Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Thi vào lớp 10 Ôn Chuyên đề Toán 9
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Ôn thi vào 10 môn Toán: Rút gọn biểu thức và các câu toán liên quan

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 30 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 30 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Thông hiểu
    Trục căn thức ở mẫu của biểu thức

    Kết quả sau khi thu gọn biểu thức \frac{3}{\sqrt{2} - 1} - \frac{3}{\sqrt{2} + 1} là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \frac{3}{\sqrt{2} - 1} - \frac{3}{\sqrt{2} + 1}

    = \frac{3\left( \sqrt{2} + 1 ight) - 3\left( \sqrt{2} - 1 ight)}{\left( \sqrt{2} + 1 ight)\left( \sqrt{2} - 1 ight)}

    = \frac{3\sqrt{2} + 3 - 3\sqrt{2} + 3}{2 - 1} = 6

  • Câu 2: Vận dụng
    Tìm các giá trị của x để biểu thức

    Tìm các giá trị của x để biểu thức B = \frac{5}{{3\sqrt x + 2}} \in \mathbb{Z} là:

    Hướng dẫn:

    Ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0 \leqslant B \leqslant \dfrac{5}{2}} \\ {B \in \mathbb{Z}} \end{array}} ight. \Rightarrow B \in \left\{ {1;2} ight\}

    => B = 1 \Leftrightarrow \frac{5}{{3\sqrt x + 2}} = 1 \Rightarrow x = 1

    =>  B = 2 \Leftrightarrow \frac{5}{{3\sqrt x + 2}} = 2 \Rightarrow x = 2

  • Câu 3: Nhận biết
    Trục căn thức ở mẫu của biểu thức

    Khử mẫu biểu thức \sqrt{\frac{3}{125}} ta được kết quả là:

    Hướng dẫn:

    Ta có: \sqrt{\frac{3}{125}} = \sqrt{\frac{3.125}{125.125}} = \frac{\sqrt{5^{2}.15}}{125} = \frac{5\sqrt{15}}{125} = \frac{\sqrt{15}}{25}

  • Câu 4: Vận dụng
    Tìm các giá trị nguyên của x để N nguyên

    Cho biểu thức N = \frac{7 + 3\sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}};(x \geq 0). Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của x để biểu thức N nhận giá trị nguyên?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    N = \frac{7 + 3\sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}} = \frac{3\sqrt{x} + 3 + 4}{\sqrt{x} + 1} = 3 + \frac{4}{\sqrt{x} + 1}

    Để N\mathbb{\in Z \Rightarrow}\frac{4}{\sqrt{x} + 1}\mathbb{\in Z} hay \sqrt{x} + 1 \in U(4) = \left\{ \pm 4; \pm 2; \pm 1 ight\}

    Vì \Rightarrow \sqrt{x} \in \left\{ - 5; - 3; - 2;0;1;3 ight\} với mọi x \geq 0 \Rightarrow \sqrt{x} \in \left\{ 0;1;3 ight\} \Rightarrow x \in \left\{ 0;1;9 ight\}

    Vậy có 3 giá trị nguyên của x thỏa mãn điều kiện bài toán.

  • Câu 5: Thông hiểu
    Chọn kết quả đúng

    Khử mẫu của biểu thức 2y\sqrt{\frac{x^{4}}{4y^{2}}} với y < 0 ta được kết quả là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    2y\sqrt{\frac{x^{4}}{4y^{2}}} = 2y\sqrt{\left( \frac{x^{2}}{2y} ight)^{2}} = 2y\left| \frac{x^{2}}{2y} ight|

    Vì y < 0 nên \frac{x^{2}}{2y} < 0 \Rightarrow \left| \frac{x^{2}}{2y} ight| = - \frac{x^{2}}{2y}

    Do đó: 2y\sqrt{\frac{x^{4}}{4y^{2}}} = 2y.\left( - \frac{x^{2}}{2y} ight) = - x^{2}

  • Câu 6: Nhận biết
    Tìm điều kiện xác định của biểu thức

    Biểu thức \sqrt{x - 3} xác định khi:

    Hướng dẫn:

    Ta có biểu thức \sqrt{x - 3} xác định khi

    x - 3 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 3

    Vậy x \geq 3 thì biểu thức có nghĩa.

  • Câu 7: Vận dụng cao
    Các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện

    Các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x\sqrt {1 - {y^2}} + y\sqrt {2 - {x^2}} + z\sqrt {3 - {x^2}} = 3 là:

    Hướng dẫn:

     \begin{matrix} x\sqrt {1 - {y^2}} + y\sqrt {2 - {x^2}} + z\sqrt {3 - {x^2}} = 3 \hfill \\ \Rightarrow 2x\sqrt {1 - {y^2}} + 2y\sqrt {2 - {x^2}} + 2z\sqrt {3 - {x^2}} = 6 \hfill \\ \end{matrix}

    Áp dụng bất đẳng thức 2ab \leqslant {a^2} + {b^2}

    2x\sqrt {1 - {y^2}} + 2y\sqrt {2 - {x^2}} + 2z\sqrt {3 - {x^2}} \leqslant {x^2} + 1 - {y^2} + {y^2} + 2 - {z^2} + {z^2} + 3 - {x^2} = 6

    Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \sqrt {1 - {y^2}} } \\ {y = \sqrt {2 - {x^2}} } \\ {z = \sqrt {3 - {x^2}} } \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} + {y^2} = 1} \\ {{y^2} + {z^2} = 2} \\ {{z^2} + {x^2} = 3} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1} \\ {y = 0} \\ {z = \sqrt 2 } \end{array}} ight.

  • Câu 8: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Trong các phương án sau, xác định phương án chính xác?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \left( \frac{2\sqrt{3} - \sqrt{6}}{\sqrt{8} - 2} - \frac{\sqrt{216}}{3} ight).\left( \frac{- a}{\sqrt{6}} ight)

    = \left( \frac{2\sqrt{3} - \sqrt{2}.\sqrt{3}}{\sqrt{4.2} - 2} - \frac{\sqrt{36.6}}{3} ight).\left( \frac{- a}{\sqrt{6}} ight)

    = \left\lbrack \frac{\sqrt{3}\left( 2 - \sqrt{2} ight)}{2\sqrt{2} - 2} - \frac{6\sqrt{6}}{3} ightbrack.\left( \frac{- a}{\sqrt{6}} ight)

    = \left\lbrack \frac{\sqrt{3}.\sqrt{2}\left( \sqrt{2} - 1 ight)}{2\left( \sqrt{2} - 1 ight)} - 2\sqrt{6} ightbrack.\left( \frac{- a}{\sqrt{6}} ight)

    = \left\lbrack \frac{\sqrt{6}}{2} - 2\sqrt{6} ightbrack.\left( \frac{- a}{\sqrt{6}} ight)

    = \left( - \frac{3\sqrt{6}}{2} ight).\left( \frac{- a}{\sqrt{6}} ight) = \frac{3a}{2}

  • Câu 9: Thông hiểu
    Giải phương trình chứa căn

    Tìm các giá trị của x thỏa mãn phương trình \sqrt{4x - 20} + \frac{3}{5}\sqrt{x - 5} -\frac{1}{6}\sqrt{9x - 45} = \frac{21}{5}?

    Hướng dẫn:

    Thay các giá trị x lần lượt vào phương trình ta thấy x = 9 thỏa mãn.

    Vậy phương trình có nghiệm x =9.

  • Câu 10: Vận dụng
    Rút gọn biểu thức N

    Tính N=\frac{\sqrt{\sqrt{5}+2}+\sqrt{\sqrt{5}-2}}{\sqrt{\sqrt{5}+1}}-\sqrt{3-2\sqrt{2}}

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} A = \dfrac{{\sqrt {\sqrt 5 + 2} + \sqrt {\sqrt 5 - 2} }}{{\sqrt {\sqrt 5 + 1} }} \hfill \\ {A^2} = {\left( {\dfrac{{\sqrt {\sqrt 5 + 2} + \sqrt {\sqrt 5 - 2} }}{{\sqrt {\sqrt 5 + 1} }}} ight)^2} \hfill \\ {A^2} = \dfrac{{\sqrt 5 + 2 + 2\sqrt {\sqrt 5 + 2} .\sqrt {\sqrt 5 - 2} + \sqrt 5 - 2}}{{\sqrt 5 + 1}} \hfill \\ {A^2} = \dfrac{{\sqrt 5 + 2 + 2 + \left( {\sqrt 5 - 2} ight)}}{{\sqrt 5 + 1}} = \frac{{2\sqrt 5 + 2}}{{\sqrt 5 + 1}} \hfill \\ {A^2} = 2 \hfill \\ \Rightarrow A = \sqrt 2 \hfill \\ N = A - \sqrt {2 - 2\sqrt 2 + 1} \hfill \\ N = \sqrt 2 - \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 - 1} ight)}^2}} \hfill \\ N = \sqrt 2 - \sqrt 2 + 1 = 1 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 11: Nhận biết
    Tính giá trị biểu thức

    Tính giá trị biểu thức A = \left( \sqrt{\frac{49}{3}} - \sqrt{\frac{25}{3}} + \sqrt{3} ight).\sqrt{3}?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    A = \left( \sqrt{\frac{49}{3}} - \sqrt{\frac{25}{3}} + \sqrt{3} ight).\sqrt{3}

    A = \sqrt{\frac{49}{3}}.\sqrt{3} - \sqrt{\frac{25}{3}}.\sqrt{3} + \sqrt{3}.\sqrt{3}

    A = \sqrt{49} - \sqrt{25} + 3 = 7 - 5 + 3 = 5

  • Câu 12: Nhận biết
    Chọn đáp án đúng

    Điều kiện xác định của căn thức \sqrt{2x - 4} là:

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định của căn thức \sqrt{2x - 4} là:

    2x - 4 \geq 0

    2x \geq 4

    x \geq 2

    Vậy đáp án: x \geq 2.

  • Câu 13: Vận dụng
    Giải phương trình

    Phương trình \sqrt{4+4x+x^{2}}=x-2

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định \forall x \in \mathbb{R}

    Phương trình tương đương:

    \begin{matrix} \sqrt {4 + 4x + 4{x^2}} = x - 2 \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x - 2 \geqslant 0} \\ {4 + 4x + 4{x^2} = {{\left( {x - 2} ight)}^2}} \end{array}} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \geqslant 2} \\ {4 + 4x + 4{x^2} = {x^2} - 4x + 4} \end{array}} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \geqslant 2} \\ {3{x^2} + 8x = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \geqslant 2} \\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0} \\ {x = - \dfrac{8}{3}} \end{array}} ight.\left( {ktm} ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy phương trình vô nghiệm.

  • Câu 14: Thông hiểu
    Thu gọn biểu thức

    Nếu x \geq 3 thì biểu thức \sqrt{(3 - x)^{2}} + 1 bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    3 - x \leq 0 \Rightarrow \sqrt{(3 - x)^{2}} + 1 = |3 - x| + 1 = x - 3 + 1 = x - 2

  • Câu 15: Thông hiểu
    Biểu thức nhận giá trị dương khi

    Biểu thức E = \frac{{{x^4} - 1}}{{{x^2} + 1}} nhận giá trị dương khi và chỉ khi:

    Gợi ý:

     Biểu thức B nhận giá trị dương có nghĩa là B > 0

    \frac{A}{B} > 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {A > 0} \\ {B > 0} \end{array}} ight.} \\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {A < 0} \\ {B < 0} \end{array}} ight.} \end{array}} ight.

    Hướng dẫn:

      Ta có:

    \begin{matrix} \dfrac{{{x^4} - 1}}{{{x^2} + 1}} > 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {{x^2} + 1} ight)\left( {{x^2} - 1} ight)}}{{{x^2} + 1}} > 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2} - 1 > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x > 1} \\ {x < - 1} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 16: Vận dụng cao
    Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức S

    Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = \left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} + \frac{2}{x - \sqrt{x}} ight):\frac{1}{\sqrt{x} - 1} với x > 0;x eq 1.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    S = \left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} + \frac{2}{x - \sqrt{x}} ight):\frac{1}{\sqrt{x} - 1}

    S = \left\lbrack \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} + \frac{2}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 1 ight)} ightbrack.\left( \sqrt{x} - 1 ight)

    S = \left\lbrack \frac{\left( \sqrt{x} ight)^{2}}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 1 ight)} + \frac{2}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 1 ight)} ightbrack.\left( \sqrt{x} - 1 ight)

    S = \frac{x + 2}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 1 ight)}.\left( \sqrt{x} - 1 ight)

    S = \frac{x + 2}{\sqrt{x}} = \frac{x}{\sqrt{x}} + \frac{2}{\sqrt{x}} = \sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}}

    Với x > 0;x eq 1 áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương \sqrt{x};\frac{2}{\sqrt{x}} ta được:

    S \geq 2\sqrt{2}

    Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \sqrt{x} = \frac{2}{\sqrt{x}} \Leftrightarrow x = 2

    Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức S bằng 2\sqrt{2} khi x = 2.

  • Câu 17: Nhận biết
    Tìm điều kiện xác định của phương trình

    Tìm điều kiện xác định của phương trình \sqrt{(x - 4)^{2}} - 2x = \frac{4 - x}{\sqrt{x^{2}- 8x + 16}}?

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định:

    \left\{ \begin{matrix}(x - 4)^{2} \geq 0 \\x^{2} - 8x + 16 > 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}(x - 4)^{2} \geq 0 \\(x - 4)^{2} > 0 \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow (x - 4)^{2} > 0\Leftrightarrow x eq 4

  • Câu 18: Vận dụng cao
    Tính giá trị biểu thức M = x + y

    Biết \left( {x + \sqrt {{x^2} + 3} } ight).\left( {y + \sqrt {{y^2} + 3} } ight) = 3. Tính giá trị biểu thức M = x + y

    Kết quả của biểu thức là: 0||1||4||5

    Đáp án là:

    Biết \left( {x + \sqrt {{x^2} + 3} } ight).\left( {y + \sqrt {{y^2} + 3} } ight) = 3. Tính giá trị biểu thức M = x + y

    Kết quả của biểu thức là: 0||1||4||5

     Ta có:

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {x + \sqrt {{x^2} + 3} } ight).\left( {x - \sqrt {{x^2} + 3} } ight)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 3} } ight) = 3\left( {x - \sqrt {{x^2} + 3} } ight)} \\ {\left( {x + \sqrt {{x^2} + 3} } ight).\left( {y + \sqrt {{y^2} + 3} } ight).\left( {y - \sqrt {{y^2} + 3} } ight) = 3\left( {y - \sqrt {{y^2} + 3} } ight)} \end{array}} ight.

    => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y + \sqrt {{y^2} + 3} = - \left( {x - \sqrt {{x^2} + 3} } ight)} \\ {\left( {x + \sqrt {{x^2} + 3} } ight) = - \left( {y - \sqrt {{y^2} + 3} } ight)} \end{array}} ight.

    Cộng hai vế của phương trình

    => x = -y

    => x + y = 0

    => M = 0

  • Câu 19: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức

    Với giá trị nào của x thì biểu thức F = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 2} bằng \frac{3}{4}?

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định x \geq 0

    Theo bài ra ta có:

    \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 2} = \frac{3}{4}

    \Leftrightarrow 4\sqrt{x} + 4 = 3\sqrt{x} + 6 \Leftrightarrow x = 4(tm)

    Vậy x = 4 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 20: Vận dụng
    Tính giá trị của biểu thức

    Tính giá trị của biểu thức A = \frac{{2a.\sqrt {1 + {x^2}} }}{{\sqrt {1 + {x^2}} - x}} với x = \frac{1}{2}.\left( {\sqrt {\frac{{1 - a}}{2}} + \sqrt {\frac{a}{{1 - a}}} } ight)

    Kết quả của biểu thức là: 1

    Đáp án là:

    Tính giá trị của biểu thức A = \frac{{2a.\sqrt {1 + {x^2}} }}{{\sqrt {1 + {x^2}} - x}} với x = \frac{1}{2}.\left( {\sqrt {\frac{{1 - a}}{2}} + \sqrt {\frac{a}{{1 - a}}} } ight)

    Kết quả của biểu thức là: 1

     Ta có:

    \begin{matrix} x = \dfrac{1}{2}.\left( {\sqrt {\dfrac{{1 - a}}{2}} + \sqrt {\dfrac{a}{{1 - a}}} } ight) \hfill \\ \Rightarrow x = \dfrac{{1 - 2a}}{{2\sqrt {x\left( {1 - a} ight)} }} \hfill \\ \Rightarrow \sqrt {1 + {x^2}} = \dfrac{1}{{2\sqrt {x\left( {1 - a} ight)} }} \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} A = \dfrac{{2a.\sqrt {1 + {x^2}} }}{{\sqrt {1 + {x^2}} - x}} = \dfrac{{2a.\dfrac{1}{{2\sqrt {a.\left( {1 - a} ight)} }}}}{{\dfrac{1}{{2\sqrt {a.\left( {1 - a} ight)} }} - x}} = \dfrac{a}{{\sqrt {a\left( {1 - a} ight)} }}:\dfrac{{2a}}{{2\sqrt {a.\left( {1 - a} ight)} }} \hfill \\ = \dfrac{a}{{\sqrt {a\left( {1 - a} ight)} }}.\dfrac{{2\sqrt {a\left( {1 - a} ight)} }}{{2a}} = 1 \hfill \\ \end{matrix}

    => A = 1

  • Câu 21: Thông hiểu
    Ghi lời giải bài toán vào chỗ trống

    Rút gọn các biểu thức sau:

    a) 2\sqrt{5} - \sqrt{125} - \sqrt{80} + \sqrt{605}

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

    b) \frac{5 + \sqrt{10}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} + \frac{8}{1 - \sqrt{5}}

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

    c) \frac{3}{\sqrt{7} - 2} + \sqrt{\left( 3 - \sqrt{7} ight)^{2}}

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Rút gọn các biểu thức sau:

    a) 2\sqrt{5} - \sqrt{125} - \sqrt{80} + \sqrt{605}

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

    b) \frac{5 + \sqrt{10}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} + \frac{8}{1 - \sqrt{5}}

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

    c) \frac{3}{\sqrt{7} - 2} + \sqrt{\left( 3 - \sqrt{7} ight)^{2}}

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 22: Vận dụng cao
    Tính tổng các giá trị x thỏa mãn yêu cầu

    Cho biểu thức E = \left( \frac{2x + 1}{\sqrt{x^{3}} - 1} - \frac{1}{\sqrt{x} - 1} ight):\left( 1 - \frac{x + 4}{x + \sqrt{x} + 1} ight). Tổng các giá trị nguyên của x để biểu thức E nhận giá trị nguyên dương bằng:

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định x \geq 0;x eq 1;x eq 9

    Ta có:

    E = \left( \frac{2x + 1}{\sqrt{x^{3}} - 1} - \frac{1}{\sqrt{x} - 1} ight):\left( 1 - \frac{x + 4}{x + \sqrt{x} + 1} ight)

    E = \left\lbrack \frac{2x + 1}{\left( \sqrt{x} - 1 ight)\left( x + \sqrt{x} + 1 ight)} - \frac{1}{\sqrt{x} - 1} ightbrack:\left( \frac{x + \sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x} + 1} - \frac{x + 4}{x + \sqrt{x} + 1} ight)

    E = \left\lbrack \frac{2x + 1}{\left( \sqrt{x} - 1 ight)\left( x + \sqrt{x} + 1 ight)} - \frac{x + \sqrt{x} + 1}{\left( \sqrt{x} - 1 ight)\left( x + \sqrt{x} + 1 ight)} ightbrack:\left( \frac{x + \sqrt{x} + 1 - x - 4}{x + \sqrt{x} + 1} ight)

    E = \left\lbrack \frac{2x + 1 - x - \sqrt{x} - 1}{\left( \sqrt{x} - 1 ight)\left( x + \sqrt{x} + 1 ight)} ightbrack:\left( \frac{\sqrt{x} - 3}{x + \sqrt{x} + 1} ight)

    E = \left\lbrack \frac{x - \sqrt{x}}{\left( \sqrt{x} - 1 ight)\left( x + \sqrt{x} + 1 ight)} ightbrack:\left( \frac{\sqrt{x} - 3}{x + \sqrt{x} + 1} ight)

    E = \frac{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 1 ight)}{\left( \sqrt{x} - 1 ight)\left( x + \sqrt{x} + 1 ight)}.\frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3}

    E = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} = \frac{\sqrt{x} - 3 + 3}{\sqrt{x} - 3} = 1 + \frac{3}{\sqrt{x} - 3}

    Để biểu thức nhận giá trị là số nguyên dương thì

    \left\{ \begin{matrix}E\mathbb{\in Z} \\E > 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}1 + \dfrac{3}{\sqrt{x} - 3}\in\mathbb{ Z} \\1 + \dfrac{3}{\sqrt{x} - 3} > 0 \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{3}{\sqrt{x} - 3}\mathbb{\in Z} \\\dfrac{\sqrt{x} - 3 + 3}{\sqrt{x} - 3} > 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\sqrt{x} - 3 \in U(3)\ (*) \\\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} > 0(**) \\\end{matrix} ight.

    Từ (*) \sqrt{x} - 3 \in \left\{ 1;2 ight\} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \sqrt{x} - 3 = 1 \\ \sqrt{x} - 3 = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \sqrt{x} = 4 \\ \sqrt{x} = 6 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 16 \\ x = 36 \\ \end{matrix} ight.\ (tm)

    Nhận thấy x = 16;x = 36 thỏa mãn (**)

    Vậy x = 16;x = 36 là các giá trị cần tìm

    Suy ra tổng tất cả các giá trị x thỏa mãn là 16 + 36 = 52

  • Câu 23: Vận dụng
    Tính giá trị của a

    Sau khi rút gọn biểu thức \frac{1}{{5 + 3\sqrt 2 }} + \frac{1}{{5 - 3\sqrt 2 }} ta được phân số tối giản \frac{a}{b},\left( {a,b \in \mathbb{Z}} ight). Khi đó a-b có giá trị là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} \dfrac{1}{{5 + 3\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{5 - 3\sqrt 2 }} = \dfrac{{5 + 3\sqrt 2 + 5 - 3\sqrt 2 }}{{\left( {5 + 3\sqrt 2 } ight).\left( {5 - 3\sqrt 2 } ight)}} \hfill \\ = \dfrac{{10}}{{{5^2} - {{\left( {3\sqrt 2 } ight)}^2}}} = \dfrac{{10}}{{25 - 18}} = \dfrac{{10}}{7} \hfill \\ \Rightarrow a = 10,b = 7 \hfill \\ \Rightarrow a-b = 3 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 24: Nhận biết
    Chọn kết luận đúng

    Trục căn thức ở mẫu của biểu thức C = \frac{45}{10 - 5\sqrt{3}} ta thu được biểu thức mới có dạng a + b\sqrt{3}. Khi đó:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    C = \frac{45}{10 - 5\sqrt{3}} = \frac{9}{2 - \sqrt{3}}

    = \frac{9\left( 2 + \sqrt{3} ight)}{\left( 2 - \sqrt{3} ight)\left( 2 + \sqrt{3} ight)}

    = \frac{9\left( 2 + \sqrt{3} ight)}{4 - 3} = 18 + 9\sqrt{3}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 18 \\ b = 9 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a.b = 162

  • Câu 25: Vận dụng
    Tìm x để P nguyên

    Cho P = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}. Tìm tất cả các giá trị x để P nhận những giá trị nguyên.

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định x \geqslant 0,x e 1

    Ta có: P = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} = 1 + \frac{2}{{\sqrt x - 1}}

    Ta có P nhận những giá trị nguyên mà 1 \in \mathbb{Z} \Rightarrow \frac{2}{{\sqrt x - 1}} \in \mathbb{Z}

    \left( {\sqrt x - 1} ight) \in U\left( 2 ight) = \left\{ { - 2;2; - 1;1} ight\}

    Ta có bảng sau:

    {\sqrt x - 1}

    -2

    -1

    1

    2

    x

    ktm

    0

    4

    9

    => x \in \left \{0;4;9 ight \}

  • Câu 26: Vận dụng
    Tìm các giá trị của a

    Cho biểu thức G = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 5} - \frac{5}{\sqrt{a} + 5} - \frac{10\sqrt{a}}{a - 25}. Có bao nhiêu giá trị của a thỏa mãn |G| = \frac{1}{4}?

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định a \geq 0,a eq 25

    Ta có:

    G = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 5} - \frac{5}{\sqrt{a} + 5} - \frac{10\sqrt{a}}{a - 25}

    G = \frac{\sqrt{a}\left( \sqrt{a} + 5 ight)}{\left( \sqrt{a} + 5 ight)\left( \sqrt{a} - 5 ight)} - \frac{5\left( \sqrt{a} - 5 ight)}{\left( \sqrt{a} + 5 ight)\left( \sqrt{a} - 5 ight)} - \frac{10\sqrt{a}}{\left( \sqrt{a} + 5 ight)\left( \sqrt{a} - 5 ight)}

    G = \frac{a - 10\sqrt{a} + 25}{\left( \sqrt{a} + 5 ight)\left( \sqrt{a} - 5 ight)} = \frac{\left( \sqrt{a} - 5 ight)^{2}}{\left( \sqrt{a} + 5 ight)\left( \sqrt{a} - 5 ight)} = \frac{\sqrt{a} - 5}{\sqrt{a} + 5}

    Xét |G| = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \left| \frac{\sqrt{a} - 5}{\sqrt{a} + 5} ight| = \frac{1}{4}(*)

    TH1: a > 25 phương trình (*) tương đương

    \frac{\sqrt{a} - 5}{\sqrt{a} + 5} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow 4\sqrt{a} - 20 = \sqrt{a} + 5

    \Leftrightarrow a = \left( \frac{25}{3} ight)^{2} = \frac{625}{9}(tm)

    TH2: a < 25 phương trình (*) tương đương

    \frac{\sqrt{a} - 5}{\sqrt{a} + 5} = - \frac{1}{4} \Leftrightarrow - 4\sqrt{a} + 20 = \sqrt{a} + 5

    \Leftrightarrow a = 3^{2} = 9(tm)

    Vậy có 2 giá trị của a thỏa mãn yêu cầu đề bài.

  • Câu 27: Thông hiểu
    Giải phương trình chứa căn bậc ba

    Tìm tất cả các giá trị x thỏa mãn phương trình \sqrt[3]{2 - 3x} = - 2?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \sqrt[3]{2 - 3x} = - 2 \Leftrightarrow \left( \sqrt[3]{2 - 3x} ight)^{3} = ( - 2)^{3}

    \Leftrightarrow 2 - 3x = - 8 \Leftrightarrow x = \frac{10}{3}

    Vậy nghiệm của phương trình là x = \frac{10}{3}.

  • Câu 28: Nhận biết
    Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

    Giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = x + \sqrt x - 1 là:

    Hướng dẫn:

     Ta có:

    \begin{matrix} C = x + \sqrt x - 1 \hfill \\ \Rightarrow C = {\left( {\sqrt x } ight)^2} + 2.\sqrt x .\dfrac{1}{2} + {\left( {\dfrac{1}{2}} ight)^2} - {\left( {\dfrac{1}{2}} ight)^2} - 1 \hfill \\ \Rightarrow C = \left[ {{{\left( {\sqrt x } ight)}^2} + 2.\sqrt x .\dfrac{1}{2} + {{\left( {\dfrac{1}{2}} ight)}^2}} ight] - \dfrac{5}{4} \hfill \\ \Rightarrow C = {\left( {\sqrt x + \dfrac{1}{2}} ight)^2} - \dfrac{5}{4} \hfill \\ \end{matrix}

    Vì \sqrt x \geqslant 0,\forall x \geqslant 0 \Rightarrow \sqrt x + \frac{1}{2} \geqslant \frac{1}{2}

    \begin{matrix} {\left( {\sqrt x + \dfrac{1}{2}} ight)^2} \geqslant \dfrac{1}{4} \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x + \dfrac{1}{2}} ight)^2} - \dfrac{5}{4} \geqslant \dfrac{1}{4} - \dfrac{5}{4} \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x + \dfrac{1}{2}} ight)^2} - \dfrac{5}{4} \geqslant - 1 \hfill \\ \Rightarrow {P_{\min }} = - 1 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 29: Nhận biết
    Tính giá trị của biểu thức

    Tính giá trị của biểu thức D = \sqrt {15{b^2} - 8b\sqrt {15} + 16} với: b = \sqrt {\frac{3}{5}}

    Hướng dẫn:

     D = \sqrt {15{b^2} - 8b\sqrt {15} + 16} = \sqrt {{{\left( {b\sqrt {15} - 4} ight)}^2}} = \left| {b\sqrt {15} - 4} ight|

    Thay số ta được D = 1

  • Câu 30: Thông hiểu
    Giải phương trình

    Phương trình \sqrt{4x^{2} - 20x + 25} = 5 - 2x có nghiệm là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \sqrt{4x^{2} - 20x + 25} = 5 -2x

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}5 - 2x \geq 0 \\4x^{2} - 20x + 25 = (5 - 2x)^{2} \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x \leq \dfrac{5}{2} \\(2x - 5)^{2} = (5 - 2x)^{2} \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow x \leq\frac{5}{2}

0/30
30 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (27%):
    2/3
  • Thông hiểu (33%):
    2/3
  • Vận dụng (27%):
    2/3
  • Vận dụng cao (13%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
18 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này