Ôn thi vào 10 môn Toán: Tứ giác nội tiếp

Trong một đường tròn, số đo cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

Vì MA; MB lần lượt là hai tiếp tuyến của (O) lần lượt tại AB; (gt) nên ta có:

Tứ giác AMBO có

⇒ Tứ giác AMBO nội tiếp đường tròn đường kính OM.

Xét tam giác AOB có OA = OB = R

Suy ra tam giác AOB cân tại O

Ta có (hai góc đối đỉnh).

Đặt

Theo tính chất góc ngoài tam giác ta có: (2)

Lại có (3) (hai góc đối diện của tứ giác nội tiếp).

Từ (1); (2) và (3) ta nhận

Do là hai góc kề bù nên

Ta lại có là hai góc đối diện của tứ giác nội tiếp nên

Hình vẽ minh họa

Do tứ giác nội tiếp (vì có 4 đỉnh cùng thuộc đường tròn) và là các góc đối nên

Do là hình bình hành nên suy ra

Từ (1) và (2) ta nhận được .

Mặt khác nên là hình thang cân.

Từ đó ta suy ra

Do (vì là hình bình hành)

Từ (3) và (4) ta suy ra .

Vậy cả 3 kết luận đều đúng.

Tứ giác ABCD có

(Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau)

Suy ra

⇒ Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp

Mỗi tam giác luôn có một đường tròn ngoại tiếp

=> Đáp án: "Mỗi tam giác luôn có một đường tròn ngoại tiếp" đúng.

Không phải tứ giác nào cũng có đường tròn nội tiếp

=> Đáp án "Mỗi tứ giác luôn có một đường tròn nội tiếp" và "Mỗi tam giác có nhiều đường tròn ngoại tiếp" sai

Đường tròn tiếp xúc với các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác không phải lúc nào cũng là là đường tròn nội tiếp tam giác (mà có thể là đường tròn bàng tiếp)

=> Đáp án "Đường tròn tiếp xúc với các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác là đường tròn nội tiếp tam giác đó" sai.

Hình vẽ minh họa

Vẽ đường kính CE của đường tròn (O).

Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Từ đó ta có AE ⊥ AC.

Mặt khác theo giả thiết AC ⊥ BD.

Kéo theo AE // BD.

Vậy AEBD là hình thang.

Do hình thang AEBD nội tiếp đường tròn (O) nên AEDB là hình thang cân.

Kéo theo AB = DE (các cạnh bên của hình thang).

Từ đó ta có:

(do ∆EDC vuông tại D)

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho ta có:

Kéo theo

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi AB = CD.

Xét ∆ABI, ∆DCI có AB = CD, (góc nội tiếp cùng chắn AD)

(góc nội tiếp cùng chắn BC).

Do đó ∆ABI = ∆DCI (g – c – g).

Kéo theo AI = ID; IB = IC.

Suy ra AC = AI + IC; ID = IB + BD.

Câu sai là: “Tứ giác có bốn cạnh tiếp xúc với đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn.”.

Hình vẽ minh họa:

Vì nên đường thẳng và đường tròn cắt nhau.

Hình vẽ minh họa

Từ kết quả câu trước ta suy ra

Tập hợp các điểm nhìn đoạn dưới một góc vuông, nên các điểm này nằm trên đường tròn đường kính .

Hình vẽ minh họa

Theo tính chất của tiếp tuyến ta có:

=> Tứ giác OBDF nội tiếp đường tròn đường kính OD. 

Hình vẽ minh họa

Ta có:

=> Tứ giác AEHF là hình chữ nhật.

=> (tổng hai góc đối diện của tứ giác)

=> Tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp.

=> (cùng nhìn AE); (cùng phụ )

=>

Xét tứ giác BEFC ta có:

là góc ngoài đỉnh F

=> Tứ giác BEFC nội tiếp đường tròn.

Hình vẽ minh họa

Gọi N là trung điểm của AB. Ta có:

và

Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O xuống xy ta có:

suy ra ONMH là hình chữ nhật, do đó:

Đường thẳng xy và đường tròn có điểm chung khi và chỉ khi

Vậy đường thẳng xy và đường tròn chỉ có điểm chung khi .

Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.

Nên hình vẽ biểu diễn tứ giác nội tiếp đường tròn là hình II.

Hình vẽ minh họa

Gọi khoảng cách từ điểm O tới AB, CD, BC, DA lần lượt là: OE, OI, OF; OH.

Suy ra E, I, F, H lần lượt là trung điểm của AB, CD, BC, DA và OE = x; OI = y; OF = z; OH = t

Mà AC là đường kính đường tròn (O; R) nên AC = 2R và O là trung điểm của AC

Vậy OE là đường trung bình của ∆ABC nên:

(định lý Ptô-lê-mê)

Chứng minh định lý Ptô-lê-mê: “Nếu một tứ giác nội tiếp một đường tròn thì tích của 2 đường chéo bằng tổng các tích của các cặp cạnh đối”.

Giả sử tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O).

Trên đường chéo AC của tứ giác ta lấy điểm E sao cho ABE = CBD

Khi đó ta có: ∆ABE đồng dạng với ∆DBC (do ABE = CBD, BAE = BDC hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC) nên

Xét các tam giác ΔABD và ΔEBC ta thấy:

ABD = ABE + EBD = CBD + EBD = EBC

(do : )

Vậy , do đó:

Từ (1) và (2) ta được:

AB.CD + BC.AD = BD.AE + BD.EC = BD.(AE + EC) = BD.AC.

Hình vẽ minh họa

Gọi là trung điểm của . Do là điểm chính giữa cung nên .

Do đó đi qua tâm của đường tròn .

Giả sử rằng , nên , hay là đường kính của .

Suy ra thẳng hàng.

Vì vậy , mà .

Kéo theo tứ giác là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính .

Vì vậy (cùng chắn cung )

Lại có tứ giác là tứ giác nội tiếp nên (cùng chắn cung ).

Từ (1) và ta suy ra . Do đó và đối xứng nhau qua .

Vì vậy hay là trung điểm của nên .

Hình vẽ minh họa

Vì tứ giác ABCD nội tiếp nên ta có:

(tổng hai góc đối)

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung AD)

(tổng 4 góc trong tứ giác).

Vậy câu sai là:

Hình vẽ minh họa

Xét đường tròn ngoại tiếp tam giác ta có: là góc nội tiếp chắn cung .

là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung .

(góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung ).

Xét đường tròn ta có: (hai góc nội tiếp cùng chắn cung ).

Lại có hai góc này ở vị trí đồng vị

hay .

Xét tứ giác ABNM ta có:

tứ giác ABNM là tứ giác nội tiếp (góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện).

Ta có: là hình thang

Góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn gọi là góc ở tâm.

Hình vẽ minh họa

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BH và CH.

Để chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn tâm I đường kính BH ta chứng minh ID ⊥ DE hay

Vì D, E lần lượt thuộc đường tròn đường kính BH và HC

=>

=> Tứ giác ADHE là hình chữ nhật

Gọi O là giao điểm của AH và DE

=> OD = OH = OE = OA

=> Tam giác ODH cân tại O

=>

Ta cũng có tam giác IDH cân tại I

=> Phương án sai là: "DE là cát tuyến của đường tròn đường kính BH".

Hình vẽ minh họa

Vẽ đường kinh AD

Xét tam giác AHB vuông tại H ta có:

Ta có tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp

Ta lại có: 

Xét ΔAHB và ΔDCA có:

Hình vẽ minh họa

Xét (O) có:

(góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung MP)

Xét và có:

chung

Hình vẽ minh họa

Đường thẳng AB là tiếp tuyến của (O; 2cm) tại B

tại B

Xét tam giác ABO vuông tại B ta có:

(Pythagore)

Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn nên

Mà nên ⇒

Hình vẽ minh họa

Tứ giác BHCF là hình bình hành có M là trung điểm của BC nên M cũng là trung điểm của HF.

Khi đó OM là đường trung bình của tam giác AHF nên .

Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

- Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

- Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của các góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

- Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua tiếp điểm.