Ôn thi vào 10 môn Toán: Tứ giác nội tiếp

Trong các tứ giác đã cho, hình thang cân, hình vuông, hình chữ nhật nội tiếp được một trong đường tròn.

Xét trường hợp: 50^o; 60^o; 130^o; 140^o 

Ta có:

=> Tứ giác không nội tiếp đường tròn.

Xét trường hợp: 65^o; 85^o; 115^o; 95^o

Ta có:

=> Tứ giác nội tiếp đường tròn.

Xét trường hợp: 82^o; 90^o; 98^o; 100^o

Ta có:

=> Tứ giác không nội tiếp đường tròn.

Xét trường hợp: 40^o; 50^o; 60^o; 110^o 

Ta có:

=> Tứ giác không nội tiếp đường tròn.

Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn nên

Ta có:

suy ra tam giác ABC vuông tại A

Kẻ đường cao AD ta chứng minh được

Xét có

Vì tại D nên khoảng cách từ A đến BC là

Vậy BC là tiếp tuyến của đường tròn .

Hình vẽ minh họa

Ta có: CB là đường kính đường tròn (O)

=> (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Ta lại có: HA là đường kính đường tròn (K)

=> (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

=> Tứ giác ADHE là hình chữ nhật

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác AHB vuông tại H ta có: 

(1)

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác AHB vuông tại H ta có:

(2)

Từ (1) và (2) =>

Vậy khẳng định sai là: 

Ta có (hai góc đối đỉnh).

Đặt

Theo tính chất góc ngoài tam giác ta có: (2)

Lại có (3) (hai góc đối diện của tứ giác nội tiếp).

Từ (1); (2) và (3) ta nhận

Do là hai góc kề bù nên

Ta lại có là hai góc đối diện của tứ giác nội tiếp nên

Xét tam giác ABD có (Định lí tổng ba góc trong một tam giác)

AD // BC

(Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn)

Xét tam giác BCD có:

(Định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Hình vẽ minh họa

Theo tính chất của tiếp tuyến ta có:

=> Tứ giác OBDF nội tiếp đường tròn đường kính OD. 

Hình vẽ minh họa

Ta có: (tính chất tiếp tuyến).

Tứ giác OBDF có nên nội tiếp được trong một đường tròn.

Tứ giác ABCD có

(Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau)

Suy ra

⇒ Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp

Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối nhau bằng .

Xét có là góc nội tiếp chắn cung (chứa điểm )

là góc nội tiếp chắn cung BC (chứa điểm A) nên

Lại có (Hai góc kề bù) nên

Từ đó ta có:

Vậy

Hình vẽ minh họa

Các đường cao và tam giác ABC cắt nhau tại H

vuông tại E và vuông tại , vuông tại .

Tam giác AEH vuông tại E => I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEH (1)

Tam giác AFH vuông tại F => I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AFH (2)

Từ (1) và (2) suy ra các điểm A; E; F; H cùng thuộc đường tròn tâm I

=> I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác EHF

Mà (đối đỉnh)

Tam giác BEC vuông tại E => M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BEC

Tam giác BHD vuông tại D hay

mà E thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác EHF

Vậy ME là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác EHF.

Số đo của cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó.

Hình vẽ minh họa

+) Ta có: là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính (tính chất góc nội tiếp).

Xét tứ giác ta có:

Góc và góc cùng nhìn đoạn dưới góc .

là tứ giác nội tiếp (dhnb)

+) Xét tứ giác nội tiếp ta có (cùng nhìn đoạn

+) Xét đường tròn đường kính ta có 4 điểm cùng thuộc đường tròn.

Tứ giác là tứ giác nội tiếp.

(góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện). (1)

Vì tứ giác nội tiếp (cmt) (cùng nhìn đoạn )

Từ (1) và

Hay là phân giác của

Giả sử tứ giác là tứ giác nội tiếp (hai góc cùng nhìn đoạn ).

Mà (xét trong đường tròn đường kính )

tứ giác không là tứ giác nội tiếp

Hình vẽ minh họa

Vì và (bằng bán kính đường tròn nên .

Ta có .

Xét và có

.

(cùng phụ với .

(góc - góc)

Do đó .

Áp dụng công thức ta được .

Mà  nên hay .

Áp dụng định lý Pi-ta-go ta tính được

Lại có .

Từ đó tính được .

Hình vẽ minh họa

Hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O)

=> O là tâm của hình vuông.

Vì ABCD là hình vuông nên 2 đường chéo vuông góc với nhau, đồng thời chúng bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

=> Tam giác OAB vuông cân tại O

Gọi R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp (O), ta có:

Hình vẽ minh họa

Do tứ giác nội tiếp (vì có 4 đỉnh cùng thuộc đường tròn) và là các góc đối nên

Do là hình bình hành nên suy ra

Từ (1) và (2) ta nhận được .

Mặt khác nên là hình thang cân.

Từ đó ta suy ra

Do (vì là hình bình hành)

Từ (3) và (4) ta suy ra .

Vậy cả 3 kết luận đều đúng.

Đường tròn ngoại tiếp đa giác là đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của đa giác đó.

Hình vẽ minh họa

Gọi khoảng cách từ điểm O tới AB, CD, BC, DA lần lượt là: OE, OI, OF; OH.

Suy ra E, I, F, H lần lượt là trung điểm của AB, CD, BC, DA và OE = x; OI = y; OF = z; OH = t

Mà AC là đường kính đường tròn (O; R) nên AC = 2R và O là trung điểm của AC

Vậy OE là đường trung bình của ∆ABC nên:

(định lý Ptô-lê-mê)

Chứng minh định lý Ptô-lê-mê: “Nếu một tứ giác nội tiếp một đường tròn thì tích của 2 đường chéo bằng tổng các tích của các cặp cạnh đối”.

Giả sử tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O).

Trên đường chéo AC của tứ giác ta lấy điểm E sao cho ABE = CBD

Khi đó ta có: ∆ABE đồng dạng với ∆DBC (do ABE = CBD, BAE = BDC hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC) nên

Xét các tam giác ΔABD và ΔEBC ta thấy:

ABD = ABE + EBD = CBD + EBD = EBC

(do : )

Vậy , do đó:

Từ (1) và (2) ta được:

AB.CD + BC.AD = BD.AE + BD.EC = BD.(AE + EC) = BD.AC.

Vì tam giác ABC cân tại A => Tâm đường tròn ngoại tiếp nằm trên đường cao của tam giác đi qua A hay OA vuông góc với BC mà tiếp tuyến của (O) tại A thì cũng phải vuông góc với OA( tính chất tiếp tuyến của đường tròn).

=> Tiếp tuyến tại A của đường tròn sẽ song song với BC.

Hình vẽ minh họa

Đường thẳng AB là tiếp tuyến của (O; 2cm) tại B

tại B

Xét tam giác ABO vuông tại B ta có:

(Pythagore)

Hình vẽ minh họa

Vẽ đường kính CE của đường tròn (O).

Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Từ đó ta có AE ⊥ AC.

Mặt khác theo giả thiết AC ⊥ BD.

Kéo theo AE // BD.

Vậy AEBD là hình thang.

Do hình thang AEBD nội tiếp đường tròn (O) nên AEDB là hình thang cân.

Kéo theo AB = DE (các cạnh bên của hình thang).

Từ đó ta có:

(do ∆EDC vuông tại D)

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho ta có:

Kéo theo

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi AB = CD.

Xét ∆ABI, ∆DCI có AB = CD, (góc nội tiếp cùng chắn AD)

(góc nội tiếp cùng chắn BC).

Do đó ∆ABI = ∆DCI (g – c – g).

Kéo theo AI = ID; IB = IC.

Suy ra AC = AI + IC; ID = IB + BD.

Hình vẽ minh họa

Lại có cân tại có

Ta có

Và

Từ đó suy ra tam giác cân tại

Xét tứ giác nội tiếp

=>

Ta chưa đủ điều kiện để suy ra tứ giác là hình thoi.

Hình vẽ minh họa

Gọi là trung điểm của . Do là điểm chính giữa cung nên .

Do đó đi qua tâm của đường tròn .

Giả sử rằng , nên , hay là đường kính của .

Suy ra thẳng hàng.

Vì vậy , mà .

Kéo theo tứ giác là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính .

Vì vậy (cùng chắn cung )

Lại có tứ giác là tứ giác nội tiếp nên (cùng chắn cung ).

Từ (1) và ta suy ra . Do đó và đối xứng nhau qua .

Vì vậy hay là trung điểm của nên .