Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Thi vào lớp 10 Ôn Chuyên đề Toán 9
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Ôn thi vào 10 môn Toán: Rút gọn biểu thức và các câu toán liên quan

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 30 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 30 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Thông hiểu
    Tìm các giá trị của tham số b thỏa mãn điều kiện

    Cho biểu thức C = \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b} - 1} - \frac{6\sqrt{b} - 4}{b - 1} + \frac{3}{\sqrt{b} + 1}. Tìm tất cả các giá trị của b sao cho 2C < 1?

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định \left\{ \begin{matrix} b \geq 0 \\ \sqrt{b} - 1 eq 0 \\ \sqrt{b} + 1 eq 0 \\ b - 1 eq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} b \geq 0 \\ b eq 1 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có:

    C = \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b} - 1} - \frac{6\sqrt{b} - 4}{b - 1} + \frac{3}{\sqrt{b} + 1}

    C = \frac{\sqrt{b}\left( \sqrt{b} + 1 ight) - 6\sqrt{b} + 4 + 3\left( \sqrt{b} - 1 ight)}{\left( \sqrt{b} - 1 ight)\left( \sqrt{b} + 1 ight)}

    C = \frac{b - 2\sqrt{b} + 1}{\left( \sqrt{b} - 1 ight)\left( \sqrt{b} + 1 ight)}

    C = \frac{\left( \sqrt{b} - 1 ight)^{2}}{\left( \sqrt{b} - 1 ight)\left( \sqrt{b} + 1 ight)} = \frac{\sqrt{b} - 1}{\sqrt{b} + 1}

    Theo bài ra ta có:

    2C < 1 \Leftrightarrow C < \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{\sqrt{b} - 1}{\sqrt{b} + 1} < \frac{1}{2}

    \Leftrightarrow \frac{\sqrt{b} - 1}{\sqrt{b} + 1} - \frac{1}{2} < 0 \Leftrightarrow \frac{2\sqrt{b} - 2 - \sqrt{b} - 1}{2\left( \sqrt{b} + 1 ight)} < 0

    \Leftrightarrow \sqrt{b} - 3 < 0 \Leftrightarrow \sqrt{b} < 3 \Leftrightarrow b < 9

    Kết hợp với điều kiện xác định ta suy ra \left\{ \begin{matrix} 0 \leq b < 9 \\ b eq 1 \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 2: Vận dụng
    Rút gọn biểu thức N

    Tính N=\frac{\sqrt{\sqrt{5}+2}+\sqrt{\sqrt{5}-2}}{\sqrt{\sqrt{5}+1}}-\sqrt{3-2\sqrt{2}}

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} A = \dfrac{{\sqrt {\sqrt 5 + 2} + \sqrt {\sqrt 5 - 2} }}{{\sqrt {\sqrt 5 + 1} }} \hfill \\ {A^2} = {\left( {\dfrac{{\sqrt {\sqrt 5 + 2} + \sqrt {\sqrt 5 - 2} }}{{\sqrt {\sqrt 5 + 1} }}} ight)^2} \hfill \\ {A^2} = \dfrac{{\sqrt 5 + 2 + 2\sqrt {\sqrt 5 + 2} .\sqrt {\sqrt 5 - 2} + \sqrt 5 - 2}}{{\sqrt 5 + 1}} \hfill \\ {A^2} = \dfrac{{\sqrt 5 + 2 + 2 + \left( {\sqrt 5 - 2} ight)}}{{\sqrt 5 + 1}} = \frac{{2\sqrt 5 + 2}}{{\sqrt 5 + 1}} \hfill \\ {A^2} = 2 \hfill \\ \Rightarrow A = \sqrt 2 \hfill \\ N = A - \sqrt {2 - 2\sqrt 2 + 1} \hfill \\ N = \sqrt 2 - \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 - 1} ight)}^2}} \hfill \\ N = \sqrt 2 - \sqrt 2 + 1 = 1 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 3: Vận dụng cao
    Tìm giá trị x, y, z

    Giá trị x, y, z để thỏa mãn \sqrt x + \sqrt {y - z} + \sqrt {z - x} = \frac{1}{2}\left( {y + 3} ight) là ?

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \geqslant 0} \\ {y - z \geqslant 0} \\ {z - x \geqslant 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow y \geqslant z \geqslant x \geqslant 0

    Ta có: 

    \begin{matrix} \sqrt x + \sqrt {y - z} + \sqrt {z - x} = \dfrac{1}{2}\left( {y + 3} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow 2\sqrt x + 2\sqrt {y - z} + 2\sqrt {z - x} = y + 3 \hfill \\ \Leftrightarrow 2\sqrt x + 2\sqrt {y - z} + 2\sqrt {z - x} = x + y - z + z - x - 3 \hfill \\ \Leftrightarrow x - 2\sqrt x + 1 + y - z - 2\sqrt {y - z} + 1 \hfill \\ + z - x - 2\sqrt {z - x} + 1 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x - 1} ight)^2} + {\left( {\sqrt {y - z} - 1} ight)^2} + {\left( {\sqrt {z - x} - 1} ight)^2} = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \sqrt x - 1 = 0 \hfill \\ \sqrt {y - z} - 1 = 0 \hfill \\ \sqrt {z - x} - 1 = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 1 \hfill \\ y = 3 \hfill \\ z = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight.\left( {tm} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 4: Thông hiểu
    Đơn giản biểu thức chứa căn

    Thu gọn biểu thức A = \sqrt{27x} - \sqrt{48x} + 4\sqrt{75x} + \sqrt{243x} với x \geq 0 ta được kết quả là:

    Hướng dẫn:

    Với x \geq 0 ta có:

    A = \sqrt{27x} - \sqrt{48x} + 4\sqrt{75x} + \sqrt{243x}

    A = \sqrt{9.3x} - \sqrt{16.3x} + 4\sqrt{25.3x} + \sqrt{81.3x}

    A = \sqrt{3^{2}.3x} - \sqrt{4^{2}.3x} + 4\sqrt{5^{2}.3x} + \sqrt{9^{2}.3x}

    A = 3\sqrt{3x} - 4\sqrt{3x} + 20\sqrt{3x} + 9\sqrt{3x}

    A = 28\sqrt{3x}

  • Câu 5: Vận dụng
    Tìm các giá trị nguyên của x để N nguyên

    Cho biểu thức N = \frac{7 + 3\sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}};(x \geq 0). Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của x để biểu thức N nhận giá trị nguyên?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    N = \frac{7 + 3\sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}} = \frac{3\sqrt{x} + 3 + 4}{\sqrt{x} + 1} = 3 + \frac{4}{\sqrt{x} + 1}

    Để N\mathbb{\in Z \Rightarrow}\frac{4}{\sqrt{x} + 1}\mathbb{\in Z} hay \sqrt{x} + 1 \in U(4) = \left\{ \pm 4; \pm 2; \pm 1 ight\}

    Vì \Rightarrow \sqrt{x} \in \left\{ - 5; - 3; - 2;0;1;3 ight\} với mọi x \geq 0 \Rightarrow \sqrt{x} \in \left\{ 0;1;3 ight\} \Rightarrow x \in \left\{ 0;1;9 ight\}

    Vậy có 3 giá trị nguyên của x thỏa mãn điều kiện bài toán.

  • Câu 6: Vận dụng cao
    Tính giá trị biểu thức E

    Đơn giản biểu thức E = \left( \sqrt{5 - 2\sqrt{2\sqrt{2} - 2}} + \sqrt{2} - 1 ight).\sqrt{\sqrt{2} - 1} ta được:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \sqrt{\sqrt{2} - 1} = \sqrt{\sqrt{2} - 1}.\sqrt{\left( \sqrt{2} - 1 ight)\left( \sqrt{2} + 1 ight)} = \left( \sqrt{2} - 1 ight)\sqrt{\sqrt{2} + 1}

    Khi đó

    5 - 2\sqrt{2\sqrt{2} - 2} = 5 - 2\sqrt{2}.\sqrt{\sqrt{2} - 1}

    = 2 + 2\sqrt{2} + 3 - 2\sqrt{2} - 2\sqrt{2}\sqrt{\sqrt{2} - 1}

    = 2\left( \sqrt{2} + 1 ight)^{2} + \left( \sqrt{2} - 1 ight)^{2} - 2\sqrt{2}\sqrt{\sqrt{2} + 1}\left( \sqrt{2} - 1 ight)

    = \left( \sqrt{2 + 2\sqrt{2}} - \sqrt{2} + 1 ight)^{2}

    \Rightarrow \sqrt{5 - 2\sqrt{2\sqrt{2} - 2}} = \sqrt{2 + 2\sqrt{2}} - \sqrt{2} + 1

    Ta có:

    E = \left( \sqrt{5 - 2\sqrt{2\sqrt{2} - 2}} + \sqrt{2} - 1 ight).\sqrt{\sqrt{2} - 1}

    E = \left( \sqrt{2 + 2\sqrt{2}} - \sqrt{2} + 1 + \sqrt{2} - 1 ight).\sqrt{\sqrt{2} - 1}

    E = \sqrt{2}\sqrt{\sqrt{2} + 1}.\sqrt{\sqrt{2} - 1} = \sqrt{2}

  • Câu 7: Nhận biết
    Chọn kết luận đúng

    Cho hai số A = 5,B = \frac{\sqrt{50}}{2}. Kết luận nào dưới đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Ta có:\left\{ \begin{matrix}A = 5 = \sqrt{25} \\B = \dfrac{\sqrt{50}}{2} = \sqrt{\dfrac{50}{4}} \\\end{matrix} ight.

    Mà 25 > \frac{50}{4} \Rightarrow \sqrt{25} > \sqrt{\frac{50}{4}}

    \Rightarrow A > B

  • Câu 8: Thông hiểu
    Tìm các giá trị tham số a

    Cho biểu thức B = \left( \frac{\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} + 1} - \frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} - 1} ight)\left( \frac{1}{2\sqrt{a}} - \frac{\sqrt{a}}{2} ight). Có tất cả bao nhiêu giá trị a thỏa mãn B = 1 - \sqrt{a}?

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định \left\{ \begin{matrix} \sqrt{a} + 1 eq 0 \\ \sqrt{a} - 1 eq 0 \\ 2\sqrt{a} eq 0 \\ a \geq 0 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có:

    B = \left( \frac{\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} + 1} - \frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} - 1} ight)\left( \frac{1}{2\sqrt{a}} - \frac{\sqrt{a}}{2} ight)

    B = \frac{\left( \sqrt{a} - 1 ight)^{2} - \left( \sqrt{a} + 1 ight)^{2}}{\left( \sqrt{a} + 1 ight)\left( \sqrt{a} - 1 ight)}.\frac{1 - a}{2\sqrt{a}}

    B = \frac{\left( \sqrt{a} - 1 - \sqrt{a} - 1 ight)\left( \sqrt{a} - 1 + \sqrt{a} + 1 ight)}{- 2\sqrt{a}}

    B = \frac{- 2\sqrt{a}}{- 2\sqrt{a}} = 1

    Mặt khác B = 1 - \sqrt{a}

    \Leftrightarrow 1 = 1 - \sqrt{a} \Leftrightarrow \sqrt{a} = 0 \Leftrightarrow a = 0(tm)

    Vậy có 1 giá trị của a thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 9: Vận dụng
    Tìm các giá trị của a

    Cho biểu thức G = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 5} - \frac{5}{\sqrt{a} + 5} - \frac{10\sqrt{a}}{a - 25}. Có bao nhiêu giá trị của a thỏa mãn |G| = \frac{1}{4}?

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định a \geq 0,a eq 25

    Ta có:

    G = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 5} - \frac{5}{\sqrt{a} + 5} - \frac{10\sqrt{a}}{a - 25}

    G = \frac{\sqrt{a}\left( \sqrt{a} + 5 ight)}{\left( \sqrt{a} + 5 ight)\left( \sqrt{a} - 5 ight)} - \frac{5\left( \sqrt{a} - 5 ight)}{\left( \sqrt{a} + 5 ight)\left( \sqrt{a} - 5 ight)} - \frac{10\sqrt{a}}{\left( \sqrt{a} + 5 ight)\left( \sqrt{a} - 5 ight)}

    G = \frac{a - 10\sqrt{a} + 25}{\left( \sqrt{a} + 5 ight)\left( \sqrt{a} - 5 ight)} = \frac{\left( \sqrt{a} - 5 ight)^{2}}{\left( \sqrt{a} + 5 ight)\left( \sqrt{a} - 5 ight)} = \frac{\sqrt{a} - 5}{\sqrt{a} + 5}

    Xét |G| = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \left| \frac{\sqrt{a} - 5}{\sqrt{a} + 5} ight| = \frac{1}{4}(*)

    TH1: a > 25 phương trình (*) tương đương

    \frac{\sqrt{a} - 5}{\sqrt{a} + 5} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow 4\sqrt{a} - 20 = \sqrt{a} + 5

    \Leftrightarrow a = \left( \frac{25}{3} ight)^{2} = \frac{625}{9}(tm)

    TH2: a < 25 phương trình (*) tương đương

    \frac{\sqrt{a} - 5}{\sqrt{a} + 5} = - \frac{1}{4} \Leftrightarrow - 4\sqrt{a} + 20 = \sqrt{a} + 5

    \Leftrightarrow a = 3^{2} = 9(tm)

    Vậy có 2 giá trị của a thỏa mãn yêu cầu đề bài.

  • Câu 10: Thông hiểu
    Tìm x

    Tìm x biết \sqrt{5 + \sqrt{x}} = 4?

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định \left\{ \begin{matrix}x \geq 0 \\5 + \sqrt{x} \geq 0 \\\end{matrix} ight.

    Ta có:

    \sqrt{5 + \sqrt{x}} = 4

    \Leftrightarrow 5 + \sqrt{x} =16

    \Leftrightarrow \sqrt{x} = 11\Leftrightarrow x = 121(tm)

    Vậy x = 121.

  • Câu 11: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức E

    Giá trị của biểu thức E = \sqrt{9 - 4\sqrt{5}} + \sqrt{9 + 4\sqrt{5}} bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    E = \sqrt{9 - 4\sqrt{5}} + \sqrt{9 + 4\sqrt{5}}

    E = \sqrt{\left( \sqrt{5} ight)^{2} - 2.2.\sqrt{5} + 2^{2}} + \sqrt{\left( \sqrt{5} ight)^{2} + 2.2.\sqrt{5} + 2^{2}}

    E = \sqrt{\left( \sqrt{5} - 2 ight)^{2}} + \sqrt{\left( \sqrt{5} + 2 ight)^{2}}

    E = \left| \sqrt{5} - 2 ight| + \left| \sqrt{5} + 2 ight|

    E = \sqrt{5} - 2 + \sqrt{5} + 2 = 2\sqrt{5}

  • Câu 12: Nhận biết
    Tính giá trị của biểu thức

    Tính giá trị của biểu thức D = \sqrt {15{b^2} - 8b\sqrt {15} + 16} với: b = \sqrt {\frac{3}{5}}

    Hướng dẫn:

     D = \sqrt {15{b^2} - 8b\sqrt {15} + 16} = \sqrt {{{\left( {b\sqrt {15} - 4} ight)}^2}} = \left| {b\sqrt {15} - 4} ight|

    Thay số ta được D = 1

  • Câu 13: Thông hiểu
    Chọn khẳng định đúng

    Chọn khẳng định đúng?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} 3\sqrt{5} = \sqrt{45} \\ 2\sqrt{3} = \sqrt{12} \\ \end{matrix} ight. mà 45 > 12 \Rightarrow \sqrt{45} > \sqrt{12} \Rightarrow 3\sqrt{5} > 2\sqrt{3} suy ra 3\sqrt{5} < 2\sqrt{3} sai.

    \left\{ \begin{matrix} - 4\sqrt{7} = - \sqrt{112} \\ - 3\sqrt{8} = - \sqrt{72} \\ \end{matrix} ight. mà - \sqrt{112} < - \sqrt{72} \Rightarrow - 4\sqrt{7} < - 3\sqrt{8} suy ra 3\sqrt{5} < 2\sqrt{3} sai.

    \left\{ \begin{matrix}\dfrac{3}{2}\sqrt{\dfrac{2}{3}} = \sqrt{\dfrac{3}{2}} \\\dfrac{2}{3}.\sqrt{\dfrac{3}{2}} = \sqrt{\dfrac{2}{3}} \\\end{matrix} ight. mà \sqrt{\frac{3}{2}} > \sqrt{\frac{2}{3}} \Rightarrow \frac{3}{2}\sqrt{\frac{2}{3}} > \frac{2}{3}.\sqrt{\frac{3}{2}} suy ra \frac{3}{2}\sqrt{\frac{2}{3}} < \frac{2}{3}.\sqrt{\frac{3}{2}} sai.

    \left\{ \begin{matrix} - 2\sqrt{5} = - \sqrt{20} \\ - 3\sqrt{3} = - \sqrt{27} \\ \end{matrix} ight. mà - \sqrt{20} > - \sqrt{27} \Rightarrow - 2\sqrt{5} > - 3\sqrt{3} suy ra - 2\sqrt{5} > - 3\sqrt{3} đúng.

  • Câu 14: Vận dụng
    Tính giá trị của biểu thức

    Tính giá trị của biểu thức A = \frac{{2a.\sqrt {1 + {x^2}} }}{{\sqrt {1 + {x^2}} - x}} với x = \frac{1}{2}.\left( {\sqrt {\frac{{1 - a}}{2}} + \sqrt {\frac{a}{{1 - a}}} } ight)

    Kết quả của biểu thức là: 1

    Đáp án là:

    Tính giá trị của biểu thức A = \frac{{2a.\sqrt {1 + {x^2}} }}{{\sqrt {1 + {x^2}} - x}} với x = \frac{1}{2}.\left( {\sqrt {\frac{{1 - a}}{2}} + \sqrt {\frac{a}{{1 - a}}} } ight)

    Kết quả của biểu thức là: 1

     Ta có:

    \begin{matrix} x = \dfrac{1}{2}.\left( {\sqrt {\dfrac{{1 - a}}{2}} + \sqrt {\dfrac{a}{{1 - a}}} } ight) \hfill \\ \Rightarrow x = \dfrac{{1 - 2a}}{{2\sqrt {x\left( {1 - a} ight)} }} \hfill \\ \Rightarrow \sqrt {1 + {x^2}} = \dfrac{1}{{2\sqrt {x\left( {1 - a} ight)} }} \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} A = \dfrac{{2a.\sqrt {1 + {x^2}} }}{{\sqrt {1 + {x^2}} - x}} = \dfrac{{2a.\dfrac{1}{{2\sqrt {a.\left( {1 - a} ight)} }}}}{{\dfrac{1}{{2\sqrt {a.\left( {1 - a} ight)} }} - x}} = \dfrac{a}{{\sqrt {a\left( {1 - a} ight)} }}:\dfrac{{2a}}{{2\sqrt {a.\left( {1 - a} ight)} }} \hfill \\ = \dfrac{a}{{\sqrt {a\left( {1 - a} ight)} }}.\dfrac{{2\sqrt {a\left( {1 - a} ight)} }}{{2a}} = 1 \hfill \\ \end{matrix}

    => A = 1

  • Câu 15: Nhận biết
    Chọn mệnh đề đúng

    Cho biểu thức A = \sqrt{\left( 6\sqrt{\frac{4}{25}} - \sqrt{\frac{9}{25}} ight).15}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    A = \sqrt{\left( 6\sqrt{\frac{4}{25}} - \sqrt{\frac{9}{25}} ight).15}

    A = \sqrt{6.15\sqrt{\left( \frac{2}{5} ight)^{2}} - 15\sqrt{\left( \frac{3}{5} ight)^{2}}}

    A = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}

    Vậy mệnh đề đúng là: “Giá trị của biểu thức A là một số vô tỉ”.

  • Câu 16: Vận dụng cao
    Giải phương trình

    Phương trình \sqrt {x + 1} + \sqrt {6x - 14} = {x^2} - 5 có bao nhiêu nghiệm?

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định:

    \left\{ \begin{gathered} x + 1 \geqslant 0 \hfill \\ 6x - 14 \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant - 1 \hfill \\ x \geqslant \frac{7}{3} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow x \geqslant \frac{7}{3}

    => {x^2} - 5 \geqslant 0

    Phương trình tương đương:

    \begin{matrix} \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} - 2 + \sqrt {6x - 14} - 2 = {x^2} - 9 \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{x - 3}}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + \dfrac{{6\left( {x - 3} ight)}}{{\sqrt {6x - 14} + 2}} = \left( {x - 3} ight)\left( {x + 3} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} \Leftrightarrow \left( {x - 3} ight).\left[ {\dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + \dfrac{6}{{\sqrt {6x - 14} + 2}} - \left( {x + 3} ight)} ight] = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x - 3 = 0 \hfill \\ \dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + \dfrac{6}{{\sqrt {6x - 14} + 2}} - \left( {x + 3} ight) = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 3 \hfill \\ \frac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + \frac{6}{{\sqrt {6x - 14} + 2}} - \left( {x + 3} ight) = 0\left( * ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Ta lại có:

    \begin{matrix} \left\{ \begin{gathered} \dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} < \dfrac{1}{2} \hfill \\ \dfrac{6}{{\sqrt {6x - 14} + 2}} < \dfrac{6}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + \dfrac{6}{{\sqrt {6x - 14} + 2}} < \dfrac{7}{2} \hfill \\ \end{matrix}

    Và x \geqslant \frac{7}{3} \Rightarrow x + 3 \geqslant \frac{7}{3} + 3 = \frac{{16}}{3}

    => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {VT\left( * ight) < \dfrac{7}{2}} \\ {VP\left( * ight) \geqslant \dfrac{{16}}{3}} \end{array} \Rightarrow \left( * ight)} ight. vô nghiệm.

    Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất x = 3.

  • Câu 17: Vận dụng
    Đơn giản biểu thức F

    Tính giá trị biểu thức F = \frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + .... + \frac{1}{\sqrt{99} + \sqrt{100}}?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    F = \frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + .... + \frac{1}{\sqrt{99} + \sqrt{100}}

    F = \frac{1 - \sqrt{2}}{- 1} + \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{- 1} + .... + \frac{\sqrt{99} - \sqrt{100}}{- 1}

    F = - \left( 1 - \sqrt{2} + \sqrt{2} - \sqrt{3} + .... + \sqrt{99} - \sqrt{100} ight)

    F = - \left( 1 - \sqrt{100} ight) = \sqrt{100} - 1

  • Câu 18: Nhận biết
    Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

    Giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = x + \sqrt x - 1 là:

    Hướng dẫn:

     Ta có:

    \begin{matrix} C = x + \sqrt x - 1 \hfill \\ \Rightarrow C = {\left( {\sqrt x } ight)^2} + 2.\sqrt x .\dfrac{1}{2} + {\left( {\dfrac{1}{2}} ight)^2} - {\left( {\dfrac{1}{2}} ight)^2} - 1 \hfill \\ \Rightarrow C = \left[ {{{\left( {\sqrt x } ight)}^2} + 2.\sqrt x .\dfrac{1}{2} + {{\left( {\dfrac{1}{2}} ight)}^2}} ight] - \dfrac{5}{4} \hfill \\ \Rightarrow C = {\left( {\sqrt x + \dfrac{1}{2}} ight)^2} - \dfrac{5}{4} \hfill \\ \end{matrix}

    Vì \sqrt x \geqslant 0,\forall x \geqslant 0 \Rightarrow \sqrt x + \frac{1}{2} \geqslant \frac{1}{2}

    \begin{matrix} {\left( {\sqrt x + \dfrac{1}{2}} ight)^2} \geqslant \dfrac{1}{4} \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x + \dfrac{1}{2}} ight)^2} - \dfrac{5}{4} \geqslant \dfrac{1}{4} - \dfrac{5}{4} \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x + \dfrac{1}{2}} ight)^2} - \dfrac{5}{4} \geqslant - 1 \hfill \\ \Rightarrow {P_{\min }} = - 1 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 19: Thông hiểu
    Đơn giản biểu thức chứa căn

    Biết rằng 1 < x < 3. Biểu thức thu gọn của N = \sqrt{x^{2} - 2x + 1} - \sqrt{x^{2} - 6x + 9} là:

    Hướng dẫn:

    N = \sqrt{x^{2} - 2x + 1} - \sqrt{x^{2} - 6x + 9}

    N = \sqrt{(x - 1)^{2}} - \sqrt{(x - 3)^{2}}

    N = |x - 1| - |x - 3|

    N = x - 1 - (3 - x) (vì 1 < x < 3)

    N = 2x - 4

    Vậy N = 2x - 4 là biểu thức thu gọn cần tìm.

  • Câu 20: Thông hiểu
    Biểu thức nhận giá trị dương khi

    Biểu thức E = \frac{{{x^4} - 1}}{{{x^2} + 1}} nhận giá trị dương khi và chỉ khi:

    Gợi ý:

     Biểu thức B nhận giá trị dương có nghĩa là B > 0

    \frac{A}{B} > 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {A > 0} \\ {B > 0} \end{array}} ight.} \\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {A < 0} \\ {B < 0} \end{array}} ight.} \end{array}} ight.

    Hướng dẫn:

      Ta có:

    \begin{matrix} \dfrac{{{x^4} - 1}}{{{x^2} + 1}} > 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {{x^2} + 1} ight)\left( {{x^2} - 1} ight)}}{{{x^2} + 1}} > 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2} - 1 > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x > 1} \\ {x < - 1} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 21: Nhận biết
    Tìm biểu thức bằng với biểu thức đã cho

    Biểu thức \sqrt{11 - 4\sqrt{7}} bằng với biểu thức nào sau đây?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \sqrt{11 - 4\sqrt{7}} = \sqrt{\left( \sqrt{7} ight)^{2} - 2.2.\sqrt{7} + 2^{2}}

    = \sqrt{\left( \sqrt{7} - 2 ight)^{2}} = \left| \sqrt{7} - 2 ight| = \sqrt{7} - 2

  • Câu 22: Thông hiểu
    Giải phương trình chứa căn bậc ba

    Tìm tất cả các giá trị x thỏa mãn phương trình \sqrt[3]{2 - 3x} = - 2?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \sqrt[3]{2 - 3x} = - 2 \Leftrightarrow \left( \sqrt[3]{2 - 3x} ight)^{3} = ( - 2)^{3}

    \Leftrightarrow 2 - 3x = - 8 \Leftrightarrow x = \frac{10}{3}

    Vậy nghiệm của phương trình là x = \frac{10}{3}.

  • Câu 23: Nhận biết
    Tính kết quả biểu thức

    Tính -0,05\sqrt{28800} , ta được kết quả là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} - 0,05.\sqrt {28800} \hfill \\ = - 0,05.\sqrt {144.100.2} \hfill \\ = - 0,05.\sqrt {{{12}^2}{{.10}^2}.2} \hfill \\ = - 0,05.12.10.\sqrt 2 \hfill \\ = - 6\sqrt 2 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 24: Vận dụng cao
    Tính giá trị biểu thức M = x + y

    Biết \left( {x + \sqrt {{x^2} + 3} } ight).\left( {y + \sqrt {{y^2} + 3} } ight) = 3. Tính giá trị biểu thức M = x + y

    Kết quả của biểu thức là: 0||1||4||5

    Đáp án là:

    Biết \left( {x + \sqrt {{x^2} + 3} } ight).\left( {y + \sqrt {{y^2} + 3} } ight) = 3. Tính giá trị biểu thức M = x + y

    Kết quả của biểu thức là: 0||1||4||5

     Ta có:

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {x + \sqrt {{x^2} + 3} } ight).\left( {x - \sqrt {{x^2} + 3} } ight)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 3} } ight) = 3\left( {x - \sqrt {{x^2} + 3} } ight)} \\ {\left( {x + \sqrt {{x^2} + 3} } ight).\left( {y + \sqrt {{y^2} + 3} } ight).\left( {y - \sqrt {{y^2} + 3} } ight) = 3\left( {y - \sqrt {{y^2} + 3} } ight)} \end{array}} ight.

    => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y + \sqrt {{y^2} + 3} = - \left( {x - \sqrt {{x^2} + 3} } ight)} \\ {\left( {x + \sqrt {{x^2} + 3} } ight) = - \left( {y - \sqrt {{y^2} + 3} } ight)} \end{array}} ight.

    Cộng hai vế của phương trình

    => x = -y

    => x + y = 0

    => M = 0

  • Câu 25: Vận dụng
    Tìm các giá trị của x để biểu thức

    Tìm các giá trị của x để biểu thức B = \frac{5}{{3\sqrt x + 2}} \in \mathbb{Z} là:

    Hướng dẫn:

    Ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0 \leqslant B \leqslant \dfrac{5}{2}} \\ {B \in \mathbb{Z}} \end{array}} ight. \Rightarrow B \in \left\{ {1;2} ight\}

    => B = 1 \Leftrightarrow \frac{5}{{3\sqrt x + 2}} = 1 \Rightarrow x = 1

    =>  B = 2 \Leftrightarrow \frac{5}{{3\sqrt x + 2}} = 2 \Rightarrow x = 2

  • Câu 26: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} - \frac{3x + 9}{x - 9}?

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định x \geq 0;x eq 9

    Ta có:

    T = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} - \frac{3x + 9}{x - 9}

    T = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} - \frac{3x + 9}{\left( \sqrt{x} + 3 ight)\left( \sqrt{x} - 3 ight)}

    T = \frac{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 3 ight)}{\left( \sqrt{x} + 3 ight)\left( \sqrt{x} - 3 ight)} + \frac{2\sqrt{x}\left( \sqrt{x} + 3 ight)}{\left( \sqrt{x} + 3 ight)\left( \sqrt{x} - 3 ight)} - \frac{3x + 9}{\left( \sqrt{x} + 3 ight)\left( \sqrt{x} - 3 ight)}

    T = \frac{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 3 ight) + 2\sqrt{x}\left( \sqrt{x} + 3 ight) - 3x - 9}{\left( \sqrt{x} + 3 ight)\left( \sqrt{x} - 3 ight)}

    T = \frac{3\sqrt{x} - 9}{\left( \sqrt{x} + 3 ight)\left( \sqrt{x} - 3 ight)} = \frac{3}{\sqrt{x} + 3}

    Ta có: x \geq 0 \Rightarrow \sqrt{x} \geq 0;\forall x \geq 0 \Rightarrow \sqrt{x} + 3 \geq 3;\forall x \geq 0

    \Rightarrow M \leq 1

    Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 0

    Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức T bằng 1.

  • Câu 27: Vận dụng
    Tìm x để P nguyên

    Cho P = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}. Tìm tất cả các giá trị x để P nhận những giá trị nguyên.

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định x \geqslant 0,x e 1

    Ta có: P = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} = 1 + \frac{2}{{\sqrt x - 1}}

    Ta có P nhận những giá trị nguyên mà 1 \in \mathbb{Z} \Rightarrow \frac{2}{{\sqrt x - 1}} \in \mathbb{Z}

    \left( {\sqrt x - 1} ight) \in U\left( 2 ight) = \left\{ { - 2;2; - 1;1} ight\}

    Ta có bảng sau:

    {\sqrt x - 1}

    -2

    -1

    1

    2

    x

    ktm

    0

    4

    9

    => x \in \left \{0;4;9 ight \}

  • Câu 28: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức

    Khi a \geq 0,b \geq 0 và a eq b . Tính giá trị của \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\frac{2b}{a-b}

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt a - \sqrt b }} - \dfrac{{\sqrt b }}{{\sqrt a + \sqrt b }} - \dfrac{{2b}}{{a - b}} \hfill \\ = \dfrac{{\sqrt a \left( {\sqrt a + \sqrt b } ight) - \sqrt b \left( {\sqrt a - \sqrt b } ight)}}{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } ight)\left( {\sqrt a + \sqrt b } ight)}} \hfill \\ - \dfrac{{2b}}{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } ight)\left( {\sqrt a + \sqrt b } ight)}} \hfill \\ = \dfrac{{a + \sqrt {ab} - \sqrt {ab} + b - 2b}}{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } ight)\left( {\sqrt a + \sqrt b } ight)}} \hfill \\ = \dfrac{{a - b}}{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } ight)\left( {\sqrt a + \sqrt b } ight)}} = 1 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 29: Nhận biết
    Giá trị của biểu thức

    Giá trị của biểu thức: P = \frac{{\sqrt x - 1}}{{x - 1}} tại x = {\left( {1 - \sqrt 2 } ight)^2}

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    P = \frac{{\sqrt x - 1}}{{x - 1}} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} ight)\left( {\sqrt x + 1} ight)}} = \frac{1}{{\sqrt x + 1}}

    Mặt khác x = {\left( {1 - \sqrt 2 } ight)^2} \Rightarrow \sqrt x = \sqrt 2 - 1

    Thay x vào biểu thức P ta có: P = \frac{1}{{\sqrt 2 - 1 + 1}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}

  • Câu 30: Nhận biết
    Chọn đáp án đúng

    Đưa thừa số - \frac{2}{3}\sqrt{xy} với xy \geq 0 vào trong dấu căn ta được:

    Hướng dẫn:

    Ta có: xy \geq 0

    - \frac{2}{3}\sqrt{xy} = - \sqrt{\left( \frac{2}{3} ight)^{2}xy} = - \sqrt{\frac{4}{9}xy}

0/30
30 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (27%):
    2/3
  • Thông hiểu (33%):
    2/3
  • Vận dụng (27%):
    2/3
  • Vận dụng cao (13%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
51 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này