Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Thi vào lớp 10 Ôn Chuyên đề Toán 9
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Ôn thi vào 10 môn Toán: Rút gọn biểu thức và các câu toán liên quan

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 30 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 30 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Nhận biết
    Chọn đáp án đúng

    Trục căn thức ở mẫu thức của biểu thức \frac{6}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} ta được kết quả là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \frac{6}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{6\left( \sqrt{5} + \sqrt{3} ight)}{\left( \sqrt{5} - \sqrt{3} ight)\left( \sqrt{5} + \sqrt{3} ight)}

    = \frac{6\left( \sqrt{5} + \sqrt{3} ight)}{\left( \sqrt{5} ight)^{2} - \left( \sqrt{3} ight)^{2}} = \frac{6\left( \sqrt{5} + \sqrt{3} ight)}{5 - 3}

    = \frac{6\left( \sqrt{5} + \sqrt{3} ight)}{2} = 3\left( \sqrt{5} + \sqrt{3} ight)

  • Câu 2: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức

    Tính giá trị biểu thức \left( {\dfrac{{10 + 2\sqrt {10} }}{{\sqrt 5 + \sqrt 2 }} + \dfrac{{\sqrt {30} - \sqrt 6 }}{{\sqrt 5 - 1}}} ight):\dfrac{1}{{2\sqrt 5 - \sqrt 6 }}

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} \left( {\dfrac{{10 + 2\sqrt {10} }}{{\sqrt 5 + \sqrt 2 }} + \dfrac{{\sqrt {30} - \sqrt 6 }}{{\sqrt 5 - 1}}} ight):\dfrac{1}{{2\sqrt 5 - \sqrt 6 }} \hfill \\ = \left( {\dfrac{{\sqrt {100} + \sqrt {40} }}{{\sqrt 5 + \sqrt 2 }} + \dfrac{{\sqrt 5 .\sqrt 6 - \sqrt 6 }}{{\sqrt 5 - 1}}} ight):\dfrac{1}{{2\sqrt 5 - \sqrt 6 }} \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} = \left[ {\dfrac{{\sqrt {20} \left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } ight)}}{{\sqrt 5 + \sqrt 2 }} + \dfrac{{\sqrt 6 \left( {\sqrt 5 - 1} ight)}}{{\sqrt 5 - 1}}} ight].\left( {2\sqrt 5 - \sqrt 6 } ight) \hfill \\ = \left( {\sqrt {20} + \sqrt 6 } ight).\left( {2\sqrt 5 - \sqrt 6 } ight) \hfill \\ = \left( {2\sqrt 5 + \sqrt 6 } ight).\left( {2\sqrt 5 - \sqrt 6 } ight) \hfill \\ = {\left( {2\sqrt 5 } ight)^2} - {\left( {\sqrt 6 } ight)^2} = 20 - 6 = 14 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 3: Vận dụng
    Tìm các giá trị nguyên của x để N nguyên

    Cho biểu thức N = \frac{7 + 3\sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}};(x \geq 0). Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của x để biểu thức N nhận giá trị nguyên?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    N = \frac{7 + 3\sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}} = \frac{3\sqrt{x} + 3 + 4}{\sqrt{x} + 1} = 3 + \frac{4}{\sqrt{x} + 1}

    Để N\mathbb{\in Z \Rightarrow}\frac{4}{\sqrt{x} + 1}\mathbb{\in Z} hay \sqrt{x} + 1 \in U(4) = \left\{ \pm 4; \pm 2; \pm 1 ight\}

    Vì \Rightarrow \sqrt{x} \in \left\{ - 5; - 3; - 2;0;1;3 ight\} với mọi x \geq 0 \Rightarrow \sqrt{x} \in \left\{ 0;1;3 ight\} \Rightarrow x \in \left\{ 0;1;9 ight\}

    Vậy có 3 giá trị nguyên của x thỏa mãn điều kiện bài toán.

  • Câu 4: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức E

    Giá trị của biểu thức E = \sqrt{9 - 4\sqrt{5}} + \sqrt{9 + 4\sqrt{5}} bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    E = \sqrt{9 - 4\sqrt{5}} + \sqrt{9 + 4\sqrt{5}}

    E = \sqrt{\left( \sqrt{5} ight)^{2} - 2.2.\sqrt{5} + 2^{2}} + \sqrt{\left( \sqrt{5} ight)^{2} + 2.2.\sqrt{5} + 2^{2}}

    E = \sqrt{\left( \sqrt{5} - 2 ight)^{2}} + \sqrt{\left( \sqrt{5} + 2 ight)^{2}}

    E = \left| \sqrt{5} - 2 ight| + \left| \sqrt{5} + 2 ight|

    E = \sqrt{5} - 2 + \sqrt{5} + 2 = 2\sqrt{5}

  • Câu 5: Thông hiểu
    Ghi lời giải bài toán vào ô trống

    Cho P = \left( \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} + \frac{3x + 3}{9 - x} ight)\left( \frac{\sqrt{x} - 7}{\sqrt{x} + 1} + 1 ight) (với x \geq 0;x eq 9)

    a) Rút gọn biểu thức P.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

    b) Tìm các giá trị của x để P < 0.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho P = \left( \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} + \frac{3x + 3}{9 - x} ight)\left( \frac{\sqrt{x} - 7}{\sqrt{x} + 1} + 1 ight) (với x \geq 0;x eq 9)

    a) Rút gọn biểu thức P.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

    b) Tìm các giá trị của x để P < 0.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 6: Vận dụng
    Tìm x để P nguyên

    Cho P = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}. Tìm tất cả các giá trị x để P nhận những giá trị nguyên.

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định x \geqslant 0,x e 1

    Ta có: P = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} = 1 + \frac{2}{{\sqrt x - 1}}

    Ta có P nhận những giá trị nguyên mà 1 \in \mathbb{Z} \Rightarrow \frac{2}{{\sqrt x - 1}} \in \mathbb{Z}

    \left( {\sqrt x - 1} ight) \in U\left( 2 ight) = \left\{ { - 2;2; - 1;1} ight\}

    Ta có bảng sau:

    {\sqrt x - 1}

    -2

    -1

    1

    2

    x

    ktm

    0

    4

    9

    => x \in \left \{0;4;9 ight \}

  • Câu 7: Thông hiểu
    Tìm các giá trị của tham số b thỏa mãn điều kiện

    Cho biểu thức C = \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b} - 1} - \frac{6\sqrt{b} - 4}{b - 1} + \frac{3}{\sqrt{b} + 1}. Tìm tất cả các giá trị của b sao cho 2C < 1?

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định \left\{ \begin{matrix} b \geq 0 \\ \sqrt{b} - 1 eq 0 \\ \sqrt{b} + 1 eq 0 \\ b - 1 eq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} b \geq 0 \\ b eq 1 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có:

    C = \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b} - 1} - \frac{6\sqrt{b} - 4}{b - 1} + \frac{3}{\sqrt{b} + 1}

    C = \frac{\sqrt{b}\left( \sqrt{b} + 1 ight) - 6\sqrt{b} + 4 + 3\left( \sqrt{b} - 1 ight)}{\left( \sqrt{b} - 1 ight)\left( \sqrt{b} + 1 ight)}

    C = \frac{b - 2\sqrt{b} + 1}{\left( \sqrt{b} - 1 ight)\left( \sqrt{b} + 1 ight)}

    C = \frac{\left( \sqrt{b} - 1 ight)^{2}}{\left( \sqrt{b} - 1 ight)\left( \sqrt{b} + 1 ight)} = \frac{\sqrt{b} - 1}{\sqrt{b} + 1}

    Theo bài ra ta có:

    2C < 1 \Leftrightarrow C < \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{\sqrt{b} - 1}{\sqrt{b} + 1} < \frac{1}{2}

    \Leftrightarrow \frac{\sqrt{b} - 1}{\sqrt{b} + 1} - \frac{1}{2} < 0 \Leftrightarrow \frac{2\sqrt{b} - 2 - \sqrt{b} - 1}{2\left( \sqrt{b} + 1 ight)} < 0

    \Leftrightarrow \sqrt{b} - 3 < 0 \Leftrightarrow \sqrt{b} < 3 \Leftrightarrow b < 9

    Kết hợp với điều kiện xác định ta suy ra \left\{ \begin{matrix} 0 \leq b < 9 \\ b eq 1 \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 8: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} - \frac{3x + 9}{x - 9}?

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định x \geq 0;x eq 9

    Ta có:

    T = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} - \frac{3x + 9}{x - 9}

    T = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} - \frac{3x + 9}{\left( \sqrt{x} + 3 ight)\left( \sqrt{x} - 3 ight)}

    T = \frac{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 3 ight)}{\left( \sqrt{x} + 3 ight)\left( \sqrt{x} - 3 ight)} + \frac{2\sqrt{x}\left( \sqrt{x} + 3 ight)}{\left( \sqrt{x} + 3 ight)\left( \sqrt{x} - 3 ight)} - \frac{3x + 9}{\left( \sqrt{x} + 3 ight)\left( \sqrt{x} - 3 ight)}

    T = \frac{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 3 ight) + 2\sqrt{x}\left( \sqrt{x} + 3 ight) - 3x - 9}{\left( \sqrt{x} + 3 ight)\left( \sqrt{x} - 3 ight)}

    T = \frac{3\sqrt{x} - 9}{\left( \sqrt{x} + 3 ight)\left( \sqrt{x} - 3 ight)} = \frac{3}{\sqrt{x} + 3}

    Ta có: x \geq 0 \Rightarrow \sqrt{x} \geq 0;\forall x \geq 0 \Rightarrow \sqrt{x} + 3 \geq 3;\forall x \geq 0

    \Rightarrow M \leq 1

    Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 0

    Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức T bằng 1.

  • Câu 9: Nhận biết
    Tìm kết quả sai

    Chọn khẳng định sai trong các khẳng định dưới đây:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \sqrt{( - 11)^{2}} = | - 11| = 11

    Vậy đáp án sai là \sqrt{( - 11)^{2}} = - 11

  • Câu 10: Vận dụng cao
    Tính giá trị lớn nhất của biểu thức

    Giá trị lớn nhất của biểu thức y=\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x} là:

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định: \left\{ \begin{gathered} x - 2 \geqslant 0 \hfill \\ 4 - x \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant 2 \hfill \\ x \leqslant 4 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow 2 \leqslant x \leqslant 4

    Ta có:

    \begin{matrix} y = \sqrt {x - 2} + \sqrt {4 - x} \hfill \\ \Rightarrow {y^2} = {\left( {\sqrt {x - 2} + \sqrt {4 - x} } ight)^2} \hfill \\ = x - 2 + 4 - x + 2\sqrt {\left( {x - 2} ight)\left( {4 - x} ight)} \hfill \\ = 2 + 2\sqrt {\left( {x - 2} ight)\left( {4 - x} ight)} \hfill \\ \leqslant 2 + \left( {x - 2} ight) + \left( {4 - x} ight) = 2 + 2 = 4 \hfill \\ \Rightarrow {y^2} \leqslant 4 \Leftrightarrow y \leqslant 2 \hfill \\ \end{matrix}

    Dấu "=" xảy ra khi \sqrt {x - 2} = \sqrt {4 - x} \Leftrightarrow x = 3

    Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức bằng 2 khi x = 3

  • Câu 11: Thông hiểu
    Tìm các giá trị tham số a

    Cho biểu thức B = \left( \frac{\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} + 1} - \frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} - 1} ight)\left( \frac{1}{2\sqrt{a}} - \frac{\sqrt{a}}{2} ight). Có tất cả bao nhiêu giá trị a thỏa mãn B = 1 - \sqrt{a}?

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định \left\{ \begin{matrix} \sqrt{a} + 1 eq 0 \\ \sqrt{a} - 1 eq 0 \\ 2\sqrt{a} eq 0 \\ a \geq 0 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có:

    B = \left( \frac{\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} + 1} - \frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} - 1} ight)\left( \frac{1}{2\sqrt{a}} - \frac{\sqrt{a}}{2} ight)

    B = \frac{\left( \sqrt{a} - 1 ight)^{2} - \left( \sqrt{a} + 1 ight)^{2}}{\left( \sqrt{a} + 1 ight)\left( \sqrt{a} - 1 ight)}.\frac{1 - a}{2\sqrt{a}}

    B = \frac{\left( \sqrt{a} - 1 - \sqrt{a} - 1 ight)\left( \sqrt{a} - 1 + \sqrt{a} + 1 ight)}{- 2\sqrt{a}}

    B = \frac{- 2\sqrt{a}}{- 2\sqrt{a}} = 1

    Mặt khác B = 1 - \sqrt{a}

    \Leftrightarrow 1 = 1 - \sqrt{a} \Leftrightarrow \sqrt{a} = 0 \Leftrightarrow a = 0(tm)

    Vậy có 1 giá trị của a thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 12: Vận dụng
    Rút gọn biểu thức B

    Cho biểu thức B = \frac{1 - a^{2}}{48}.\sqrt{\frac{36}{(a - 1)^{2}}} với a < 1. Sau khi rút gọn biểu thức ta được kết quả là:

    Hướng dẫn:

    Với a < 0 \Rightarrow a - 1 < 0. Ta có:

    B = \frac{1 - a^{2}}{48}.\sqrt{\frac{36}{(a - 1)^{2}}}

    = \frac{(1 - a)(1 + a)}{48}.\frac{6}{|a - 1|}

    = \frac{(1 - a)(1 + a)}{48}.\frac{6}{1 - a} = \frac{1}{8}(1 + a)

  • Câu 13: Vận dụng
    Tính giá trị của biểu thức

    Tính giá trị của biểu thức A = \frac{{2a.\sqrt {1 + {x^2}} }}{{\sqrt {1 + {x^2}} - x}} với x = \frac{1}{2}.\left( {\sqrt {\frac{{1 - a}}{2}} + \sqrt {\frac{a}{{1 - a}}} } ight)

    Kết quả của biểu thức là: 1

    Đáp án là:

    Tính giá trị của biểu thức A = \frac{{2a.\sqrt {1 + {x^2}} }}{{\sqrt {1 + {x^2}} - x}} với x = \frac{1}{2}.\left( {\sqrt {\frac{{1 - a}}{2}} + \sqrt {\frac{a}{{1 - a}}} } ight)

    Kết quả của biểu thức là: 1

     Ta có:

    \begin{matrix} x = \dfrac{1}{2}.\left( {\sqrt {\dfrac{{1 - a}}{2}} + \sqrt {\dfrac{a}{{1 - a}}} } ight) \hfill \\ \Rightarrow x = \dfrac{{1 - 2a}}{{2\sqrt {x\left( {1 - a} ight)} }} \hfill \\ \Rightarrow \sqrt {1 + {x^2}} = \dfrac{1}{{2\sqrt {x\left( {1 - a} ight)} }} \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} A = \dfrac{{2a.\sqrt {1 + {x^2}} }}{{\sqrt {1 + {x^2}} - x}} = \dfrac{{2a.\dfrac{1}{{2\sqrt {a.\left( {1 - a} ight)} }}}}{{\dfrac{1}{{2\sqrt {a.\left( {1 - a} ight)} }} - x}} = \dfrac{a}{{\sqrt {a\left( {1 - a} ight)} }}:\dfrac{{2a}}{{2\sqrt {a.\left( {1 - a} ight)} }} \hfill \\ = \dfrac{a}{{\sqrt {a\left( {1 - a} ight)} }}.\dfrac{{2\sqrt {a\left( {1 - a} ight)} }}{{2a}} = 1 \hfill \\ \end{matrix}

    => A = 1

  • Câu 14: Nhận biết
    Tính giá trị biểu thức B

    Cho biểu thức B = x\sqrt{x} + 2\sqrt{x} - 3 với x \geq 0. Tính giá trị của biểu thức B khi x = 9?

    Hướng dẫn:

    Ta có: x = 9 \Rightarrow \sqrt{x} = 3

    Thay vào biểu thức B ta được:

    B = 9.3 + 2.3 - 3 = 30

  • Câu 15: Nhận biết
    Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

    Giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = x + \sqrt x - 1 là:

    Hướng dẫn:

     Ta có:

    \begin{matrix} C = x + \sqrt x - 1 \hfill \\ \Rightarrow C = {\left( {\sqrt x } ight)^2} + 2.\sqrt x .\dfrac{1}{2} + {\left( {\dfrac{1}{2}} ight)^2} - {\left( {\dfrac{1}{2}} ight)^2} - 1 \hfill \\ \Rightarrow C = \left[ {{{\left( {\sqrt x } ight)}^2} + 2.\sqrt x .\dfrac{1}{2} + {{\left( {\dfrac{1}{2}} ight)}^2}} ight] - \dfrac{5}{4} \hfill \\ \Rightarrow C = {\left( {\sqrt x + \dfrac{1}{2}} ight)^2} - \dfrac{5}{4} \hfill \\ \end{matrix}

    Vì \sqrt x \geqslant 0,\forall x \geqslant 0 \Rightarrow \sqrt x + \frac{1}{2} \geqslant \frac{1}{2}

    \begin{matrix} {\left( {\sqrt x + \dfrac{1}{2}} ight)^2} \geqslant \dfrac{1}{4} \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x + \dfrac{1}{2}} ight)^2} - \dfrac{5}{4} \geqslant \dfrac{1}{4} - \dfrac{5}{4} \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x + \dfrac{1}{2}} ight)^2} - \dfrac{5}{4} \geqslant - 1 \hfill \\ \Rightarrow {P_{\min }} = - 1 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 16: Thông hiểu
    Giải phương trình chứa căn

    Tìm các giá trị của x thỏa mãn phương trình \sqrt{4x - 20} + \frac{3}{5}\sqrt{x - 5} -\frac{1}{6}\sqrt{9x - 45} = \frac{21}{5}?

    Hướng dẫn:

    Thay các giá trị x lần lượt vào phương trình ta thấy x = 9 thỏa mãn.

    Vậy phương trình có nghiệm x =9.

  • Câu 17: Vận dụng
    Tính giá trị của a

    Sau khi rút gọn biểu thức \frac{1}{{5 + 3\sqrt 2 }} + \frac{1}{{5 - 3\sqrt 2 }} ta được phân số tối giản \frac{a}{b},\left( {a,b \in \mathbb{Z}} ight). Khi đó a-b có giá trị là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} \dfrac{1}{{5 + 3\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{5 - 3\sqrt 2 }} = \dfrac{{5 + 3\sqrt 2 + 5 - 3\sqrt 2 }}{{\left( {5 + 3\sqrt 2 } ight).\left( {5 - 3\sqrt 2 } ight)}} \hfill \\ = \dfrac{{10}}{{{5^2} - {{\left( {3\sqrt 2 } ight)}^2}}} = \dfrac{{10}}{{25 - 18}} = \dfrac{{10}}{7} \hfill \\ \Rightarrow a = 10,b = 7 \hfill \\ \Rightarrow a-b = 3 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 18: Vận dụng cao
    Tính giá trị biểu thức chứa căn

    Cho phương trình 3\left( x^{2} - x + 1 ight) = \left( x + \sqrt{x - 1} ight)^{2}. Xác định giá trị x thỏa mãn phương trình. Khi đó giá trị của biểu thức \sqrt{12 + 4\sqrt{x + 3\sqrt{x + 2\sqrt{x - 1}}}} là:

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định x \geq 1

    Với x \geq 1 thì

    3\left( x^{2} - x + 1 ight) = \left( x + \sqrt{x - 1} ight)^{2}

    \Leftrightarrow 3\left( x^{2} - x + 1 ight) = x^{2} + 2.x\sqrt{x - 1} + x - 11

    \Leftrightarrow 2x^{2} - 4x + 4 = 2x\sqrt{x - 1}

    \Leftrightarrow x^{2} - 2x + 2 = x\sqrt{x - 1}(*)

    Do x \geq 1 nên 2 vế của phương trình này không âm nên ta bình phương hai vế phương trình (*) ta được

    (*) \Leftrightarrow x^{4} + 4x^{2} + 4 - 4x^{3} - 8x + 4x^{2} = x^{3} - x^{2}

    \Leftrightarrow x^{4} - 5x^{3} + 9x^{2} - 8x + 4 = 0

    \Leftrightarrow (x - 2)^{2}\left( x^{2} - x + 1 ight) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x - 2 = 0 \\ x^{2} - x + 1 = 0 \\ \end{matrix} ight.

    Vì x^{2} - x + 1 = 0 vô nghiệm nên x = 2(tm)

    Thay x = 2 vào biểu thức \sqrt{12 + 4\sqrt{x + 3\sqrt{x + 2\sqrt{x - 1}}}} ta được:

    \sqrt{12 + 4\sqrt{2 + 3\sqrt{2 + 2\sqrt{2 - 1}}}} = 2\sqrt{2} + 2

  • Câu 19: Nhận biết
    Giá trị của biểu thức

    Giá trị của biểu thức: P = \frac{{\sqrt x - 1}}{{x - 1}} tại x = {\left( {1 - \sqrt 2 } ight)^2}

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    P = \frac{{\sqrt x - 1}}{{x - 1}} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} ight)\left( {\sqrt x + 1} ight)}} = \frac{1}{{\sqrt x + 1}}

    Mặt khác x = {\left( {1 - \sqrt 2 } ight)^2} \Rightarrow \sqrt x = \sqrt 2 - 1

    Thay x vào biểu thức P ta có: P = \frac{1}{{\sqrt 2 - 1 + 1}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}

  • Câu 20: Vận dụng cao
    Giải phương trình

    Phương trình \sqrt {x + 1} + \sqrt {6x - 14} = {x^2} - 5 có bao nhiêu nghiệm?

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định:

    \left\{ \begin{gathered} x + 1 \geqslant 0 \hfill \\ 6x - 14 \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant - 1 \hfill \\ x \geqslant \frac{7}{3} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow x \geqslant \frac{7}{3}

    => {x^2} - 5 \geqslant 0

    Phương trình tương đương:

    \begin{matrix} \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} - 2 + \sqrt {6x - 14} - 2 = {x^2} - 9 \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{x - 3}}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + \dfrac{{6\left( {x - 3} ight)}}{{\sqrt {6x - 14} + 2}} = \left( {x - 3} ight)\left( {x + 3} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} \Leftrightarrow \left( {x - 3} ight).\left[ {\dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + \dfrac{6}{{\sqrt {6x - 14} + 2}} - \left( {x + 3} ight)} ight] = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x - 3 = 0 \hfill \\ \dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + \dfrac{6}{{\sqrt {6x - 14} + 2}} - \left( {x + 3} ight) = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 3 \hfill \\ \frac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + \frac{6}{{\sqrt {6x - 14} + 2}} - \left( {x + 3} ight) = 0\left( * ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Ta lại có:

    \begin{matrix} \left\{ \begin{gathered} \dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} < \dfrac{1}{2} \hfill \\ \dfrac{6}{{\sqrt {6x - 14} + 2}} < \dfrac{6}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + \dfrac{6}{{\sqrt {6x - 14} + 2}} < \dfrac{7}{2} \hfill \\ \end{matrix}

    Và x \geqslant \frac{7}{3} \Rightarrow x + 3 \geqslant \frac{7}{3} + 3 = \frac{{16}}{3}

    => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {VT\left( * ight) < \dfrac{7}{2}} \\ {VP\left( * ight) \geqslant \dfrac{{16}}{3}} \end{array} \Rightarrow \left( * ight)} ight. vô nghiệm.

    Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất x = 3.

  • Câu 21: Thông hiểu
    Tìm x thỏa mãn bất phương trình

    Cho x \geq 0. Khi đó các giá trị của x thỏa mãn \sqrt{2x} < 3 là:

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định x \geq 0

    Ta có:

    \sqrt{2x} < 3 \Leftrightarrow \sqrt{2x} < \sqrt{9} \Leftrightarrow 2x < 9 \Leftrightarrow x < \frac{9}{2}.

    Kết hợp với điều kiện xác định ta suy ra 0 \leq x < \frac{9}{2}.

  • Câu 22: Nhận biết
    Khử mẫu của biểu thức

    Trục căn thức ở mẫu của biểu thức \frac{- 2\sqrt{3}}{5\sqrt{7}} ta được:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \frac{- 2\sqrt{3}}{5\sqrt{7}} = \frac{- 2\sqrt{3}.\sqrt{7}}{5\sqrt{7}.\sqrt{7}} = \frac{- 2\sqrt{21}}{35}

  • Câu 23: Vận dụng cao
    Tính giá trị biểu thức M = x + y

    Biết \left( {x + \sqrt {{x^2} + 3} } ight).\left( {y + \sqrt {{y^2} + 3} } ight) = 3. Tính giá trị biểu thức M = x + y

    Kết quả của biểu thức là: 0||1||4||5

    Đáp án là:

    Biết \left( {x + \sqrt {{x^2} + 3} } ight).\left( {y + \sqrt {{y^2} + 3} } ight) = 3. Tính giá trị biểu thức M = x + y

    Kết quả của biểu thức là: 0||1||4||5

     Ta có:

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {x + \sqrt {{x^2} + 3} } ight).\left( {x - \sqrt {{x^2} + 3} } ight)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 3} } ight) = 3\left( {x - \sqrt {{x^2} + 3} } ight)} \\ {\left( {x + \sqrt {{x^2} + 3} } ight).\left( {y + \sqrt {{y^2} + 3} } ight).\left( {y - \sqrt {{y^2} + 3} } ight) = 3\left( {y - \sqrt {{y^2} + 3} } ight)} \end{array}} ight.

    => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y + \sqrt {{y^2} + 3} = - \left( {x - \sqrt {{x^2} + 3} } ight)} \\ {\left( {x + \sqrt {{x^2} + 3} } ight) = - \left( {y - \sqrt {{y^2} + 3} } ight)} \end{array}} ight.

    Cộng hai vế của phương trình

    => x = -y

    => x + y = 0

    => M = 0

  • Câu 24: Vận dụng
    Tìm các giá trị của x để biểu thức

    Tìm các giá trị của x để biểu thức B = \frac{5}{{3\sqrt x + 2}} \in \mathbb{Z} là:

    Hướng dẫn:

    Ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0 \leqslant B \leqslant \dfrac{5}{2}} \\ {B \in \mathbb{Z}} \end{array}} ight. \Rightarrow B \in \left\{ {1;2} ight\}

    => B = 1 \Leftrightarrow \frac{5}{{3\sqrt x + 2}} = 1 \Rightarrow x = 1

    =>  B = 2 \Leftrightarrow \frac{5}{{3\sqrt x + 2}} = 2 \Rightarrow x = 2

  • Câu 25: Nhận biết
    Tìm điều kiện xác định của phương trình

    Tìm điều kiện xác định của phương trình \sqrt{(x - 4)^{2}} - 2x = \frac{4 - x}{\sqrt{x^{2}- 8x + 16}}?

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định:

    \left\{ \begin{matrix}(x - 4)^{2} \geq 0 \\x^{2} - 8x + 16 > 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}(x - 4)^{2} \geq 0 \\(x - 4)^{2} > 0 \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow (x - 4)^{2} > 0\Leftrightarrow x eq 4

  • Câu 26: Thông hiểu
    Đơn giản biểu thức

    Rút gọn biểu thức B = \frac{1}{x - y}.\sqrt{3^{2}(x - y)^{2}}, biết x > y?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    B = \frac{1}{x - y}.\sqrt{3^{2}(x - y)^{2}}

    = \frac{1}{x - y}.3|x - y| = \frac{3}{x - y}.(x - y) = 3

    (Vì x > y \Rightarrow x - y > 0)

  • Câu 27: Nhận biết
    Chọn phát biểu đúng

    Các phát biểu nào sau đây đúng:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} A \geqslant 0 \Rightarrow \left| A ight| = A,B \geqslant 0 \hfill \\ \Rightarrow \sqrt {{A^2}B} = \left| A ight|\sqrt B = A\sqrt B \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 28: Thông hiểu
    Tìm x

    Tìm x biết \sqrt{5 + \sqrt{x}} = 4?

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định \left\{ \begin{matrix}x \geq 0 \\5 + \sqrt{x} \geq 0 \\\end{matrix} ight.

    Ta có:

    \sqrt{5 + \sqrt{x}} = 4

    \Leftrightarrow 5 + \sqrt{x} =16

    \Leftrightarrow \sqrt{x} = 11\Leftrightarrow x = 121(tm)

    Vậy x = 121.

  • Câu 29: Vận dụng
    Tìm các giá trị của a

    Cho biểu thức G = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 5} - \frac{5}{\sqrt{a} + 5} - \frac{10\sqrt{a}}{a - 25}. Có bao nhiêu giá trị của a thỏa mãn |G| = \frac{1}{4}?

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định a \geq 0,a eq 25

    Ta có:

    G = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 5} - \frac{5}{\sqrt{a} + 5} - \frac{10\sqrt{a}}{a - 25}

    G = \frac{\sqrt{a}\left( \sqrt{a} + 5 ight)}{\left( \sqrt{a} + 5 ight)\left( \sqrt{a} - 5 ight)} - \frac{5\left( \sqrt{a} - 5 ight)}{\left( \sqrt{a} + 5 ight)\left( \sqrt{a} - 5 ight)} - \frac{10\sqrt{a}}{\left( \sqrt{a} + 5 ight)\left( \sqrt{a} - 5 ight)}

    G = \frac{a - 10\sqrt{a} + 25}{\left( \sqrt{a} + 5 ight)\left( \sqrt{a} - 5 ight)} = \frac{\left( \sqrt{a} - 5 ight)^{2}}{\left( \sqrt{a} + 5 ight)\left( \sqrt{a} - 5 ight)} = \frac{\sqrt{a} - 5}{\sqrt{a} + 5}

    Xét |G| = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \left| \frac{\sqrt{a} - 5}{\sqrt{a} + 5} ight| = \frac{1}{4}(*)

    TH1: a > 25 phương trình (*) tương đương

    \frac{\sqrt{a} - 5}{\sqrt{a} + 5} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow 4\sqrt{a} - 20 = \sqrt{a} + 5

    \Leftrightarrow a = \left( \frac{25}{3} ight)^{2} = \frac{625}{9}(tm)

    TH2: a < 25 phương trình (*) tương đương

    \frac{\sqrt{a} - 5}{\sqrt{a} + 5} = - \frac{1}{4} \Leftrightarrow - 4\sqrt{a} + 20 = \sqrt{a} + 5

    \Leftrightarrow a = 3^{2} = 9(tm)

    Vậy có 2 giá trị của a thỏa mãn yêu cầu đề bài.

  • Câu 30: Thông hiểu
    Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

    Đưa thừa số \sqrt {144.{{\left( {3 + 2a} ight)}^4}} ra ngoài dấu căn ta được?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} \sqrt {144.{{\left( {3 + 2a} ight)}^4}} = \sqrt {{{12}^2}.{{\left[ {{{\left( {3 + 2a} ight)}^2}} ight]}^2}} \hfill \\ = \sqrt {{{12}^2}} .\sqrt {{{\left[ {{{\left( {3 + 2a} ight)}^2}} ight]}^2}} \hfill \\ = 12.\left| {{{\left( {3 + 2a} ight)}^2}} ight| \hfill \\ = 12.{\left( {3 + 2a} ight)^2} \hfill \\ \end{matrix}

0/30
30 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (27%):
    2/3
  • Thông hiểu (33%):
    2/3
  • Vận dụng (27%):
    2/3
  • Vận dụng cao (13%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
25 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này