Cho 4 điểm thuộc
. Biết
. Khi đó số đo
là:
Hình vẽ minh họa
Tứ giác MNPQ nội tiếp
⇒
Xét tam giác MPQ có:
(Định lí tổng ba góc trong một tam giác)
Cho nửa (O) đường kính AB. Lấy . Qua M vẽ đường thẳng d vuông góc với AB. Trên d lấy N sao cho ON > R. Nối NB cắt (O) tại C. Kẻ tiếp tuyến NE với (O) (E là tiếp điểm, E và A cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ d) và F là giao điểm của EC và đường tròn (O). Chọn khẳng định sai?
Hình vẽ minh họa
Vi là tứ giác nội tiếp nên bốn điểm
cùng thuộc một
đường tròn
số đo cung
Hai tam giác vuông
Từ đó
(tứ giác NEMO nội tiếp)
Mà góc phụ với góc
nên góc
cũng phụ với góc
cân có
là phân giác
nên tứ giác NEOF nội tiếp
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R), đường cao AH, biết
. Tính đường kính của đường tròn (O).
Hình vẽ minh họa
Kẻ đường kính AD.
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB)
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Xét tam giác ACH và tam giác ADB có:
Vậy đường kính của đường tròn là 30cm.
Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh AB = 12 cm; AC = 16 cm; BC = 20 cm. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:
Xét tam giác ABC ta có:
=> Tam giác ABC vuông tại A
=> Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm của BC.
=> Bán kính là 10cm.
Cho ABC cân tại A, điểm D thuộc cạnh AB. Đường vuông góc với AB tại D cắt BC tại E và cắt đường thẳng vuông góc với AC tại C ở K. Gọi I là trung điểm của BE. Khi đó số đo IAK là:
Hình vẽ minh họa
Xét tam giác BDE vuông tại D có DI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BF
Suy ra IB = ID = IE
Suy ra tam giác BID cân tại I và tam giác EID cân tại I
Suy ra hay
Tứ giác IDCK có hai đỉnh liền kề DC, cùng nhìn đoạn IK dưới một góc 50°
⇒ IDCK là tứ giác nội tiếp
⇒ I; C; D; K cùng thuộc một đường tròn.
Dễ dàng chứng minh tứ giác ADKC là tứ giác nội tiếp
⇒ A; D; C; K cùng thuộc một đường tròn.
Do đó 5 điểm A; I; D; C; K cùng thuộc một đường tròn, đường kính AK.
⇒ (góc nội tiếp cùng chắn IK).
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O bán kính a. Biết rằng AC ⊥ BD. Khi đó để AB + CD đạt giá trị lớn nhất thì
Hình vẽ minh họa
Vẽ đường kính CE của đường tròn (O).
Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Từ đó ta có AE ⊥ AC.
Mặt khác theo giả thiết AC ⊥ BD.
Kéo theo AE // BD.
Vậy AEBD là hình thang.
Do hình thang AEBD nội tiếp đường tròn (O) nên AEDB là hình thang cân.
Kéo theo AB = DE (các cạnh bên của hình thang).
Từ đó ta có:
(do ∆EDC vuông tại D)
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho ta có:
Kéo theo
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi AB = CD.
Xét ∆ABI, ∆DCI có AB = CD, (góc nội tiếp cùng chắn AD)
(góc nội tiếp cùng chắn BC).
Do đó ∆ABI = ∆DCI (g – c – g).
Kéo theo AI = ID; IB = IC.
Suy ra AC = AI + IC; ID = IB + BD.
Cho hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm. Chọn khẳng định sai?
Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:
- Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
- Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của các góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
- Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua tiếp điểm.
Cho tam giác có các đường cao
;
cắt nhau tại
. Gọi
là trung điểm của
và
là trung điểm của
. Chứng minh rằng:
a) Bốn điểm cùng thuộc đường tròn tâm
đường kính
b) là tiếp tuyến của đường tròn tâm
đường kính
Cho tam giác 
có các đường cao ; cắt nhau tại . Gọi là trung điểm của và là trung điểm của . Chứng minh rằng:
a) Bốn điểm cùng thuộc đường tròn tâm đường kính
b) là tiếp tuyến của đường tròn tâm đường kính
Cho tam giác MNP nội tiếp đường tròn (O), tiếp tuyến tại M của (O) cắt NP tại E, EM = 4cm. Tích EP. EN bằng:
Hình vẽ minh họa
Xét (O) có:
(góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung MP)
Xét và
có:
chung
Cho tam giác ABC là tam giác nhọn. Vẽ đường tròn đường kính BC cắt AB và AC theo thứ tự tại D và E. Gọi giao điểm của cạnh BE và CD tại E, giao điểm tia AH và BC tại F. Hỏi có bao nhiêu tứ giác nội tiếp đường tròn có trong hình vẽ?
Hình vẽ minh họa
Các tứ giác nội tiếp là
Vậy có 4 tứ giác nội tiếp đường tròn cần tìm.
Cho đường tròn có đường kính
. Vẽ dây
sao cho
. Gọi
là trung điểm của dây
. Đường thẳng
cắt tiếp tuyến
tại
. Chứng minh rằng:
a) Biết góc có số đo bằng
, từ đó tính độ dài của
.
b) là tia phân giác của góc
.
c) là tiếp tuyến của đường tròn
.
Cho đường tròn có đường kính . Vẽ dây sao cho . Gọi là trung điểm của dây . Đường thẳng cắt tiếp tuyến tại . Chứng minh rằng:
a) Biết góc có số đo bằng , từ đó tính độ dài của .
b) là tia phân giác của góc .
c) là tiếp tuyến của đường tròn .
Trên các cạnh BC, CD của hình vuông ABCD ta lấy lần lượt các điểm M N, sao cho . Đường thẳng BD cắt các đường thẳng AM, AN tương ứng tại các điểm P, Q. Năm điểm nào sau đây cùng thuộc một đường tròn?
Hình vẽ minh họa
Từ kết quả câu trước ta suy ra
Tập hợp các điểm nhìn đoạn
dưới một góc vuông, nên các điểm này nằm trên đường tròn đường kính
.
Cho tam giác ABC cân tại A; đường cao AH và BK cắt nhau tại I. Khi đó đường thẳng nào sau đây là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI?
Hình vẽ minh họa
Gọi O là trung điểm AI. Xét tam giác vuông AIK có
Xét tam giác OKA cân tại O (vì OA = OK =R) có:
Xét tam giác CKB vuông tại K (vì KB⊥AC) có:
H là trung điểm CB (vì tam giác ABC cân tại A có AH là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến)
=> KH là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC
Từ (1) và (2) suy ra
(Vì AH⊥BC)
Mà
Từ (*) và (**) => HK là tiếp tuyến của (O).
Cho tứ giác ABCD nội tiếp. Chọn câu sai.
Hình vẽ minh họa
Vì tứ giác ABCD nội tiếp nên ta có:
(tổng hai góc đối)
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung AD)
(tổng 4 góc trong tứ giác).
Vậy câu sai là:
Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O) và . Gọi M là một điểm tùy ý trên cung nhỏ AC vẽ tia Bx vuông góc với AM cắt tia CM tại D. Số đo góc BDM là:
Hình vẽ minh họa
Xét tam giác cân tại
và
.
Ta có tứ giác là tứ giác nội tiếp (4 điểm
cùng thuộc
).
(tính chất tứ giác nội tiếp).
Gọi là giao điểm của
và
vuông tại
.
.
Cho tứ giác ABCD có . khẳng định nào sau đây là đúng:
Tứ giác ABCD có
(Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau)
Suy ra
⇒ Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp
Cho các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?
Khi hai mút của cung trùng nhau ta có “cung không” với số đo .
Cho đường tròn tâm O và điểm A ngoài đường tròn đó. Vẽ các tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE tới đường tròn (B và C là tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của DE.
(1) Bốn điểm B, E, O, A cùng thuộc một đường tròn.
(2) Năm điểm A, B, H, O, C cùng thuộc một đường tròn.
(3) HA là tia phân giác góc BHC.
Trong các câu trên:
Hình vẽ minh họa
Vì AB, AC là tiếp tuyến của (O), H là trung điểm DE
đường tròn đường kính AO
Vì AB,AC là tiếp tuyến của (O)
Mà đường tròn đường kính AO
=> A nằm chính giữa cung BC.
=> HA là tia phân giác của góc
Các điểm B, E, O, A không thuộc cùng một đường tròn.
=> Có ít nhất một đáp án sai.
Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn có . Khi đó
bằng:
Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn nên
Mà nên
⇒
Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính BC. Lấy điểm A trên tia đối của tia BC. Kẻ tiếp tuyến AF, Bx của nửa đường tròn (O) (với F là tiếp điểm). Tia AF cắt tia Bx của nửa đường tròn tại D. Khi đó tứ giác OBDF là:
Hình vẽ minh họa
Ta có: (tính chất tiếp tuyến).
Tứ giác OBDF có nên nội tiếp được trong một đường tròn.
Cho hình vẽ dưới đây
Số đo góc bằng bao nhiêu?
Ta có (hai góc đối đỉnh).
Đặt
Theo tính chất góc ngoài tam giác ta có: (2)
Lại có (3) (hai góc đối diện của tứ giác nội tiếp).
Từ (1); (2) và (3) ta nhận
Do là hai góc kề bù nên
Ta lại có là hai góc đối diện của tứ giác nội tiếp nên
Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi H là điểm nằm giữa O và B. Kẻ dây CD vuông góc với AB tại H. Trên cung nhỏ AC lấy điểm E, kẻ CK ⊥ AE tại K. Đường thẳng DE cắt CK tại F. Tứ giác AHCK là:
Hình vẽ minh họa
Tứ giác có
nên
Tứ giác
nội tiếp
Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn có hai cạnh đối AB và CD cắt nhau tại M và thì
?
Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn nên
Tứ giác ABCD nội tiếp (O). Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I. Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABI. Tiếp tuyến của đường tròn này tại I cắt AD và BC lần lượt M và N. Chọn câu sai:
Hình vẽ minh họa
Xét đường tròn ngoại tiếp tam giác ta có:
là góc nội tiếp chắn cung
.
là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung
.
(góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung
).
Xét đường tròn ta có:
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung
).
Lại có hai góc này ở vị trí đồng vị
hay
.
Xét tứ giác ABNM ta có:
tứ giác ABNM là tứ giác nội tiếp (góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện).
Ta có: là hình thang
Cho đường tròn và một dây cung
. Kẻ một tiếp tuyến song song với
, cắt các tia
theo thứ tự tại
. Khi đó diện tích tam giác
bằng:
Hình vẽ minh họa
Ta có: có MN là tiếp tuyến tại I
tại
.
Mà nên
Xét tam giác OBJ vuông tại J ta có:
Tam giác OAB có MN // AB suy ra
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O; R) đường kính AC và dây cung . Gọi x, y, z, t lần lượt là khoảng cách từ điểm O tới AB, CD, BC, DA. Giá trị của biểu thức xy + zt bằng
Hình vẽ minh họa
Gọi khoảng cách từ điểm O tới AB, CD, BC, DA lần lượt là: OE, OI, OF; OH.
Suy ra E, I, F, H lần lượt là trung điểm của AB, CD, BC, DA và OE = x; OI = y; OF = z; OH = t
Mà AC là đường kính đường tròn (O; R) nên AC = 2R và O là trung điểm của AC
Vậy OE là đường trung bình của ∆ABC nên:
(định lý Ptô-lê-mê)
Chứng minh định lý Ptô-lê-mê: “Nếu một tứ giác nội tiếp một đường tròn thì tích của 2 đường chéo bằng tổng các tích của các cặp cạnh đối”.
Giả sử tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O).
Trên đường chéo AC của tứ giác ta lấy điểm E sao cho ABE = CBD
Khi đó ta có: ∆ABE đồng dạng với ∆DBC (do ABE = CBD, BAE = BDC hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC) nên
Xét các tam giác ΔABD và ΔEBC ta thấy:
ABD = ABE + EBD = CBD + EBD = EBC
(do
:
)
Vậy , do đó:
Từ (1) và (2) ta được:
AB.CD + BC.AD = BD.AE + BD.EC = BD.(AE + EC) = BD.AC.
Chọn khẳng định đúng. Cho đường tròn (O) có dây AB > CD khi đó:
Cho đường tròn (O) có dây AB > CD khi đó cung AB lớn hơn cung CD.
Cho ∆ABC vuông ở A. Trên cạnh AC lấy điểm M và vẽ đường tròn đường kính MC. Kẻ BM cắt đường tròn tại D. Đường thẳng DA cắt đường tròn tại S. Chọn đáp án sai trong các đáp án sau:
Hình vẽ minh họa
+) Ta có: là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính
(tính chất góc nội tiếp).
Xét tứ giác ta có:
Góc và góc
cùng nhìn đoạn
dưới góc
.
là tứ giác nội tiếp (dhnb)
+) Xét tứ giác nội tiếp ta có
(cùng nhìn đoạn
+) Xét đường tròn đường kính ta có 4 điểm
cùng thuộc đường tròn.
Tứ giác
là tứ giác nội tiếp.
(góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện). (1)
Vì tứ giác nội tiếp (cmt)
(cùng nhìn đoạn
)
Từ (1) và
Hay là phân giác của
Giả sử tứ giác là tứ giác nội tiếp
(hai góc cùng nhìn đoạn
).
Mà (xét trong đường tròn đường kính
)
tứ giác
không là tứ giác nội tiếp
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) có hai tia AB; DC kéo dài cắt nhau tại M sao cho và hai tia AD; BC kéo dài cắt nhau tại N sao cho
. Khi đó số đo của
là:
Hình vẽ minh họa
Tứ giác ABCD nội tiếp (O) nên
(hai góc đối đỉnh)
(góc ngoài tại đỉnh B của tam giác ABN)
Do đó
Cho hai đường tròn (O; 4cm) và (I; 6cm). Biết OI = 2cm. Tìm vị trí tương đối của hai đường tròn.
Ta có:
=> Hai đường tròn tiếp xúc trong
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:
