Ôn thi vào 10 môn Toán: Tứ giác nội tiếp

Hình vẽ minh họa

Ta có: là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (theo tính chất)

Xét tứ giác HKBI ta có:

suy ra BKHI là tứ giác nội tiếp

Lại có do vuông tại không là hình chữ nhật.

Theo bài ra ta có:

Tứ giác MNPQ nội tiếp đường tròn (O; R) và có

Trong các tứ giác đã cho hình bình hành, hình thoi không nội tiếp được trong một đường tròn.

Xét trường hợp: 50^o; 60^o; 130^o; 140^o 

Ta có:

=> Tứ giác không nội tiếp đường tròn.

Xét trường hợp: 65^o; 85^o; 115^o; 95^o

Ta có:

=> Tứ giác nội tiếp đường tròn.

Xét trường hợp: 82^o; 90^o; 98^o; 100^o

Ta có:

=> Tứ giác không nội tiếp đường tròn.

Xét trường hợp: 40^o; 50^o; 60^o; 110^o 

Ta có:

=> Tứ giác không nội tiếp đường tròn.

Hình vẽ minh họa

Vi là tứ giác nội tiếp nên bốn điểm cùng thuộc một
đường tròn

số đo cung

Hai tam giác vuông

Từ đó

(tứ giác NEMO nội tiếp)

Mà góc phụ với góc nên góc cũng phụ với góc

cân có là phân giác

nên tứ giác NEOF nội tiếp

Hình vẽ minh họa

Gọi khoảng cách từ điểm O tới AB, CD, BC, DA lần lượt là: OE, OI, OF; OH.

Suy ra E, I, F, H lần lượt là trung điểm của AB, CD, BC, DA và OE = x; OI = y; OF = z; OH = t

Mà AC là đường kính đường tròn (O; R) nên AC = 2R và O là trung điểm của AC

Vậy OE là đường trung bình của ∆ABC nên:

(định lý Ptô-lê-mê)

Chứng minh định lý Ptô-lê-mê: “Nếu một tứ giác nội tiếp một đường tròn thì tích của 2 đường chéo bằng tổng các tích của các cặp cạnh đối”.

Giả sử tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O).

Trên đường chéo AC của tứ giác ta lấy điểm E sao cho ABE = CBD

Khi đó ta có: ∆ABE đồng dạng với ∆DBC (do ABE = CBD, BAE = BDC hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC) nên

Xét các tam giác ΔABD và ΔEBC ta thấy:

ABD = ABE + EBD = CBD + EBD = EBC

(do : )

Vậy , do đó:

Từ (1) và (2) ta được:

AB.CD + BC.AD = BD.AE + BD.EC = BD.(AE + EC) = BD.AC.

Hình vẽ minh họa

Vẽ đường kính CE của đường tròn (O).

Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Từ đó ta có AE ⊥ AC.

Mặt khác theo giả thiết AC ⊥ BD.

Kéo theo AE // BD.

Vậy AEBD là hình thang.

Do hình thang AEBD nội tiếp đường tròn (O) nên AEDB là hình thang cân.

Kéo theo AB = DE (các cạnh bên của hình thang).

Từ đó ta có:

(do ∆EDC vuông tại D)

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho ta có:

Kéo theo

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi AB = CD.

Xét ∆ABI, ∆DCI có AB = CD, (góc nội tiếp cùng chắn AD)

(góc nội tiếp cùng chắn BC).

Do đó ∆ABI = ∆DCI (g – c – g).

Kéo theo AI = ID; IB = IC.

Suy ra AC = AI + IC; ID = IB + BD.

Trong các tứ giác đã cho, hình thang cân, hình vuông, hình chữ nhật nội tiếp được một trong đường tròn.

Hình vẽ minh họa

Xét có là góc nội tiếp chắn cung AD (chứa điểm B)

là góc nội tiếp chắn cung AD (chứa điểm C) nên

Lại có nên

Tương tự ta có

Vậy đáp án cần tìm là:

Hình vẽ minh họa

Xét tam giác BDE vuông tại D có DI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BF

Suy ra IB = ID = IE

Suy ra tam giác BID cân tại I và tam giác EID cân tại I

Suy ra hay

Tứ giác IDCK có hai đỉnh liền kề DC, cùng nhìn đoạn IK dưới một góc 50°

⇒ IDCK là tứ giác nội tiếp

⇒ I; C; D; K cùng thuộc một đường tròn.

Dễ dàng chứng minh tứ giác ADKC là tứ giác nội tiếp

⇒ A; D; C; K cùng thuộc một đường tròn.

Do đó 5 điểm A; I; D; C; K cùng thuộc một đường tròn, đường kính AK.

⇒ (góc nội tiếp cùng chắn IK).

Hình vẽ minh họa

Xét hình vuông có (tính chất)

Xét tứ giác có mà hai đỉnh và cùng nhìn đoạn thẳng nên là tứ giác nội tiếp.

Xét tứ giác có mà hai đỉnh và D cùng nhìn đoạn thẳng nên là tứ giác nội tiếp.

Hình vẽ minh họa

Xét đường tròn đường kính có góc là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn .

Xét và ta có: chung và

Xét tứ giác có:

Tứ giác là tứ giác nội tiếp (dhnb)

Chứng minh tương tự ta được tứ giác là tứ giác nội tiếp

Gọi giao điểm của và là .

Xét tam giác có hai đường cao và cắt nhau tại là trực tâm của tam giác

Mà là đường cao của tam giác hay thẳng hàng.

và đồng quy tại

Hình vẽ minh họa

Ta có: 

Ta có:

Xét có nên theo định lý Ta-let ta có:

(Do theo câu trước thì AA’ = 20cm)

Diện tích tam giác là:

Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

Điểm đó cách đều hai tiếp điểm

Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua tiếp điểm.

Vậy các từ cần điền vào chỗ trống lần lượt là: Hai tiếp tuyến; hai bán kính đi qua tiếp điểm.

Vì MA; MB lần lượt là hai tiếp tuyến của (O) lần lượt tại AB; (gt) nên ta có:

Tứ giác AMBO có

⇒ Tứ giác AMBO nội tiếp đường tròn đường kính OM.

Xét tam giác AOB có OA = OB = R

Suy ra tam giác AOB cân tại O

Hình vẽ minh họa

Vẽ đường kinh AD

Xét tam giác AHB vuông tại H ta có:

Ta có tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp

Ta lại có: 

Xét ΔAHB và ΔDCA có:

Tứ giác nội tiếp cần tìm là .

Hình vẽ minh họa

Theo giả thiết ta có nên ta suy ra .

Nói cách khác cùng nhìn dưới một góc vuông.

Do đó tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính nên .

Mà vuông cân tại nên . Suy ra .

Ta lại có

.

Do đó .

Hình vẽ minh họa

Gọi là trung điểm của . Do là điểm chính giữa cung nên .

Do đó đi qua tâm của đường tròn .

Giả sử rằng , nên , hay là đường kính của .

Suy ra thẳng hàng.

Vì vậy , mà .

Kéo theo tứ giác là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính .

Vì vậy (cùng chắn cung )

Lại có tứ giác là tứ giác nội tiếp nên (cùng chắn cung ).

Từ (1) và ta suy ra . Do đó và đối xứng nhau qua .

Vì vậy hay là trung điểm của nên .

Hình vẽ minh họa

Xét (O) có:

(góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung MP)

Xét và có:

chung

Hình vẽ minh họa

Ta có ∆BCD là tam giác đều nên (1).

Mặt khác ∆ABC là tam giác cân tại A có hơn nữa tổng ba góc trong một tam giác bằng nên ta nhận được

Từ (1) và (2) suy ra

Chứng minh tương tự ta có (4)

Từ (3) và (4) ta nhận được

Vậy tứ giác ABDC là tứ giác nội tiếp.

Vì tứ giác ABCD nội tiếp được đường tròn nên:

Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa và số đo cung nhỏ (có chung hai mút với cung lớn).

Ta có:

Khoảng cách từ A đến trục Ox bằng 6 > R.

Đường tròn (A; R) cắt trục Ox tại 2 điểm phân biệt .

Khoảng cách từ A đến trục Oy bằng 5 = R..

=> Đường tròn (A; R) tiếp xúc với trục Oy.