Ôn thi vào 10 môn Toán: Tứ giác nội tiếp

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của các đường trung trực.

Bất kì đa giác đều nào cũng có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp, có một và chỉ một đường tròn nội tiếp.

Hình vẽ minh họa

Ta có ∆BCD là tam giác đều nên (1).

Mặt khác ∆ABC là tam giác cân tại A có hơn nữa tổng ba góc trong một tam giác bằng nên ta nhận được

Từ (1) và (2) suy ra

Chứng minh tương tự ta có (4)

Từ (3) và (4) ta nhận được

Vậy tứ giác ABDC là tứ giác nội tiếp.

Hình vẽ minh họa

Vì AB, AC là tiếp tuyến của (O), H là trung điểm DE

đường tròn đường kính AO

Vì AB,AC là tiếp tuyến của (O)

Mà đường tròn đường kính AO

=> A nằm chính giữa cung BC.

=> HA là tia phân giác của góc

Các điểm B, E, O, A không thuộc cùng một đường tròn.

=> Có ít nhất một đáp án sai.

Hình vẽ biểu diễn tứ giác nội tiếp đường tròn là:

Hình vẽ minh họa

Theo tính chất của tiếp tuyến ta có:

=> Tứ giác OBDF nội tiếp đường tròn đường kính OD. 

Hình vẽ minh họa

Ta có:

=> Tứ giác AEHF là hình chữ nhật.

=> (tổng hai góc đối diện của tứ giác)

=> Tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp.

=> (cùng nhìn AE); (cùng phụ )

=>

Xét tứ giác BEFC ta có:

là góc ngoài đỉnh F

=> Tứ giác BEFC nội tiếp đường tròn.

Hình vẽ minh họa

Vì nên các cung bằng nhau.

=>

Xét tam giác AOB cân tại O có OF là đường cao cũng là đường phân giác nên

Ta có:

Khi hai đầu mút của cung trùng nhau ta có “cung không” có số đo bằng .

Ta có:

Khoảng cách từ A đến trục Ox bằng 6 > R.

Đường tròn (A; R) cắt trục Ox tại 2 điểm phân biệt .

Khoảng cách từ A đến trục Oy bằng 5 = R..

=> Đường tròn (A; R) tiếp xúc với trục Oy.

Hình vẽ minh họa

Theo đề bài ta có: M là điểm chính giữa cung AB nên

Xét đường tròn có:

+) là góc nội tiếp chắn cung . (1)

+) là góc có đỉnh nằm trong đường tròn chắn cung và cung

(2)

Từ (1) và (2)

Xét tứ giác DEPC có:

nội tiếp (góc ngoài của một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện).

Hình vẽ minh họa

Xét đường tròn ngoại tiếp tam giác ta có: là góc nội tiếp chắn cung .

là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung .

(góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung ).

Xét đường tròn ta có: (hai góc nội tiếp cùng chắn cung ).

Lại có hai góc này ở vị trí đồng vị

hay .

Xét tứ giác ABNM ta có:

tứ giác ABNM là tứ giác nội tiếp (góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện).

Ta có: là hình thang

Hình vẽ minh họa

Gọi khoảng cách từ điểm O tới AB, CD, BC, DA lần lượt là: OE, OI, OF; OH.

Suy ra E, I, F, H lần lượt là trung điểm của AB, CD, BC, DA và OE = x; OI = y; OF = z; OH = t

Mà AC là đường kính đường tròn (O; R) nên AC = 2R và O là trung điểm của AC

Vậy OE là đường trung bình của ∆ABC nên:

(định lý Ptô-lê-mê)

Chứng minh định lý Ptô-lê-mê: “Nếu một tứ giác nội tiếp một đường tròn thì tích của 2 đường chéo bằng tổng các tích của các cặp cạnh đối”.

Giả sử tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O).

Trên đường chéo AC của tứ giác ta lấy điểm E sao cho ABE = CBD

Khi đó ta có: ∆ABE đồng dạng với ∆DBC (do ABE = CBD, BAE = BDC hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC) nên

Xét các tam giác ΔABD và ΔEBC ta thấy:

ABD = ABE + EBD = CBD + EBD = EBC

(do : )

Vậy , do đó:

Từ (1) và (2) ta được:

AB.CD + BC.AD = BD.AE + BD.EC = BD.(AE + EC) = BD.AC.

Hình vẽ minh họa

Gọi N là trung điểm của AB. Ta có:

và

Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O xuống xy ta có:

suy ra ONMH là hình chữ nhật, do đó:

Đường thẳng xy và đường tròn có điểm chung khi và chỉ khi

Vậy đường thẳng xy và đường tròn chỉ có điểm chung khi .

Hình vẽ minh họa

Gọi H là giao của BC và AI.

Vì tam giác ABC nên I, K thuộc AH.

Ta có:

Tương tự ta cũng có:

Xét hai tam giác vuông ICK và IBK ta có:

=> Bốn điểm B, I, C, K nằm trên đường tròn

Vậy tâm của đường tròn đi qua bốn điểm B, I, C, K là điểm O.

Hình vẽ minh họa

Vẽ đường kính CE của đường tròn (O).

Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Từ đó ta có AE ⊥ AC.

Mặt khác theo giả thiết AC ⊥ BD.

Kéo theo AE // BD.

Vậy AEBD là hình thang.

Do hình thang AEBD nội tiếp đường tròn (O) nên AEDB là hình thang cân.

Kéo theo AB = DE (các cạnh bên của hình thang).

Từ đó ta có:

(do ∆EDC vuông tại D)

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho ta có:

Kéo theo

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi AB = CD.

Xét ∆ABI, ∆DCI có AB = CD, (góc nội tiếp cùng chắn AD)

(góc nội tiếp cùng chắn BC).

Do đó ∆ABI = ∆DCI (g – c – g).

Kéo theo AI = ID; IB = IC.

Suy ra AC = AI + IC; ID = IB + BD.

Hình vẽ minh họa

Vi là tứ giác nội tiếp nên bốn điểm cùng thuộc một
đường tròn

số đo cung

Hai tam giác vuông

Từ đó

(tứ giác NEMO nội tiếp)

Mà góc phụ với góc nên góc cũng phụ với góc

cân có là phân giác

nên tứ giác NEOF nội tiếp

“Nếu E là một điểm nằm trên cung AB thì ” là khẳng định đúng.

Hình vẽ minh họa

Ta có: AB và AC là hai tiếp tuyến cắt nhau

=> AB = AC (tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau)

Xét tứ giác ABOC có: 

(Do AB, AC là tiếp tuyến của (O))

=>

=> Tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn.

Hình vẽ minh họa

Vẽ đường kinh AD

Xét tam giác AHB vuông tại H ta có:

Ta có tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp

Ta lại có: 

Xét ΔAHB và ΔDCA có:

Hình vẽ minh họa

Xét (O) có:

(góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung MP)

Xét và có:

chung

Hình vẽ minh họa

Xét tứ giác IMHC ta có:

=>

=> Tứ giác IMHC nội tiếp.

Chưa đủ điều kiện để MIHC là hình chữ nhật hay hình vuông.

Xét tam giác ABC ta có:

=> Tam giác ABC vuông tại A

=> Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm của BC.

=> Bán kính là 10cm.

Hình vẽ minh họa

TH1:

TH2:

Hình vẽ minh họa

Vì là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên

Theo giả thiết ta có: đối xứng với nhau qua nên

Xét tam giác có vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến nên tam giác cân tại .