Ôn thi vào 10 môn Toán: Tứ giác nội tiếp

Hình vẽ minh họa

Gọi H là giao của BC với AO.

Xét (O) có hai tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại A => AB = AC (tính chất)

Lại có OB = OC nên AO là đường trung trực của đoạn BC hay AO ⊥ BC tại H là trung điểm của BC

Xét tam giác BCD có H là trung điểm BC và O là trung điểm DC 

=> HO là đường trung bình của tam giác BCD

Xét tam giác ABO vuông tại B có BH là đường cao.

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: 

Câu sai là: “Tứ giác có bốn cạnh tiếp xúc với đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn.”.

Trong các tứ giác đã cho hình bình hành, hình thoi không nội tiếp được trong một đường tròn.

Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm.

Hình vẽ minh họa

Xét tứ giác AEHF có:

⇒ Tứ giác AEHF là hình chữ nhật (dhnb).

⇒ Tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp (có tổng hai góc đối diện bằng 180⁰)

⇒ (hai góc cùng nhìn đoạn AE); (cùng phụ )

⇒

Xét tứ giác BEFC có: là góc ngoài tại đỉnh F và

⇒ BEFC nội tiếp (dấu hiệu nhận biết).

Hình vẽ minh họa

Ta có AB và AC là hai tiếp tuyến cắt nhau

⇒ AB = AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Xét tứ giác ABOC có:

⇒ tứ giác ABOC chưa là hình thoi và không là hình bình hành

Có (do AB là tiếp tuyến của (O))

(do AC là tiếp tuyến của (O))

=> tứ giác ABOC nội tiếp (dhnb).

Hình vẽ minh họa

Vẽ đường kính CE của đường tròn (O).

Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Từ đó ta có AE ⊥ AC.

Mặt khác theo giả thiết AC ⊥ BD.

Kéo theo AE // BD.

Vậy AEBD là hình thang.

Do hình thang AEBD nội tiếp đường tròn (O) nên AEDB là hình thang cân.

Kéo theo AB = DE (các cạnh bên của hình thang).

Từ đó ta có:

(do ∆EDC vuông tại D)

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho ta có:

Kéo theo

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi AB = CD.

Xét ∆ABI, ∆DCI có AB = CD, (góc nội tiếp cùng chắn AD)

(góc nội tiếp cùng chắn BC).

Do đó ∆ABI = ∆DCI (g – c – g).

Kéo theo AI = ID; IB = IC.

Suy ra AC = AI + IC; ID = IB + BD.

Hình vẽ minh họa

Vì tứ giác ABCD nội tiếp nên ta có:

(tổng hai góc đối)

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung AD)

(tổng 4 góc trong tứ giác).

Vậy câu sai là:

Hình vẽ minh họa

Gọi khoảng cách từ điểm O tới AB, CD, BC, DA lần lượt là: OE, OI, OF; OH.

Suy ra E, I, F, H lần lượt là trung điểm của AB, CD, BC, DA và OE = x; OI = y; OF = z; OH = t

Mà AC là đường kính đường tròn (O; R) nên AC = 2R và O là trung điểm của AC

Vậy OE là đường trung bình của ∆ABC nên:

(định lý Ptô-lê-mê)

Chứng minh định lý Ptô-lê-mê: “Nếu một tứ giác nội tiếp một đường tròn thì tích của 2 đường chéo bằng tổng các tích của các cặp cạnh đối”.

Giả sử tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O).

Trên đường chéo AC của tứ giác ta lấy điểm E sao cho ABE = CBD

Khi đó ta có: ∆ABE đồng dạng với ∆DBC (do ABE = CBD, BAE = BDC hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC) nên

Xét các tam giác ΔABD và ΔEBC ta thấy:

ABD = ABE + EBD = CBD + EBD = EBC

(do : )

Vậy , do đó:

Từ (1) và (2) ta được:

AB.CD + BC.AD = BD.AE + BD.EC = BD.(AE + EC) = BD.AC.

Hình vẽ minh họa

Từ kết quả câu trước ta suy ra

Tập hợp các điểm nhìn đoạn dưới một góc vuông, nên các điểm này nằm trên đường tròn đường kính .

Hình vẽ minh họa

Vì nên các cung bằng nhau.

=>

Xét tam giác AOB cân tại O có OF là đường cao cũng là đường phân giác nên

Ta có:

Do tam giác ABC cân suy ra AH là đường cao, đường trung tuyến => BH = HC

Do BK là đường cao của tam giác ABC =>

=> Tam giác ABC vuông tại K

=> Trung tuyến KH = BH = HC =

=> vuông tại

(*)

đường kính AI

Suy ra tam giác KOI cân tại O

(**)

Từ (*) và (**) suy ra

tại

Vậy KH là tiếp tuyến của đường tròn

Hình vẽ minh họa

Xét đường tròn (O) có:

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung MC)

Lại có  (do AM là phân giác góc BAC)

Xét và có:

chung

(chứng minh trên)

.

Kí hiệu hình vẽ như sau:

Có (CD vuông góc AB); (AK vuông góc CF) • • 0

⇒ ⇒ tứ giác AHCK nội tiếp

⇒ phương án AHCK là tứ giác nội tiếp đúng, AHCK không nội tiếp đường tròn sai.

⇒ (hai góc đối diện)

⇒ phương án sai.

Xét tam giác vuông ADB có (hệ thức lượng trong tam giác vuông) nên phương án sai

Hình vẽ minh họa

Xét đường tròn ngoại tiếp tam giác ta có: là góc nội tiếp chắn cung .

là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung .

(góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung ).

Xét đường tròn ta có: (hai góc nội tiếp cùng chắn cung ).

Lại có hai góc này ở vị trí đồng vị

hay .

Xét tứ giác ABNM ta có:

tứ giác ABNM là tứ giác nội tiếp (góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện).

Ta có: là hình thang

Hình vẽ minh họa

Ta có: suy ra

Suy ra

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác ATO vuông tại T (AT là tiếp tuyến của (O))) ta có:

Hình vẽ minh họa

Vi là tứ giác nội tiếp nên bốn điểm cùng thuộc một
đường tròn

số đo cung

Hai tam giác vuông

Từ đó

(tứ giác NEMO nội tiếp)

Mà góc phụ với góc nên góc cũng phụ với góc

cân có là phân giác

nên tứ giác NEOF nội tiếp

Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

- Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

- Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của các góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

- Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua tiếp điểm.

Hình vẽ biểu diễn tứ giác nội tiếp đường tròn là:

Do tứ giác nội tiếp đường tròn tâm , nên ta có (cùng chắn cung ).

Do đó ta có .

Tổng ba góc trong một tam giác bằng

=>

.

 Chu vi đường tròn là:

Hình vẽ minh họa

Ta có:

=> Số đo cung AB bằng 1/6 số đo cả đường tròn.

=>

Hình vẽ minh họa

Hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O)

=> O là tâm của hình vuông.

Vì ABCD là hình vuông nên 2 đường chéo vuông góc với nhau, đồng thời chúng bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

=> Tam giác OAB vuông cân tại O

Gọi R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp (O), ta có:

Hình vẽ minh họa

Vì SM là tiếp tuyến của (O) nên ta có: do đó .

Mặt khác

Lại có

Cho đường tròn (O) có dây AB > CD khi đó cung AB lớn hơn cung CD.

Hình vẽ minh họa

Lại có cân tại có

Ta có

Và

Từ đó suy ra tam giác cân tại

Xét tứ giác nội tiếp

=>

Ta chưa đủ điều kiện để suy ra tứ giác là hình thoi.