \\ {\left( {y - 6} ight)^2} = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 12 - y \hfill \\ y = 6 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 6 \hfill \\ y = 6 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 13: Vận dụng
    Nối đáp án sao cho đúng

    Nối đáp án sao cho đúng

    Gọi x_{1};x_{2} là nghiệm của phương trình x^{2} - 3x - 7 = 0. Không giải phương trình, tính giá trị của các biểu thức:

    a) A = \left( 3x_{1} - 2x_{2}ight)\left( 3x_{2} - 2x_{1} ight)
    b) B = \frac{x_{2}}{x_{1} - 1} +\frac{x_{1}}{x_{2} - 1}
    c) C = {x_{1}}^{4} +{x_{2}}^{4}
    d) D = \frac{x_{1} + 2}{x_{1}} +\frac{x_{2} + 2}{x_{2}}
    - 229
    - \frac{{20}}{9}
    431
    \frac{8}{7}
    Đáp án đúng là:
    a) A = \left( 3x_{1} - 2x_{2}ight)\left( 3x_{2} - 2x_{1} ight)
    b) B = \frac{x_{2}}{x_{1} - 1} +\frac{x_{1}}{x_{2} - 1}
    c) C = {x_{1}}^{4} +{x_{2}}^{4}
    d) D = \frac{x_{1} + 2}{x_{1}} +\frac{x_{2} + 2}{x_{2}}
    - 229
    - \frac{{20}}{9}
    431
    \frac{8}{7}
  • Câu 14: Thông hiểu
    Giải phương trình

    Tính ∆' và tìm số nghiệm của phương trình 7x2 − 12x + 4 = 0

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \Delta ' = b{'^2} - ac = {\left( { - 6} ight)^2} - 7.4 = 8 > 0

    => Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

  • Câu 15: Nhận biết
    Tìm câu đúng

    Chọn kết luận đúng khi nói về phương trình 5x^{2} - 6x + 1 = 0?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \Delta' = 3^{2} - 5.1 = 4 > 0 suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt.

    Vậy kết luận đúng là: “\Delta' = 4 và phương trình có hai nghiệm phân biệt.”

  • Câu 16: Thông hiểu
    Tìm điều kiện tham số m

    Cho phương trình x^{2} - 2(m + 1)x + m^{2} - 4m + 3 = 0 với m là tham số. Tìm điều kiện tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm khác dấu?

    Hướng dẫn:

    Phương trình đã cho có hai nghiệm khác dấu.

    P < 0 \Leftrightarrow m^{2} - 4m + 3 < 0 \Leftrightarrow 1 < m < 3

    Phương trình có hai nghiệm trái dấu P < 0 (khi phương trình có hai nghiệm trái dấu không cần điều kiện \Delta > 0,(\Delta' > 0) do khi P < 0 thì hiển nhiên \Delta > 0,(\Delta' > 0)

  • Câu 17: Nhận biết
    Chọn phương trình thích hợp

    Cho hai số a;b thỏa mãn điều kiện a + b = - 5;a.b = - 24. Khi đó a;b là hai nghiệm của phương trình:

    Hướng dẫn:

    Vì tổng hai nghiệm là: S = - 5

    Tích hai nghiệm là: P = - 24

    Nên cặp số a và b là nghiệm của phương trình x^{2} + 5x - 24 = 0.

  • Câu 18: Nhận biết
    Xác định nghiệm của phương trình

    Biết rằng phương trình mx^{2} + (3m - 1)x + 2m - 1 = 0 với m là tham số luôn có nghiệm x_{1};x_{2} với \forall m eq 0. Khi đó các nghiệm x_{1};x_{2} của phương trình là:

    Hướng dẫn:

    Với \forall m eq 0 phương trình mx^{2} + (3m - 1)x + 2m - 1 = 0 có \left\{ \begin{matrix} a = m \\ b = 3m - 1 \\ c = 2m - 1 \\ \end{matrix} ight..

    Vì a - b + c = 0 nên phương trình có hai nghiệm x_{1} = - 1;x_{2} = - \frac{c}{a} = \frac{1 - 2m}{m}.

  • Câu 19: Thông hiểu
    Chọn phương trình thích hợp

    Biết rằng phương trình x^{2} - ax + a - 2 = 0 (a là tham số) có hai nghiệm x_{1};x_{2} thỏa mãn đẳng thức \frac{{x_{1}}^{2} - 2}{x_{1} - 1}.\frac{{x_{2}}^{2} - 2}{x_{2} - 1} = 4. Khi đó tham số a là nghiệm của phương trình nào?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \Delta = a^{2} - 4(a - 2) = a^{2} - 4a + 8 > 0

    => Phương trình x^{2} - ax + a - 2 = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt.

    Áp dụng hệ thức Vi – et ta có: \left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = a \\ x_{1}.x_{2} = a - 2 \\ \end{matrix} ight.

    Theo bài ra ta có:

    \frac{{x_{1}}^{2} - 2}{x_{1} - 1}.\frac{{x_{2}}^{2} - 2}{x_{2} - 1} = 4

    \Leftrightarrow \frac{{x_{1}}^{2}{x_{2}}^{2} - 2\left( {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} ight) + 4}{x_{1}x_{2} - \left( x_{1} + x_{2} ight) + 1} = 4

    \Leftrightarrow \frac{\left( x_{1}x_{2} ight)^{2} - 2\left\lbrack \left( x_{1} + x_{2} ight) - 2x_{1}x_{2} ightbrack + 4}{x_{1}x_{2} - \left( x_{1} + x_{2} ight) + 1} = 4

    \Leftrightarrow \frac{(a - 2)^{2} - 2\left\lbrack a - 2(a - 2) ightbrack + 4}{a - 2 - a + 1} = 4

    \Leftrightarrow 3m^{2} - 8m + 16 = 8m - 4

    \Leftrightarrow 3a^{2} - 16a + 20 = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}a = \dfrac{10}{3} \\a = 2 \\\end{matrix} ight.

    Vậy a = \frac{10}{3};a = 2 là nghiệm của phương trình a^{2} - 3a + 2 = 0.

  • Câu 20: Thông hiểu
    Tính chu vi hình chữ nhật

    Cho hình chữ nhật có diện tích bằng 5400cm^{2}. Xác định chu vi hình chữ nhật, biết chiều dài gấp 1,5 lần chiều rộng?

    Hướng dẫn:

    Gọi chiều dài hình chữ nhật là x(cm);(DK:x > 0)

    Khi đó chiều rộng của hình chữ nhật là \frac{2}{3}x(cm)

    Theo bài ra ta có phương trình

    x.\frac{2}{3}x = 5400 \Leftrightarrow x^{2} = 8100 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 90(Tm) \\ x = - 90(L) \\ \end{matrix} ight.

    Suy ra chiều dài hình chữ nhật là 90cm và chiều rộng hình chữ nhật là 60cm.

    Vậy chu vi hình chữ nhật cần tìm là C = 2.(90 + 60) = 300 (cm)

  • Câu 21: Nhận biết
    Tìm câu sai

    Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

    Hướng dẫn:

    Câu sai là: “\frac{4}{5} + 2x^{2} = \frac{1}{5}x - \frac{1}{5} \Leftrightarrow 2x^{2} + \frac{1}{5}x + 1 = 0 với a = 2;b = \frac{1}{5};c = 1”

    Vì \frac{4}{5} + 2x^{2} = \frac{1}{5}x - \frac{1}{5} \Leftrightarrow 2x^{2} - \frac{1}{5}x + 1 = 0 với a = 2;b = - \frac{1}{5};c = 1.

  • Câu 22: Thông hiểu
    Chọn đáp án chính xác nhất

    Cho phương trình mx^{2} - 3x + 1 = 0 với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm?

    Hướng dẫn:

    Xét a = 0 \Leftrightarrow m = 0 theo câu c ta có phương trình có nghiệm duy nhất x = \frac{1}{3}(*)

    Xét a eq 0 \Leftrightarrow m eq 0 phương trình có nghiệm

    \Leftrightarrow \Delta \geq 0 \Leftrightarrow 9 - 4m \geq 0 \Leftrightarrow m \leq \frac{9}{4}(**)

    Từ (*) và (**) ta có: m \leq \frac{9}{4} thì phương trình có nghiệm.

  • Câu 23: Vận dụng
    Tìm số nghiệm của phương trình

    Phương trình x^{4} - 13x^{2} + 36 = 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    x^{4} - 13x^{2} + 36 = 0

    Đặt x^{2} = t;(t \geq 0)

    Phương trình trở thành

    t^{2} - 13t + 36 = 0

    \Delta = ( - 13)^{2} - 4.36 = 25 \Rightarrow \sqrt{\Delta} = 5

    \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}t_{1} = \dfrac{- ( - 13) + 5}{2} = 9 \\t_{2} = \dfrac{- ( - 13) - 5}{2} = 4 \\\end{matrix} ight.

    Với t = 9 \Rightarrow x^{2} = 9 \Leftrightarrow x = \pm 3.

    Với t = 4 \Rightarrow x^{2} = 4 \Leftrightarrow x = \pm 2

    Vậy phương trình x^{4} - 13x^{2} + 36 = 0 có tập nghiệm S = \left\{ \pm 3; \pm 2 ight\}.

  • Câu 24: Vận dụng
    Tìm điều kiện tham số m

    Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P):y = 2x^{2} và đường thẳng (d):y = - 2mx + m + 1. Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt x_{1};x_{2} sao cho \frac{1}{\left( 2x_{1} - 1 ight)^{2}} + \frac{1}{\left( 2x_{2} - 1 ight)^{2}} = 2.

    Hướng dẫn:

    Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:

    2x^{2} = - 2mx + m + 1 \Leftrightarrow 2x^{2} + 2mx - m - 1 = 0(*)

    Ta có: \Delta' = m^{2} - 2( - m - 1) = m^{2} + 2m + 2 = (m + 1)^{2} + 1 \geq 0\forall m nên phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt

    Suy ra (d) và (P) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A;B

    Ta thấy: 2\left( \frac{1}{2} ight)^{2} + 2m.\left( \frac{1}{2} ight) - m - 1 eq 0\forall m nên hai nghiệm của phương trình (*) luôn khác \frac{1}{2}

    Ta có:

    \frac{1}{\left( 2x_{1} - 1 ight)^{2}} + \frac{1}{\left( 2x_{2} - 1 ight)^{2}}

    = \left( \frac{1}{2x_{1} - 1} + \frac{1}{2x_{2} - 1} ight)^{2} - \frac{2}{\left( 2x_{1} - 1 ight)\left( 2x_{1} + 1 ight)}

    = 4\left\lbrack \frac{x_{1} + x_{2} - 1}{4x_{1}x_{2} + 2\left( x_{1} + x_{2} ight) + 1} ightbrack - \frac{2}{4x_{1}x_{2} - 2\left( x_{1} + x_{2} ight) + 1}(**)

    Theo hệ thức Vi – ét ta có:\left\{\begin{matrix}x_{1} + x_{2} = - m \\x_{1}x_{2} = - \dfrac{m + 1}{2} \\\end{matrix} ight.

    Thay vào (**) ta được:

    \frac{1}{\left( 2x_{1} - 1 ight)^{2}} + \frac{1}{\left( 2x_{2} - 1 ight)^{2}} = 4\left\lbrack \frac{- m - 1}{- 2(m + 1) + 2m + 1} ightbrack = 4(m + 1)^{2} + 2

    Yêu cầu bài toán tương đương với

    4(m + 1)^{2} + 2 = 2 \Leftrightarrow m = - 1

    Vậy m = - 1 là giá trị cần tìm

  • Câu 25: Vận dụng cao
    Tìm các giá trị tham số a

    Giả sử phương trình x^{2} + ax + 3 = 0 có hai nghiệm lớn hơn 1. Số các giá trị của a để có bất đẳng thức \frac{a^{2} - a - 6}{3 - a + 1} \geq \frac{2\sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} xảy ra dấu bằng là:

    Hướng dẫn:

    Theo định lý Vi et ta có: \left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - a \\ x_{1}.x_{2} = 3 \\ \end{matrix} ight..

    Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng: \frac{x_{1}}{1 + x_{1}} + \frac{x_{2}}{1 + x_{2}} \geq \frac{2\sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}.

    Hay

    \frac{x_{1}}{1 + x_{2}} + 1 +\frac{x_{2}}{1 + x_{1}} + 1\geq \frac{2\sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} +2\left( x_{1} + x_{2} + 1 ight)\left( \frac{1}{1 + x_{1}} + \frac{1}{1+ x_{2}} ight)\geq \frac{2(1 + 2\sqrt{3})}{1 +\sqrt{3}}

    Theo bất đẳng thức Cô si ta có: x_{1} + x_{2} + 1 \geq 2\sqrt{3} + 1.

    Để chứng minh \left( \ ^{*} ight) ta quy về chứng minh: \frac{1}{1 + x_{1}} + \frac{1}{1 + x_{2}} \geq \frac{2}{1 + \sqrt{3}} với x_{1},x_{2} > 1.

    Quy đồng và rút gọn bất đẳng thức trên tương đương với \left( \sqrt{x_{1}x_{2}} - 1 ight)\left( \sqrt{x_{1}} - \sqrt{x_{2}} ight)^{2} \geq 0

    Hay (\sqrt{3} - 1)\left( \sqrt{x_{1}} - \sqrt{x_{2}} ight)^{2} \geq 0 (Điều này là hiển nhiên đúng).

    Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x_{1} = x_{2} \Leftrightarrow a^{2} = 12.

    Vậy có 2 giá trị a thỏa mãn yêu cầu đề bài.

  • Câu 26: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức

    Cho phương trinh x^{2} - 5x + 3 = 0. Gọi x_{1};x_{2} là nghiệm của phương trình đã cho. Em hãy xác định giá trị của biểu thức C = \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}?

    Hướng dẫn:

    Ta có: \Delta = ( - 5)^{2} - 4.1.3 = 25 - 12 = 13 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

    Áp dụng hệ thức Vi – et ta có: \left\{\begin{matrix}S = x_{1} + x_{2} = - \dfrac{- 5}{1} = 5 \\P = x_{1}.x_{2} = \dfrac{3}{1} = 3 \\\end{matrix} ight.

    C = \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1}.x_{2}} = \frac{5}{3}

    Vậy đáp án cần tìm là: C = \frac{5}{3}

  • Câu 27: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Cho phương trình mx^{2} - (2m + 1)x + m + 1 = 0(*) với m là tham số. Tìm giá trị của m để phương trình (*) có một nghiệm lớn hơn 2?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    Nếu m = 0 thì phương trình (*) trở thành - x + 1 = 0

    Phương trình này có nghiệm duy nhất x = 0.

    Nếu m eq 0 thì phương trình (*) là phương trình bậc hai có:

    \Delta = \left\lbrack - (2m + 1) ightbrack^{2} - 4m(m + 1) = 1 > 0

    Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt.

    Nếu m eq 0 thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt là:

    \left\lbrack \begin{matrix}x_{1} = \dfrac{(2m + 1) - 1}{2m} = 1 \\x_{2} = \dfrac{(2m + 1) + 1}{2m} = \dfrac{m + 1}{m} \\\end{matrix} ight.

    Vì nghiệm x_{1} = 1 < 2 nên ta phải xét nghiệm x_{2} > 2

    \frac{m + 1}{m} > 2 \Leftrightarrow \frac{m + 1}{m} - 2 > 0 \Leftrightarrow 0 < m < 1

    Vậy khi 0 < m < 1 thì phương trình (*) có một nghiệm lớn hơn 2.

  • Câu 28: Nhận biết
    Chọn đáp án đúng

    Một trong các nghiệm của phương trình 2020x^{2} - x - 2021 = 0 là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    a - b + c = 0 \Rightarrow x_{1} = - 1;x_{2} = - \frac{c}{a} = \frac{2021}{2020}

  • Câu 29: Vận dụng
    Xác định nghiệm của phương trình

    Phương trình x^{4} - 6x^{2} - 7 = 0 có bao nhiêu nghiệm?

    Hướng dẫn:

    Đặt x^{2} = t;(t \geq 0) ta được phương trình: t^{2} - 6t - 7 = 0

    Phương trình t^{2} - 6t - 7 = 0 \Leftrightarrow (t + 1)(t - 7) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = - 1(ktm) \\ t = 7(tm) \\ \end{matrix} ight.

    Với t = 7 \Leftrightarrow x^{2} = 7 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{7}

    Vậy phương trình có hai nghiệm.

  • Câu 30: Thông hiểu
    Xác định phương trình thỏa mãn yêu cầu

    Tìm phương trình vô nghiệm trong các phương trình dưới đây?

    Hướng dẫn:

    Phương trình x^{2} - 2\left( \sqrt{3} + \sqrt{2} ight)x + 4\sqrt{6} = 0 có hai nghiệm phân biệt \left\lbrack \begin{matrix}x_{1} = \dfrac{\left( \sqrt{3} + \sqrt{2} ight) + \sqrt{\left( \sqrt{3}- \sqrt{2} ight)^{2}}}{1} = 2\sqrt{3} \\x_{2} = \dfrac{\left( \sqrt{3} + \sqrt{2} ight) - \sqrt{\left( \sqrt{3}- \sqrt{2} ight)^{2}}}{1} = 2\sqrt{2} \\\end{matrix} ight.

    Phương trình \sqrt{2}x - 2\left( \sqrt{3} - 1 ight)x + 3\sqrt{2} = 0 vô nghiệm.

    Phương trình 2x^{2} - x = 3 có hai nghiệm phân biệt \left\lbrack \begin{matrix}x_{1} = \dfrac{1 + \sqrt{25}}{2.2} = \dfrac{3}{2} \\x_{2} = \dfrac{1 - \sqrt{25}}{2.2} = - 1 \\\end{matrix} ight.

    Phương trình - x^{2} - 3x = x - 1 có hai nghiệm phân biệt \left\lbrack \begin{matrix}x_{1} = \dfrac{- 4 + \sqrt{20}}{2.1} = - 2 + \sqrt{5} \\x_{2} = \dfrac{- 4 - \sqrt{20}}{2.1} = - 2 - \sqrt{5} \\\end{matrix} ight.

0/30
30 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (33%):
    2/3
  • Thông hiểu (33%):
    2/3
  • Vận dụng (27%):
    2/3
  • Vận dụng cao (7%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
20 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này