Ôn thi vào 10 môn Toán: Tứ giác nội tiếp

Hình vẽ minh họa

Xét (O) có:

(góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung AD bằng góc nội tiếp chắn cung AD)

Xét (O) có: 

(góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung AB bằng góc nội tiếp chắn cung AB)

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau thì

Xét tam giác ABD có (Định lí tổng ba góc trong một tam giác)

AD // BC

(Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn)

Xét tam giác BCD có:

(Định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Hình vẽ minh họa

Ta có: (tính chất tiếp tuyến).

Tứ giác OBDF có nên nội tiếp được trong một đường tròn.

Hình vẽ minh họa

Gọi khoảng cách từ điểm O tới AB, CD, BC, DA lần lượt là: OE, OI, OF; OH.

Suy ra E, I, F, H lần lượt là trung điểm của AB, CD, BC, DA và OE = x; OI = y; OF = z; OH = t

Mà AC là đường kính đường tròn (O; R) nên AC = 2R và O là trung điểm của AC

Vậy OE là đường trung bình của ∆ABC nên:

(định lý Ptô-lê-mê)

Chứng minh định lý Ptô-lê-mê: “Nếu một tứ giác nội tiếp một đường tròn thì tích của 2 đường chéo bằng tổng các tích của các cặp cạnh đối”.

Giả sử tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O).

Trên đường chéo AC của tứ giác ta lấy điểm E sao cho ABE = CBD

Khi đó ta có: ∆ABE đồng dạng với ∆DBC (do ABE = CBD, BAE = BDC hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC) nên

Xét các tam giác ΔABD và ΔEBC ta thấy:

ABD = ABE + EBD = CBD + EBD = EBC

(do : )

Vậy , do đó:

Từ (1) và (2) ta được:

AB.CD + BC.AD = BD.AE + BD.EC = BD.(AE + EC) = BD.AC.

Kí hiệu hình vẽ như sau:

Có (CD vuông góc AB); (AK vuông góc CF) • • 0

⇒ ⇒ tứ giác AHCK nội tiếp

⇒ phương án AHCK là tứ giác nội tiếp đúng, AHCK không nội tiếp đường tròn sai.

⇒ (hai góc đối diện)

⇒ phương án sai.

Xét tam giác vuông ADB có (hệ thức lượng trong tam giác vuông) nên phương án sai

Hình vẽ minh họa

Vẽ đường kính CE của đường tròn (O).

Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Từ đó ta có AE ⊥ AC.

Mặt khác theo giả thiết AC ⊥ BD.

Kéo theo AE // BD.

Vậy AEBD là hình thang.

Do hình thang AEBD nội tiếp đường tròn (O) nên AEDB là hình thang cân.

Kéo theo AB = DE (các cạnh bên của hình thang).

Từ đó ta có:

(do ∆EDC vuông tại D)

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho ta có:

Kéo theo

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi AB = CD.

Xét ∆ABI, ∆DCI có AB = CD, (góc nội tiếp cùng chắn AD)

(góc nội tiếp cùng chắn BC).

Do đó ∆ABI = ∆DCI (g – c – g).

Kéo theo AI = ID; IB = IC.

Suy ra AC = AI + IC; ID = IB + BD.

Hình vẽ minh họa

Gọi H là giao điểm của AB và OK.

Ta có:

tại H và do đó H là trung điểm của AB.

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác OHB vuông tại H ta có:

Ta có:

Phát biểu đúng là: “Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới hai góc bằng nhau thì tứ giác đó nội tiếp”.

Hình vẽ minh họa

Xét đường tròn ngoại tiếp tam giác ta có: là góc nội tiếp chắn cung .

là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung .

(góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung ).

Xét đường tròn ta có: (hai góc nội tiếp cùng chắn cung ).

Lại có hai góc này ở vị trí đồng vị

hay .

Xét tứ giác ABNM ta có:

tứ giác ABNM là tứ giác nội tiếp (góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện).

Ta có: là hình thang

Hình vẽ minh họa

Theo tính chất của tiếp tuyến ta có:

=> Tứ giác OBDF nội tiếp đường tròn đường kính OD. 

Câu sai là: “Tứ giác có bốn cạnh tiếp xúc với đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn.”.

Hình vẽ minh họa

Tứ giác BHCF là hình bình hành (theo câu trước) có M là trung điểm của BC nên M cũng là trung điểm của HF hay HF = 2 HM.

Khi đó OM là đường trung bình của tam giác AHF nên AH // OM.

Xét tam giác ABC có BD và CE là hai đường cao cắt nhau tại H nên H là trực tâm tam giác ABC

⇒ AH ⊥ BC mà AH // OM => OM ⊥ BC

Đáp án sai vì OM ⊥ BC mà BC cắt BF nên OM không thể vuông với BF.

Hình thoi có một góc nhọn không nội tiếp được đường tròn, vì tổng hai góc của hình thoi đó không bằng 180⁰.

Hình vẽ minh họa

Vì tứ giác ABCD nội tiếp nên ta có:

(tổng hai góc đối)

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung AD)

(tổng 4 góc trong tứ giác).

Vậy câu sai là:

Số đo của cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó.

Hình vẽ minh họa

Ta có: có MN là tiếp tuyến tại I tại .

Mà nên

Xét tam giác OBJ vuông tại J ta có:

Tam giác OAB có MN // AB suy ra

Theo bài ra ta có:

Tứ giác MNPQ nội tiếp đường tròn (O; R) và có

Hình vẽ minh họa

Ta có: CB là đường kính đường tròn (O)

=> (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Ta lại có: HA là đường kính đường tròn (K)

=> (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

=> Tứ giác ADHE là hình chữ nhật

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác AHB vuông tại H ta có: 

(1)

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác AHB vuông tại H ta có:

(2)

Từ (1) và (2) =>

Vậy khẳng định sai là: 

Khi hai mút của cung trùng nhau ta có “cung không” với số đo .

Hình vẽ minh họa

Ta có: Tam giác BCD đều

=> (1)

Mặt khác tam giác ABC là tam giác cân tại A ta có:

Ta lại có:

Từ (1) và (2) =>

Chứng minh tương tự ta được:

Từ (3) và (4) ta nhận được: 

=> Tứ giác ABDC là tứ giác nội tiếp.

Hình vẽ minh họa

TH1:

TH2:

Hình vẽ minh họa

Vì nên các cung bằng nhau.

=>

Xét tam giác AOB cân tại O có OF là đường cao cũng là đường phân giác nên

Ta có:

Hình vẽ minh họa

Vẽ đường kinh AD

Xét tam giác AHB vuông tại H ta có:

Ta có tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp

Ta lại có: 

Xét ΔAHB và ΔDCA có:

Do tam giác ABC cân suy ra AH là đường cao, đường trung tuyến => BH = HC

Do BK là đường cao của tam giác ABC =>

=> Tam giác ABC vuông tại K

=> Trung tuyến KH = BH = HC =

=> vuông tại

(*)

đường kính AI

Suy ra tam giác KOI cân tại O

(**)

Từ (*) và (**) suy ra

tại

Vậy KH là tiếp tuyến của đường tròn

Ta có:

=> Hai đường tròn tiếp xúc trong

Vì MA và MB là tiếp tuyến nên MA = MB

=> M thuộc trung trực của AB

Mà OA = OB do cùng là bán kính nên O thuộc trung trực của AB

=> OM là trung trực của AB. Gọi H là giao điểm của MO và AB, ta có AH = BH

Xét tam giác vuông AMO vuông tại A (do MA là tiếp tuyến) có AH là đường cao.

Ta có (hai góc đối đỉnh).

Đặt

Theo tính chất góc ngoài tam giác ta có: (2)

Lại có (3) (hai góc đối diện của tứ giác nội tiếp).

Từ (1); (2) và (3) ta nhận

Do là hai góc kề bù nên

Ta lại có là hai góc đối diện của tứ giác nội tiếp nên