Ôn thi vào 10 môn Toán: Tứ giác nội tiếp

Hình vẽ minh họa

Xét tam giác BDE vuông tại D có DI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BF

Suy ra IB = ID = IE

Suy ra tam giác BID cân tại I và tam giác EID cân tại I

Suy ra hay

Tứ giác IDCK có hai đỉnh liền kề DC, cùng nhìn đoạn IK dưới một góc 50°

⇒ IDCK là tứ giác nội tiếp

⇒ I; C; D; K cùng thuộc một đường tròn.

Dễ dàng chứng minh tứ giác ADKC là tứ giác nội tiếp

⇒ A; D; C; K cùng thuộc một đường tròn.

Do đó 5 điểm A; I; D; C; K cùng thuộc một đường tròn, đường kính AK.

⇒ (góc nội tiếp cùng chắn IK).

Xét trường hợp: 50^o; 60^o; 130^o; 140^o 

Ta có:

=> Tứ giác không nội tiếp đường tròn.

Xét trường hợp: 65^o; 85^o; 115^o; 95^o

Ta có:

=> Tứ giác nội tiếp đường tròn.

Xét trường hợp: 82^o; 90^o; 98^o; 100^o

Ta có:

=> Tứ giác không nội tiếp đường tròn.

Xét trường hợp: 40^o; 50^o; 60^o; 110^o 

Ta có:

=> Tứ giác không nội tiếp đường tròn.

Ta có:

suy ra tam giác ABC vuông tại A

Kẻ đường cao AD ta chứng minh được

Xét có

Vì tại D nên khoảng cách từ A đến BC là

Vậy BC là tiếp tuyến của đường tròn .

Hình vẽ minh họa

Vì và (bằng bán kính đường tròn nên .

Ta có .

Xét và có

.

(cùng phụ với .

(góc - góc)

Do đó .

Áp dụng công thức ta được .

Mà  nên hay .

Áp dụng định lý Pi-ta-go ta tính được

Lại có .

Từ đó tính được .

Vì MA; MB lần lượt là hai tiếp tuyến của (O) lần lượt tại AB; (gt) nên ta có:

Tứ giác AMBO có

⇒ Tứ giác AMBO nội tiếp đường tròn đường kính OM.

Xét tam giác AOB có OA = OB = R

Suy ra tam giác AOB cân tại O

Hình vẽ minh họa

Xét tam giác cân tại và

.

Ta có tứ giác là tứ giác nội tiếp (4 điểm cùng thuộc ).

(tính chất tứ giác nội tiếp).

Gọi là giao điểm của và vuông tại .

.

Hình vẽ minh họa

Gọi là trung điểm của . Do là điểm chính giữa cung nên .

Do đó đi qua tâm của đường tròn .

Giả sử rằng , nên , hay là đường kính của .

Suy ra thẳng hàng.

Vì vậy , mà .

Kéo theo tứ giác là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính .

Vì vậy (cùng chắn cung )

Lại có tứ giác là tứ giác nội tiếp nên (cùng chắn cung ).

Từ (1) và ta suy ra . Do đó và đối xứng nhau qua .

Vì vậy hay là trung điểm của nên .

Hình vẽ minh họa

Xét (O) có:

Mà (cùng phụ với )

=>

=> Tam giác ICF cân tại I

Ta lại có:

Mà

=> Tam giác ICE cân tại I

Từ (*) và (**) .

Hình vẽ minh họa

Ta có: Tam giác BCD đều

=> (1)

Mặt khác tam giác ABC là tam giác cân tại A ta có:

Ta lại có:

Từ (1) và (2) =>

Chứng minh tương tự ta được:

Từ (3) và (4) ta nhận được: 

=> Tứ giác ABDC là tứ giác nội tiếp.

Do tam giác ABC cân suy ra AH là đường cao, đường trung tuyến => BH = HC

Do BK là đường cao của tam giác ABC =>

=> Tam giác ABC vuông tại K

=> Trung tuyến KH = BH = HC =

=> vuông tại

(*)

đường kính AI

Suy ra tam giác KOI cân tại O

(**)

Từ (*) và (**) suy ra

tại

Vậy KH là tiếp tuyến của đường tròn

Tâm đường tròn nội tiếp của một tam giác là giao của các đường phân giác trong.

Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn nên

Hình vẽ minh họa

Vì nên các cung bằng nhau.

=>

Xét tam giác AOB cân tại O có OF là đường cao cũng là đường phân giác nên

Ta có:

Trong các tứ giác đã cho hình bình hành, hình thoi không nội tiếp được trong một đường tròn.

Hình vẽ minh họa:

Vì nên đường thẳng và đường tròn cắt nhau.

Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối nhau bằng .

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Hai góc cùng nhìn xuống AC một góc 90⁰

=> Tứ giác AKCH nội tiếp đường tròn đường kính AC,

Hình vẽ minh họa

Xét có là góc nội tiếp chắn cung AD (chứa điểm B)

là góc nội tiếp chắn cung AD (chứa điểm C) nên

Lại có nên

Tương tự ta có

Vậy đáp án cần tìm là:

Số đo của cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó.

Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm.

Hình vẽ minh họa

Gọi G là tiếp tuyến của EF với (O), H là trung điểm của AB. Khi đó ta có:

Vì nên

Hình vẽ minh họa

Tứ giác ABCD nội tiếp nên có:

Mà (kề bù)

Các khẳng định đúng là:

Tứ giác AHBI nội tiếp đường tròn đường kính AB.

Tứ giác AHCK nội tiếp đường tròn đường kính AC.

Ba điểm I, A, K thẳng hàng.

Khẳng định sai: “Tứ giác CKHA nội tiếp đường tròn đường kính AI.”

Hình vẽ minh họa

Vẽ đường kính CE của đường tròn (O).

Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Từ đó ta có AE ⊥ AC.

Mặt khác theo giả thiết AC ⊥ BD.

Kéo theo AE // BD.

Vậy AEBD là hình thang.

Do hình thang AEBD nội tiếp đường tròn (O) nên AEDB là hình thang cân.

Kéo theo AB = DE (các cạnh bên của hình thang).

Từ đó ta có:

(do ∆EDC vuông tại D)

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho ta có:

Kéo theo

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi AB = CD.

Xét ∆ABI, ∆DCI có AB = CD, (góc nội tiếp cùng chắn AD)

(góc nội tiếp cùng chắn BC).

Do đó ∆ABI = ∆DCI (g – c – g).

Kéo theo AI = ID; IB = IC.

Suy ra AC = AI + IC; ID = IB + BD.

Hình vẽ minh họa

+) Ta có: là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính (tính chất góc nội tiếp).

Xét tứ giác ta có:

Góc và góc cùng nhìn đoạn dưới góc .

là tứ giác nội tiếp (dhnb)

+) Xét tứ giác nội tiếp ta có (cùng nhìn đoạn

+) Xét đường tròn đường kính ta có 4 điểm cùng thuộc đường tròn.

Tứ giác là tứ giác nội tiếp.

(góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện). (1)

Vì tứ giác nội tiếp (cmt) (cùng nhìn đoạn )

Từ (1) và

Hay là phân giác của

Giả sử tứ giác là tứ giác nội tiếp (hai góc cùng nhìn đoạn ).

Mà (xét trong đường tròn đường kính )

tứ giác không là tứ giác nội tiếp

Bất kì đa giác đều nào cũng có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp, có một và chỉ một đường tròn nội tiếp.