Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Thi vào lớp 10 Ôn Chuyên đề Toán 9
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Ôn thi vào 10 môn Toán: Rút gọn biểu thức và các câu toán liên quan

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 30 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 30 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Thông hiểu
    Tìm các giá trị tham số a

    Cho biểu thức B = \left( \frac{\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} + 1} - \frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} - 1} ight)\left( \frac{1}{2\sqrt{a}} - \frac{\sqrt{a}}{2} ight). Có tất cả bao nhiêu giá trị a thỏa mãn B = 1 - \sqrt{a}?

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định \left\{ \begin{matrix} \sqrt{a} + 1 eq 0 \\ \sqrt{a} - 1 eq 0 \\ 2\sqrt{a} eq 0 \\ a \geq 0 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có:

    B = \left( \frac{\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} + 1} - \frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} - 1} ight)\left( \frac{1}{2\sqrt{a}} - \frac{\sqrt{a}}{2} ight)

    B = \frac{\left( \sqrt{a} - 1 ight)^{2} - \left( \sqrt{a} + 1 ight)^{2}}{\left( \sqrt{a} + 1 ight)\left( \sqrt{a} - 1 ight)}.\frac{1 - a}{2\sqrt{a}}

    B = \frac{\left( \sqrt{a} - 1 - \sqrt{a} - 1 ight)\left( \sqrt{a} - 1 + \sqrt{a} + 1 ight)}{- 2\sqrt{a}}

    B = \frac{- 2\sqrt{a}}{- 2\sqrt{a}} = 1

    Mặt khác B = 1 - \sqrt{a}

    \Leftrightarrow 1 = 1 - \sqrt{a} \Leftrightarrow \sqrt{a} = 0 \Leftrightarrow a = 0(tm)

    Vậy có 1 giá trị của a thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 2: Vận dụng
    Tìm các giá trị nguyên của x để N nguyên

    Cho biểu thức N = \frac{7 + 3\sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}};(x \geq 0). Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của x để biểu thức N nhận giá trị nguyên?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    N = \frac{7 + 3\sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}} = \frac{3\sqrt{x} + 3 + 4}{\sqrt{x} + 1} = 3 + \frac{4}{\sqrt{x} + 1}

    Để N\mathbb{\in Z \Rightarrow}\frac{4}{\sqrt{x} + 1}\mathbb{\in Z} hay \sqrt{x} + 1 \in U(4) = \left\{ \pm 4; \pm 2; \pm 1 ight\}

    Vì \Rightarrow \sqrt{x} \in \left\{ - 5; - 3; - 2;0;1;3 ight\} với mọi x \geq 0 \Rightarrow \sqrt{x} \in \left\{ 0;1;3 ight\} \Rightarrow x \in \left\{ 0;1;9 ight\}

    Vậy có 3 giá trị nguyên của x thỏa mãn điều kiện bài toán.

  • Câu 3: Thông hiểu
    Biểu thức nhận giá trị dương khi

    Biểu thức E = \frac{{{x^4} - 1}}{{{x^2} + 1}} nhận giá trị dương khi và chỉ khi:

    Gợi ý:

     Biểu thức B nhận giá trị dương có nghĩa là B > 0

    \frac{A}{B} > 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {A > 0} \\ {B > 0} \end{array}} ight.} \\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {A < 0} \\ {B < 0} \end{array}} ight.} \end{array}} ight.

    Hướng dẫn:

      Ta có:

    \begin{matrix} \dfrac{{{x^4} - 1}}{{{x^2} + 1}} > 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {{x^2} + 1} ight)\left( {{x^2} - 1} ight)}}{{{x^2} + 1}} > 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2} - 1 > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x > 1} \\ {x < - 1} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 4: Nhận biết
    Tính giá trị của biểu thức

    Tính giá trị của biểu thức D = \sqrt {15{b^2} - 8b\sqrt {15} + 16} với: b = \sqrt {\frac{3}{5}}

    Hướng dẫn:

     D = \sqrt {15{b^2} - 8b\sqrt {15} + 16} = \sqrt {{{\left( {b\sqrt {15} - 4} ight)}^2}} = \left| {b\sqrt {15} - 4} ight|

    Thay số ta được D = 1

  • Câu 5: Vận dụng cao
    Tính giá trị biểu thức M = x + y

    Biết \left( {x + \sqrt {{x^2} + 3} } ight).\left( {y + \sqrt {{y^2} + 3} } ight) = 3. Tính giá trị biểu thức M = x + y

    Kết quả của biểu thức là: 0||1||4||5

    Đáp án là:

    Biết \left( {x + \sqrt {{x^2} + 3} } ight).\left( {y + \sqrt {{y^2} + 3} } ight) = 3. Tính giá trị biểu thức M = x + y

    Kết quả của biểu thức là: 0||1||4||5

     Ta có:

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {x + \sqrt {{x^2} + 3} } ight).\left( {x - \sqrt {{x^2} + 3} } ight)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 3} } ight) = 3\left( {x - \sqrt {{x^2} + 3} } ight)} \\ {\left( {x + \sqrt {{x^2} + 3} } ight).\left( {y + \sqrt {{y^2} + 3} } ight).\left( {y - \sqrt {{y^2} + 3} } ight) = 3\left( {y - \sqrt {{y^2} + 3} } ight)} \end{array}} ight.

    => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y + \sqrt {{y^2} + 3} = - \left( {x - \sqrt {{x^2} + 3} } ight)} \\ {\left( {x + \sqrt {{x^2} + 3} } ight) = - \left( {y - \sqrt {{y^2} + 3} } ight)} \end{array}} ight.

    Cộng hai vế của phương trình

    => x = -y

    => x + y = 0

    => M = 0

  • Câu 6: Vận dụng cao
    Tính giá trị lớn nhất của A

    Cho biểu thức: A = \left( {\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt {xy} + 1}} + \frac{{\sqrt {xy} + \sqrt x }}{{1 - \sqrt {xy} }} + 1} ight):\left( {1 - \frac{{\sqrt {xy} + \sqrt x }}{{1 - \sqrt {xy} }} - \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt {xy} + 1}}} ight)

    Nếu \frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}=6 thì Max A bằng ?

    Hướng dẫn:

     Ta có:

    \begin{matrix} A = \left( {\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt {xy} + 1}} + \dfrac{{\sqrt {xy} + \sqrt x }}{{1 - \sqrt {xy} }} + 1} ight):\left( {1 - \dfrac{{\sqrt {xy} + \sqrt x }}{{1 - \sqrt {xy} }} - \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt {xy} + 1}}} ight) \hfill \\ = M:N \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} M = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt {xy} + 1}} + \dfrac{{\sqrt {xy} + \sqrt x }}{{1 - \sqrt {xy} }} + 1 \hfill \\ = \dfrac{{\left( {\sqrt x + 1} ight)\left( {1 - \sqrt {xy} } ight) + \sqrt x \left( {\sqrt y + 1} ight)\left( {\sqrt {xy} + 1} ight) + \left( {1 + \sqrt {xy} } ight)\left( {1 - \sqrt {xy} } ight)}}{{\left( {1 + \sqrt {xy} } ight)\left( {1 - \sqrt {xy} } ight)}} \hfill \\ = \dfrac{{\sqrt x - x\sqrt y + 1 - \sqrt {xy} + xy + \sqrt {xy} + x\sqrt y + \sqrt x + 1 - xy}}{{\left( {1 + \sqrt {xy} } ight)\left( {1 - \sqrt {xy} } ight)}} \hfill \\ = \dfrac{{2\sqrt x + 2}}{{\left( {1 + \sqrt {xy} } ight)\left( {1 - \sqrt {xy} } ight)}} \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} N = 1 - \dfrac{{\sqrt {xy} + \sqrt x }}{{\sqrt {xy} - 1}} - \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt {xy} + 1}} \hfill \\ = \dfrac{{\left( {\sqrt {xy} - 1} ight)\left( {\sqrt {xy} + 1} ight) - \left( {\sqrt {xy} + \sqrt x } ight)\left( {\sqrt {xy} + 1} ight) - \left( {\sqrt x + 1} ight)\left( {\sqrt {xy} - 1} ight)}}{{\left( {\sqrt {xy} - 1} ight)\left( {\sqrt {xy} + 1} ight)}} \hfill \\ = \dfrac{{xy - 1 - xy - \sqrt {xy} - x\sqrt y - \sqrt x - x\sqrt y + \sqrt x - \sqrt {xy} + 1}}{{\left( {\sqrt {xy} - 1} ight)\left( {\sqrt {xy} + 1} ight)}} \hfill \\ = \dfrac{{ - 2\sqrt {xy} - 2x\sqrt y }}{{\left( {\sqrt {xy} - 1} ight)\left( {\sqrt {xy} + 1} ight)}} \hfill \\ = \dfrac{{ - 2\sqrt {xy} (\sqrt x + 1)}}{{\left( {\sqrt {xy} - 1} ight)\left( {\sqrt {xy} + 1} ight)}} \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} \Rightarrow A = \dfrac{{2\sqrt x + 2}}{{\left( {1 + \sqrt {xy} } ight)\left( {1 - \sqrt {xy} } ight)}}:\dfrac{{ - 2\sqrt {xy} (\sqrt x + 1)}}{{\left( {\sqrt {xy} - 1} ight)\left( {\sqrt {xy} + 1} ight)}} \hfill \\ = \dfrac{{2\left( {\sqrt x + 1} ight)}}{{\left( {1 + \sqrt {xy} } ight)\left( {1 - \sqrt {xy} } ight)}}:\dfrac{{2\sqrt {xy} (\sqrt x + 1)}}{{\left( {1 + \sqrt {xy} } ight)\left( {1 - \sqrt {xy} } ight)}} \hfill \\ = \dfrac{{2\left( {\sqrt x + 1} ight)}}{{\left( {1 + \sqrt {xy} } ight)\left( {1 - \sqrt {xy} } ight)}}.\dfrac{{\left( {1 + \sqrt {xy} } ight)\left( {1 - \sqrt {xy} } ight)}}{{2\sqrt {xy} (\sqrt x + 1)}} \hfill \\ = \dfrac{1}{{\sqrt {xy} }} \hfill \\ \end{matrix}

    Áp dụng bất đẳng thức {\left( {a + b} ight)^2} \geqslant 4ab khi đó ta có:

    A = \frac{1}{{\sqrt x .\sqrt y }} \leqslant \frac{1}{4}{\left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt y }}} ight)^2} = \frac{1}{4}{.6^2} = 9

    Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \left\{ \begin{gathered} \sqrt x = \sqrt y \hfill \\ \dfrac{1}{{\sqrt x }} + \dfrac{1}{{\sqrt y }} = 6 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow x = y = \frac{1}{9}

  • Câu 7: Thông hiểu
    Ghi lời giải bài toán vào ô trống

    Thực hiện các phép tính:

    a) \sqrt{48} - 2\sqrt{75} + \sqrt{108} - \frac{1}{7}\sqrt{147}

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

    b) \frac{\sqrt{15} - \sqrt{5}}{\sqrt{3} - 1} + \frac{5 - 2\sqrt{5}}{2\sqrt{5} - 4}

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Thực hiện các phép tính:

    a) \sqrt{48} - 2\sqrt{75} + \sqrt{108} - \frac{1}{7}\sqrt{147}

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

    b) \frac{\sqrt{15} - \sqrt{5}}{\sqrt{3} - 1} + \frac{5 - 2\sqrt{5}}{2\sqrt{5} - 4}

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 8: Thông hiểu
    Tìm x

    Tìm x biết \sqrt{5 + \sqrt{x}} = 4?

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định \left\{ \begin{matrix}x \geq 0 \\5 + \sqrt{x} \geq 0 \\\end{matrix} ight.

    Ta có:

    \sqrt{5 + \sqrt{x}} = 4

    \Leftrightarrow 5 + \sqrt{x} =16

    \Leftrightarrow \sqrt{x} = 11\Leftrightarrow x = 121(tm)

    Vậy x = 121.

  • Câu 9: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} - \frac{3x + 9}{x - 9}?

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định x \geq 0;x eq 9

    Ta có:

    T = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} - \frac{3x + 9}{x - 9}

    T = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} - \frac{3x + 9}{\left( \sqrt{x} + 3 ight)\left( \sqrt{x} - 3 ight)}

    T = \frac{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 3 ight)}{\left( \sqrt{x} + 3 ight)\left( \sqrt{x} - 3 ight)} + \frac{2\sqrt{x}\left( \sqrt{x} + 3 ight)}{\left( \sqrt{x} + 3 ight)\left( \sqrt{x} - 3 ight)} - \frac{3x + 9}{\left( \sqrt{x} + 3 ight)\left( \sqrt{x} - 3 ight)}

    T = \frac{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 3 ight) + 2\sqrt{x}\left( \sqrt{x} + 3 ight) - 3x - 9}{\left( \sqrt{x} + 3 ight)\left( \sqrt{x} - 3 ight)}

    T = \frac{3\sqrt{x} - 9}{\left( \sqrt{x} + 3 ight)\left( \sqrt{x} - 3 ight)} = \frac{3}{\sqrt{x} + 3}

    Ta có: x \geq 0 \Rightarrow \sqrt{x} \geq 0;\forall x \geq 0 \Rightarrow \sqrt{x} + 3 \geq 3;\forall x \geq 0

    \Rightarrow M \leq 1

    Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 0

    Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức T bằng 1.

  • Câu 10: Thông hiểu
    Tìm giá trị gần đúng của nghiệm x

    Dùng bảng căn bậc hai để tìm giá trị gần đúng của nghiệm mỗi phương trình sau: x^2=3,5

    Hướng dẫn:

    Ta có: {x^2} = 3,5 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt {3,5}

    Tra bảng ta được: \sqrt {3,5} \approx 1,871

    Vậy phương trình có hai nghiệm \pm 1,871.

  • Câu 11: Vận dụng cao
    Giải phương trình

    Phương trình \sqrt {x + 1} + \sqrt {6x - 14} = {x^2} - 5 có bao nhiêu nghiệm?

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định:

    \left\{ \begin{gathered} x + 1 \geqslant 0 \hfill \\ 6x - 14 \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant - 1 \hfill \\ x \geqslant \frac{7}{3} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow x \geqslant \frac{7}{3}

    => {x^2} - 5 \geqslant 0

    Phương trình tương đương:

    \begin{matrix} \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} - 2 + \sqrt {6x - 14} - 2 = {x^2} - 9 \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{x - 3}}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + \dfrac{{6\left( {x - 3} ight)}}{{\sqrt {6x - 14} + 2}} = \left( {x - 3} ight)\left( {x + 3} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} \Leftrightarrow \left( {x - 3} ight).\left[ {\dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + \dfrac{6}{{\sqrt {6x - 14} + 2}} - \left( {x + 3} ight)} ight] = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x - 3 = 0 \hfill \\ \dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + \dfrac{6}{{\sqrt {6x - 14} + 2}} - \left( {x + 3} ight) = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 3 \hfill \\ \frac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + \frac{6}{{\sqrt {6x - 14} + 2}} - \left( {x + 3} ight) = 0\left( * ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Ta lại có:

    \begin{matrix} \left\{ \begin{gathered} \dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} < \dfrac{1}{2} \hfill \\ \dfrac{6}{{\sqrt {6x - 14} + 2}} < \dfrac{6}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + \dfrac{6}{{\sqrt {6x - 14} + 2}} < \dfrac{7}{2} \hfill \\ \end{matrix}

    Và x \geqslant \frac{7}{3} \Rightarrow x + 3 \geqslant \frac{7}{3} + 3 = \frac{{16}}{3}

    => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {VT\left( * ight) < \dfrac{7}{2}} \\ {VP\left( * ight) \geqslant \dfrac{{16}}{3}} \end{array} \Rightarrow \left( * ight)} ight. vô nghiệm.

    Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất x = 3.

  • Câu 12: Nhận biết
    Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

    Giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = x + \sqrt x - 1 là:

    Hướng dẫn:

     Ta có:

    \begin{matrix} C = x + \sqrt x - 1 \hfill \\ \Rightarrow C = {\left( {\sqrt x } ight)^2} + 2.\sqrt x .\dfrac{1}{2} + {\left( {\dfrac{1}{2}} ight)^2} - {\left( {\dfrac{1}{2}} ight)^2} - 1 \hfill \\ \Rightarrow C = \left[ {{{\left( {\sqrt x } ight)}^2} + 2.\sqrt x .\dfrac{1}{2} + {{\left( {\dfrac{1}{2}} ight)}^2}} ight] - \dfrac{5}{4} \hfill \\ \Rightarrow C = {\left( {\sqrt x + \dfrac{1}{2}} ight)^2} - \dfrac{5}{4} \hfill \\ \end{matrix}

    Vì \sqrt x \geqslant 0,\forall x \geqslant 0 \Rightarrow \sqrt x + \frac{1}{2} \geqslant \frac{1}{2}

    \begin{matrix} {\left( {\sqrt x + \dfrac{1}{2}} ight)^2} \geqslant \dfrac{1}{4} \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x + \dfrac{1}{2}} ight)^2} - \dfrac{5}{4} \geqslant \dfrac{1}{4} - \dfrac{5}{4} \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x + \dfrac{1}{2}} ight)^2} - \dfrac{5}{4} \geqslant - 1 \hfill \\ \Rightarrow {P_{\min }} = - 1 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 13: Nhận biết
    Xác định giá trị của biểu thức

    Tính giá trị biểu thức \frac{3}{2}\sqrt{6} + 2\sqrt{\frac{2}{3}} - 4\sqrt{\frac{3}{2}}?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \frac{3}{2}\sqrt{6} + 2\sqrt{\frac{2}{3}} - 4\sqrt{\frac{3}{2}}

    = \frac{3}{2}\sqrt{6} + 2\frac{\sqrt{6}}{3} - 4\frac{\sqrt{6}}{2}

    = \sqrt{6}\left( \frac{3}{2} + \frac{2}{3} - \frac{4}{2} ight) = \frac{\sqrt{6}}{2}

  • Câu 14: Vận dụng
    Tính giá trị của biểu thức

    Tính giá trị của biểu thức A = \frac{{2a.\sqrt {1 + {x^2}} }}{{\sqrt {1 + {x^2}} - x}} với x = \frac{1}{2}.\left( {\sqrt {\frac{{1 - a}}{2}} + \sqrt {\frac{a}{{1 - a}}} } ight)

    Kết quả của biểu thức là: 1

    Đáp án là:

    Tính giá trị của biểu thức A = \frac{{2a.\sqrt {1 + {x^2}} }}{{\sqrt {1 + {x^2}} - x}} với x = \frac{1}{2}.\left( {\sqrt {\frac{{1 - a}}{2}} + \sqrt {\frac{a}{{1 - a}}} } ight)

    Kết quả của biểu thức là: 1

     Ta có:

    \begin{matrix} x = \dfrac{1}{2}.\left( {\sqrt {\dfrac{{1 - a}}{2}} + \sqrt {\dfrac{a}{{1 - a}}} } ight) \hfill \\ \Rightarrow x = \dfrac{{1 - 2a}}{{2\sqrt {x\left( {1 - a} ight)} }} \hfill \\ \Rightarrow \sqrt {1 + {x^2}} = \dfrac{1}{{2\sqrt {x\left( {1 - a} ight)} }} \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} A = \dfrac{{2a.\sqrt {1 + {x^2}} }}{{\sqrt {1 + {x^2}} - x}} = \dfrac{{2a.\dfrac{1}{{2\sqrt {a.\left( {1 - a} ight)} }}}}{{\dfrac{1}{{2\sqrt {a.\left( {1 - a} ight)} }} - x}} = \dfrac{a}{{\sqrt {a\left( {1 - a} ight)} }}:\dfrac{{2a}}{{2\sqrt {a.\left( {1 - a} ight)} }} \hfill \\ = \dfrac{a}{{\sqrt {a\left( {1 - a} ight)} }}.\dfrac{{2\sqrt {a\left( {1 - a} ight)} }}{{2a}} = 1 \hfill \\ \end{matrix}

    => A = 1

  • Câu 15: Nhận biết
    Tìm phát biểu sai

    Phát biểu nào sau đây sai?

    Hướng dẫn:

    "Nếu a \geq 0 thì - {\sqrt{a}}^{2} = a" là phát biểu sai.

  • Câu 16: Nhận biết
    Tính giá trị biểu thức

    Giá trị của biểu thức \sqrt{(3\sqrt{5}-4\sqrt{2})(3\sqrt{5}+4\sqrt{2})} là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} \sqrt {\left( {3\sqrt 5 - 4\sqrt 2 } ight)\left( {3\sqrt 5 + 4\sqrt 2 } ight)} \hfill \\ = \sqrt {{{\left( {3\sqrt 5 } ight)}^2} - {{\left( {4\sqrt 2 } ight)}^2}} \hfill \\ = \sqrt {45 - 32} = \sqrt {13} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 17: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức chứa căn

    Kết quả của phép tính \frac{\sqrt{17 - 12\sqrt{2}}}{\sqrt{3 - 2\sqrt{2}}} bằng

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \frac{\sqrt{17 - 12\sqrt{2}}}{\sqrt{3 - 2\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{9 - 2.3.2\sqrt{2} + 8}}{\sqrt{2 - 2\sqrt{2}.1 + 1}}

    = \frac{\sqrt{\left( 3 - 2\sqrt{2} ight)^{2}}}{\sqrt{\left( \sqrt{2} - 1 ight)^{2}}} = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1}

    = \frac{\left( \sqrt{2} ight)^{2} - 2\sqrt{2}.1 + 1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\left( \sqrt{2} - 1 ight)^{2}}{\sqrt{2} - 1} = \sqrt{2} - 1

  • Câu 18: Vận dụng
    Tìm các giá trị của a

    Cho biểu thức G = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 5} - \frac{5}{\sqrt{a} + 5} - \frac{10\sqrt{a}}{a - 25}. Có bao nhiêu giá trị của a thỏa mãn |G| = \frac{1}{4}?

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định a \geq 0,a eq 25

    Ta có:

    G = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 5} - \frac{5}{\sqrt{a} + 5} - \frac{10\sqrt{a}}{a - 25}

    G = \frac{\sqrt{a}\left( \sqrt{a} + 5 ight)}{\left( \sqrt{a} + 5 ight)\left( \sqrt{a} - 5 ight)} - \frac{5\left( \sqrt{a} - 5 ight)}{\left( \sqrt{a} + 5 ight)\left( \sqrt{a} - 5 ight)} - \frac{10\sqrt{a}}{\left( \sqrt{a} + 5 ight)\left( \sqrt{a} - 5 ight)}

    G = \frac{a - 10\sqrt{a} + 25}{\left( \sqrt{a} + 5 ight)\left( \sqrt{a} - 5 ight)} = \frac{\left( \sqrt{a} - 5 ight)^{2}}{\left( \sqrt{a} + 5 ight)\left( \sqrt{a} - 5 ight)} = \frac{\sqrt{a} - 5}{\sqrt{a} + 5}

    Xét |G| = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \left| \frac{\sqrt{a} - 5}{\sqrt{a} + 5} ight| = \frac{1}{4}(*)

    TH1: a > 25 phương trình (*) tương đương

    \frac{\sqrt{a} - 5}{\sqrt{a} + 5} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow 4\sqrt{a} - 20 = \sqrt{a} + 5

    \Leftrightarrow a = \left( \frac{25}{3} ight)^{2} = \frac{625}{9}(tm)

    TH2: a < 25 phương trình (*) tương đương

    \frac{\sqrt{a} - 5}{\sqrt{a} + 5} = - \frac{1}{4} \Leftrightarrow - 4\sqrt{a} + 20 = \sqrt{a} + 5

    \Leftrightarrow a = 3^{2} = 9(tm)

    Vậy có 2 giá trị của a thỏa mãn yêu cầu đề bài.

  • Câu 19: Thông hiểu
    Giải phương trình chứa căn

    Cho phương trình \sqrt{x^{2} - 6x + 9} = 2x + 1. Xác định tập nghiệm của phương trình đã cho.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \sqrt{x^{2} - 6x + 9} = 2x +1

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x \geq - \dfrac{1}{2} \\x^{2} - 6x + 9 = (2x + 1)^{2} \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x \geq - \dfrac{1}{2} \\3x^{2} + 10x - 8 = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x \geq - \dfrac{1}{2} \\\left\lbrack \begin{matrix}x = \dfrac{2}{3}(tm) \\x = - 4(ktm) \\\end{matrix} ight.\ \\\end{matrix} ight.

    Vậy tập nghiệm phương trinh là S =\left\{ \frac{2}{3} ight\}.

  • Câu 20: Vận dụng cao
    Tính giá trị lớn nhất của biểu thức T

    Với x \geq 0;x eq 1, cho biểu thức T = \left( \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 1} - \frac{\sqrt{x} + 2}{x + 2\sqrt{x} + 1} ight).\frac{(1 - x)^{2}}{2}. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    T = \left( \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 1} - \frac{\sqrt{x} + 2}{x + 2\sqrt{x} + 1} ight).\frac{(1 - x)^{2}}{2}

    T = \left\lbrack \frac{\sqrt{x} - 2}{\left( \sqrt{x} - 1 ight)\left( \sqrt{x} + 1 ight)} - \frac{\sqrt{x} + 2}{\left( \sqrt{x} + 1 ight)^{2}} ightbrack.\frac{(x - 1)^{2}}{2}

    T = \left\lbrack \frac{\left( \sqrt{x} - 2 ight)\left( \sqrt{x} + 1 ight)}{\left( \sqrt{x} - 1 ight)\left( \sqrt{x} + 1 ight)^{2}} - \frac{\left( \sqrt{x} + 2 ight)\left( \sqrt{x} - 1 ight)}{\left( \sqrt{x} - 1 ight)\left( \sqrt{x} + 1 ight)^{2}} ightbrack.\frac{\left( \sqrt{x} - 1 ight)^{2}\left( \sqrt{x} + 1 ight)^{2}}{2}

    T = \left\lbrack \frac{x - \sqrt{x} - 2 - x - \sqrt{x} + 2}{\left( \sqrt{x} - 1 ight)\left( \sqrt{x} + 1 ight)^{2}} ightbrack.\frac{\left( \sqrt{x} - 1 ight)^{2}\left( \sqrt{x} + 1 ight)^{2}}{2}

    T = \sqrt{x} - x

    Với x \geq 0;x eq 1 ta có:

    T = \sqrt{x} - x = - \left( x - \sqrt{x} ight)

    = \frac{1}{4} - \left( x - \sqrt{x} + \frac{1}{4} ight)

    = \frac{1}{4} - \left( \sqrt{x} - \frac{1}{2} ight)^{2}

    Nhận thấy \frac{1}{4} - \left( \sqrt{x} - \frac{1}{2} ight)^{2} \leq \frac{1}{4} với x \geq 0;x eq 1

    Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \sqrt{x} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}(tm)

    Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức T bằng \frac{1}{4} khi x = \frac{1}{4}.

  • Câu 21: Vận dụng
    Tìm các giá trị của x để biểu thức

    Tìm các giá trị của x để biểu thức B = \frac{5}{{3\sqrt x + 2}} \in \mathbb{Z} là:

    Hướng dẫn:

    Ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0 \leqslant B \leqslant \dfrac{5}{2}} \\ {B \in \mathbb{Z}} \end{array}} ight. \Rightarrow B \in \left\{ {1;2} ight\}

    => B = 1 \Leftrightarrow \frac{5}{{3\sqrt x + 2}} = 1 \Rightarrow x = 1

    =>  B = 2 \Leftrightarrow \frac{5}{{3\sqrt x + 2}} = 2 \Rightarrow x = 2

  • Câu 22: Thông hiểu
    Thu gọn biểu thức

    Trục căn thức ở mẫu \frac{4}{3\sqrt{x} + 2\sqrt{y}};\left( x;y \geq 0;x eq \frac{4}{9}y ight) ta được kết quả là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \frac{4}{3\sqrt{x} + 2\sqrt{y}} = \frac{4\left( 3\sqrt{x} - 2\sqrt{y} ight)}{\left( 3\sqrt{x} + 2\sqrt{y} ight)\left( 3\sqrt{x} - 2\sqrt{y} ight)}

    = \frac{4\left( 3\sqrt{x} - 2\sqrt{y} ight)}{9x - 4y} = \frac{12\sqrt{x} - 8\sqrt{y}}{9x - 4y}

  • Câu 23: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức

    Giá trị của biểu thức \sqrt {\frac{3}{{20}}} + \sqrt {\frac{1}{{60}}} - 2\sqrt {\frac{1}{{15}}} là:

    Hướng dẫn:

     Ta có:

    \begin{matrix} \sqrt {\dfrac{3}{{20}}} + \sqrt {\dfrac{1}{{60}}} - 2\sqrt {\dfrac{1}{{15}}} \hfill \\ = \sqrt {\dfrac{3}{{4.5}}} + \sqrt {\dfrac{1}{{4.15}}} - 2\sqrt {\dfrac{1}{{15}}} \hfill \\ = \dfrac{{\sqrt 3 }}{{2\sqrt 5 }} + \dfrac{1}{{2\sqrt {15} }} - \dfrac{2}{{\sqrt {15} }} \hfill \\ = \dfrac{{\sqrt 3 .\sqrt 3 }}{{2\sqrt 5 .\sqrt 3 }} + \dfrac{1}{{2\sqrt {15} }} - \dfrac{2}{{\sqrt {15} }} \hfill \\ = \dfrac{3}{{2\sqrt {15} }} + \dfrac{1}{{2\sqrt {15} }} - \dfrac{2}{{\sqrt {15} }} \hfill \\ = \left( {\dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{2} - 2} ight).\dfrac{1}{{\sqrt {15} }} \hfill \\ = 0 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 24: Nhận biết
    Tính giá trị biểu thức

    Kết quả thu gọn biểu thức 3 - \sqrt[3]{- 64} bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    3 - \sqrt[3]{- 64} = 3 - ( - 4) = 7

  • Câu 25: Nhận biết
    Giá trị của biểu thức

    Giá trị của biểu thức: P = \frac{{\sqrt x - 1}}{{x - 1}} tại x = {\left( {1 - \sqrt 2 } ight)^2}

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    P = \frac{{\sqrt x - 1}}{{x - 1}} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} ight)\left( {\sqrt x + 1} ight)}} = \frac{1}{{\sqrt x + 1}}

    Mặt khác x = {\left( {1 - \sqrt 2 } ight)^2} \Rightarrow \sqrt x = \sqrt 2 - 1

    Thay x vào biểu thức P ta có: P = \frac{1}{{\sqrt 2 - 1 + 1}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}

  • Câu 26: Nhận biết
    Đưa biểu thức vào trong căn

    Cho y \leq 0. Biểu thức xy^{2}\sqrt{2z^{3}} bằng:

    Hướng dẫn:

    Với y \leq 0 ta có:

    xy^{2}\sqrt{2z^{3}} = - x^{2}\sqrt{y^{2}}.\sqrt{2z^{3}} = - x^{2}\sqrt{2y^{2}z^{3}}

  • Câu 27: Vận dụng
    Tìm x để P nguyên

    Cho P = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}. Tìm tất cả các giá trị x để P nhận những giá trị nguyên.

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định x \geqslant 0,x e 1

    Ta có: P = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} = 1 + \frac{2}{{\sqrt x - 1}}

    Ta có P nhận những giá trị nguyên mà 1 \in \mathbb{Z} \Rightarrow \frac{2}{{\sqrt x - 1}} \in \mathbb{Z}

    \left( {\sqrt x - 1} ight) \in U\left( 2 ight) = \left\{ { - 2;2; - 1;1} ight\}

    Ta có bảng sau:

    {\sqrt x - 1}

    -2

    -1

    1

    2

    x

    ktm

    0

    4

    9

    => x \in \left \{0;4;9 ight \}

  • Câu 28: Vận dụng
    Tìm số nghiệm của phương trình

    Số nghiệm của phương trình \sqrt {4{x^2} - 9} = 2\sqrt {2x + 3} là: 

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định: \left\{ \begin{gathered} 4{x^2} - 9 \geqslant 0 \hfill \\ 2x + 3 \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Phương trình tương đương:

    \begin{matrix} \sqrt {4{x^2} - 9} = 2\sqrt {2x + 3} \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt {4{x^2} - 9} = \sqrt {4.\left( {2x + 3} ight)} \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt {4{x^2} - 9} = \sqrt {8x + 12} \hfill \\ \Leftrightarrow 4{x^2} - 9 = 8x + 12 \hfill \\ \Leftrightarrow 4{x^2} - 8x + 21 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow 4{x^2} + 6x - 14x + 21 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow 2x\left( {2x + 3} ight) - 7\left( {2x + 3} ight) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {2x - 7} ight)\left( {2x + 3} ight) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 2x - 7 = 0 \hfill \\ 2x + 3 = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \dfrac{7}{2} \hfill \\ x = - \dfrac{3}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight.\left( {tm} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm.

  • Câu 29: Vận dụng
    Tính giá trị biểu thức

    Cho \sqrt{16-2x+x^{2}}-\sqrt{9-2x+x^{2}}=1. Tính giá trị của biểu thức A=\sqrt{16-2x+x^{2}}+\sqrt{9-2x+x^{2}}

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} dk:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {16 - 2x + {x^2} \geqslant 0} \\ {9 - 2x + {x^2} \geqslant 0} \end{array}} ight. \hfill \\ \sqrt {16 - 2x + {x^2}} - \sqrt {9 - 2x + {x^2}} = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {\sqrt {16 - 2x + {x^2}} - \sqrt {9 - 2x + {x^2}} } ight)\left( {\sqrt {16 - 2x + {x^2}} + \sqrt {9 - 2x + {x^2}} } ight)}}{{\sqrt {16 - 2x + {x^2}} + \sqrt {9 - 2x + {x^2}} }} = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {\sqrt {16 - 2x + {x^2}} } ight)}^2} - {{\left( {\sqrt {9 - 2x + {x^2}} } ight)}^2}}}{{\sqrt {16 - 2x + {x^2}} + \sqrt {9 - 2x + {x^2}} }} = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{16 - 2x + {x^2} - 9 + 2x - {x^2}}}{{\sqrt {16 - 2x + {x^2}} + \sqrt {9 - 2x + {x^2}} }} = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{7}{A} = 1 \Leftrightarrow A = 7 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 30: Thông hiểu
    Giải phương trình chứa căn

    Tìm các giá trị của x thỏa mãn phương trình \sqrt{4x - 20} + \frac{3}{5}\sqrt{x - 5} -\frac{1}{6}\sqrt{9x - 45} = \frac{21}{5}?

    Hướng dẫn:

    Thay các giá trị x lần lượt vào phương trình ta thấy x = 9 thỏa mãn.

    Vậy phương trình có nghiệm x =9.

0/30
30 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (27%):
    2/3
  • Thông hiểu (33%):
    2/3
  • Vận dụng (27%):
    2/3
  • Vận dụng cao (13%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
18 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này