Chọn khẳng định đúng. Trong một đường tròn, số đo cung nhỏ bằng:
Trong một đường tròn, số đo cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.
Cho ∆ABC vuông ở A. Trên cạnh AC lấy điểm M và vẽ đường tròn đường kính MC. Kẻ BM cắt đường tròn tại D. Đường thẳng DA cắt đường tròn tại S. Chọn đáp án sai trong các đáp án sau:
Hình vẽ minh họa
+) Ta có: là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính
(tính chất góc nội tiếp).
Xét tứ giác ta có:
Góc và góc
cùng nhìn đoạn
dưới góc
.
là tứ giác nội tiếp (dhnb)
+) Xét tứ giác nội tiếp ta có
(cùng nhìn đoạn
+) Xét đường tròn đường kính ta có 4 điểm
cùng thuộc đường tròn.
Tứ giác
là tứ giác nội tiếp.
(góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện). (1)
Vì tứ giác nội tiếp (cmt)
(cùng nhìn đoạn
)
Từ (1) và
Hay là phân giác của
Giả sử tứ giác là tứ giác nội tiếp
(hai góc cùng nhìn đoạn
).
Mà (xét trong đường tròn đường kính
)
tứ giác
không là tứ giác nội tiếp
Cho ABC cân tại A, điểm D thuộc cạnh AB. Đường vuông góc với AB tại D cắt BC tại E và cắt đường thẳng vuông góc với AC tại C ở K. Gọi I là trung điểm của BE. Khi đó số đo IAK là:
Hình vẽ minh họa
Xét tam giác BDE vuông tại D có DI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BF
Suy ra IB = ID = IE
Suy ra tam giác BID cân tại I và tam giác EID cân tại I
Suy ra hay
Tứ giác IDCK có hai đỉnh liền kề DC, cùng nhìn đoạn IK dưới một góc 50°
⇒ IDCK là tứ giác nội tiếp
⇒ I; C; D; K cùng thuộc một đường tròn.
Dễ dàng chứng minh tứ giác ADKC là tứ giác nội tiếp
⇒ A; D; C; K cùng thuộc một đường tròn.
Do đó 5 điểm A; I; D; C; K cùng thuộc một đường tròn, đường kính AK.
⇒ (góc nội tiếp cùng chắn IK).
Từ điểm ở ngoài đường tròn
, vẽ hai tiếp tuyến
với đường tròn
(
là hai tiếp điểm). Gọi
là giao điểm của
và
. Vẽ đường kính
của đường tròn
.
a) Chứng minh và bốn điểm
cùng thuộc một đường tròn.
b) Gọi là giao điểm của
với
. Chứng minh:
và
.
c) Gọi là giao điểm của
và
,
là giao điểm của
và
. Chứng minh
và
.
Từ điểm 
ở ngoài đường tròn , vẽ hai tiếp tuyến với đường tròn ( là hai tiếp điểm). Gọi là giao điểm của và . Vẽ đường kính của đường tròn .
a) Chứng minh và bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.
b) Gọi là giao điểm của với . Chứng minh: và .
c) Gọi là giao điểm của và , là giao điểm của và . Chứng minh và .
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). M là điểm thuộc cung nhỏ AC (cung CM < cung AM). Vẽ MH vuông góc với BC tại H vẽ MI vuông góc với AC tại I. Chọn câu đúng:
Hình vẽ minh họa
Xét tứ giác IMHC ta có:
=>
=> Tứ giác IMHC nội tiếp.
Chưa đủ điều kiện để MIHC là hình chữ nhật hay hình vuông.
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O bán kính a. Biết rằng AC ⊥ BD. Khi đó để AB + CD đạt giá trị lớn nhất thì
Hình vẽ minh họa
Vẽ đường kính CE của đường tròn (O).
Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Từ đó ta có AE ⊥ AC.
Mặt khác theo giả thiết AC ⊥ BD.
Kéo theo AE // BD.
Vậy AEBD là hình thang.
Do hình thang AEBD nội tiếp đường tròn (O) nên AEDB là hình thang cân.
Kéo theo AB = DE (các cạnh bên của hình thang).
Từ đó ta có:
(do ∆EDC vuông tại D)
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho ta có:
Kéo theo
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi AB = CD.
Xét ∆ABI, ∆DCI có AB = CD, (góc nội tiếp cùng chắn AD)
(góc nội tiếp cùng chắn BC).
Do đó ∆ABI = ∆DCI (g – c – g).
Kéo theo AI = ID; IB = IC.
Suy ra AC = AI + IC; ID = IB + BD.
Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính BC. Lấy điểm A trên tia đối của tia BC. Kẻ tiếp tuyến AF, Bx của nửa đường tròn (O) (với F là tiếp điểm). Tia AF cắt tia Bx của nửa đường tròn tại D. Khi đó tứ giác OBDF là:
Hình vẽ minh họa
Ta có: (tính chất tiếp tuyến).
Tứ giác OBDF có nên nội tiếp được trong một đường tròn.
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) có hai tia AB; DC kéo dài cắt nhau tại M sao cho và hai tia AD; BC kéo dài cắt nhau tại N sao cho
. Khi đó số đo của
là:
Hình vẽ minh họa
Tứ giác ABCD nội tiếp (O) nên
(hai góc đối đỉnh)
(góc ngoài tại đỉnh B của tam giác ABN)
Do đó
Cho nửa đường tròn , đường kính
. Vẽ các tiếp tuyến
và
của đường tròn. Gọi
là một điểm trên đường tròn (
khác
), tiếp tuyến tại
của đường tròn cắt
và
lần lượt tại
và
.
a) Chứng minh rằng: .
b) So sánh và
.
c) Tính theo
.
Cho nửa đường tròn , đường kính . Vẽ các tiếp tuyến và của đường tròn. Gọi là một điểm trên đường tròn ( khác ), tiếp tuyến tại của đường tròn cắt và lần lượt tại và .
a) Chứng minh rằng: .
b) So sánh và .
c) Tính theo .
Cho tam giác nội tiếp đường tròn
, đường cao
cắt nhau tại
. Gọi trung điểm
lần lượt là
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Các đường cao và tam giác ABC cắt nhau tại H
vuông tại E và
vuông tại
,
vuông tại
.
Tam giác AEH vuông tại E => I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEH (1)
Tam giác AFH vuông tại F => I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AFH (2)
Từ (1) và (2) suy ra các điểm A; E; F; H cùng thuộc đường tròn tâm I
=> I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác EHF
Mà (đối đỉnh)
Tam giác BEC vuông tại E => M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BEC
Tam giác BHD vuông tại D hay
mà E thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác EHF
Vậy ME là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác EHF.
Đường tròn ngoại tiếp đa giác là đường tròn:
Đường tròn ngoại tiếp đa giác là đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của đa giác đó.
Cho tứ giác thuộc (O). Biết
. Khi đó số đo
là:
Hình vẽ minh họa
TH1:
TH2:
Trên các cạnh BC, CD của hình vuông ABCD ta lấy lần lượt các điểm M N, sao cho . Đường thẳng BD cắt các đường thẳng AM, AN tương ứng tại các điểm P, Q. Năm điểm nào sau đây cùng thuộc một đường tròn?
Hình vẽ minh họa
Từ kết quả câu trước ta suy ra
Tập hợp các điểm nhìn đoạn
dưới một góc vuông, nên các điểm này nằm trên đường tròn đường kính
.
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) (hình vẽ).
Chọn khẳng định sai?
Vì tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp nên (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC)
(tổng hai góc đối bằng 1800)
(góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối với đỉnh đó).
Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A, nội tiếp đường tròn (O). Phát biểu nào sau đây là đúng?
Vì tam giác ABC cân tại A => Tâm đường tròn ngoại tiếp nằm trên đường cao của tam giác đi qua A hay OA vuông góc với BC mà tiếp tuyến của (O) tại A thì cũng phải vuông góc với OA( tính chất tiếp tuyến của đường tròn).
=> Tiếp tuyến tại A của đường tròn sẽ song song với BC.
Cho đường tròn (O; 6cm). Điểm M cách điểm O một khoảng 4cm. Hỏi qua M kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến đường tròn?
Ta có: OM = 4 cm và R = 6 cm => OM < R
=> Điểm M nằm trong đường tròn (O).
=> Qua điểm M không kẻ được tiếp tuyến nào đến đường tròn.
Cho tứ giác MNPQ nội tiếp đường tròn (O; R) và có . Khi đó ta có:
Theo bài ra ta có:
Tứ giác MNPQ nội tiếp đường tròn (O; R) và có
Số đường tròn nội tiếp của một đa giác đều là:
Bất kì đa giác đều nào cũng có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp, có một và chỉ một đường tròn nội tiếp.
Cho tam giác MNP nội tiếp đường tròn (O), tiếp tuyến tại M của (O) cắt NP tại E, EM = 4cm. Tích EP. EN bằng:
Hình vẽ minh họa
Xét (O) có:
(góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung MP)
Xét và
có:
chung
Tứ giác ABCD nội tiếp (O). Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I. Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABI. Tiếp tuyến của đường tròn này tại I cắt AD và BC lần lượt M và N. Chọn câu sai:
Hình vẽ minh họa
Xét đường tròn ngoại tiếp tam giác ta có:
là góc nội tiếp chắn cung
.
là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung
.
(góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung
).
Xét đường tròn ta có:
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung
).
Lại có hai góc này ở vị trí đồng vị
hay
.
Xét tứ giác ABNM ta có:
tứ giác ABNM là tứ giác nội tiếp (góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện).
Ta có: là hình thang
Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O). M là điểm chính giữa cung AB. Nối M với D M, với C cắt AB lần lượt ở E và P. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
Hình vẽ minh họa
Theo đề bài ta có: M là điểm chính giữa cung AB nên
Xét đường tròn có:
+) là góc nội tiếp chắn cung
. (1)
+) là góc có đỉnh nằm trong đường tròn chắn cung
và cung
(2)
Từ (1) và (2)
Xét tứ giác DEPC có:
nội tiếp (góc ngoài của một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện).
Cho tam giác ABC cân tại A, I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc A. Gọi O là trung điểm của IK. Tâm của đường tròn đi qua bốn điểm B, I, C, K là:
Hình vẽ minh họa
Gọi H là giao của BC và AI.
Vì tam giác ABC nên I, K thuộc AH.
Ta có:
Tương tự ta cũng có:
Xét hai tam giác vuông ICK và IBK ta có:
=> Bốn điểm B, I, C, K nằm trên đường tròn
Vậy tâm của đường tròn đi qua bốn điểm B, I, C, K là điểm O.
Cho hình vẽ dưới đây
Khi đó mệnh đề đúng là?
Ta có (hai góc đối đỉnh).
Đặt
Theo tính chất góc ngoài tam giác ta có: (2)
Lại có (3) (hai góc đối diện của tứ giác nội tiếp).
Từ (1); (2) và (3) ta nhận
Từ (1) ta có
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O; R) đường kính AC và dây cung . Gọi x, y, z, t lần lượt là khoảng cách từ điểm O tới AB, CD, BC, DA. Giá trị của biểu thức xy + zt bằng
Hình vẽ minh họa
Gọi khoảng cách từ điểm O tới AB, CD, BC, DA lần lượt là: OE, OI, OF; OH.
Suy ra E, I, F, H lần lượt là trung điểm của AB, CD, BC, DA và OE = x; OI = y; OF = z; OH = t
Mà AC là đường kính đường tròn (O; R) nên AC = 2R và O là trung điểm của AC
Vậy OE là đường trung bình của ∆ABC nên:
(định lý Ptô-lê-mê)
Chứng minh định lý Ptô-lê-mê: “Nếu một tứ giác nội tiếp một đường tròn thì tích của 2 đường chéo bằng tổng các tích của các cặp cạnh đối”.
Giả sử tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O).
Trên đường chéo AC của tứ giác ta lấy điểm E sao cho ABE = CBD
Khi đó ta có: ∆ABE đồng dạng với ∆DBC (do ABE = CBD, BAE = BDC hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC) nên
Xét các tam giác ΔABD và ΔEBC ta thấy:
ABD = ABE + EBD = CBD + EBD = EBC
(do
:
)
Vậy , do đó:
Từ (1) và (2) ta được:
AB.CD + BC.AD = BD.AE + BD.EC = BD.(AE + EC) = BD.AC.
Cho đường tròn (O), bán kính OA. Dây CD là đường trung trực của OA. Tứ giác OCAD là hình gì?
Hình vẽ minh họa
Gọi H là giao điểm của OA và CD
Vì CD là đường trung trực của OA nên tại H và
Mà OH là một phần của đường kính, CD là dây cung nên H là trung điểm của CD.
Vì tứ giác ACOD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là H và cũng vuông góc với nhau tại H => Tứ giác ACOD là hình thoi.
Cho tam giác ABC không cân, nội tiếp đường tròn (O), BD là đường phân giác của góc . Đường thẳng BD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E. Đường tròn (O1) đường kính DE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là F. Khi đó đường thẳng đối xứng với đường thẳng BF qua đường thẳng BD cắt AC tại N thì:
Hình vẽ minh họa
Gọi là trung điểm của
. Do
là điểm chính giữa cung
nên
.
Do đó đi qua tâm của đường tròn
.
Giả sử rằng , nên
, hay
là đường kính của
.
Suy ra thẳng hàng.
Vì vậy , mà
.
Kéo theo tứ giác là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính
.
Vì vậy (cùng chắn cung
)
Lại có tứ giác là tứ giác nội tiếp nên
(cùng chắn cung
).
Từ (1) và ta suy ra
. Do đó
và
đối xứng nhau qua
.
Vì vậy hay
là trung điểm của
nên
.
Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn có hai cạnh đối AB và CD cắt nhau tại M và thì
?
Hình vẽ minh họa
Tứ giác ABCD nội tiếp nên có:
Mà (kề bù)
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O). Hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Vẽ đường kính AF. Chọn câu đúng.
Hình vẽ minh họa
Xét (O) có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
mà
=> BHCF là hình bình hành
Cho 4 điểm thuộc
. Biết
. Khi đó số đo
là:
Hình vẽ minh họa
Tứ giác MNPQ nội tiếp
⇒
Xét tam giác MPQ có:
(Định lí tổng ba góc trong một tam giác)
Chọn hình vẽ biểu diễn góc ở tâm?
Hình vẽ biểu diễn góc ở tâm là:
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:
