Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Thi vào lớp 10 Ôn Chuyên đề Toán 9
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Ôn thi vào 10 môn Toán: Rút gọn biểu thức và các câu toán liên quan

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 30 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 30 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Nhận biết
    Căn bậc hai của một số

    Căn bậc hai của một số a không âm là một số x sao cho

  • Câu 2: Nhận biết
    Đơn giản biểu thức A

    Cho biểu thức A = \frac{a - 3\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 3} với a > 0;a eq 9. Đơn giản biểu thức A ta được kết quả là:

    Hướng dẫn:

    Với a > 0;a eq 9 ta có:

    A = \frac{a - 3\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 3} = \frac{\sqrt{a}\left( \sqrt{a} - 3 ight)}{\sqrt{a} - 3} = \sqrt{a}

  • Câu 3: Nhận biết
    Chọn phát biểu đúng

    Cho hai số thực tùy ý a;b\in\mathbb{ R}. Phát biểu nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Phát biểu đúng là \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} với a \geq 0;b > 0.

  • Câu 4: Vận dụng
    Tìm các giá trị nguyên của x để N nguyên

    Cho biểu thức N = \frac{7 + 3\sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}};(x \geq 0). Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của x để biểu thức N nhận giá trị nguyên?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    N = \frac{7 + 3\sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}} = \frac{3\sqrt{x} + 3 + 4}{\sqrt{x} + 1} = 3 + \frac{4}{\sqrt{x} + 1}

    Để N\mathbb{\in Z \Rightarrow}\frac{4}{\sqrt{x} + 1}\mathbb{\in Z} hay \sqrt{x} + 1 \in U(4) = \left\{ \pm 4; \pm 2; \pm 1 ight\}

    Vì \Rightarrow \sqrt{x} \in \left\{ - 5; - 3; - 2;0;1;3 ight\} với mọi x \geq 0 \Rightarrow \sqrt{x} \in \left\{ 0;1;3 ight\} \Rightarrow x \in \left\{ 0;1;9 ight\}

    Vậy có 3 giá trị nguyên của x thỏa mãn điều kiện bài toán.

  • Câu 5: Thông hiểu
    Rút gọn biểu thức chứa căn

    Thực hiện phép tính E = \left( \frac{\sqrt{14} - \sqrt{7}}{1 - \sqrt{2}} + \frac{\sqrt{15} - \sqrt{5}}{1 - \sqrt{3}} ight):\frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} ta được kết quả thu gọn bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    E = \left( \frac{\sqrt{14} - \sqrt{7}}{1 - \sqrt{2}} + \frac{\sqrt{15} - \sqrt{5}}{1 - \sqrt{3}} ight):\frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{5}}

    E = \left( \frac{\sqrt{2}\sqrt{7} - \sqrt{7}}{1 - \sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}\sqrt{5} - \sqrt{5}}{1 - \sqrt{3}} ight).\left( \sqrt{7} - \sqrt{5} ight)

    E = \left\lbrack \frac{\left( \sqrt{2} - 1 ight)\sqrt{7}}{1 - \sqrt{2}} + \frac{\left( \sqrt{3} - 1 ight)\sqrt{5}}{1 - \sqrt{3}} ightbrack.\left( \sqrt{7} - \sqrt{5} ight)

    E = \left( - \sqrt{7} - \sqrt{5} ight).\left( \sqrt{7} - \sqrt{5} ight)

    E = - \left( \sqrt{7} + \sqrt{5} ight).\left( \sqrt{7} - \sqrt{5} ight)

    E = - (7 - 5) = - 2

  • Câu 6: Nhận biết
    Chọn đáp án đúng

    Điều kiện của x để \sqrt{x^{2} - 12x + 36} = 6 - x là:

    Hướng dẫn:

    \sqrt{x^{2} - 12x + 36} = \sqrt{(x - 6)^{2}} = |x - 6|

    Để \sqrt{x^{2} - 12x + 36} = 6 - x thì |6 - x| = - (x - 6) khi x - 6 < 0 \Leftrightarrow x < 6

    Vậy x < 6 thì \sqrt{x^{2} - 12x + 36} = 6 - x.

  • Câu 7: Vận dụng
    Tìm các giá trị của x để biểu thức

    Tìm các giá trị của x để biểu thức B = \frac{5}{{3\sqrt x + 2}} \in \mathbb{Z} là:

    Hướng dẫn:

    Ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0 \leqslant B \leqslant \dfrac{5}{2}} \\ {B \in \mathbb{Z}} \end{array}} ight. \Rightarrow B \in \left\{ {1;2} ight\}

    => B = 1 \Leftrightarrow \frac{5}{{3\sqrt x + 2}} = 1 \Rightarrow x = 1

    =>  B = 2 \Leftrightarrow \frac{5}{{3\sqrt x + 2}} = 2 \Rightarrow x = 2

  • Câu 8: Nhận biết
    Giá trị của biểu thức

    Giá trị của biểu thức: P = \frac{{\sqrt x - 1}}{{x - 1}} tại x = {\left( {1 - \sqrt 2 } ight)^2}

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    P = \frac{{\sqrt x - 1}}{{x - 1}} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} ight)\left( {\sqrt x + 1} ight)}} = \frac{1}{{\sqrt x + 1}}

    Mặt khác x = {\left( {1 - \sqrt 2 } ight)^2} \Rightarrow \sqrt x = \sqrt 2 - 1

    Thay x vào biểu thức P ta có: P = \frac{1}{{\sqrt 2 - 1 + 1}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}

  • Câu 9: Thông hiểu
    Giải phương trình

    Biết rằng A = \frac{1}{3 + \sqrt{5}} + \frac{1}{3 - \sqrt{5}}. Xác định nghiệm của phương trình 2A.x + 3 = 0?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    A = \frac{1}{3 + \sqrt{5}} + \frac{1}{3 - \sqrt{5}}

    A = \frac{3 - \sqrt{5}}{\left( 3 + \sqrt{5} ight)\left( 3 - \sqrt{5} ight)} + \frac{3 + \sqrt{5}}{\left( 3 + \sqrt{5} ight)\left( 3 - \sqrt{5} ight)}

    A = \frac{3 - \sqrt{5} + 3 + \sqrt{5}}{3^{2} - \left( \sqrt{5} ight)^{2}} = \frac{6}{9 - 5} = \frac{3}{2}

    Khi đó phương trình đã cho trở thành

    PT \Leftrightarrow 2.\frac{3}{2}.x + 3 = 0 \Leftrightarrow 3x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = - 1(tm)

    Vậy x = -1 là giá trị cần tìm.

  • Câu 10: Nhận biết
    Tìm điều kiện xác định của phương trình

    Tìm điều kiện xác định của phương trình \sqrt{(x - 4)^{2}} - 2x = \frac{4 - x}{\sqrt{x^{2}- 8x + 16}}?

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định:

    \left\{ \begin{matrix}(x - 4)^{2} \geq 0 \\x^{2} - 8x + 16 > 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}(x - 4)^{2} \geq 0 \\(x - 4)^{2} > 0 \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow (x - 4)^{2} > 0\Leftrightarrow x eq 4

  • Câu 11: Thông hiểu
    Ghi lời giải bài toán vào ô trống

    Cho P = \left( \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} + \frac{3x + 3}{9 - x} ight)\left( \frac{\sqrt{x} - 7}{\sqrt{x} + 1} + 1 ight) (với x \geq 0;x eq 9)

    a) Rút gọn biểu thức P.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

    b) Tìm các giá trị của x để P < 0.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho P = \left( \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} + \frac{3x + 3}{9 - x} ight)\left( \frac{\sqrt{x} - 7}{\sqrt{x} + 1} + 1 ight) (với x \geq 0;x eq 9)

    a) Rút gọn biểu thức P.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

    b) Tìm các giá trị của x để P < 0.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 12: Thông hiểu
    Tìm các giá trị của tham số b thỏa mãn điều kiện

    Cho biểu thức C = \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b} - 1} - \frac{6\sqrt{b} - 4}{b - 1} + \frac{3}{\sqrt{b} + 1}. Tìm tất cả các giá trị của b sao cho 2C < 1?

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định \left\{ \begin{matrix} b \geq 0 \\ \sqrt{b} - 1 eq 0 \\ \sqrt{b} + 1 eq 0 \\ b - 1 eq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} b \geq 0 \\ b eq 1 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có:

    C = \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b} - 1} - \frac{6\sqrt{b} - 4}{b - 1} + \frac{3}{\sqrt{b} + 1}

    C = \frac{\sqrt{b}\left( \sqrt{b} + 1 ight) - 6\sqrt{b} + 4 + 3\left( \sqrt{b} - 1 ight)}{\left( \sqrt{b} - 1 ight)\left( \sqrt{b} + 1 ight)}

    C = \frac{b - 2\sqrt{b} + 1}{\left( \sqrt{b} - 1 ight)\left( \sqrt{b} + 1 ight)}

    C = \frac{\left( \sqrt{b} - 1 ight)^{2}}{\left( \sqrt{b} - 1 ight)\left( \sqrt{b} + 1 ight)} = \frac{\sqrt{b} - 1}{\sqrt{b} + 1}

    Theo bài ra ta có:

    2C < 1 \Leftrightarrow C < \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{\sqrt{b} - 1}{\sqrt{b} + 1} < \frac{1}{2}

    \Leftrightarrow \frac{\sqrt{b} - 1}{\sqrt{b} + 1} - \frac{1}{2} < 0 \Leftrightarrow \frac{2\sqrt{b} - 2 - \sqrt{b} - 1}{2\left( \sqrt{b} + 1 ight)} < 0

    \Leftrightarrow \sqrt{b} - 3 < 0 \Leftrightarrow \sqrt{b} < 3 \Leftrightarrow b < 9

    Kết hợp với điều kiện xác định ta suy ra \left\{ \begin{matrix} 0 \leq b < 9 \\ b eq 1 \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 13: Vận dụng
    Tìm x để P nguyên

    Cho P = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}. Tìm tất cả các giá trị x để P nhận những giá trị nguyên.

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định x \geqslant 0,x e 1

    Ta có: P = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} = 1 + \frac{2}{{\sqrt x - 1}}

    Ta có P nhận những giá trị nguyên mà 1 \in \mathbb{Z} \Rightarrow \frac{2}{{\sqrt x - 1}} \in \mathbb{Z}

    \left( {\sqrt x - 1} ight) \in U\left( 2 ight) = \left\{ { - 2;2; - 1;1} ight\}

    Ta có bảng sau:

    {\sqrt x - 1}

    -2

    -1

    1

    2

    x

    ktm

    0

    4

    9

    => x \in \left \{0;4;9 ight \}

  • Câu 14: Vận dụng cao
    Tìm giá trị của biểu thức E

    Cho biểu thức C = a - 2\sqrt{a} với a \geq 0. Biểu thức B đạt giá trị nhỏ nhất khi a = a_{0}. Giá trị của biểu thức E = {a_{0}}^{2} + 1 là:

    Hướng dẫn:

    Với a \geq 0 ta có:

    C = a - 2\sqrt{a} = a - 2\sqrt{a} + 1 - 1 = \left( \sqrt{a} - 1 ight)^{2} - 1

    Vì \left( \sqrt{a} - 1 ight)^{2} \geq 0;\forall a \geq 0 nên \left( \sqrt{a} - 1 ight)^{2} - 1 \geq 1

    Suy ra C đạt giá trị nhỏ nhất khi dấu bằng xảy ra

    Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \sqrt{a} - 1 = 0 \Leftrightarrow a = 1 \Rightarrow a_{0} = 1

    \Rightarrow E = {a_{0}}^{2} + 1 = 2

  • Câu 15: Thông hiểu
    Ghi lời giải bài toán vào chỗ trống

    Rút gọn các biểu thức sau:

    a) 2\sqrt{5} - \sqrt{125} - \sqrt{80} + \sqrt{605}

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

    b) \frac{5 + \sqrt{10}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} + \frac{8}{1 - \sqrt{5}}

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

    c) \frac{3}{\sqrt{7} - 2} + \sqrt{\left( 3 - \sqrt{7} ight)^{2}}

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Rút gọn các biểu thức sau:

    a) 2\sqrt{5} - \sqrt{125} - \sqrt{80} + \sqrt{605}

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

    b) \frac{5 + \sqrt{10}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} + \frac{8}{1 - \sqrt{5}}

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

    c) \frac{3}{\sqrt{7} - 2} + \sqrt{\left( 3 - \sqrt{7} ight)^{2}}

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 16: Thông hiểu
    Chọn kết quả đúng

    Tính kết quả biểu thức \left( \frac{10 + 2\sqrt{10}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} + \frac{\sqrt{30} - \sqrt{6}}{\sqrt{5} - 1} ight):\frac{1}{2\sqrt{5} - \sqrt{6}}.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \left( \frac{10 + 2\sqrt{10}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} + \frac{\sqrt{30} - \sqrt{6}}{\sqrt{5} - 1} ight):\frac{1}{2\sqrt{5} - \sqrt{6}}

    = \left( \frac{\sqrt{100} - \sqrt{40}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} + \frac{\sqrt{30} - \sqrt{6}}{\sqrt{5} - 1} ight):\frac{1}{2\sqrt{5} - \sqrt{6}}

    = \left\lbrack \frac{\sqrt{20}\left( \sqrt{5} + \sqrt{2} ight)}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} + \frac{\sqrt{6}\left( \sqrt{5} - 1 ight)}{\sqrt{5} - 1} ightbrack:\frac{1}{2\sqrt{5} - \sqrt{6}}

    = \left( 2\sqrt{5} + \sqrt{6} ight)\left( 2\sqrt{5} - \sqrt{6} ight) = 14

  • Câu 17: Thông hiểu
    Tìm x

    Tìm x biết \sqrt{5 + \sqrt{x}} = 4?

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định \left\{ \begin{matrix}x \geq 0 \\5 + \sqrt{x} \geq 0 \\\end{matrix} ight.

    Ta có:

    \sqrt{5 + \sqrt{x}} = 4

    \Leftrightarrow 5 + \sqrt{x} =16

    \Leftrightarrow \sqrt{x} = 11\Leftrightarrow x = 121(tm)

    Vậy x = 121.

  • Câu 18: Vận dụng
    Tính giá trị của biểu thức

    Tính giá trị của biểu thức A = \frac{{2a.\sqrt {1 + {x^2}} }}{{\sqrt {1 + {x^2}} - x}} với x = \frac{1}{2}.\left( {\sqrt {\frac{{1 - a}}{2}} + \sqrt {\frac{a}{{1 - a}}} } ight)

    Kết quả của biểu thức là: 1

    Đáp án là:

    Tính giá trị của biểu thức A = \frac{{2a.\sqrt {1 + {x^2}} }}{{\sqrt {1 + {x^2}} - x}} với x = \frac{1}{2}.\left( {\sqrt {\frac{{1 - a}}{2}} + \sqrt {\frac{a}{{1 - a}}} } ight)

    Kết quả của biểu thức là: 1

     Ta có:

    \begin{matrix} x = \dfrac{1}{2}.\left( {\sqrt {\dfrac{{1 - a}}{2}} + \sqrt {\dfrac{a}{{1 - a}}} } ight) \hfill \\ \Rightarrow x = \dfrac{{1 - 2a}}{{2\sqrt {x\left( {1 - a} ight)} }} \hfill \\ \Rightarrow \sqrt {1 + {x^2}} = \dfrac{1}{{2\sqrt {x\left( {1 - a} ight)} }} \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} A = \dfrac{{2a.\sqrt {1 + {x^2}} }}{{\sqrt {1 + {x^2}} - x}} = \dfrac{{2a.\dfrac{1}{{2\sqrt {a.\left( {1 - a} ight)} }}}}{{\dfrac{1}{{2\sqrt {a.\left( {1 - a} ight)} }} - x}} = \dfrac{a}{{\sqrt {a\left( {1 - a} ight)} }}:\dfrac{{2a}}{{2\sqrt {a.\left( {1 - a} ight)} }} \hfill \\ = \dfrac{a}{{\sqrt {a\left( {1 - a} ight)} }}.\dfrac{{2\sqrt {a\left( {1 - a} ight)} }}{{2a}} = 1 \hfill \\ \end{matrix}

    => A = 1

  • Câu 19: Thông hiểu
    Thực hiện phép tính

    Kết quả của phép tính \sqrt[3]{27} - \sqrt[3]{- 125} bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta có: \sqrt[3]{27} - \sqrt[3]{- 125} =\sqrt[3]{3^{2}} - \sqrt[3]{( - 5)^{3}} = 3 - ( - 5) = 8

  • Câu 20: Vận dụng
    Tính giá trị của biểu thức

    Giá trị của biểu thức \frac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}} bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} \dfrac{{3 + \sqrt 3 }}{{\sqrt 2 + \sqrt {2 + \sqrt 3 } }} = \dfrac{{\sqrt 2 .\left( {3 + \sqrt 3 } ight)}}{{\sqrt 2 .\left( {\sqrt 2 + \sqrt {2 + \sqrt 3 } } ight)}} \hfill \\ = \dfrac{{\sqrt 2 .\left( {3 + \sqrt 3 } ight)}}{{2 + \sqrt {4 + \sqrt 6 } }} = \dfrac{{\sqrt 2 .\left( {3 + \sqrt 3 } ight)}}{{2 + \sqrt {{{\left( {1 + \sqrt 3 } ight)}^2}} }} \hfill \\ = \dfrac{{\sqrt 2 .\left( {3 + \sqrt 3 } ight)}}{{2 + 1 + \sqrt 3 }} = \dfrac{{\sqrt 2 .\left( {3 + \sqrt 3 } ight)}}{{3 + \sqrt 3 }} = \sqrt 2 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 21: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức

    Tính giá trị biểu thức \left( {\frac{{\sqrt {14} - \sqrt 7 }}{{1 - \sqrt 2 }} + \frac{{\sqrt {15} - \sqrt 5 }}{{1 - \sqrt 3 }}} ight):\frac{1}{{\sqrt 7 - \sqrt 5 }}

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} \left( {\dfrac{{\sqrt {14} - \sqrt 7 }}{{1 - \sqrt 2 }} + \dfrac{{\sqrt {15} - \sqrt 5 }}{{1 - \sqrt 3 }}} ight):\dfrac{1}{{\sqrt 7 - \sqrt 5 }} \hfill \\ = \left( {\dfrac{{\sqrt 2 .\sqrt 7 - \sqrt 7 }}{{1 - \sqrt 2 }} + \dfrac{{\sqrt 3 .\sqrt 5 - \sqrt 5 }}{{1 - \sqrt 3 }}} ight):\dfrac{1}{{\sqrt 7 - \sqrt 5 }} \hfill \\ = \left[ {\dfrac{{\sqrt 7 \left( {\sqrt 2 - 1} ight)}}{{1 - \sqrt 2 }} + \dfrac{{\sqrt 5 \left( {\sqrt 3 - 1} ight)}}{{1 - \sqrt 3 }}} ight].\left( {\sqrt 7 - \sqrt 5 } ight) \hfill \\ = \left( { - \sqrt 7 - \sqrt 5 } ight).\left( {\sqrt 7 - \sqrt 5 } ight) \hfill \\ = - \left( {\sqrt 7 + \sqrt 5 } ight).\left( {\sqrt 7 - \sqrt 5 } ight) \hfill \\ = - \left[ {{{\left( {\sqrt 7 } ight)}^2} - {{\left( {\sqrt 5 } ight)}^2}} ight] = - 7 + 5 = - 2 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 22: Nhận biết
    Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

    Đưa thừa số \sqrt{81(2 - y)^{4}} ra ngoài dấu căn ta được kết quả nào sau đây?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \sqrt{81(2 - y)^{4}} = \sqrt{9^{2}.\left\lbrack (2 - y)^{2} ightbrack^{2}}

    = 9.\left| (2 - y)^{2} ight| = 9.(2 - y)^{2}

  • Câu 23: Vận dụng
    Xác định số giá trị nguyên của x thỏa mãn điều kiện

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của x để biểu thức F = \frac{3}{\sqrt{x} - 1} nhận giá trị nguyên?

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định \left\{ \begin{gathered} x \geqslant 0 \hfill \\ \sqrt x - 1 e 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant 0 \hfill \\ x e 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Để biểu thức đạt giá trị nguyên thì \sqrt x - 1 \in U\left( 3 ight) = \left\{ { - 3; - 1;1;3} ight\}

    Vì \left\{ \begin{gathered} x \geqslant 0 \hfill \\ x e 1 \hfill \\ \end{gathered} ight. nên \sqrt x - 1 \geqslant - 1 \Rightarrow \sqrt x - 1 \in \left\{ { - 1;1;3} ight\}

    Với \sqrt x - 1 = - 1 \Rightarrow \sqrt x = 0 \Leftrightarrow x = 0\left( {tm} ight)

    Với \sqrt x - 1 = 1 \Rightarrow \sqrt x = 2 \Leftrightarrow x = 4\left( {tm} ight)

    Với \sqrt x - 1 = 3 \Rightarrow \sqrt x = 4 \Leftrightarrow x = 16\left( {tm} ight)

    Vậy có 3 giá trị nguyên của x thỏa mãn yêu cầu đề bài.

  • Câu 24: Thông hiểu
    Biểu thức nhận giá trị dương khi

    Biểu thức E = \frac{{{x^4} - 1}}{{{x^2} + 1}} nhận giá trị dương khi và chỉ khi:

    Gợi ý:

     Biểu thức B nhận giá trị dương có nghĩa là B > 0

    \frac{A}{B} > 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {A > 0} \\ {B > 0} \end{array}} ight.} \\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {A < 0} \\ {B < 0} \end{array}} ight.} \end{array}} ight.

    Hướng dẫn:

      Ta có:

    \begin{matrix} \dfrac{{{x^4} - 1}}{{{x^2} + 1}} > 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {{x^2} + 1} ight)\left( {{x^2} - 1} ight)}}{{{x^2} + 1}} > 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2} - 1 > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x > 1} \\ {x < - 1} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 25: Vận dụng cao
    Các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện

    Các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x\sqrt {1 - {y^2}} + y\sqrt {2 - {x^2}} + z\sqrt {3 - {x^2}} = 3 là:

    Hướng dẫn:

     \begin{matrix} x\sqrt {1 - {y^2}} + y\sqrt {2 - {x^2}} + z\sqrt {3 - {x^2}} = 3 \hfill \\ \Rightarrow 2x\sqrt {1 - {y^2}} + 2y\sqrt {2 - {x^2}} + 2z\sqrt {3 - {x^2}} = 6 \hfill \\ \end{matrix}

    Áp dụng bất đẳng thức 2ab \leqslant {a^2} + {b^2}

    2x\sqrt {1 - {y^2}} + 2y\sqrt {2 - {x^2}} + 2z\sqrt {3 - {x^2}} \leqslant {x^2} + 1 - {y^2} + {y^2} + 2 - {z^2} + {z^2} + 3 - {x^2} = 6

    Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \sqrt {1 - {y^2}} } \\ {y = \sqrt {2 - {x^2}} } \\ {z = \sqrt {3 - {x^2}} } \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} + {y^2} = 1} \\ {{y^2} + {z^2} = 2} \\ {{z^2} + {x^2} = 3} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1} \\ {y = 0} \\ {z = \sqrt 2 } \end{array}} ight.

  • Câu 26: Vận dụng
    Tìm các giá trị của a

    Cho biểu thức G = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 5} - \frac{5}{\sqrt{a} + 5} - \frac{10\sqrt{a}}{a - 25}. Có bao nhiêu giá trị của a thỏa mãn |G| = \frac{1}{4}?

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định a \geq 0,a eq 25

    Ta có:

    G = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 5} - \frac{5}{\sqrt{a} + 5} - \frac{10\sqrt{a}}{a - 25}

    G = \frac{\sqrt{a}\left( \sqrt{a} + 5 ight)}{\left( \sqrt{a} + 5 ight)\left( \sqrt{a} - 5 ight)} - \frac{5\left( \sqrt{a} - 5 ight)}{\left( \sqrt{a} + 5 ight)\left( \sqrt{a} - 5 ight)} - \frac{10\sqrt{a}}{\left( \sqrt{a} + 5 ight)\left( \sqrt{a} - 5 ight)}

    G = \frac{a - 10\sqrt{a} + 25}{\left( \sqrt{a} + 5 ight)\left( \sqrt{a} - 5 ight)} = \frac{\left( \sqrt{a} - 5 ight)^{2}}{\left( \sqrt{a} + 5 ight)\left( \sqrt{a} - 5 ight)} = \frac{\sqrt{a} - 5}{\sqrt{a} + 5}

    Xét |G| = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \left| \frac{\sqrt{a} - 5}{\sqrt{a} + 5} ight| = \frac{1}{4}(*)

    TH1: a > 25 phương trình (*) tương đương

    \frac{\sqrt{a} - 5}{\sqrt{a} + 5} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow 4\sqrt{a} - 20 = \sqrt{a} + 5

    \Leftrightarrow a = \left( \frac{25}{3} ight)^{2} = \frac{625}{9}(tm)

    TH2: a < 25 phương trình (*) tương đương

    \frac{\sqrt{a} - 5}{\sqrt{a} + 5} = - \frac{1}{4} \Leftrightarrow - 4\sqrt{a} + 20 = \sqrt{a} + 5

    \Leftrightarrow a = 3^{2} = 9(tm)

    Vậy có 2 giá trị của a thỏa mãn yêu cầu đề bài.

  • Câu 27: Vận dụng
    Đơn giản biểu thức F

    Tính giá trị biểu thức F = \frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + .... + \frac{1}{\sqrt{99} + \sqrt{100}}?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    F = \frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + .... + \frac{1}{\sqrt{99} + \sqrt{100}}

    F = \frac{1 - \sqrt{2}}{- 1} + \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{- 1} + .... + \frac{\sqrt{99} - \sqrt{100}}{- 1}

    F = - \left( 1 - \sqrt{2} + \sqrt{2} - \sqrt{3} + .... + \sqrt{99} - \sqrt{100} ight)

    F = - \left( 1 - \sqrt{100} ight) = \sqrt{100} - 1

  • Câu 28: Vận dụng cao
    Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A

    Xác định giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = \frac{2\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 2}?

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định x \geq 0

    Ta có:

    A = \frac{2\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 2} = \frac{2\sqrt{x} + 4 - 5}{\sqrt{x} + 2} = 2 - \frac{5}{\sqrt{x} + 2}

    Ta có: x \geq 0 \Rightarrow \sqrt{x} \geq 0 \Rightarrow \sqrt{x} + 2 \geq 2

    \Rightarrow \frac{5}{\sqrt{x} + 2} \leq \frac{5}{2} \Rightarrow 2 - \frac{5}{\sqrt{x} + 2} \leq 2 - \frac{5}{2} = - \frac{1}{2}

    Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 0

    Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng - \frac{1}{2} khi x = 0.

  • Câu 29: Nhận biết
    Tính giá trị của biểu thức

    Tính giá trị của biểu thức D = \sqrt {15{b^2} - 8b\sqrt {15} + 16} với: b = \sqrt {\frac{3}{5}}

    Hướng dẫn:

     D = \sqrt {15{b^2} - 8b\sqrt {15} + 16} = \sqrt {{{\left( {b\sqrt {15} - 4} ight)}^2}} = \left| {b\sqrt {15} - 4} ight|

    Thay số ta được D = 1

  • Câu 30: Vận dụng cao
    Giải phương trình

    Phương trình \sqrt {x + 1} + \sqrt {6x - 14} = {x^2} - 5 có bao nhiêu nghiệm?

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định:

    \left\{ \begin{gathered} x + 1 \geqslant 0 \hfill \\ 6x - 14 \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant - 1 \hfill \\ x \geqslant \frac{7}{3} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow x \geqslant \frac{7}{3}

    => {x^2} - 5 \geqslant 0

    Phương trình tương đương:

    \begin{matrix} \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} - 2 + \sqrt {6x - 14} - 2 = {x^2} - 9 \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{x - 3}}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + \dfrac{{6\left( {x - 3} ight)}}{{\sqrt {6x - 14} + 2}} = \left( {x - 3} ight)\left( {x + 3} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} \Leftrightarrow \left( {x - 3} ight).\left[ {\dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + \dfrac{6}{{\sqrt {6x - 14} + 2}} - \left( {x + 3} ight)} ight] = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x - 3 = 0 \hfill \\ \dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + \dfrac{6}{{\sqrt {6x - 14} + 2}} - \left( {x + 3} ight) = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 3 \hfill \\ \frac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + \frac{6}{{\sqrt {6x - 14} + 2}} - \left( {x + 3} ight) = 0\left( * ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Ta lại có:

    \begin{matrix} \left\{ \begin{gathered} \dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} < \dfrac{1}{2} \hfill \\ \dfrac{6}{{\sqrt {6x - 14} + 2}} < \dfrac{6}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + \dfrac{6}{{\sqrt {6x - 14} + 2}} < \dfrac{7}{2} \hfill \\ \end{matrix}

    Và x \geqslant \frac{7}{3} \Rightarrow x + 3 \geqslant \frac{7}{3} + 3 = \frac{{16}}{3}

    => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {VT\left( * ight) < \dfrac{7}{2}} \\ {VP\left( * ight) \geqslant \dfrac{{16}}{3}} \end{array} \Rightarrow \left( * ight)} ight. vô nghiệm.

    Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất x = 3.

0/30
30 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (27%):
    2/3
  • Thông hiểu (33%):
    2/3
  • Vận dụng (27%):
    2/3
  • Vận dụng cao (13%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
43 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này