Ôn thi vào 10 môn Toán: Tứ giác nội tiếp

Hình vẽ minh họa

Gọi N là trung điểm của AB. Ta có:

và

Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O xuống xy ta có:

suy ra ONMH là hình chữ nhật, do đó:

Đường thẳng xy và đường tròn có điểm chung khi và chỉ khi

Vậy đường thẳng xy và đường tròn chỉ có điểm chung khi .

Hình vẽ minh họa

Vẽ đường kinh AD

Xét tam giác AHB vuông tại H ta có:

Ta có tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp

Ta lại có: 

Xét ΔAHB và ΔDCA có:

Trong các tứ giác đã cho, hình thang cân, hình vuông, hình chữ nhật nội tiếp được một trong đường tròn.

Cho đường tròn (O) có dây AB > CD khi đó cung AB lớn hơn cung CD.

Hình vẽ minh họa

Gọi là trung điểm của . Do là điểm chính giữa cung nên .

Do đó đi qua tâm của đường tròn .

Giả sử rằng , nên , hay là đường kính của .

Suy ra thẳng hàng.

Vì vậy , mà .

Kéo theo tứ giác là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính .

Vì vậy (cùng chắn cung )

Lại có tứ giác là tứ giác nội tiếp nên (cùng chắn cung ).

Từ (1) và ta suy ra . Do đó và đối xứng nhau qua .

Vì vậy hay là trung điểm của nên .

Hình vẽ minh họa

MA là tiếp tuyến của đường tròn tại A

tại A

Do đó tam giác MAO vuông tại A.

Theo định lí Pythagore cho tam giác OAM vuông tại A ta có:

Hình vẽ minh họa

Vì là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên

Theo giả thiết ta có: đối xứng với nhau qua nên

Xét tam giác có vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến nên tam giác cân tại .

Hình thoi có một góc nhọn không nội tiếp được đường tròn, vì tổng hai góc của hình thoi đó không bằng 180⁰.

Hình vẽ minh họa

Ta có: 

Ta có:

Xét có nên theo định lý Ta-let ta có:

(Do theo câu trước thì AA’ = 20cm)

Diện tích tam giác là:

Hình vẽ minh họa

Xét đường tròn ngoại tiếp tam giác ta có: là góc nội tiếp chắn cung .

là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung .

(góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung ).

Xét đường tròn ta có: (hai góc nội tiếp cùng chắn cung ).

Lại có hai góc này ở vị trí đồng vị

hay .

Xét tứ giác ABNM ta có:

tứ giác ABNM là tứ giác nội tiếp (góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện).

Ta có: là hình thang

Ta có (hai góc đối đỉnh).

Đặt

Theo tính chất góc ngoài tam giác ta có: (2)

Lại có (3) (hai góc đối diện của tứ giác nội tiếp).

Từ (1); (2) và (3) ta nhận

Từ (1) ta có

Hình vẽ biểu diễn tứ giác nội tiếp đường tròn là:

Nhóm tứ giác nội tiếp thứ nhất: AEHF; CDHE; BDHF.

Nhóm tứ giác nội tiếp thứ hai: BCEF; ACDF; ABDE.

Hình vẽ minh họa

Gọi H là giao của BC và AI.

Vì tam giác ABC nên I, K thuộc AH.

Ta có:

Tương tự ta cũng có:

Xét hai tam giác vuông ICK và IBK ta có:

=> Bốn điểm B, I, C, K nằm trên đường tròn

Vậy tâm của đường tròn đi qua bốn điểm B, I, C, K là điểm O.

Điều kiện để tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn là .

Hình vẽ minh họa

Xét tứ giác ACBD ta có: và cùng nhìn đoạn BC.

Tứ giác ACBD là tứ giác nội tiếp (dhnb).

Có góc và kề bù nên .

Mỗi tam giác luôn có một đường tròn ngoại tiếp

=> Đáp án: "Mỗi tam giác luôn có một đường tròn ngoại tiếp" đúng.

Không phải tứ giác nào cũng có đường tròn nội tiếp

=> Đáp án "Mỗi tứ giác luôn có một đường tròn nội tiếp" và "Mỗi tam giác có nhiều đường tròn ngoại tiếp" sai

Đường tròn tiếp xúc với các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác không phải lúc nào cũng là là đường tròn nội tiếp tam giác (mà có thể là đường tròn bàng tiếp)

=> Đáp án "Đường tròn tiếp xúc với các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác là đường tròn nội tiếp tam giác đó" sai.

Hình vẽ minh họa

Vẽ đường kính CE của đường tròn (O).

Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Từ đó ta có AE ⊥ AC.

Mặt khác theo giả thiết AC ⊥ BD.

Kéo theo AE // BD.

Vậy AEBD là hình thang.

Do hình thang AEBD nội tiếp đường tròn (O) nên AEDB là hình thang cân.

Kéo theo AB = DE (các cạnh bên của hình thang).

Từ đó ta có:

(do ∆EDC vuông tại D)

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho ta có:

Kéo theo

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi AB = CD.

Xét ∆ABI, ∆DCI có AB = CD, (góc nội tiếp cùng chắn AD)

(góc nội tiếp cùng chắn BC).

Do đó ∆ABI = ∆DCI (g – c – g).

Kéo theo AI = ID; IB = IC.

Suy ra AC = AI + IC; ID = IB + BD.

Hình vẽ minh họa

Từ kết quả câu trước ta suy ra

Tập hợp các điểm nhìn đoạn dưới một góc vuông, nên các điểm này nằm trên đường tròn đường kính .

Hình vẽ minh họa

Kẻ AH vuông góc với xy. Ta có AH < AC hay d < R nên đường tròn (A) và đường thẳng xy cắt nhau

Do đó (A) có hai giao điểm xy

Xét tam giác AHC vuông tại H ta có:

Mà và tam giác ABC cân tại A

Nên H là trung điểm của BC

Vậy BC = 2HC = 2.5 = 10 (cm)

Tâm đường tròn nội tiếp của một tam giác là giao của các đường phân giác trong.

Hình vẽ minh họa

Kẻ đường cao OH. Vì và tam giác OCD cân tại O nên H là trung điểm của CD

Hình vẽ minh họa

Gọi khoảng cách từ điểm O tới AB, CD, BC, DA lần lượt là: OE, OI, OF; OH.

Suy ra E, I, F, H lần lượt là trung điểm của AB, CD, BC, DA và OE = x; OI = y; OF = z; OH = t

Mà AC là đường kính đường tròn (O; R) nên AC = 2R và O là trung điểm của AC

Vậy OE là đường trung bình của ∆ABC nên:

(định lý Ptô-lê-mê)

Chứng minh định lý Ptô-lê-mê: “Nếu một tứ giác nội tiếp một đường tròn thì tích của 2 đường chéo bằng tổng các tích của các cặp cạnh đối”.

Giả sử tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O).

Trên đường chéo AC của tứ giác ta lấy điểm E sao cho ABE = CBD

Khi đó ta có: ∆ABE đồng dạng với ∆DBC (do ABE = CBD, BAE = BDC hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC) nên

Xét các tam giác ΔABD và ΔEBC ta thấy:

ABD = ABE + EBD = CBD + EBD = EBC

(do : )

Vậy , do đó:

Từ (1) và (2) ta được:

AB.CD + BC.AD = BD.AE + BD.EC = BD.(AE + EC) = BD.AC.

Hình vẽ minh họa

Vì nên các cung bằng nhau.

=>

Xét tam giác AOB cân tại O có OF là đường cao cũng là đường phân giác nên

Ta có:

Xét tam giác OCD có OC = OD = R

Suy ra tam giác OCD cân tại O suy ra

Ta có:

(Tứ giác ABCD nội tiếp (O)).

Hình vẽ minh họa

Gọi O là trung điểm AI. Xét tam giác vuông AIK có

Xét tam giác OKA cân tại O (vì OA = OK =R) có:

Xét tam giác CKB vuông tại K (vì KB⊥AC) có:

H là trung điểm CB (vì tam giác ABC cân tại A có AH là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến)

=> KH là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC

Từ (1) và (2) suy ra

(Vì AH⊥BC)

Mà

Từ (*) và (**) => HK là tiếp tuyến của (O).

Xét tam giác ABD có (Định lí tổng ba góc trong một tam giác)

AD // BC

(Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn)

Xét tam giác BCD có:

(Định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Kí hiệu hình vẽ như sau:

Có (CD vuông góc AB); (AK vuông góc CF) • • 0

⇒ ⇒ tứ giác AHCK nội tiếp

⇒ phương án AHCK là tứ giác nội tiếp đúng, AHCK không nội tiếp đường tròn sai.

⇒ (hai góc đối diện)

⇒ phương án sai.

Xét tam giác vuông ADB có (hệ thức lượng trong tam giác vuông) nên phương án sai