Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Thi vào lớp 10 Ôn Chuyên đề Toán 9
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Ôn thi vào 10 môn Toán: Rút gọn biểu thức và các câu toán liên quan

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 30 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 30 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Thông hiểu
    Tìm các giá trị của tham số b thỏa mãn điều kiện

    Cho biểu thức C = \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b} - 1} - \frac{6\sqrt{b} - 4}{b - 1} + \frac{3}{\sqrt{b} + 1}. Tìm tất cả các giá trị của b sao cho 2C < 1?

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định \left\{ \begin{matrix} b \geq 0 \\ \sqrt{b} - 1 eq 0 \\ \sqrt{b} + 1 eq 0 \\ b - 1 eq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} b \geq 0 \\ b eq 1 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có:

    C = \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b} - 1} - \frac{6\sqrt{b} - 4}{b - 1} + \frac{3}{\sqrt{b} + 1}

    C = \frac{\sqrt{b}\left( \sqrt{b} + 1 ight) - 6\sqrt{b} + 4 + 3\left( \sqrt{b} - 1 ight)}{\left( \sqrt{b} - 1 ight)\left( \sqrt{b} + 1 ight)}

    C = \frac{b - 2\sqrt{b} + 1}{\left( \sqrt{b} - 1 ight)\left( \sqrt{b} + 1 ight)}

    C = \frac{\left( \sqrt{b} - 1 ight)^{2}}{\left( \sqrt{b} - 1 ight)\left( \sqrt{b} + 1 ight)} = \frac{\sqrt{b} - 1}{\sqrt{b} + 1}

    Theo bài ra ta có:

    2C < 1 \Leftrightarrow C < \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{\sqrt{b} - 1}{\sqrt{b} + 1} < \frac{1}{2}

    \Leftrightarrow \frac{\sqrt{b} - 1}{\sqrt{b} + 1} - \frac{1}{2} < 0 \Leftrightarrow \frac{2\sqrt{b} - 2 - \sqrt{b} - 1}{2\left( \sqrt{b} + 1 ight)} < 0

    \Leftrightarrow \sqrt{b} - 3 < 0 \Leftrightarrow \sqrt{b} < 3 \Leftrightarrow b < 9

    Kết hợp với điều kiện xác định ta suy ra \left\{ \begin{matrix} 0 \leq b < 9 \\ b eq 1 \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 2: Vận dụng cao
    Tìm giá trị của biểu thức E

    Cho biểu thức C = a - 2\sqrt{a} với a \geq 0. Biểu thức B đạt giá trị nhỏ nhất khi a = a_{0}. Giá trị của biểu thức E = {a_{0}}^{2} + 1 là:

    Hướng dẫn:

    Với a \geq 0 ta có:

    C = a - 2\sqrt{a} = a - 2\sqrt{a} + 1 - 1 = \left( \sqrt{a} - 1 ight)^{2} - 1

    Vì \left( \sqrt{a} - 1 ight)^{2} \geq 0;\forall a \geq 0 nên \left( \sqrt{a} - 1 ight)^{2} - 1 \geq 1

    Suy ra C đạt giá trị nhỏ nhất khi dấu bằng xảy ra

    Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \sqrt{a} - 1 = 0 \Leftrightarrow a = 1 \Rightarrow a_{0} = 1

    \Rightarrow E = {a_{0}}^{2} + 1 = 2

  • Câu 3: Vận dụng
    Tìm các giá trị nguyên của x để N nguyên

    Cho biểu thức N = \frac{7 + 3\sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}};(x \geq 0). Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của x để biểu thức N nhận giá trị nguyên?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    N = \frac{7 + 3\sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}} = \frac{3\sqrt{x} + 3 + 4}{\sqrt{x} + 1} = 3 + \frac{4}{\sqrt{x} + 1}

    Để N\mathbb{\in Z \Rightarrow}\frac{4}{\sqrt{x} + 1}\mathbb{\in Z} hay \sqrt{x} + 1 \in U(4) = \left\{ \pm 4; \pm 2; \pm 1 ight\}

    Vì \Rightarrow \sqrt{x} \in \left\{ - 5; - 3; - 2;0;1;3 ight\} với mọi x \geq 0 \Rightarrow \sqrt{x} \in \left\{ 0;1;3 ight\} \Rightarrow x \in \left\{ 0;1;9 ight\}

    Vậy có 3 giá trị nguyên của x thỏa mãn điều kiện bài toán.

  • Câu 4: Nhận biết
    Tính giá trị biểu thức

    Biểu thức \left( 2 + 3\sqrt{3} ight)\left( \sqrt{27} - 2 ight) có giá trị bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \left( 2 + 3\sqrt{3} ight)\left( \sqrt{27} - 2 ight) = \left( \sqrt{27} + 2 ight)\left( \sqrt{27} - 2 ight)

    = \sqrt{27^{2}} - 2^{2} = 27 - 4 = 23

  • Câu 5: Nhận biết
    Kết luận nào đúng

    So sánh 9 với \sqrt{79}, ta được kết luận đúng nào ?

  • Câu 6: Nhận biết
    Chọn khẳng định đúng

    Cho M = 5 và N = \frac{\sqrt{50}}{2}. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    N = \frac{\sqrt{50}}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2} = \frac{5}{\sqrt{2}} < 5 = M

    Vậy M > N.

  • Câu 7: Vận dụng
    Tìm các giá trị của x để biểu thức

    Tìm các giá trị của x để biểu thức B = \frac{5}{{3\sqrt x + 2}} \in \mathbb{Z} là:

    Hướng dẫn:

    Ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0 \leqslant B \leqslant \dfrac{5}{2}} \\ {B \in \mathbb{Z}} \end{array}} ight. \Rightarrow B \in \left\{ {1;2} ight\}

    => B = 1 \Leftrightarrow \frac{5}{{3\sqrt x + 2}} = 1 \Rightarrow x = 1

    =>  B = 2 \Leftrightarrow \frac{5}{{3\sqrt x + 2}} = 2 \Rightarrow x = 2

  • Câu 8: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức

    Khi a \geq 0,b \geq 0 và a eq b . Tính giá trị của \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\frac{2b}{a-b}

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt a - \sqrt b }} - \dfrac{{\sqrt b }}{{\sqrt a + \sqrt b }} - \dfrac{{2b}}{{a - b}} \hfill \\ = \dfrac{{\sqrt a \left( {\sqrt a + \sqrt b } ight) - \sqrt b \left( {\sqrt a - \sqrt b } ight)}}{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } ight)\left( {\sqrt a + \sqrt b } ight)}} \hfill \\ - \dfrac{{2b}}{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } ight)\left( {\sqrt a + \sqrt b } ight)}} \hfill \\ = \dfrac{{a + \sqrt {ab} - \sqrt {ab} + b - 2b}}{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } ight)\left( {\sqrt a + \sqrt b } ight)}} \hfill \\ = \dfrac{{a - b}}{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } ight)\left( {\sqrt a + \sqrt b } ight)}} = 1 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 9: Thông hiểu
    Giải phương trình chứa căn

    Cho phương trình \sqrt{x^{2} - 6x + 9} = 2x + 1. Xác định tập nghiệm của phương trình đã cho.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \sqrt{x^{2} - 6x + 9} = 2x +1

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x \geq - \dfrac{1}{2} \\x^{2} - 6x + 9 = (2x + 1)^{2} \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x \geq - \dfrac{1}{2} \\3x^{2} + 10x - 8 = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x \geq - \dfrac{1}{2} \\\left\lbrack \begin{matrix}x = \dfrac{2}{3}(tm) \\x = - 4(ktm) \\\end{matrix} ight.\ \\\end{matrix} ight.

    Vậy tập nghiệm phương trinh là S =\left\{ \frac{2}{3} ight\}.

  • Câu 10: Thông hiểu
    Tìm điều kiện của x và y

    Với giá trị nào của x và y ta có \sqrt{\frac{y}{x^{2}}} = \frac{\sqrt{y}}{x}:

    Hướng dẫn:

    Để \sqrt{\frac{y}{x^{2}}} có nghĩa khi y \geq 0;x eq 0 (1)

    Khi đó \sqrt{\frac{y}{x^{2}}} = \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x^{2}}} = \frac{\sqrt{y}}{|x|}

    Để |x| = x thì x \geq 0 (2)

    Từ (1) và (2) suy ra y \geq 0;x > 0

  • Câu 11: Vận dụng
    Tính giá trị biểu thức M

    Cho a = \sqrt{\frac{5}{3}} + \sqrt{\frac{3}{5}}. Tính giá trị của biểu thức M = \sqrt{15a^{2} - 8a\sqrt{15} + 16}?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    a = \sqrt{\frac{5}{3}} + \sqrt{\frac{3}{5}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{5 + 3}{\sqrt{3}.\sqrt{5}} = \frac{8}{\sqrt{15}}

    Khi đó giá trị biểu thức M là:

    M = \sqrt{15\left( \frac{8}{\sqrt{15}} ight)^{2} - 8\frac{8}{\sqrt{15}}\sqrt{15} + 16} = \sqrt{16} = 4

  • Câu 12: Thông hiểu
    Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

    Đưa thừa số \sqrt {144.{{\left( {3 + 2a} ight)}^4}} ra ngoài dấu căn ta được?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} \sqrt {144.{{\left( {3 + 2a} ight)}^4}} = \sqrt {{{12}^2}.{{\left[ {{{\left( {3 + 2a} ight)}^2}} ight]}^2}} \hfill \\ = \sqrt {{{12}^2}} .\sqrt {{{\left[ {{{\left( {3 + 2a} ight)}^2}} ight]}^2}} \hfill \\ = 12.\left| {{{\left( {3 + 2a} ight)}^2}} ight| \hfill \\ = 12.{\left( {3 + 2a} ight)^2} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 13: Nhận biết
    Xác định khẳng định đúng

    Khẳng định nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Ta có nếu x < 0 thì \sqrt{x^{2}} = |x| = - x.

  • Câu 14: Thông hiểu
    Khử căn thức ở mẫu của biểu thức

    Trục căn thức ở mẫu của biểu thức \frac{3}{6 + \sqrt{3a}} với a \geq 0;a eq 12 thu được kết quả là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \frac{3}{6 + \sqrt{3a}} = \frac{3\left( 6 - \sqrt{3a} ight)}{\left( 6 + \sqrt{3a} ight)\left( 6 - \sqrt{3a} ight)}

    = \frac{3\left( 6 - \sqrt{3a} ight)}{6^{2} - \left( \sqrt{3a} ight)^{2}} = \frac{3\left( 6 - \sqrt{3a} ight)}{36 - 3a}

    = \frac{18 - 3\sqrt{3a}}{3(12 - a)} = \frac{3\left( 6 - \sqrt{3a} ight)}{3(12 - a)} = \frac{6 - \sqrt{3a}}{12 - a}

  • Câu 15: Vận dụng
    Tìm x biết A = B

    Với x \geq 3 cho biểu thức A = \sqrt{x^{2} - 9} và B = 3\sqrt{x - 3}. Có bao nhiêu giá trị của x để A = B?

    Hướng dẫn:

    Ta có với x \geq 3 thì x - 3 \geq 0

    Theo bài ra ta có:

    A = B \Leftrightarrow \sqrt{x^{2} - 9} = 3\sqrt{x - 3}

    \Leftrightarrow \sqrt{x^{2} - 9} - 3\sqrt{x - 3} = 0

    \Leftrightarrow \sqrt{(x - 3)(x + 3)} - 3\sqrt{x - 3} = 0

    \Leftrightarrow \sqrt{x - 3}\left( \sqrt{(x + 3)} - 3 ight) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \sqrt{x - 3} = 0 \\ \sqrt{x + 3} = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x - 3 = 0 \\ x + 3 = 9 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 3 \\ x = 6 \\ \end{matrix} ight.

    Kết hợp với điều kiện x \geq 3 suy ra có hai giá trị thỏa mãn điều kiện đề bài.

  • Câu 16: Vận dụng cao
    Tính giá trị biểu thức M = x + y

    Biết \left( {x + \sqrt {{x^2} + 3} } ight).\left( {y + \sqrt {{y^2} + 3} } ight) = 3. Tính giá trị biểu thức M = x + y

    Kết quả của biểu thức là: 0||1||4||5

    Đáp án là:

    Biết \left( {x + \sqrt {{x^2} + 3} } ight).\left( {y + \sqrt {{y^2} + 3} } ight) = 3. Tính giá trị biểu thức M = x + y

    Kết quả của biểu thức là: 0||1||4||5

     Ta có:

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {x + \sqrt {{x^2} + 3} } ight).\left( {x - \sqrt {{x^2} + 3} } ight)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 3} } ight) = 3\left( {x - \sqrt {{x^2} + 3} } ight)} \\ {\left( {x + \sqrt {{x^2} + 3} } ight).\left( {y + \sqrt {{y^2} + 3} } ight).\left( {y - \sqrt {{y^2} + 3} } ight) = 3\left( {y - \sqrt {{y^2} + 3} } ight)} \end{array}} ight.

    => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y + \sqrt {{y^2} + 3} = - \left( {x - \sqrt {{x^2} + 3} } ight)} \\ {\left( {x + \sqrt {{x^2} + 3} } ight) = - \left( {y - \sqrt {{y^2} + 3} } ight)} \end{array}} ight.

    Cộng hai vế của phương trình

    => x = -y

    => x + y = 0

    => M = 0

  • Câu 17: Vận dụng
    Tìm các giá trị của a

    Cho biểu thức G = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 5} - \frac{5}{\sqrt{a} + 5} - \frac{10\sqrt{a}}{a - 25}. Có bao nhiêu giá trị của a thỏa mãn |G| = \frac{1}{4}?

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định a \geq 0,a eq 25

    Ta có:

    G = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 5} - \frac{5}{\sqrt{a} + 5} - \frac{10\sqrt{a}}{a - 25}

    G = \frac{\sqrt{a}\left( \sqrt{a} + 5 ight)}{\left( \sqrt{a} + 5 ight)\left( \sqrt{a} - 5 ight)} - \frac{5\left( \sqrt{a} - 5 ight)}{\left( \sqrt{a} + 5 ight)\left( \sqrt{a} - 5 ight)} - \frac{10\sqrt{a}}{\left( \sqrt{a} + 5 ight)\left( \sqrt{a} - 5 ight)}

    G = \frac{a - 10\sqrt{a} + 25}{\left( \sqrt{a} + 5 ight)\left( \sqrt{a} - 5 ight)} = \frac{\left( \sqrt{a} - 5 ight)^{2}}{\left( \sqrt{a} + 5 ight)\left( \sqrt{a} - 5 ight)} = \frac{\sqrt{a} - 5}{\sqrt{a} + 5}

    Xét |G| = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \left| \frac{\sqrt{a} - 5}{\sqrt{a} + 5} ight| = \frac{1}{4}(*)

    TH1: a > 25 phương trình (*) tương đương

    \frac{\sqrt{a} - 5}{\sqrt{a} + 5} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow 4\sqrt{a} - 20 = \sqrt{a} + 5

    \Leftrightarrow a = \left( \frac{25}{3} ight)^{2} = \frac{625}{9}(tm)

    TH2: a < 25 phương trình (*) tương đương

    \frac{\sqrt{a} - 5}{\sqrt{a} + 5} = - \frac{1}{4} \Leftrightarrow - 4\sqrt{a} + 20 = \sqrt{a} + 5

    \Leftrightarrow a = 3^{2} = 9(tm)

    Vậy có 2 giá trị của a thỏa mãn yêu cầu đề bài.

  • Câu 18: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức

    Thực hiện phép tính \left( \sqrt{27} + \sqrt{48} ight)^{2} - \left( \sqrt{27} - \sqrt{48} ight)^{2} ta được kết quả là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \left( \sqrt{27} + \sqrt{48} ight)^{2} - \left( \sqrt{27} - \sqrt{48} ight)^{2}

    = \left( \sqrt{27} + \sqrt{48} + \sqrt{27} - \sqrt{48} ight)\left( \sqrt{27} + \sqrt{48} - \sqrt{27} + \sqrt{48} ight)

    = 2\sqrt{27}.2\sqrt{48} = 2\sqrt{3.9}.2\sqrt{3.16} = 4.\left( \sqrt{3} ight)^{2}.3.4 = 144

  • Câu 19: Nhận biết
    Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

    Giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = x + \sqrt x - 1 là:

    Hướng dẫn:

     Ta có:

    \begin{matrix} C = x + \sqrt x - 1 \hfill \\ \Rightarrow C = {\left( {\sqrt x } ight)^2} + 2.\sqrt x .\dfrac{1}{2} + {\left( {\dfrac{1}{2}} ight)^2} - {\left( {\dfrac{1}{2}} ight)^2} - 1 \hfill \\ \Rightarrow C = \left[ {{{\left( {\sqrt x } ight)}^2} + 2.\sqrt x .\dfrac{1}{2} + {{\left( {\dfrac{1}{2}} ight)}^2}} ight] - \dfrac{5}{4} \hfill \\ \Rightarrow C = {\left( {\sqrt x + \dfrac{1}{2}} ight)^2} - \dfrac{5}{4} \hfill \\ \end{matrix}

    Vì \sqrt x \geqslant 0,\forall x \geqslant 0 \Rightarrow \sqrt x + \frac{1}{2} \geqslant \frac{1}{2}

    \begin{matrix} {\left( {\sqrt x + \dfrac{1}{2}} ight)^2} \geqslant \dfrac{1}{4} \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x + \dfrac{1}{2}} ight)^2} - \dfrac{5}{4} \geqslant \dfrac{1}{4} - \dfrac{5}{4} \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x + \dfrac{1}{2}} ight)^2} - \dfrac{5}{4} \geqslant - 1 \hfill \\ \Rightarrow {P_{\min }} = - 1 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 20: Vận dụng
    Tìm x để P nguyên

    Cho P = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}. Tìm tất cả các giá trị x để P nhận những giá trị nguyên.

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định x \geqslant 0,x e 1

    Ta có: P = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} = 1 + \frac{2}{{\sqrt x - 1}}

    Ta có P nhận những giá trị nguyên mà 1 \in \mathbb{Z} \Rightarrow \frac{2}{{\sqrt x - 1}} \in \mathbb{Z}

    \left( {\sqrt x - 1} ight) \in U\left( 2 ight) = \left\{ { - 2;2; - 1;1} ight\}

    Ta có bảng sau:

    {\sqrt x - 1}

    -2

    -1

    1

    2

    x

    ktm

    0

    4

    9

    => x \in \left \{0;4;9 ight \}

  • Câu 21: Nhận biết
    Chọn đáp án đúng

    Đưa thừa số \sqrt{7x^{2}} với x > 0 ra ngoài dấu căn sẽ được:

    Hướng dẫn:

    Với x > 0 ta có:

    \sqrt{7x^{2}} = |x|\sqrt{7} = \sqrt{7}x

  • Câu 22: Nhận biết
    Tính giá trị của biểu thức

    Tính giá trị của biểu thức D = \sqrt {15{b^2} - 8b\sqrt {15} + 16} với: b = \sqrt {\frac{3}{5}}

    Hướng dẫn:

     D = \sqrt {15{b^2} - 8b\sqrt {15} + 16} = \sqrt {{{\left( {b\sqrt {15} - 4} ight)}^2}} = \left| {b\sqrt {15} - 4} ight|

    Thay số ta được D = 1

  • Câu 23: Thông hiểu
    Rút gọn biểu thức

    Đơn giản biểu thức C = \frac{\sqrt{8} - \sqrt{27}}{\sqrt{2} - \sqrt{3}} - \sqrt{6} ta được kết quả là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    C = \frac{\sqrt{8} - \sqrt{27}}{\sqrt{2} - \sqrt{3}} - \sqrt{6}

    C = \frac{\left( \sqrt{2} - \sqrt{3} ight)\left( 2 + \sqrt{6} + 3 ight)}{\sqrt{2} - \sqrt{3}} - \sqrt{6}

    C = 2 + \sqrt{6} + 3 - \sqrt{6} = 5

  • Câu 24: Thông hiểu
    Tập hợp các số thực

    Tập hợp các số thực để \frac{(\sqrt{x}-1)\left(x^2-4ight)}{x-1}=0 là:

    Gợi ý:

    Ta có: A.B = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {A = 0} \\ {B = 0} \end{array}} ight.

    - Các bước giải phương trình chứa ấn ở mẫu

    Bước 1: Tìm điều kiện các định.

    Bước 2: Quy đồng phân thức

    Bước 3: Giải phương trình

    Bước 4: So sánh đối chiếu với điều kiện và kết luận

     

    Hướng dẫn:

     Điều kiện x \geqslant 0;x e 1

    \begin{matrix} \dfrac{{\left( {\sqrt x - 1} ight)\left( {{x^2} - 4} ight)}}{{x - 1}} = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt x - 1} ight)\left( {{x^2} - 4} ight) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt x - 1 = 0} \\ {{x^2} - 4 = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1\left( l ight)} \\ \begin{gathered} x = 2\left( {tm} ight) \hfill \\ x = - 2\left( l ight) \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 25: Vận dụng
    Tìm x thỏa mãn biểu thức

    Cho biểu thức M = \left( 1 - \frac{4}{\sqrt{x} + 1} + \frac{1}{x - 1} ight):\frac{x - 2\sqrt{x}}{x - 1} với x \geq 0;x eq 1;x eq 4. Với giá trị nào của x thì M = \frac{1}{2}?

    Hướng dẫn:

    M = \left( 1 - \frac{4}{\sqrt{x} + 1} + \frac{1}{x - 1} ight):\frac{x - 2\sqrt{x}}{x - 1}

    M = \left\lbrack 1 - \frac{4}{\sqrt{x} + 1} + \frac{1}{\left( \sqrt{x} + 1 ight)\left( \sqrt{x} - 1 ight)} ightbrack:\frac{x - 2\sqrt{x}}{\left( \sqrt{x} + 1 ight)\left( \sqrt{x} - 1 ight)}

    M = \left\lbrack \frac{\left( \sqrt{x} +1 ight)\left( \sqrt{x} - 1 ight)}{\left( \sqrt{x} + 1 ight)\left(\sqrt{x} - 1 ight)} - \frac{4\left( \sqrt{x} - 1 ight)}{\left(\sqrt{x} + 1 ight)\left( \sqrt{x} - 1 ight)} + \frac{1}{\left(\sqrt{x} + 1 ight)\left( \sqrt{x} - 1 ight)}ightbrack.\frac{{\left( {\sqrt x + 1} ight)\left( {\sqrt x - 1} ight)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} ight)}}

    M = \left\lbrack \frac{x - 1 - 4\sqrt{x} + 4 + 1}{\left( \sqrt{x} + 1 ight)\left( \sqrt{x} - 1 ight)} ightbrack.\frac{\left( \sqrt{x} + 1 ight)\left( \sqrt{x} - 1 ight)}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 2 ight)}

    M = \frac{\left( \sqrt{x} - 2 ight)^{2}}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 2 ight)} = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}

    Theo bài ra ta có:

    M = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}} = \frac{1}{2}

    \Leftrightarrow 2\sqrt{x} - 4 = \sqrt{x} \Leftrightarrow \sqrt{x} = 4 \Leftrightarrow x = 16(tm)

    Vậy x = 16 là giá trị cần tìm.

  • Câu 26: Thông hiểu
    Giải phương trình chứa căn

    Tìm các giá trị của x thỏa mãn phương trình \sqrt{4x - 20} + \frac{3}{5}\sqrt{x - 5} -\frac{1}{6}\sqrt{9x - 45} = \frac{21}{5}?

    Hướng dẫn:

    Thay các giá trị x lần lượt vào phương trình ta thấy x = 9 thỏa mãn.

    Vậy phương trình có nghiệm x =9.

  • Câu 27: Vận dụng cao
    Tính giá trị lớn nhất của A

    Cho biểu thức: A = \left( {\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt {xy} + 1}} + \frac{{\sqrt {xy} + \sqrt x }}{{1 - \sqrt {xy} }} + 1} ight):\left( {1 - \frac{{\sqrt {xy} + \sqrt x }}{{1 - \sqrt {xy} }} - \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt {xy} + 1}}} ight)

    Nếu \frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}=6 thì Max A bằng ?

    Hướng dẫn:

     Ta có:

    \begin{matrix} A = \left( {\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt {xy} + 1}} + \dfrac{{\sqrt {xy} + \sqrt x }}{{1 - \sqrt {xy} }} + 1} ight):\left( {1 - \dfrac{{\sqrt {xy} + \sqrt x }}{{1 - \sqrt {xy} }} - \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt {xy} + 1}}} ight) \hfill \\ = M:N \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} M = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt {xy} + 1}} + \dfrac{{\sqrt {xy} + \sqrt x }}{{1 - \sqrt {xy} }} + 1 \hfill \\ = \dfrac{{\left( {\sqrt x + 1} ight)\left( {1 - \sqrt {xy} } ight) + \sqrt x \left( {\sqrt y + 1} ight)\left( {\sqrt {xy} + 1} ight) + \left( {1 + \sqrt {xy} } ight)\left( {1 - \sqrt {xy} } ight)}}{{\left( {1 + \sqrt {xy} } ight)\left( {1 - \sqrt {xy} } ight)}} \hfill \\ = \dfrac{{\sqrt x - x\sqrt y + 1 - \sqrt {xy} + xy + \sqrt {xy} + x\sqrt y + \sqrt x + 1 - xy}}{{\left( {1 + \sqrt {xy} } ight)\left( {1 - \sqrt {xy} } ight)}} \hfill \\ = \dfrac{{2\sqrt x + 2}}{{\left( {1 + \sqrt {xy} } ight)\left( {1 - \sqrt {xy} } ight)}} \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} N = 1 - \dfrac{{\sqrt {xy} + \sqrt x }}{{\sqrt {xy} - 1}} - \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt {xy} + 1}} \hfill \\ = \dfrac{{\left( {\sqrt {xy} - 1} ight)\left( {\sqrt {xy} + 1} ight) - \left( {\sqrt {xy} + \sqrt x } ight)\left( {\sqrt {xy} + 1} ight) - \left( {\sqrt x + 1} ight)\left( {\sqrt {xy} - 1} ight)}}{{\left( {\sqrt {xy} - 1} ight)\left( {\sqrt {xy} + 1} ight)}} \hfill \\ = \dfrac{{xy - 1 - xy - \sqrt {xy} - x\sqrt y - \sqrt x - x\sqrt y + \sqrt x - \sqrt {xy} + 1}}{{\left( {\sqrt {xy} - 1} ight)\left( {\sqrt {xy} + 1} ight)}} \hfill \\ = \dfrac{{ - 2\sqrt {xy} - 2x\sqrt y }}{{\left( {\sqrt {xy} - 1} ight)\left( {\sqrt {xy} + 1} ight)}} \hfill \\ = \dfrac{{ - 2\sqrt {xy} (\sqrt x + 1)}}{{\left( {\sqrt {xy} - 1} ight)\left( {\sqrt {xy} + 1} ight)}} \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} \Rightarrow A = \dfrac{{2\sqrt x + 2}}{{\left( {1 + \sqrt {xy} } ight)\left( {1 - \sqrt {xy} } ight)}}:\dfrac{{ - 2\sqrt {xy} (\sqrt x + 1)}}{{\left( {\sqrt {xy} - 1} ight)\left( {\sqrt {xy} + 1} ight)}} \hfill \\ = \dfrac{{2\left( {\sqrt x + 1} ight)}}{{\left( {1 + \sqrt {xy} } ight)\left( {1 - \sqrt {xy} } ight)}}:\dfrac{{2\sqrt {xy} (\sqrt x + 1)}}{{\left( {1 + \sqrt {xy} } ight)\left( {1 - \sqrt {xy} } ight)}} \hfill \\ = \dfrac{{2\left( {\sqrt x + 1} ight)}}{{\left( {1 + \sqrt {xy} } ight)\left( {1 - \sqrt {xy} } ight)}}.\dfrac{{\left( {1 + \sqrt {xy} } ight)\left( {1 - \sqrt {xy} } ight)}}{{2\sqrt {xy} (\sqrt x + 1)}} \hfill \\ = \dfrac{1}{{\sqrt {xy} }} \hfill \\ \end{matrix}

    Áp dụng bất đẳng thức {\left( {a + b} ight)^2} \geqslant 4ab khi đó ta có:

    A = \frac{1}{{\sqrt x .\sqrt y }} \leqslant \frac{1}{4}{\left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt y }}} ight)^2} = \frac{1}{4}{.6^2} = 9

    Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \left\{ \begin{gathered} \sqrt x = \sqrt y \hfill \\ \dfrac{1}{{\sqrt x }} + \dfrac{1}{{\sqrt y }} = 6 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow x = y = \frac{1}{9}

  • Câu 28: Vận dụng
    Tính giá trị của biểu thức

    Tính giá trị của biểu thức A = \frac{{2a.\sqrt {1 + {x^2}} }}{{\sqrt {1 + {x^2}} - x}} với x = \frac{1}{2}.\left( {\sqrt {\frac{{1 - a}}{2}} + \sqrt {\frac{a}{{1 - a}}} } ight)

    Kết quả của biểu thức là: 1

    Đáp án là:

    Tính giá trị của biểu thức A = \frac{{2a.\sqrt {1 + {x^2}} }}{{\sqrt {1 + {x^2}} - x}} với x = \frac{1}{2}.\left( {\sqrt {\frac{{1 - a}}{2}} + \sqrt {\frac{a}{{1 - a}}} } ight)

    Kết quả của biểu thức là: 1

     Ta có:

    \begin{matrix} x = \dfrac{1}{2}.\left( {\sqrt {\dfrac{{1 - a}}{2}} + \sqrt {\dfrac{a}{{1 - a}}} } ight) \hfill \\ \Rightarrow x = \dfrac{{1 - 2a}}{{2\sqrt {x\left( {1 - a} ight)} }} \hfill \\ \Rightarrow \sqrt {1 + {x^2}} = \dfrac{1}{{2\sqrt {x\left( {1 - a} ight)} }} \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} A = \dfrac{{2a.\sqrt {1 + {x^2}} }}{{\sqrt {1 + {x^2}} - x}} = \dfrac{{2a.\dfrac{1}{{2\sqrt {a.\left( {1 - a} ight)} }}}}{{\dfrac{1}{{2\sqrt {a.\left( {1 - a} ight)} }} - x}} = \dfrac{a}{{\sqrt {a\left( {1 - a} ight)} }}:\dfrac{{2a}}{{2\sqrt {a.\left( {1 - a} ight)} }} \hfill \\ = \dfrac{a}{{\sqrt {a\left( {1 - a} ight)} }}.\dfrac{{2\sqrt {a\left( {1 - a} ight)} }}{{2a}} = 1 \hfill \\ \end{matrix}

    => A = 1

  • Câu 29: Vận dụng cao
    Giải phương trình

    Phương trình \sqrt {x + 1} + \sqrt {6x - 14} = {x^2} - 5 có bao nhiêu nghiệm?

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định:

    \left\{ \begin{gathered} x + 1 \geqslant 0 \hfill \\ 6x - 14 \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant - 1 \hfill \\ x \geqslant \frac{7}{3} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow x \geqslant \frac{7}{3}

    => {x^2} - 5 \geqslant 0

    Phương trình tương đương:

    \begin{matrix} \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} - 2 + \sqrt {6x - 14} - 2 = {x^2} - 9 \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{x - 3}}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + \dfrac{{6\left( {x - 3} ight)}}{{\sqrt {6x - 14} + 2}} = \left( {x - 3} ight)\left( {x + 3} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} \Leftrightarrow \left( {x - 3} ight).\left[ {\dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + \dfrac{6}{{\sqrt {6x - 14} + 2}} - \left( {x + 3} ight)} ight] = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x - 3 = 0 \hfill \\ \dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + \dfrac{6}{{\sqrt {6x - 14} + 2}} - \left( {x + 3} ight) = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 3 \hfill \\ \frac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + \frac{6}{{\sqrt {6x - 14} + 2}} - \left( {x + 3} ight) = 0\left( * ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Ta lại có:

    \begin{matrix} \left\{ \begin{gathered} \dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} < \dfrac{1}{2} \hfill \\ \dfrac{6}{{\sqrt {6x - 14} + 2}} < \dfrac{6}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + \dfrac{6}{{\sqrt {6x - 14} + 2}} < \dfrac{7}{2} \hfill \\ \end{matrix}

    Và x \geqslant \frac{7}{3} \Rightarrow x + 3 \geqslant \frac{7}{3} + 3 = \frac{{16}}{3}

    => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {VT\left( * ight) < \dfrac{7}{2}} \\ {VP\left( * ight) \geqslant \dfrac{{16}}{3}} \end{array} \Rightarrow \left( * ight)} ight. vô nghiệm.

    Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất x = 3.

  • Câu 30: Nhận biết
    Tìm điều kiện xác định của phương trình

    Tìm điều kiện xác định của phương trình \sqrt{(x - 4)^{2}} - 2x = \frac{4 - x}{\sqrt{x^{2}- 8x + 16}}?

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định:

    \left\{ \begin{matrix}(x - 4)^{2} \geq 0 \\x^{2} - 8x + 16 > 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}(x - 4)^{2} \geq 0 \\(x - 4)^{2} > 0 \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow (x - 4)^{2} > 0\Leftrightarrow x eq 4

0/30
30 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (27%):
    2/3
  • Thông hiểu (33%):
    2/3
  • Vận dụng (27%):
    2/3
  • Vận dụng cao (13%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
13 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này