Ôn thi vào 10 môn Toán: Tứ giác nội tiếp

Trong hai cung của một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau, hai cung bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.

Ta có:

Khoảng cách từ A đến trục Ox bằng 6 > R.

Đường tròn (A; R) cắt trục Ox tại 2 điểm phân biệt .

Khoảng cách từ A đến trục Oy bằng 5 = R..

=> Đường tròn (A; R) tiếp xúc với trục Oy.

Cho đường tròn (O) có cung MN < cung PQ, khi đó MN < PQ.

Câu sai là: “Tứ giác có tổng hai góc bằng 180°“ vì điều kiện để tứ giác nội tiếp đường tròn là tổng hai góc đối diện bằng 180⁰.

Hình vẽ minh họa

Vì nên các cung bằng nhau.

=>

Xét tam giác AOB cân tại O có OF là đường cao cũng là đường phân giác nên

Ta có:

Hình vẽ minh họa

Vẽ đường kính CE của đường tròn (O).

Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Từ đó ta có AE ⊥ AC.

Mặt khác theo giả thiết AC ⊥ BD.

Kéo theo AE // BD.

Vậy AEBD là hình thang.

Do hình thang AEBD nội tiếp đường tròn (O) nên AEDB là hình thang cân.

Kéo theo AB = DE (các cạnh bên của hình thang).

Từ đó ta có:

(do ∆EDC vuông tại D)

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho ta có:

Kéo theo

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi AB = CD.

Xét ∆ABI, ∆DCI có AB = CD, (góc nội tiếp cùng chắn AD)

(góc nội tiếp cùng chắn BC).

Do đó ∆ABI = ∆DCI (g – c – g).

Kéo theo AI = ID; IB = IC.

Suy ra AC = AI + IC; ID = IB + BD.

Hình vẽ minh họa

Xét tứ giác IMHC ta có:

=>

=> Tứ giác IMHC nội tiếp.

Chưa đủ điều kiện để MIHC là hình chữ nhật hay hình vuông.

Hình vẽ minh họa

Theo tính chất của tiếp tuyến ta có:

=> Tứ giác OBDF nội tiếp đường tròn đường kính OD. 

Hình vẽ minh họa

Xét đường tròn ngoại tiếp tam giác ta có: là góc nội tiếp chắn cung .

là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung .

(góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung ).

Xét đường tròn ta có: (hai góc nội tiếp cùng chắn cung ).

Lại có hai góc này ở vị trí đồng vị

hay .

Xét tứ giác ABNM ta có:

tứ giác ABNM là tứ giác nội tiếp (góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện).

Ta có: là hình thang

Bất kì đa giác đều nào cũng có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp, có một và chỉ một đường tròn nội tiếp.

Hình vẽ minh họa

Tứ giác ABCD nội tiếp nên có:

Mà (kề bù)

Hình vẽ minh họa

Theo giả thiết ta có nên ta suy ra .

Nói cách khác cùng nhìn dưới một góc vuông.

Do đó tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính nên .

Mà vuông cân tại nên . Suy ra .

Ta lại có

.

Do đó .

Trong các tứ giác đã cho hình bình hành, hình thoi không nội tiếp được trong một đường tròn.

Hình vẽ minh họa

Xét hình vuông có (tính chất)

Xét tứ giác có mà hai đỉnh và cùng nhìn đoạn thẳng nên là tứ giác nội tiếp.

Xét tứ giác có mà hai đỉnh và D cùng nhìn đoạn thẳng nên là tứ giác nội tiếp.

Hình vẽ minh họa

Vi là tứ giác nội tiếp nên bốn điểm cùng thuộc một
đường tròn

số đo cung

Hai tam giác vuông

Từ đó

(tứ giác NEMO nội tiếp)

Mà góc phụ với góc nên góc cũng phụ với góc

cân có là phân giác

nên tứ giác NEOF nội tiếp

Hình vẽ minh họa

Gọi khoảng cách từ điểm O tới AB, CD, BC, DA lần lượt là: OE, OI, OF; OH.

Suy ra E, I, F, H lần lượt là trung điểm của AB, CD, BC, DA và OE = x; OI = y; OF = z; OH = t

Mà AC là đường kính đường tròn (O; R) nên AC = 2R và O là trung điểm của AC

Vậy OE là đường trung bình của ∆ABC nên:

(định lý Ptô-lê-mê)

Chứng minh định lý Ptô-lê-mê: “Nếu một tứ giác nội tiếp một đường tròn thì tích của 2 đường chéo bằng tổng các tích của các cặp cạnh đối”.

Giả sử tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O).

Trên đường chéo AC của tứ giác ta lấy điểm E sao cho ABE = CBD

Khi đó ta có: ∆ABE đồng dạng với ∆DBC (do ABE = CBD, BAE = BDC hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC) nên

Xét các tam giác ΔABD và ΔEBC ta thấy:

ABD = ABE + EBD = CBD + EBD = EBC

(do : )

Vậy , do đó:

Từ (1) và (2) ta được:

AB.CD + BC.AD = BD.AE + BD.EC = BD.(AE + EC) = BD.AC.

Hình vẽ minh họa

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BH và CH.

Để chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn tâm I đường kính BH ta chứng minh ID ⊥ DE hay

Vì D, E lần lượt thuộc đường tròn đường kính BH và HC

=>

=> Tứ giác ADHE là hình chữ nhật

Gọi O là giao điểm của AH và DE

=> OD = OH = OE = OA

=> Tam giác ODH cân tại O

=>

Ta cũng có tam giác IDH cân tại I

=> Phương án sai là: "DE là cát tuyến của đường tròn đường kính BH".

Hình vẽ minh họa

Ta có đường tròn tâm I bán kính bằng 3cm tiếp xúc với đường thẳng a.

Suy ra

Do mọi điểm I đều cách a một khoảng bằng 3cm nên mọi điểm I đều nằm trên đường thẳng d song song với a và cách a một khoảng bằng 3cm.

Hình vẽ minh họa

Xét tam giác BDE vuông tại D có DI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BF

Suy ra IB = ID = IE

Suy ra tam giác BID cân tại I và tam giác EID cân tại I

Suy ra hay

Tứ giác IDCK có hai đỉnh liền kề DC, cùng nhìn đoạn IK dưới một góc 50°

⇒ IDCK là tứ giác nội tiếp

⇒ I; C; D; K cùng thuộc một đường tròn.

Dễ dàng chứng minh tứ giác ADKC là tứ giác nội tiếp

⇒ A; D; C; K cùng thuộc một đường tròn.

Do đó 5 điểm A; I; D; C; K cùng thuộc một đường tròn, đường kính AK.

⇒ (góc nội tiếp cùng chắn IK).

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Hai góc cùng nhìn xuống AC một góc 90⁰

=> Tứ giác AKCH nội tiếp đường tròn đường kính AC,

Xét tam giác OCD có OC = OD = R

Suy ra tam giác OCD cân tại O suy ra

Ta có:

(Tứ giác ABCD nội tiếp (O)).

Hình vẽ minh họa

Xét tứ giác AEHF có:

⇒ Tứ giác AEHF là hình chữ nhật (dhnb).

⇒ Tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp (có tổng hai góc đối diện bằng 180⁰)

⇒ (hai góc cùng nhìn đoạn AE); (cùng phụ )

⇒

Xét tứ giác BEFC có: là góc ngoài tại đỉnh F và

⇒ BEFC nội tiếp (dấu hiệu nhận biết).

Hình vẽ minh họa

Trong tam giác ACD có:

O là trung điểm của CD; B là trung điểm của AC

Nên OB là đường trung bình tam giác

Do đó

Đường tròn ngoại tiếp đa giác là đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của đa giác đó.

Hình vẽ minh họa

Xét có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên AK ⊥ BE

Mà OD là đường trung bình của tam giác ABE nên OD // BE từ đó BE = OD = 2 R.

Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn nên