Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Thi vào lớp 10 Ôn Chuyên đề Toán 9
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Ôn thi vào 10 môn Toán: Rút gọn biểu thức và các câu toán liên quan

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 30 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 30 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Thông hiểu
    Tìm các giá trị của tham số b thỏa mãn điều kiện

    Cho biểu thức C = \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b} - 1} - \frac{6\sqrt{b} - 4}{b - 1} + \frac{3}{\sqrt{b} + 1}. Tìm tất cả các giá trị của b sao cho 2C < 1?

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định \left\{ \begin{matrix} b \geq 0 \\ \sqrt{b} - 1 eq 0 \\ \sqrt{b} + 1 eq 0 \\ b - 1 eq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} b \geq 0 \\ b eq 1 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có:

    C = \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b} - 1} - \frac{6\sqrt{b} - 4}{b - 1} + \frac{3}{\sqrt{b} + 1}

    C = \frac{\sqrt{b}\left( \sqrt{b} + 1 ight) - 6\sqrt{b} + 4 + 3\left( \sqrt{b} - 1 ight)}{\left( \sqrt{b} - 1 ight)\left( \sqrt{b} + 1 ight)}

    C = \frac{b - 2\sqrt{b} + 1}{\left( \sqrt{b} - 1 ight)\left( \sqrt{b} + 1 ight)}

    C = \frac{\left( \sqrt{b} - 1 ight)^{2}}{\left( \sqrt{b} - 1 ight)\left( \sqrt{b} + 1 ight)} = \frac{\sqrt{b} - 1}{\sqrt{b} + 1}

    Theo bài ra ta có:

    2C < 1 \Leftrightarrow C < \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{\sqrt{b} - 1}{\sqrt{b} + 1} < \frac{1}{2}

    \Leftrightarrow \frac{\sqrt{b} - 1}{\sqrt{b} + 1} - \frac{1}{2} < 0 \Leftrightarrow \frac{2\sqrt{b} - 2 - \sqrt{b} - 1}{2\left( \sqrt{b} + 1 ight)} < 0

    \Leftrightarrow \sqrt{b} - 3 < 0 \Leftrightarrow \sqrt{b} < 3 \Leftrightarrow b < 9

    Kết hợp với điều kiện xác định ta suy ra \left\{ \begin{matrix} 0 \leq b < 9 \\ b eq 1 \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 2: Vận dụng
    Tính giá trị biểu thức

    Cho \sqrt{16-2x+x^{2}}-\sqrt{9-2x+x^{2}}=1. Tính giá trị của biểu thức A=\sqrt{16-2x+x^{2}}+\sqrt{9-2x+x^{2}}

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} dk:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {16 - 2x + {x^2} \geqslant 0} \\ {9 - 2x + {x^2} \geqslant 0} \end{array}} ight. \hfill \\ \sqrt {16 - 2x + {x^2}} - \sqrt {9 - 2x + {x^2}} = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {\sqrt {16 - 2x + {x^2}} - \sqrt {9 - 2x + {x^2}} } ight)\left( {\sqrt {16 - 2x + {x^2}} + \sqrt {9 - 2x + {x^2}} } ight)}}{{\sqrt {16 - 2x + {x^2}} + \sqrt {9 - 2x + {x^2}} }} = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {\sqrt {16 - 2x + {x^2}} } ight)}^2} - {{\left( {\sqrt {9 - 2x + {x^2}} } ight)}^2}}}{{\sqrt {16 - 2x + {x^2}} + \sqrt {9 - 2x + {x^2}} }} = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{16 - 2x + {x^2} - 9 + 2x - {x^2}}}{{\sqrt {16 - 2x + {x^2}} + \sqrt {9 - 2x + {x^2}} }} = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{7}{A} = 1 \Leftrightarrow A = 7 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 3: Nhận biết
    Xác định giá trị biểu thức C

    Tính giá trị biểu thức C = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{45} + \sqrt{18}}?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    C = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{45} + \sqrt{18}} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{3\sqrt{5} + 3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{3\left( \sqrt{5} + \sqrt{2} ight)} = \frac{1}{3}

  • Câu 4: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức

    Thu gọn biểu thức \sqrt{\left( \sqrt{7} - 5 ight)^{2}} + \sqrt{\left( 2 - \sqrt{7} ight)^{2}}ta được kết quả bằng

    Hướng dẫn:

    Theo bài ra ta có:

    \sqrt{\left( \sqrt{7} - 5 ight)^{2}} + \sqrt{\left( 2 - \sqrt{7} ight)^{2}}

    = \left| \sqrt{7} - 5 ight| + \left| 2 - \sqrt{7} ight|

    = 5 - \sqrt{7} + \sqrt{7} - 2 = 3

  • Câu 5: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức P

    Biết rằng x = \sqrt{6 - 2\sqrt{5}} - \sqrt{5}. Khi đó giá trị biểu thức P = x^{3} - 8x + 1 bằng bao nhiêu?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    x = \sqrt{6 - 2\sqrt{5}} - \sqrt{5} = \sqrt{5 - 2\sqrt{5} + 1} - \sqrt{5}

    = \sqrt{\left( \sqrt{5} - 1 ight)^{2}} - \sqrt{5} = \left| \sqrt{5} - 1 ight| - \sqrt{5}

    = \sqrt{5} - 1 - \sqrt{5} = - 1

    Thay x = - 1 vào biểu thức P ta được:

    P = ( - 1)^{3} - 8.( - 1) + 1 = 8

  • Câu 6: Vận dụng
    Tìm x để P nguyên

    Cho P = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}. Tìm tất cả các giá trị x để P nhận những giá trị nguyên.

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định x \geqslant 0,x e 1

    Ta có: P = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} = 1 + \frac{2}{{\sqrt x - 1}}

    Ta có P nhận những giá trị nguyên mà 1 \in \mathbb{Z} \Rightarrow \frac{2}{{\sqrt x - 1}} \in \mathbb{Z}

    \left( {\sqrt x - 1} ight) \in U\left( 2 ight) = \left\{ { - 2;2; - 1;1} ight\}

    Ta có bảng sau:

    {\sqrt x - 1}

    -2

    -1

    1

    2

    x

    ktm

    0

    4

    9

    => x \in \left \{0;4;9 ight \}

  • Câu 7: Vận dụng
    Tính giá trị của biểu thức

    Tính giá trị của biểu thức A = \frac{{2a.\sqrt {1 + {x^2}} }}{{\sqrt {1 + {x^2}} - x}} với x = \frac{1}{2}.\left( {\sqrt {\frac{{1 - a}}{2}} + \sqrt {\frac{a}{{1 - a}}} } ight)

    Kết quả của biểu thức là: 1

    Đáp án là:

    Tính giá trị của biểu thức A = \frac{{2a.\sqrt {1 + {x^2}} }}{{\sqrt {1 + {x^2}} - x}} với x = \frac{1}{2}.\left( {\sqrt {\frac{{1 - a}}{2}} + \sqrt {\frac{a}{{1 - a}}} } ight)

    Kết quả của biểu thức là: 1

     Ta có:

    \begin{matrix} x = \dfrac{1}{2}.\left( {\sqrt {\dfrac{{1 - a}}{2}} + \sqrt {\dfrac{a}{{1 - a}}} } ight) \hfill \\ \Rightarrow x = \dfrac{{1 - 2a}}{{2\sqrt {x\left( {1 - a} ight)} }} \hfill \\ \Rightarrow \sqrt {1 + {x^2}} = \dfrac{1}{{2\sqrt {x\left( {1 - a} ight)} }} \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} A = \dfrac{{2a.\sqrt {1 + {x^2}} }}{{\sqrt {1 + {x^2}} - x}} = \dfrac{{2a.\dfrac{1}{{2\sqrt {a.\left( {1 - a} ight)} }}}}{{\dfrac{1}{{2\sqrt {a.\left( {1 - a} ight)} }} - x}} = \dfrac{a}{{\sqrt {a\left( {1 - a} ight)} }}:\dfrac{{2a}}{{2\sqrt {a.\left( {1 - a} ight)} }} \hfill \\ = \dfrac{a}{{\sqrt {a\left( {1 - a} ight)} }}.\dfrac{{2\sqrt {a\left( {1 - a} ight)} }}{{2a}} = 1 \hfill \\ \end{matrix}

    => A = 1

  • Câu 8: Nhận biết
    Tìm x để biểu thức có nghĩa

    Điều kiện xác định của biểu thức \frac{x\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x^{2} + 1}} là:

    Hướng dẫn:

    Vì \frac{{x\sqrt x + 3}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} có nghĩa khi và chỉ khi \left\{ \begin{gathered} x \geqslant 0 \hfill \\ {x^2} + 1 > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. mà {x^2} + 1 > 0;\forall x nên biểu thức đã cho có nghĩa với mọi x \geqslant 0.

  • Câu 9: Nhận biết
    Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

    Giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = x + \sqrt x - 1 là:

    Hướng dẫn:

     Ta có:

    \begin{matrix} C = x + \sqrt x - 1 \hfill \\ \Rightarrow C = {\left( {\sqrt x } ight)^2} + 2.\sqrt x .\dfrac{1}{2} + {\left( {\dfrac{1}{2}} ight)^2} - {\left( {\dfrac{1}{2}} ight)^2} - 1 \hfill \\ \Rightarrow C = \left[ {{{\left( {\sqrt x } ight)}^2} + 2.\sqrt x .\dfrac{1}{2} + {{\left( {\dfrac{1}{2}} ight)}^2}} ight] - \dfrac{5}{4} \hfill \\ \Rightarrow C = {\left( {\sqrt x + \dfrac{1}{2}} ight)^2} - \dfrac{5}{4} \hfill \\ \end{matrix}

    Vì \sqrt x \geqslant 0,\forall x \geqslant 0 \Rightarrow \sqrt x + \frac{1}{2} \geqslant \frac{1}{2}

    \begin{matrix} {\left( {\sqrt x + \dfrac{1}{2}} ight)^2} \geqslant \dfrac{1}{4} \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x + \dfrac{1}{2}} ight)^2} - \dfrac{5}{4} \geqslant \dfrac{1}{4} - \dfrac{5}{4} \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x + \dfrac{1}{2}} ight)^2} - \dfrac{5}{4} \geqslant - 1 \hfill \\ \Rightarrow {P_{\min }} = - 1 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 10: Vận dụng
    Tìm các giá trị của x để biểu thức

    Tìm các giá trị của x để biểu thức B = \frac{5}{{3\sqrt x + 2}} \in \mathbb{Z} là:

    Hướng dẫn:

    Ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0 \leqslant B \leqslant \dfrac{5}{2}} \\ {B \in \mathbb{Z}} \end{array}} ight. \Rightarrow B \in \left\{ {1;2} ight\}

    => B = 1 \Leftrightarrow \frac{5}{{3\sqrt x + 2}} = 1 \Rightarrow x = 1

    =>  B = 2 \Leftrightarrow \frac{5}{{3\sqrt x + 2}} = 2 \Rightarrow x = 2

  • Câu 11: Vận dụng cao
    Tính giá trị biểu thức M = x + y

    Biết \left( {x + \sqrt {{x^2} + 3} } ight).\left( {y + \sqrt {{y^2} + 3} } ight) = 3. Tính giá trị biểu thức M = x + y

    Kết quả của biểu thức là: 0||1||4||5

    Đáp án là:

    Biết \left( {x + \sqrt {{x^2} + 3} } ight).\left( {y + \sqrt {{y^2} + 3} } ight) = 3. Tính giá trị biểu thức M = x + y

    Kết quả của biểu thức là: 0||1||4||5

     Ta có:

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {x + \sqrt {{x^2} + 3} } ight).\left( {x - \sqrt {{x^2} + 3} } ight)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 3} } ight) = 3\left( {x - \sqrt {{x^2} + 3} } ight)} \\ {\left( {x + \sqrt {{x^2} + 3} } ight).\left( {y + \sqrt {{y^2} + 3} } ight).\left( {y - \sqrt {{y^2} + 3} } ight) = 3\left( {y - \sqrt {{y^2} + 3} } ight)} \end{array}} ight.

    => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y + \sqrt {{y^2} + 3} = - \left( {x - \sqrt {{x^2} + 3} } ight)} \\ {\left( {x + \sqrt {{x^2} + 3} } ight) = - \left( {y - \sqrt {{y^2} + 3} } ight)} \end{array}} ight.

    Cộng hai vế của phương trình

    => x = -y

    => x + y = 0

    => M = 0

  • Câu 12: Nhận biết
    Tính giá trị biểu thức

    Giá trị của biểu thức \sqrt{144 + 25} là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = \sqrt{13^{3}} = 13

  • Câu 13: Vận dụng cao
    Rút gọn biểu thức Q

    Đơn giản biểu thức Q = \sqrt{1 + \sqrt{3 + \sqrt{13 + 4\sqrt{3}}}} + \sqrt{1 - \sqrt{3 - \sqrt{13 - 4\sqrt{3}}}} thu được kết quả là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    Q = \sqrt{1 + \sqrt{3 + \sqrt{13 + 4\sqrt{3}}}} + \sqrt{1 - \sqrt{3 - \sqrt{13 - 4\sqrt{3}}}}

    Q = \sqrt{1 + \sqrt{3 + \sqrt{12 + 2.2\sqrt{3} + 1}}} + \sqrt{1 - \sqrt{3 - \sqrt{12 - 2.2\sqrt{3} + 1}}}

    Q = \sqrt{1 + \sqrt{3 + \sqrt{\left( 2\sqrt{3} ight)^{2} + 2.2\sqrt{3} + 1^{2}}}} + \sqrt{1 - \sqrt{3 - \sqrt{\left( 2\sqrt{3} ight)^{2} - 2.2\sqrt{3} + 1^{2}}}}

    Q = \sqrt{1 + \sqrt{3 + \sqrt{\left( 2\sqrt{3} + 1 ight)^{2}}}} + \sqrt{1 - \sqrt{3 - \sqrt{\left( 2\sqrt{3} - 1 ight)^{2}}}}

    Q = \sqrt{1 + \sqrt{3 + 2\sqrt{3} + 1}} + \sqrt{1 - \sqrt{3 - 2\sqrt{3} + 1}}

    Q = \sqrt{1 + \sqrt{\left( \sqrt{3} ight)^{2} + 2\sqrt{3} + 1^{2}}} + \sqrt{1 - \sqrt{\left( \sqrt{3} ight)^{2} - 2\sqrt{3} + 1^{2}}}

    Q = \sqrt{1 + \sqrt{\left( \sqrt{3} + 1 ight)^{2}}} + \sqrt{1 - \sqrt{\left( \sqrt{3} - 1 ight)^{2}}}

    Q = \sqrt{1 + \sqrt{3} + 1} + \sqrt{1 - \sqrt{3} - 1}

    Q = \sqrt{2 + \sqrt{3}} + \sqrt{2 - \sqrt{3}}

    Nhân cả hai vế của biểu thức với \sqrt{2}

    \Rightarrow \sqrt{2}Q = \sqrt{2}.\left\lbrack \sqrt{2 + \sqrt{3}} + \sqrt{2 - \sqrt{3}} ightbrack

    \Rightarrow \sqrt{2}Q = \sqrt{4 + 2\sqrt{3}} + \sqrt{4 - 2\sqrt{3}}

    \Rightarrow \sqrt{2}Q = \sqrt{\left( \sqrt{3} + 1 ight)^{2}} + \sqrt{\left( \sqrt{3} - 1 ight)^{2}}

    \Rightarrow \sqrt{2}Q = \sqrt{3} + 1 + \sqrt{3} - 1

    \Rightarrow \sqrt{2}Q = 2\sqrt{3} \Rightarrow Q = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \sqrt{6}

  • Câu 14: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức

    Tính giá trị biểu thức \left( {\dfrac{{10 + 2\sqrt {10} }}{{\sqrt 5 + \sqrt 2 }} + \dfrac{{\sqrt {30} - \sqrt 6 }}{{\sqrt 5 - 1}}} ight):\dfrac{1}{{2\sqrt 5 - \sqrt 6 }}

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} \left( {\dfrac{{10 + 2\sqrt {10} }}{{\sqrt 5 + \sqrt 2 }} + \dfrac{{\sqrt {30} - \sqrt 6 }}{{\sqrt 5 - 1}}} ight):\dfrac{1}{{2\sqrt 5 - \sqrt 6 }} \hfill \\ = \left( {\dfrac{{\sqrt {100} + \sqrt {40} }}{{\sqrt 5 + \sqrt 2 }} + \dfrac{{\sqrt 5 .\sqrt 6 - \sqrt 6 }}{{\sqrt 5 - 1}}} ight):\dfrac{1}{{2\sqrt 5 - \sqrt 6 }} \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} = \left[ {\dfrac{{\sqrt {20} \left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } ight)}}{{\sqrt 5 + \sqrt 2 }} + \dfrac{{\sqrt 6 \left( {\sqrt 5 - 1} ight)}}{{\sqrt 5 - 1}}} ight].\left( {2\sqrt 5 - \sqrt 6 } ight) \hfill \\ = \left( {\sqrt {20} + \sqrt 6 } ight).\left( {2\sqrt 5 - \sqrt 6 } ight) \hfill \\ = \left( {2\sqrt 5 + \sqrt 6 } ight).\left( {2\sqrt 5 - \sqrt 6 } ight) \hfill \\ = {\left( {2\sqrt 5 } ight)^2} - {\left( {\sqrt 6 } ight)^2} = 20 - 6 = 14 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 15: Vận dụng cao
    Tính giá trị lớn nhất của biểu thức T

    Với x \geq 0;x eq 1, cho biểu thức T = \left( \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 1} - \frac{\sqrt{x} + 2}{x + 2\sqrt{x} + 1} ight).\frac{(1 - x)^{2}}{2}. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    T = \left( \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 1} - \frac{\sqrt{x} + 2}{x + 2\sqrt{x} + 1} ight).\frac{(1 - x)^{2}}{2}

    T = \left\lbrack \frac{\sqrt{x} - 2}{\left( \sqrt{x} - 1 ight)\left( \sqrt{x} + 1 ight)} - \frac{\sqrt{x} + 2}{\left( \sqrt{x} + 1 ight)^{2}} ightbrack.\frac{(x - 1)^{2}}{2}

    T = \left\lbrack \frac{\left( \sqrt{x} - 2 ight)\left( \sqrt{x} + 1 ight)}{\left( \sqrt{x} - 1 ight)\left( \sqrt{x} + 1 ight)^{2}} - \frac{\left( \sqrt{x} + 2 ight)\left( \sqrt{x} - 1 ight)}{\left( \sqrt{x} - 1 ight)\left( \sqrt{x} + 1 ight)^{2}} ightbrack.\frac{\left( \sqrt{x} - 1 ight)^{2}\left( \sqrt{x} + 1 ight)^{2}}{2}

    T = \left\lbrack \frac{x - \sqrt{x} - 2 - x - \sqrt{x} + 2}{\left( \sqrt{x} - 1 ight)\left( \sqrt{x} + 1 ight)^{2}} ightbrack.\frac{\left( \sqrt{x} - 1 ight)^{2}\left( \sqrt{x} + 1 ight)^{2}}{2}

    T = \sqrt{x} - x

    Với x \geq 0;x eq 1 ta có:

    T = \sqrt{x} - x = - \left( x - \sqrt{x} ight)

    = \frac{1}{4} - \left( x - \sqrt{x} + \frac{1}{4} ight)

    = \frac{1}{4} - \left( \sqrt{x} - \frac{1}{2} ight)^{2}

    Nhận thấy \frac{1}{4} - \left( \sqrt{x} - \frac{1}{2} ight)^{2} \leq \frac{1}{4} với x \geq 0;x eq 1

    Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \sqrt{x} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}(tm)

    Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức T bằng \frac{1}{4} khi x = \frac{1}{4}.

  • Câu 16: Thông hiểu
    Tìm nghiệm phương trình

    Phương trình x+\sqrt{(x-1)^{2}}=3 có:

    Hướng dẫn:

    Điều kiện: \forall x \in \mathbb{R}

    Phương trình tương đương:

    \begin{matrix} x + \sqrt {{{(x - 1)}^2}} = 3 \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt {{{(x - 1)}^2}} = 3 - x \hfill \\ \Leftrightarrow \left| {x - 1} ight| = 3 - x \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x - 1 = 3 - x} \\ {x - 1 = - 3 + x} \end{array}} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 2\left( {tm} ight)} \\ {0x = - 2\left( L ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy phương trình có một nghiệm dương.

  • Câu 17: Thông hiểu
    Giải phương trình chứa căn

    Cho phương trình \sqrt{x^{2} - 6x + 9} = 2x + 1. Xác định tập nghiệm của phương trình đã cho.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \sqrt{x^{2} - 6x + 9} = 2x +1

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x \geq - \dfrac{1}{2} \\x^{2} - 6x + 9 = (2x + 1)^{2} \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x \geq - \dfrac{1}{2} \\3x^{2} + 10x - 8 = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x \geq - \dfrac{1}{2} \\\left\lbrack \begin{matrix}x = \dfrac{2}{3}(tm) \\x = - 4(ktm) \\\end{matrix} ight.\ \\\end{matrix} ight.

    Vậy tập nghiệm phương trinh là S =\left\{ \frac{2}{3} ight\}.

  • Câu 18: Nhận biết
    Chọn câu đúng

    Căn bậc hai của 8 là (Kết quả làm tròn đế hàng phần trăm)

    Hướng dẫn:

    Căn bậc hai của 8 là: \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2,83.

  • Câu 19: Thông hiểu
    Giải phương trình

    Phương trình \sqrt{4x^{2} - 20x + 25} = 5 - 2x có nghiệm là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \sqrt{4x^{2} - 20x + 25} = 5 -2x

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}5 - 2x \geq 0 \\4x^{2} - 20x + 25 = (5 - 2x)^{2} \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x \leq \dfrac{5}{2} \\(2x - 5)^{2} = (5 - 2x)^{2} \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow x \leq\frac{5}{2}

  • Câu 20: Nhận biết
    Tính giá trị của biểu thức

    Tính giá trị của biểu thức D = \sqrt {15{b^2} - 8b\sqrt {15} + 16} với: b = \sqrt {\frac{3}{5}}

    Hướng dẫn:

     D = \sqrt {15{b^2} - 8b\sqrt {15} + 16} = \sqrt {{{\left( {b\sqrt {15} - 4} ight)}^2}} = \left| {b\sqrt {15} - 4} ight|

    Thay số ta được D = 1

  • Câu 21: Nhận biết
    Chọn khẳng định đúng

    Cho a;b là hai số không âm. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Với a;b là hai số không âm ta có \sqrt{ab} = \sqrt{a.b}

  • Câu 22: Thông hiểu
    Đơn giản biểu thức K

    Xác định giá trị của biểu thức K = \left( 4 - \sqrt{15} ight)\left( \sqrt{10} + \sqrt{6} ight)\left( 4 + \sqrt{15} ight)?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    K = \left( 4 - \sqrt{15} ight)\left( \sqrt{10} + \sqrt{6} ight)\left( 4 + \sqrt{15} ight)

    K = 2\left( 4 - \sqrt{15} ight)\left( \sqrt{5} + \sqrt{3} ight)\left( 4 + \sqrt{15} ight)

    K = \left( 4 - \sqrt{15} ight)\left( \sqrt{5} + \sqrt{3} ight)\left( 8 + 2\sqrt{15} ight)

    K = \left( 4 - \sqrt{15} ight)\left( \sqrt{5} + \sqrt{3} ight)\left( 5 + 2\sqrt{5}.\sqrt{3} + 3 ight)

    K = \left( 4 - \sqrt{15} ight)\left( \sqrt{5} + \sqrt{3} ight)\left( \sqrt{5} + \sqrt{3} ight)

    K = \left( 4 - \sqrt{15} ight)\left( \sqrt{5} + \sqrt{3} ight)^{2}

    K = \left( 4 - \sqrt{15} ight)\left( 8 + 2\sqrt{15} ight)

    K = 2.\left( 4 - \sqrt{15} ight)\left( 4 + \sqrt{15} ight)

    K = 2.\left( 4^{2} - 15 ight) = 2.(16 - 15) = 2

  • Câu 23: Thông hiểu
    Ghi lời giải bài toán vào chỗ trống

    Rút gọn các biểu thức sau:

    a) 2\sqrt{5} - \sqrt{125} - \sqrt{80} + \sqrt{605}

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

    b) \frac{5 + \sqrt{10}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} + \frac{8}{1 - \sqrt{5}}

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

    c) \frac{3}{\sqrt{7} - 2} + \sqrt{\left( 3 - \sqrt{7} ight)^{2}}

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Rút gọn các biểu thức sau:

    a) 2\sqrt{5} - \sqrt{125} - \sqrt{80} + \sqrt{605}

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

    b) \frac{5 + \sqrt{10}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} + \frac{8}{1 - \sqrt{5}}

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

    c) \frac{3}{\sqrt{7} - 2} + \sqrt{\left( 3 - \sqrt{7} ight)^{2}}

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 24: Nhận biết
    Giá trị của biểu thức

    Giá trị của biểu thức: P = \frac{{\sqrt x - 1}}{{x - 1}} tại x = {\left( {1 - \sqrt 2 } ight)^2}

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    P = \frac{{\sqrt x - 1}}{{x - 1}} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} ight)\left( {\sqrt x + 1} ight)}} = \frac{1}{{\sqrt x + 1}}

    Mặt khác x = {\left( {1 - \sqrt 2 } ight)^2} \Rightarrow \sqrt x = \sqrt 2 - 1

    Thay x vào biểu thức P ta có: P = \frac{1}{{\sqrt 2 - 1 + 1}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}

  • Câu 25: Vận dụng
    Rút gọn biểu thức B

    Cho biểu thức B = \frac{1 - a^{2}}{48}.\sqrt{\frac{36}{(a - 1)^{2}}} với a < 1. Sau khi rút gọn biểu thức ta được kết quả là:

    Hướng dẫn:

    Với a < 0 \Rightarrow a - 1 < 0. Ta có:

    B = \frac{1 - a^{2}}{48}.\sqrt{\frac{36}{(a - 1)^{2}}}

    = \frac{(1 - a)(1 + a)}{48}.\frac{6}{|a - 1|}

    = \frac{(1 - a)(1 + a)}{48}.\frac{6}{1 - a} = \frac{1}{8}(1 + a)

  • Câu 26: Thông hiểu
    Rút gọn biểu thức

    Rút gọn biểu thức Q=\sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{4-\sqrt{7}}-\sqrt{2}

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} Q = \sqrt {4 + \sqrt 7 } - \sqrt {4 - \sqrt 7 } - \sqrt 2 \hfill \\ Q = \dfrac{{\sqrt 2 \left( {\sqrt {4 + \sqrt 7 } - \sqrt {4 - \sqrt 7 } - \sqrt 2 } ight)}}{{\sqrt 2 }} \hfill \\ Q = \dfrac{{\sqrt 2 .\sqrt {4 + \sqrt 7 } - \sqrt 2 .\sqrt {4 - \sqrt 7 } - \sqrt 2 .\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} Q = \dfrac{{\sqrt {8 + 2\sqrt 7 } - \sqrt {8 - 2\sqrt 7 } - 2}}{{\sqrt 2 }} \hfill \\ Q = \dfrac{{\sqrt {7 + 2\sqrt 7 + 1} - \sqrt {7 - 2\sqrt 7 + 1} - 2}}{{\sqrt 2 }} \hfill \\ Q = \dfrac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 7 + 1} ight)}^2}} - \sqrt {{{\left( {\sqrt 7 - 1} ight)}^2}} - 2}}{{\sqrt 2 }} \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} Q = \dfrac{{\left| {\sqrt 7 + 1} ight| - \left| {\sqrt 7 - 1} ight| - 2}}{{\sqrt 2 }} \hfill \\ Q = \dfrac{{\sqrt 7 + 1 - \sqrt 7 + 1 - 2}}{{\sqrt 2 }} \hfill \\ Q = 0 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 27: Vận dụng cao
    Các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện

    Các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x\sqrt {1 - {y^2}} + y\sqrt {2 - {x^2}} + z\sqrt {3 - {x^2}} = 3 là:

    Hướng dẫn:

     \begin{matrix} x\sqrt {1 - {y^2}} + y\sqrt {2 - {x^2}} + z\sqrt {3 - {x^2}} = 3 \hfill \\ \Rightarrow 2x\sqrt {1 - {y^2}} + 2y\sqrt {2 - {x^2}} + 2z\sqrt {3 - {x^2}} = 6 \hfill \\ \end{matrix}

    Áp dụng bất đẳng thức 2ab \leqslant {a^2} + {b^2}

    2x\sqrt {1 - {y^2}} + 2y\sqrt {2 - {x^2}} + 2z\sqrt {3 - {x^2}} \leqslant {x^2} + 1 - {y^2} + {y^2} + 2 - {z^2} + {z^2} + 3 - {x^2} = 6

    Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \sqrt {1 - {y^2}} } \\ {y = \sqrt {2 - {x^2}} } \\ {z = \sqrt {3 - {x^2}} } \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} + {y^2} = 1} \\ {{y^2} + {z^2} = 2} \\ {{z^2} + {x^2} = 3} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1} \\ {y = 0} \\ {z = \sqrt 2 } \end{array}} ight.

  • Câu 28: Vận dụng
    Tìm các giá trị của a

    Cho biểu thức G = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 5} - \frac{5}{\sqrt{a} + 5} - \frac{10\sqrt{a}}{a - 25}. Có bao nhiêu giá trị của a thỏa mãn |G| = \frac{1}{4}?

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định a \geq 0,a eq 25

    Ta có:

    G = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 5} - \frac{5}{\sqrt{a} + 5} - \frac{10\sqrt{a}}{a - 25}

    G = \frac{\sqrt{a}\left( \sqrt{a} + 5 ight)}{\left( \sqrt{a} + 5 ight)\left( \sqrt{a} - 5 ight)} - \frac{5\left( \sqrt{a} - 5 ight)}{\left( \sqrt{a} + 5 ight)\left( \sqrt{a} - 5 ight)} - \frac{10\sqrt{a}}{\left( \sqrt{a} + 5 ight)\left( \sqrt{a} - 5 ight)}

    G = \frac{a - 10\sqrt{a} + 25}{\left( \sqrt{a} + 5 ight)\left( \sqrt{a} - 5 ight)} = \frac{\left( \sqrt{a} - 5 ight)^{2}}{\left( \sqrt{a} + 5 ight)\left( \sqrt{a} - 5 ight)} = \frac{\sqrt{a} - 5}{\sqrt{a} + 5}

    Xét |G| = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \left| \frac{\sqrt{a} - 5}{\sqrt{a} + 5} ight| = \frac{1}{4}(*)

    TH1: a > 25 phương trình (*) tương đương

    \frac{\sqrt{a} - 5}{\sqrt{a} + 5} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow 4\sqrt{a} - 20 = \sqrt{a} + 5

    \Leftrightarrow a = \left( \frac{25}{3} ight)^{2} = \frac{625}{9}(tm)

    TH2: a < 25 phương trình (*) tương đương

    \frac{\sqrt{a} - 5}{\sqrt{a} + 5} = - \frac{1}{4} \Leftrightarrow - 4\sqrt{a} + 20 = \sqrt{a} + 5

    \Leftrightarrow a = 3^{2} = 9(tm)

    Vậy có 2 giá trị của a thỏa mãn yêu cầu đề bài.

  • Câu 29: Vận dụng
    Xác định số nghiệm của phương trình

    Số nghiệm của phương trình \frac{2}{3}\sqrt {9x - 9} - \frac{1}{4}\sqrt {16x -1 6} + 27\sqrt {\frac{{x + 1}}{{81}}} = 4 là:

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định: 

    \begin{matrix} \left\{ \begin{gathered} 9x - 9 \geqslant 0 \hfill \\ 16x - 16 \geqslant 0 \hfill \\ \dfrac{{x + 1}}{{81}} \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 9\left( {x - 1} ight) \geqslant 0 \hfill \\ 16\left( {x - 1} ight) \geqslant 0 \hfill \\ x + 1 \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \Rightarrow x + 1 \geqslant 0 \Rightarrow x \geqslant - 1 \hfill \\ \end{matrix}

    Phương trình tương đương:

    \begin{matrix} \Leftrightarrow \dfrac{2}{3}\sqrt {9\left( {x - 1} ight)} - \dfrac{1}{4}\sqrt {16\left( {x - 1} ight)} + 27\sqrt {\dfrac{1}{{81}}\left( {x + 1} ight)} = 4 \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{2}{3}.3\sqrt {x - 1} - \dfrac{1}{4}.4\sqrt {x - 1} + 27.\dfrac{1}{9}\sqrt {x - 1} = 4 \hfill \\ \Leftrightarrow 2\sqrt {x - 1} - \sqrt {x - 1} + 3\sqrt {x - 1} = 4 \hfill \\ \Leftrightarrow 4\sqrt {x - 1} = 4 \Leftrightarrow \sqrt {x - 1} = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow x - 1 = 1 \Leftrightarrow x = 2\left( {tm} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm.

  • Câu 30: Vận dụng
    Tìm các giá trị nguyên của x để N nguyên

    Cho biểu thức N = \frac{7 + 3\sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}};(x \geq 0). Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của x để biểu thức N nhận giá trị nguyên?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    N = \frac{7 + 3\sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}} = \frac{3\sqrt{x} + 3 + 4}{\sqrt{x} + 1} = 3 + \frac{4}{\sqrt{x} + 1}

    Để N\mathbb{\in Z \Rightarrow}\frac{4}{\sqrt{x} + 1}\mathbb{\in Z} hay \sqrt{x} + 1 \in U(4) = \left\{ \pm 4; \pm 2; \pm 1 ight\}

    Vì \Rightarrow \sqrt{x} \in \left\{ - 5; - 3; - 2;0;1;3 ight\} với mọi x \geq 0 \Rightarrow \sqrt{x} \in \left\{ 0;1;3 ight\} \Rightarrow x \in \left\{ 0;1;9 ight\}

    Vậy có 3 giá trị nguyên của x thỏa mãn điều kiện bài toán.

0/30
30 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (27%):
    2/3
  • Thông hiểu (33%):
    2/3
  • Vận dụng (27%):
    2/3
  • Vận dụng cao (13%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
45 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này