Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Thi vào lớp 10 Ôn Chuyên đề Toán 9
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Ôn thi vào 10 môn Toán: Rút gọn biểu thức và các câu toán liên quan

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 30 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 30 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Thông hiểu
    Ghi lời giải bài toán vào ô trống

    Rút gọn các biểu thức sau

    a) A = \sqrt{5} + \sqrt{20} + \sqrt{45}.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

    b) B = \left( \sqrt{x}\ - \ \frac{1}{\sqrt{x}} ight)\ :\ \left( \frac{\sqrt{x}\ - \ 1}{\sqrt{x}}\ + \ \frac{1\ - \ \sqrt{x}}{x\ + \ \sqrt{x}} ight) với x > 0,\ \ x eq 1.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Rút gọn các biểu thức sau

    a) A = \sqrt{5} + \sqrt{20} + \sqrt{45}.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

    b) B = \left( \sqrt{x}\ - \ \frac{1}{\sqrt{x}} ight)\ :\ \left( \frac{\sqrt{x}\ - \ 1}{\sqrt{x}}\ + \ \frac{1\ - \ \sqrt{x}}{x\ + \ \sqrt{x}} ight) với x > 0,\ \ x eq 1.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 2: Vận dụng cao
    Các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện

    Các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x\sqrt {1 - {y^2}} + y\sqrt {2 - {x^2}} + z\sqrt {3 - {x^2}} = 3 là:

    Hướng dẫn:

     \begin{matrix} x\sqrt {1 - {y^2}} + y\sqrt {2 - {x^2}} + z\sqrt {3 - {x^2}} = 3 \hfill \\ \Rightarrow 2x\sqrt {1 - {y^2}} + 2y\sqrt {2 - {x^2}} + 2z\sqrt {3 - {x^2}} = 6 \hfill \\ \end{matrix}

    Áp dụng bất đẳng thức 2ab \leqslant {a^2} + {b^2}

    2x\sqrt {1 - {y^2}} + 2y\sqrt {2 - {x^2}} + 2z\sqrt {3 - {x^2}} \leqslant {x^2} + 1 - {y^2} + {y^2} + 2 - {z^2} + {z^2} + 3 - {x^2} = 6

    Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \sqrt {1 - {y^2}} } \\ {y = \sqrt {2 - {x^2}} } \\ {z = \sqrt {3 - {x^2}} } \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} + {y^2} = 1} \\ {{y^2} + {z^2} = 2} \\ {{z^2} + {x^2} = 3} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1} \\ {y = 0} \\ {z = \sqrt 2 } \end{array}} ight.

  • Câu 3: Vận dụng cao
    Tính giá trị biểu thức chứa căn

    Cho phương trình 3\left( x^{2} - x + 1 ight) = \left( x + \sqrt{x - 1} ight)^{2}. Xác định giá trị x thỏa mãn phương trình. Khi đó giá trị của biểu thức \sqrt{12 + 4\sqrt{x + 3\sqrt{x + 2\sqrt{x - 1}}}} là:

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định x \geq 1

    Với x \geq 1 thì

    3\left( x^{2} - x + 1 ight) = \left( x + \sqrt{x - 1} ight)^{2}

    \Leftrightarrow 3\left( x^{2} - x + 1 ight) = x^{2} + 2.x\sqrt{x - 1} + x - 11

    \Leftrightarrow 2x^{2} - 4x + 4 = 2x\sqrt{x - 1}

    \Leftrightarrow x^{2} - 2x + 2 = x\sqrt{x - 1}(*)

    Do x \geq 1 nên 2 vế của phương trình này không âm nên ta bình phương hai vế phương trình (*) ta được

    (*) \Leftrightarrow x^{4} + 4x^{2} + 4 - 4x^{3} - 8x + 4x^{2} = x^{3} - x^{2}

    \Leftrightarrow x^{4} - 5x^{3} + 9x^{2} - 8x + 4 = 0

    \Leftrightarrow (x - 2)^{2}\left( x^{2} - x + 1 ight) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x - 2 = 0 \\ x^{2} - x + 1 = 0 \\ \end{matrix} ight.

    Vì x^{2} - x + 1 = 0 vô nghiệm nên x = 2(tm)

    Thay x = 2 vào biểu thức \sqrt{12 + 4\sqrt{x + 3\sqrt{x + 2\sqrt{x - 1}}}} ta được:

    \sqrt{12 + 4\sqrt{2 + 3\sqrt{2 + 2\sqrt{2 - 1}}}} = 2\sqrt{2} + 2

  • Câu 4: Nhận biết
    Chọn kết luận đúng

    Cho hai số A = 5,B = \frac{\sqrt{50}}{2}. Kết luận nào dưới đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Ta có:\left\{ \begin{matrix}A = 5 = \sqrt{25} \\B = \dfrac{\sqrt{50}}{2} = \sqrt{\dfrac{50}{4}} \\\end{matrix} ight.

    Mà 25 > \frac{50}{4} \Rightarrow \sqrt{25} > \sqrt{\frac{50}{4}}

    \Rightarrow A > B

  • Câu 5: Nhận biết
    Chọn đáp án đúng

    Biểu thức \sqrt{6 - 2x} có điều kiện xác định là:

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định:

    6 - 2x \geq 0 \Rightarrow x \leq 3

  • Câu 6: Nhận biết
    Biến đổi biểu thức chứa căn

    Giá trị của biểu thức 5\sqrt{( - 2)^{2}} - 3\sqrt{( - 3)^{2}} bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    5\sqrt{( - 2)^{2}} - 3\sqrt{( - 3)^{2}} = 5.2 - 3.3 = 1

  • Câu 7: Nhận biết
    Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

    Giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = x + \sqrt x - 1 là:

    Hướng dẫn:

     Ta có:

    \begin{matrix} C = x + \sqrt x - 1 \hfill \\ \Rightarrow C = {\left( {\sqrt x } ight)^2} + 2.\sqrt x .\dfrac{1}{2} + {\left( {\dfrac{1}{2}} ight)^2} - {\left( {\dfrac{1}{2}} ight)^2} - 1 \hfill \\ \Rightarrow C = \left[ {{{\left( {\sqrt x } ight)}^2} + 2.\sqrt x .\dfrac{1}{2} + {{\left( {\dfrac{1}{2}} ight)}^2}} ight] - \dfrac{5}{4} \hfill \\ \Rightarrow C = {\left( {\sqrt x + \dfrac{1}{2}} ight)^2} - \dfrac{5}{4} \hfill \\ \end{matrix}

    Vì \sqrt x \geqslant 0,\forall x \geqslant 0 \Rightarrow \sqrt x + \frac{1}{2} \geqslant \frac{1}{2}

    \begin{matrix} {\left( {\sqrt x + \dfrac{1}{2}} ight)^2} \geqslant \dfrac{1}{4} \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x + \dfrac{1}{2}} ight)^2} - \dfrac{5}{4} \geqslant \dfrac{1}{4} - \dfrac{5}{4} \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x + \dfrac{1}{2}} ight)^2} - \dfrac{5}{4} \geqslant - 1 \hfill \\ \Rightarrow {P_{\min }} = - 1 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 8: Vận dụng
    Tìm điều kiện của x thỏa mãn yêu cầu đề bài

    Cho biểu thức U = \left( \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 1} - \frac{\sqrt{x} + 2}{x + 2\sqrt{x} + 1} ight).\frac{(1 - x)^{2}}{2} với x \geq 0;x eq 1. Tìm x để U > 0?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    U = \left( \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 1} - \frac{\sqrt{x} + 2}{x + 2\sqrt{x} + 1} ight).\frac{(1 - x)^{2}}{2}

    U = \left\lbrack \frac{\sqrt{x} - 2}{\left( \sqrt{x} - 1 ight)\left( \sqrt{x} + 1 ight)} - \frac{\sqrt{x} + 2}{\left( \sqrt{x} + 1 ight)^{2}} ightbrack.\frac{(x - 1)^{2}}{2}

    U = \left\lbrack \frac{\left( \sqrt{x} - 2 ight)\left( \sqrt{x} + 1 ight)}{\left( \sqrt{x} - 1 ight)\left( \sqrt{x} + 1 ight)^{2}} - \frac{\left( \sqrt{x} + 2 ight)\left( \sqrt{x} - 1 ight)}{\left( \sqrt{x} - 1 ight)\left( \sqrt{x} + 1 ight)^{2}} ightbrack.\frac{(x - 1)^{2}}{2}

    U = \frac{x - \sqrt{x} - 2 - x - \sqrt{x} + 2}{\left( \sqrt{x} - 1 ight)\left( \sqrt{x} + 1 ight)^{2}}.\frac{\left( \sqrt{x} - 1 ight)^{2}\left( \sqrt{x} + 1 ight)^{2}}{2}

    U = \frac{- 2\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 1 ight)}{2} = \sqrt{x} - x

    Để U > 0 \Leftrightarrow \sqrt{x} - x > 0 \Leftrightarrow \sqrt{x}\left( 1 - \sqrt{x} ight) > 0

    Với x \geq 0;x eq 1 ta có: \sqrt{x} \geq 0 nên \sqrt{x}\left( 1 - \sqrt{x} ight) > 0 \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 1 - \sqrt{x} > 0 \\ x eq 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \sqrt{x} < 1 \\ x eq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x < 1 \\ x eq 0 \\ \end{matrix} ight.

    Kết hợp với điều kiện ra suy ra 0 < x < 1 là đáp án cần tìm.

  • Câu 9: Nhận biết
    Tìm điều kiện xác định của phương trình

    Tìm điều kiện xác định của phương trình \sqrt{(x - 4)^{2}} - 2x = \frac{4 - x}{\sqrt{x^{2}- 8x + 16}}?

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định:

    \left\{ \begin{matrix}(x - 4)^{2} \geq 0 \\x^{2} - 8x + 16 > 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}(x - 4)^{2} \geq 0 \\(x - 4)^{2} > 0 \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow (x - 4)^{2} > 0\Leftrightarrow x eq 4

  • Câu 10: Nhận biết
    Giá trị của biểu thức

    Giá trị của biểu thức: P = \frac{{\sqrt x - 1}}{{x - 1}} tại x = {\left( {1 - \sqrt 2 } ight)^2}

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    P = \frac{{\sqrt x - 1}}{{x - 1}} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} ight)\left( {\sqrt x + 1} ight)}} = \frac{1}{{\sqrt x + 1}}

    Mặt khác x = {\left( {1 - \sqrt 2 } ight)^2} \Rightarrow \sqrt x = \sqrt 2 - 1

    Thay x vào biểu thức P ta có: P = \frac{1}{{\sqrt 2 - 1 + 1}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}

  • Câu 11: Thông hiểu
    Ghi lời giải bài toán vào ô trống

    Cho P = \left( \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} + \frac{3x + 3}{9 - x} ight)\left( \frac{\sqrt{x} - 7}{\sqrt{x} + 1} + 1 ight) (với x \geq 0;x eq 9)

    a) Rút gọn biểu thức P.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

    b) Tìm các giá trị của x để P < 0.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho P = \left( \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} + \frac{3x + 3}{9 - x} ight)\left( \frac{\sqrt{x} - 7}{\sqrt{x} + 1} + 1 ight) (với x \geq 0;x eq 9)

    a) Rút gọn biểu thức P.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

    b) Tìm các giá trị của x để P < 0.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 12: Vận dụng cao
    Tính giá trị biểu thức E

    Đơn giản biểu thức E = \left( \sqrt{5 - 2\sqrt{2\sqrt{2} - 2}} + \sqrt{2} - 1 ight).\sqrt{\sqrt{2} - 1} ta được:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \sqrt{\sqrt{2} - 1} = \sqrt{\sqrt{2} - 1}.\sqrt{\left( \sqrt{2} - 1 ight)\left( \sqrt{2} + 1 ight)} = \left( \sqrt{2} - 1 ight)\sqrt{\sqrt{2} + 1}

    Khi đó

    5 - 2\sqrt{2\sqrt{2} - 2} = 5 - 2\sqrt{2}.\sqrt{\sqrt{2} - 1}

    = 2 + 2\sqrt{2} + 3 - 2\sqrt{2} - 2\sqrt{2}\sqrt{\sqrt{2} - 1}

    = 2\left( \sqrt{2} + 1 ight)^{2} + \left( \sqrt{2} - 1 ight)^{2} - 2\sqrt{2}\sqrt{\sqrt{2} + 1}\left( \sqrt{2} - 1 ight)

    = \left( \sqrt{2 + 2\sqrt{2}} - \sqrt{2} + 1 ight)^{2}

    \Rightarrow \sqrt{5 - 2\sqrt{2\sqrt{2} - 2}} = \sqrt{2 + 2\sqrt{2}} - \sqrt{2} + 1

    Ta có:

    E = \left( \sqrt{5 - 2\sqrt{2\sqrt{2} - 2}} + \sqrt{2} - 1 ight).\sqrt{\sqrt{2} - 1}

    E = \left( \sqrt{2 + 2\sqrt{2}} - \sqrt{2} + 1 + \sqrt{2} - 1 ight).\sqrt{\sqrt{2} - 1}

    E = \sqrt{2}\sqrt{\sqrt{2} + 1}.\sqrt{\sqrt{2} - 1} = \sqrt{2}

  • Câu 13: Vận dụng
    Tìm các giá trị nguyên của x để N nguyên

    Cho biểu thức N = \frac{7 + 3\sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}};(x \geq 0). Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của x để biểu thức N nhận giá trị nguyên?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    N = \frac{7 + 3\sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}} = \frac{3\sqrt{x} + 3 + 4}{\sqrt{x} + 1} = 3 + \frac{4}{\sqrt{x} + 1}

    Để N\mathbb{\in Z \Rightarrow}\frac{4}{\sqrt{x} + 1}\mathbb{\in Z} hay \sqrt{x} + 1 \in U(4) = \left\{ \pm 4; \pm 2; \pm 1 ight\}

    Vì \Rightarrow \sqrt{x} \in \left\{ - 5; - 3; - 2;0;1;3 ight\} với mọi x \geq 0 \Rightarrow \sqrt{x} \in \left\{ 0;1;3 ight\} \Rightarrow x \in \left\{ 0;1;9 ight\}

    Vậy có 3 giá trị nguyên của x thỏa mãn điều kiện bài toán.

  • Câu 14: Vận dụng
    Tìm x để P nguyên

    Cho P = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}. Tìm tất cả các giá trị x để P nhận những giá trị nguyên.

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định x \geqslant 0,x e 1

    Ta có: P = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} = 1 + \frac{2}{{\sqrt x - 1}}

    Ta có P nhận những giá trị nguyên mà 1 \in \mathbb{Z} \Rightarrow \frac{2}{{\sqrt x - 1}} \in \mathbb{Z}

    \left( {\sqrt x - 1} ight) \in U\left( 2 ight) = \left\{ { - 2;2; - 1;1} ight\}

    Ta có bảng sau:

    {\sqrt x - 1}

    -2

    -1

    1

    2

    x

    ktm

    0

    4

    9

    => x \in \left \{0;4;9 ight \}

  • Câu 15: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức

    Khi a \geq 0,b \geq 0 và a eq b . Tính giá trị của \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\frac{2b}{a-b}

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt a - \sqrt b }} - \dfrac{{\sqrt b }}{{\sqrt a + \sqrt b }} - \dfrac{{2b}}{{a - b}} \hfill \\ = \dfrac{{\sqrt a \left( {\sqrt a + \sqrt b } ight) - \sqrt b \left( {\sqrt a - \sqrt b } ight)}}{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } ight)\left( {\sqrt a + \sqrt b } ight)}} \hfill \\ - \dfrac{{2b}}{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } ight)\left( {\sqrt a + \sqrt b } ight)}} \hfill \\ = \dfrac{{a + \sqrt {ab} - \sqrt {ab} + b - 2b}}{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } ight)\left( {\sqrt a + \sqrt b } ight)}} \hfill \\ = \dfrac{{a - b}}{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } ight)\left( {\sqrt a + \sqrt b } ight)}} = 1 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 16: Nhận biết
    Chọn mệnh đề đúng

    Cho biểu thức A = \sqrt{\left( 6\sqrt{\frac{4}{25}} - \sqrt{\frac{9}{25}} ight).15}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    A = \sqrt{\left( 6\sqrt{\frac{4}{25}} - \sqrt{\frac{9}{25}} ight).15}

    A = \sqrt{6.15\sqrt{\left( \frac{2}{5} ight)^{2}} - 15\sqrt{\left( \frac{3}{5} ight)^{2}}}

    A = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}

    Vậy mệnh đề đúng là: “Giá trị của biểu thức A là một số vô tỉ”.

  • Câu 17: Thông hiểu
    Tìm nghiệm của phương trình

    Phương trình \sqrt{3}x + \sqrt{3} = \sqrt{12} + \sqrt{27} có nghiệm là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \sqrt{3}x + \sqrt{3} = \sqrt{12} + \sqrt{27}

    \Leftrightarrow \sqrt{3}x + \sqrt{3} = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3}

    \Leftrightarrow \sqrt{3}x = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - \sqrt{3}

    \Leftrightarrow \sqrt{3}x = 4\sqrt{3} \Leftrightarrow x = 4

    Vậy nghiệm của phương trình là x = 4.

  • Câu 18: Thông hiểu
    Biến đổi biểu thức chứa căn bậc ba

    Thu gọn biểu thức \sqrt[3]{x^{3} + 3x^{2} + 3x + 1} - \sqrt[3]{8x^{3} + 12x^{2} + 6x + 1} ta được:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \sqrt[3]{x^{3} + 3x^{2} + 3x + 1} - \sqrt[3]{8x^{3} + 12x^{2} + 6x + 1}

    = \sqrt[3]{(x + 1)^{3}} - \sqrt[3]{(2x + 1)^{3}}

    = x + 1 - (2x + 1) = - x

  • Câu 19: Thông hiểu
    Đơn giản biểu thức chứa căn

    Rút gọn biểu thức B = \sqrt{32x} + \sqrt{50x} - 2\sqrt{8x} + \sqrt{18x} với x \geq 0 ta được kết quả là:

    Hướng dẫn:

    Với x \geq 0 ta có:

    B = \sqrt{32x} + \sqrt{50x} - 2\sqrt{8x} + \sqrt{18x}

    B = \sqrt{16.2x} + \sqrt{25.2x} - 2\sqrt{4.2x} + \sqrt{9.2x}

    B = \sqrt{4^{2}.2x} + \sqrt{5^{2}.2x} - 2\sqrt{2^{2}.2x} + \sqrt{3^{2}.2x}

    B = 4\sqrt{2x} + 5\sqrt{2x} - 4\sqrt{2x} + 3\sqrt{2x}

    B = 8\sqrt{2x}

  • Câu 20: Thông hiểu
    Tìm các giá trị tham số a

    Cho biểu thức B = \left( \frac{\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} + 1} - \frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} - 1} ight)\left( \frac{1}{2\sqrt{a}} - \frac{\sqrt{a}}{2} ight). Có tất cả bao nhiêu giá trị a thỏa mãn B = 1 - \sqrt{a}?

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định \left\{ \begin{matrix} \sqrt{a} + 1 eq 0 \\ \sqrt{a} - 1 eq 0 \\ 2\sqrt{a} eq 0 \\ a \geq 0 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có:

    B = \left( \frac{\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} + 1} - \frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} - 1} ight)\left( \frac{1}{2\sqrt{a}} - \frac{\sqrt{a}}{2} ight)

    B = \frac{\left( \sqrt{a} - 1 ight)^{2} - \left( \sqrt{a} + 1 ight)^{2}}{\left( \sqrt{a} + 1 ight)\left( \sqrt{a} - 1 ight)}.\frac{1 - a}{2\sqrt{a}}

    B = \frac{\left( \sqrt{a} - 1 - \sqrt{a} - 1 ight)\left( \sqrt{a} - 1 + \sqrt{a} + 1 ight)}{- 2\sqrt{a}}

    B = \frac{- 2\sqrt{a}}{- 2\sqrt{a}} = 1

    Mặt khác B = 1 - \sqrt{a}

    \Leftrightarrow 1 = 1 - \sqrt{a} \Leftrightarrow \sqrt{a} = 0 \Leftrightarrow a = 0(tm)

    Vậy có 1 giá trị của a thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 21: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức khi biết giá trị của x

    Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức \sqrt{0,25}.\sqrt{36.100.x} khi x = 1,21 ta được kết quả bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \sqrt{0,25}.\sqrt{36.100.x} = \sqrt{0,5^{2}}.6.10\sqrt{x} = 30\sqrt{x}

    Với x = 1,21 thì giá trị biểu thức là: 30.\sqrt{1,21} = 30.1,1 = 33.

  • Câu 22: Thông hiểu
    Tập hợp các số thực

    Tập hợp các số thực để \frac{(\sqrt{x}-1)\left(x^2-4ight)}{x-1}=0 là:

    Gợi ý:

    Ta có: A.B = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {A = 0} \\ {B = 0} \end{array}} ight.

    - Các bước giải phương trình chứa ấn ở mẫu

    Bước 1: Tìm điều kiện các định.

    Bước 2: Quy đồng phân thức

    Bước 3: Giải phương trình

    Bước 4: So sánh đối chiếu với điều kiện và kết luận

     

    Hướng dẫn:

     Điều kiện x \geqslant 0;x e 1

    \begin{matrix} \dfrac{{\left( {\sqrt x - 1} ight)\left( {{x^2} - 4} ight)}}{{x - 1}} = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt x - 1} ight)\left( {{x^2} - 4} ight) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt x - 1 = 0} \\ {{x^2} - 4 = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1\left( l ight)} \\ \begin{gathered} x = 2\left( {tm} ight) \hfill \\ x = - 2\left( l ight) \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 23: Vận dụng
    Tính a + b

    Sau khi rút gọn biểu thức \frac{2}{{7 + 3\sqrt 5 }} + \frac{2}{{7 - 3\sqrt 5 }} là phân số tối giản \frac{a}{b},\left( {a,b \in \mathbb{Z}} ight). Khi đó a + b có giá trị là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} \dfrac{2}{{7 + 3\sqrt 5 }} + \dfrac{2}{{7 - 3\sqrt 5 }} \hfill \\ = \dfrac{{2\left( {7 - 3\sqrt 5 } ight) + 2\left( {7 + 3\sqrt 5 } ight)}}{{\left( {7 + 3\sqrt 5 } ight).\left( {7 - 3\sqrt 5 } ight)}} \hfill \\ = \dfrac{{14 - 6\sqrt 5 + 14 + 6\sqrt 5 }}{{{7^2} - {{\left( {3\sqrt 5 } ight)}^2}}} \hfill \\ = \dfrac{{28}}{{49 - 45}} = \dfrac{{28}}{4} = \dfrac{7}{1} \hfill \\ \Rightarrow a = 7,b = 1 \hfill \\ \Rightarrow a + b = 7 + 1 = 8 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 24: Vận dụng
    Tính giá trị của a

    Sau khi rút gọn biểu thức \frac{1}{{5 + 3\sqrt 2 }} + \frac{1}{{5 - 3\sqrt 2 }} ta được phân số tối giản \frac{a}{b},\left( {a,b \in \mathbb{Z}} ight). Khi đó a-b có giá trị là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} \dfrac{1}{{5 + 3\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{5 - 3\sqrt 2 }} = \dfrac{{5 + 3\sqrt 2 + 5 - 3\sqrt 2 }}{{\left( {5 + 3\sqrt 2 } ight).\left( {5 - 3\sqrt 2 } ight)}} \hfill \\ = \dfrac{{10}}{{{5^2} - {{\left( {3\sqrt 2 } ight)}^2}}} = \dfrac{{10}}{{25 - 18}} = \dfrac{{10}}{7} \hfill \\ \Rightarrow a = 10,b = 7 \hfill \\ \Rightarrow a-b = 3 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 25: Vận dụng
    Tính giá trị của biểu thức

    Tính giá trị của biểu thức A = \frac{{2a.\sqrt {1 + {x^2}} }}{{\sqrt {1 + {x^2}} - x}} với x = \frac{1}{2}.\left( {\sqrt {\frac{{1 - a}}{2}} + \sqrt {\frac{a}{{1 - a}}} } ight)

    Kết quả của biểu thức là: 1

    Đáp án là:

    Tính giá trị của biểu thức A = \frac{{2a.\sqrt {1 + {x^2}} }}{{\sqrt {1 + {x^2}} - x}} với x = \frac{1}{2}.\left( {\sqrt {\frac{{1 - a}}{2}} + \sqrt {\frac{a}{{1 - a}}} } ight)

    Kết quả của biểu thức là: 1

     Ta có:

    \begin{matrix} x = \dfrac{1}{2}.\left( {\sqrt {\dfrac{{1 - a}}{2}} + \sqrt {\dfrac{a}{{1 - a}}} } ight) \hfill \\ \Rightarrow x = \dfrac{{1 - 2a}}{{2\sqrt {x\left( {1 - a} ight)} }} \hfill \\ \Rightarrow \sqrt {1 + {x^2}} = \dfrac{1}{{2\sqrt {x\left( {1 - a} ight)} }} \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} A = \dfrac{{2a.\sqrt {1 + {x^2}} }}{{\sqrt {1 + {x^2}} - x}} = \dfrac{{2a.\dfrac{1}{{2\sqrt {a.\left( {1 - a} ight)} }}}}{{\dfrac{1}{{2\sqrt {a.\left( {1 - a} ight)} }} - x}} = \dfrac{a}{{\sqrt {a\left( {1 - a} ight)} }}:\dfrac{{2a}}{{2\sqrt {a.\left( {1 - a} ight)} }} \hfill \\ = \dfrac{a}{{\sqrt {a\left( {1 - a} ight)} }}.\dfrac{{2\sqrt {a\left( {1 - a} ight)} }}{{2a}} = 1 \hfill \\ \end{matrix}

    => A = 1

  • Câu 26: Vận dụng
    Tìm các giá trị của x để biểu thức

    Tìm các giá trị của x để biểu thức B = \frac{5}{{3\sqrt x + 2}} \in \mathbb{Z} là:

    Hướng dẫn:

    Ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0 \leqslant B \leqslant \dfrac{5}{2}} \\ {B \in \mathbb{Z}} \end{array}} ight. \Rightarrow B \in \left\{ {1;2} ight\}

    => B = 1 \Leftrightarrow \frac{5}{{3\sqrt x + 2}} = 1 \Rightarrow x = 1

    =>  B = 2 \Leftrightarrow \frac{5}{{3\sqrt x + 2}} = 2 \Rightarrow x = 2

  • Câu 27: Thông hiểu
    Khử căn thức ở mẫu của biểu thức

    Trục căn thức ở mẫu của biểu thức \frac{3}{6 + \sqrt{3a}} với a \geq 0;a eq 12 thu được kết quả là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \frac{3}{6 + \sqrt{3a}} = \frac{3\left( 6 - \sqrt{3a} ight)}{\left( 6 + \sqrt{3a} ight)\left( 6 - \sqrt{3a} ight)}

    = \frac{3\left( 6 - \sqrt{3a} ight)}{6^{2} - \left( \sqrt{3a} ight)^{2}} = \frac{3\left( 6 - \sqrt{3a} ight)}{36 - 3a}

    = \frac{18 - 3\sqrt{3a}}{3(12 - a)} = \frac{3\left( 6 - \sqrt{3a} ight)}{3(12 - a)} = \frac{6 - \sqrt{3a}}{12 - a}

  • Câu 28: Vận dụng
    Tìm các giá trị của a

    Cho biểu thức G = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 5} - \frac{5}{\sqrt{a} + 5} - \frac{10\sqrt{a}}{a - 25}. Có bao nhiêu giá trị của a thỏa mãn |G| = \frac{1}{4}?

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định a \geq 0,a eq 25

    Ta có:

    G = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 5} - \frac{5}{\sqrt{a} + 5} - \frac{10\sqrt{a}}{a - 25}

    G = \frac{\sqrt{a}\left( \sqrt{a} + 5 ight)}{\left( \sqrt{a} + 5 ight)\left( \sqrt{a} - 5 ight)} - \frac{5\left( \sqrt{a} - 5 ight)}{\left( \sqrt{a} + 5 ight)\left( \sqrt{a} - 5 ight)} - \frac{10\sqrt{a}}{\left( \sqrt{a} + 5 ight)\left( \sqrt{a} - 5 ight)}

    G = \frac{a - 10\sqrt{a} + 25}{\left( \sqrt{a} + 5 ight)\left( \sqrt{a} - 5 ight)} = \frac{\left( \sqrt{a} - 5 ight)^{2}}{\left( \sqrt{a} + 5 ight)\left( \sqrt{a} - 5 ight)} = \frac{\sqrt{a} - 5}{\sqrt{a} + 5}

    Xét |G| = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \left| \frac{\sqrt{a} - 5}{\sqrt{a} + 5} ight| = \frac{1}{4}(*)

    TH1: a > 25 phương trình (*) tương đương

    \frac{\sqrt{a} - 5}{\sqrt{a} + 5} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow 4\sqrt{a} - 20 = \sqrt{a} + 5

    \Leftrightarrow a = \left( \frac{25}{3} ight)^{2} = \frac{625}{9}(tm)

    TH2: a < 25 phương trình (*) tương đương

    \frac{\sqrt{a} - 5}{\sqrt{a} + 5} = - \frac{1}{4} \Leftrightarrow - 4\sqrt{a} + 20 = \sqrt{a} + 5

    \Leftrightarrow a = 3^{2} = 9(tm)

    Vậy có 2 giá trị của a thỏa mãn yêu cầu đề bài.

  • Câu 29: Vận dụng cao
    Giải phương trình

    Phương trình \sqrt {x + 1} + \sqrt {6x - 14} = {x^2} - 5 có bao nhiêu nghiệm?

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định:

    \left\{ \begin{gathered} x + 1 \geqslant 0 \hfill \\ 6x - 14 \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant - 1 \hfill \\ x \geqslant \frac{7}{3} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow x \geqslant \frac{7}{3}

    => {x^2} - 5 \geqslant 0

    Phương trình tương đương:

    \begin{matrix} \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} - 2 + \sqrt {6x - 14} - 2 = {x^2} - 9 \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{x - 3}}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + \dfrac{{6\left( {x - 3} ight)}}{{\sqrt {6x - 14} + 2}} = \left( {x - 3} ight)\left( {x + 3} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} \Leftrightarrow \left( {x - 3} ight).\left[ {\dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + \dfrac{6}{{\sqrt {6x - 14} + 2}} - \left( {x + 3} ight)} ight] = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x - 3 = 0 \hfill \\ \dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + \dfrac{6}{{\sqrt {6x - 14} + 2}} - \left( {x + 3} ight) = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 3 \hfill \\ \frac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + \frac{6}{{\sqrt {6x - 14} + 2}} - \left( {x + 3} ight) = 0\left( * ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Ta lại có:

    \begin{matrix} \left\{ \begin{gathered} \dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} < \dfrac{1}{2} \hfill \\ \dfrac{6}{{\sqrt {6x - 14} + 2}} < \dfrac{6}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + \dfrac{6}{{\sqrt {6x - 14} + 2}} < \dfrac{7}{2} \hfill \\ \end{matrix}

    Và x \geqslant \frac{7}{3} \Rightarrow x + 3 \geqslant \frac{7}{3} + 3 = \frac{{16}}{3}

    => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {VT\left( * ight) < \dfrac{7}{2}} \\ {VP\left( * ight) \geqslant \dfrac{{16}}{3}} \end{array} \Rightarrow \left( * ight)} ight. vô nghiệm.

    Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất x = 3.

  • Câu 30: Nhận biết
    Chọn khẳng định đúng

    Cho biểu thức A < 0;B \geq 0. Khẳng định nào sau đây là đúng?

    Hướng dẫn:

    Với hai biểu thức A;B mà B \geq 0 ta có:

    \sqrt{A^{2}B} = |A|\sqrt{B} = \left\{ \begin{matrix} A\sqrt{B}\ \ \ \ khi\ A \geq 0 \\ - A\sqrt{B}\ \ \ \ khi\ A < 0 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy khẳng định đúng là: “\sqrt{A^{2}B} = - A\sqrt{B}”.

0/30
30 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (27%):
    2/3
  • Thông hiểu (33%):
    2/3
  • Vận dụng (27%):
    2/3
  • Vận dụng cao (13%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
25 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này