Ôn thi vào 10 môn Toán: Tứ giác nội tiếp

Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn nên

Mà nên ⇒

Đường tròn ngoại tiếp đa giác là đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của đa giác đó.

Hình vẽ minh họa

Kẻ đường cao OH. Vì và tam giác OCD cân tại O nên H là trung điểm của CD

Hình vẽ minh họa

Ta có: CB là đường kính đường tròn (O)

=> (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Ta lại có: HA là đường kính đường tròn (K)

=> (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

=> Tứ giác ADHE là hình chữ nhật

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác AHB vuông tại H ta có: 

(1)

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác AHB vuông tại H ta có:

(2)

Từ (1) và (2) =>

Vậy khẳng định sai là: 

Hình vẽ minh họa

Vì nên các cung bằng nhau.

=>

Xét tam giác AOB cân tại O có OF là đường cao cũng là đường phân giác nên

Ta có:

Hình vẽ minh họa

TH1:

TH2:

Hình thoi có một góc nhọn không nội tiếp được đường tròn, vì tổng hai góc của hình thoi đó không bằng 180⁰.

“Nếu E là một điểm nằm trên cung AB thì ” là khẳng định đúng.

Tứ giác ABCD có

(Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau)

Suy ra

⇒ Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp

Ta có:

suy ra tam giác ABC vuông tại A

Kẻ đường cao AD ta chứng minh được

Xét có

Vì tại D nên khoảng cách từ A đến BC là

Vậy BC là tiếp tuyến của đường tròn .

Hình vẽ minh họa

Xét đường tròn (O) có:

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung MC)

Lại có  (do AM là phân giác góc BAC)

Xét và có:

chung

(chứng minh trên)

.

Tứ giác nội tiếp cần tìm là .

Do tứ giác nội tiếp đường tròn tâm , nên ta có (cùng chắn cung ).

Do đó ta có .

Tổng ba góc trong một tam giác bằng

=>

.

Hình vẽ minh họa

Vẽ đường kính CE của đường tròn (O).

Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Từ đó ta có AE ⊥ AC.

Mặt khác theo giả thiết AC ⊥ BD.

Kéo theo AE // BD.

Vậy AEBD là hình thang.

Do hình thang AEBD nội tiếp đường tròn (O) nên AEDB là hình thang cân.

Kéo theo AB = DE (các cạnh bên của hình thang).

Từ đó ta có:

(do ∆EDC vuông tại D)

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho ta có:

Kéo theo

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi AB = CD.

Xét ∆ABI, ∆DCI có AB = CD, (góc nội tiếp cùng chắn AD)

(góc nội tiếp cùng chắn BC).

Do đó ∆ABI = ∆DCI (g – c – g).

Kéo theo AI = ID; IB = IC.

Suy ra AC = AI + IC; ID = IB + BD.

Hình vẽ minh họa

Vẽ đường kinh AD

Xét tam giác AHB vuông tại H ta có:

Ta có tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp

Ta lại có: 

Xét ΔAHB và ΔDCA có:

Đổi

Do AC là tiếp tuyến đường tròn (O) tại C nên tại C

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác OAC vuông tại C ta có:

Vậy độ dài AC gần nhất với giá trị 9km.

Hình vẽ minh họa

Tứ giác BHCF là hình bình hành có M là trung điểm của BC nên M cũng là trung điểm của HF.

Khi đó OM là đường trung bình của tam giác AHF nên .

Hình vẽ minh họa

Gọi khoảng cách từ điểm O tới AB, CD, BC, DA lần lượt là: OE, OI, OF; OH.

Suy ra E, I, F, H lần lượt là trung điểm của AB, CD, BC, DA và OE = x; OI = y; OF = z; OH = t

Mà AC là đường kính đường tròn (O; R) nên AC = 2R và O là trung điểm của AC

Vậy OE là đường trung bình của ∆ABC nên:

(định lý Ptô-lê-mê)

Chứng minh định lý Ptô-lê-mê: “Nếu một tứ giác nội tiếp một đường tròn thì tích của 2 đường chéo bằng tổng các tích của các cặp cạnh đối”.

Giả sử tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O).

Trên đường chéo AC của tứ giác ta lấy điểm E sao cho ABE = CBD

Khi đó ta có: ∆ABE đồng dạng với ∆DBC (do ABE = CBD, BAE = BDC hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC) nên

Xét các tam giác ΔABD và ΔEBC ta thấy:

ABD = ABE + EBD = CBD + EBD = EBC

(do : )

Vậy , do đó:

Từ (1) và (2) ta được:

AB.CD + BC.AD = BD.AE + BD.EC = BD.(AE + EC) = BD.AC.

Hình vẽ minh họa

Xét tứ giác ta có: ( vuông góc với ); (MH vuông góc với )

tứ giác nội tiếp (dhnb).

Và tứ giác chưa đủ điều kiện để là hình chữ nhật và hình vuông.

Xét trường hợp: 50^o; 60^o; 130^o; 140^o 

Ta có:

=> Tứ giác không nội tiếp đường tròn.

Xét trường hợp: 65^o; 85^o; 115^o; 95^o

Ta có:

=> Tứ giác nội tiếp đường tròn.

Xét trường hợp: 82^o; 90^o; 98^o; 100^o

Ta có:

=> Tứ giác không nội tiếp đường tròn.

Xét trường hợp: 40^o; 50^o; 60^o; 110^o 

Ta có:

=> Tứ giác không nội tiếp đường tròn.

Hình vẽ minh họa

Gọi N là trung điểm của AB. Ta có:

và

Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O xuống xy ta có:

suy ra ONMH là hình chữ nhật, do đó:

Đường thẳng xy và đường tròn có điểm chung khi và chỉ khi

Vậy đường thẳng xy và đường tròn chỉ có điểm chung khi .

Ta có (hai góc đối đỉnh).

Đặt

Theo tính chất góc ngoài tam giác ta có: (2)

Lại có (3) (hai góc đối diện của tứ giác nội tiếp).

Từ (1); (2) và (3) ta nhận

Từ (1) ta có

Hình vẽ minh họa

Gọi H là giao của BC và AI.

Vì tam giác ABC nên I, K thuộc AH.

Ta có:

Tương tự ta cũng có:

Xét hai tam giác vuông ICK và IBK ta có:

=> Bốn điểm B, I, C, K nằm trên đường tròn

Vậy tâm của đường tròn đi qua bốn điểm B, I, C, K là điểm O.

Hình vẽ minh họa

Ta có: (tính chất tiếp tuyến).

Tứ giác OBDF có nên nội tiếp được trong một đường tròn.

Hình vẽ minh họa

+) Ta có: là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính (tính chất góc nội tiếp).

Xét tứ giác ta có:

Góc và góc cùng nhìn đoạn dưới góc .

là tứ giác nội tiếp (dhnb)

+) Xét tứ giác nội tiếp ta có (cùng nhìn đoạn

+) Xét đường tròn đường kính ta có 4 điểm cùng thuộc đường tròn.

Tứ giác là tứ giác nội tiếp.

(góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện). (1)

Vì tứ giác nội tiếp (cmt) (cùng nhìn đoạn )

Từ (1) và

Hay là phân giác của

Giả sử tứ giác là tứ giác nội tiếp (hai góc cùng nhìn đoạn ).

Mà (xét trong đường tròn đường kính )

tứ giác không là tứ giác nội tiếp

Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 360⁰ và số đo của cung nhỏ (có chung 2 mút với cung lớn).