Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Thi vào lớp 10 Ôn Chuyên đề Toán 9
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Ôn thi vào 10 môn Toán: Rút gọn biểu thức và các câu toán liên quan

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 30 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 30 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Thông hiểu
    Chọn kết quả đúng

    Khử mẫu của biểu thức 2y\sqrt{\frac{x^{4}}{4y^{2}}} với y < 0 ta được kết quả là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    2y\sqrt{\frac{x^{4}}{4y^{2}}} = 2y\sqrt{\left( \frac{x^{2}}{2y} ight)^{2}} = 2y\left| \frac{x^{2}}{2y} ight|

    Vì y < 0 nên \frac{x^{2}}{2y} < 0 \Rightarrow \left| \frac{x^{2}}{2y} ight| = - \frac{x^{2}}{2y}

    Do đó: 2y\sqrt{\frac{x^{4}}{4y^{2}}} = 2y.\left( - \frac{x^{2}}{2y} ight) = - x^{2}

  • Câu 2: Vận dụng cao
    Giải phương trình

    Phương trình \sqrt {x + 1} + \sqrt {6x - 14} = {x^2} - 5 có bao nhiêu nghiệm?

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định:

    \left\{ \begin{gathered} x + 1 \geqslant 0 \hfill \\ 6x - 14 \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant - 1 \hfill \\ x \geqslant \frac{7}{3} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow x \geqslant \frac{7}{3}

    => {x^2} - 5 \geqslant 0

    Phương trình tương đương:

    \begin{matrix} \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} - 2 + \sqrt {6x - 14} - 2 = {x^2} - 9 \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{x - 3}}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + \dfrac{{6\left( {x - 3} ight)}}{{\sqrt {6x - 14} + 2}} = \left( {x - 3} ight)\left( {x + 3} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} \Leftrightarrow \left( {x - 3} ight).\left[ {\dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + \dfrac{6}{{\sqrt {6x - 14} + 2}} - \left( {x + 3} ight)} ight] = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x - 3 = 0 \hfill \\ \dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + \dfrac{6}{{\sqrt {6x - 14} + 2}} - \left( {x + 3} ight) = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 3 \hfill \\ \frac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + \frac{6}{{\sqrt {6x - 14} + 2}} - \left( {x + 3} ight) = 0\left( * ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Ta lại có:

    \begin{matrix} \left\{ \begin{gathered} \dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} < \dfrac{1}{2} \hfill \\ \dfrac{6}{{\sqrt {6x - 14} + 2}} < \dfrac{6}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + \dfrac{6}{{\sqrt {6x - 14} + 2}} < \dfrac{7}{2} \hfill \\ \end{matrix}

    Và x \geqslant \frac{7}{3} \Rightarrow x + 3 \geqslant \frac{7}{3} + 3 = \frac{{16}}{3}

    => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {VT\left( * ight) < \dfrac{7}{2}} \\ {VP\left( * ight) \geqslant \dfrac{{16}}{3}} \end{array} \Rightarrow \left( * ight)} ight. vô nghiệm.

    Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất x = 3.

  • Câu 3: Nhận biết
    Chọn đáp án đúng

    Tìm x biết 3\sqrt{x} = 12.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    3\sqrt{x} = 12

    \sqrt{x} = 4

    \left( \sqrt{x} ight)^{2} = 4^{2}

    x = 16

    Vậy đáp án cần tìm: x = 16

  • Câu 4: Thông hiểu
    Tìm nghiệm phương trình

    Phương trình x+\sqrt{(x-1)^{2}}=3 có:

    Hướng dẫn:

    Điều kiện: \forall x \in \mathbb{R}

    Phương trình tương đương:

    \begin{matrix} x + \sqrt {{{(x - 1)}^2}} = 3 \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt {{{(x - 1)}^2}} = 3 - x \hfill \\ \Leftrightarrow \left| {x - 1} ight| = 3 - x \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x - 1 = 3 - x} \\ {x - 1 = - 3 + x} \end{array}} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 2\left( {tm} ight)} \\ {0x = - 2\left( L ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy phương trình có một nghiệm dương.

  • Câu 5: Vận dụng
    Tính giá trị của biểu thức

    Tính giá trị của biểu thức A = \frac{{2a.\sqrt {1 + {x^2}} }}{{\sqrt {1 + {x^2}} - x}} với x = \frac{1}{2}.\left( {\sqrt {\frac{{1 - a}}{2}} + \sqrt {\frac{a}{{1 - a}}} } ight)

    Kết quả của biểu thức là: 1

    Đáp án là:

    Tính giá trị của biểu thức A = \frac{{2a.\sqrt {1 + {x^2}} }}{{\sqrt {1 + {x^2}} - x}} với x = \frac{1}{2}.\left( {\sqrt {\frac{{1 - a}}{2}} + \sqrt {\frac{a}{{1 - a}}} } ight)

    Kết quả của biểu thức là: 1

     Ta có:

    \begin{matrix} x = \dfrac{1}{2}.\left( {\sqrt {\dfrac{{1 - a}}{2}} + \sqrt {\dfrac{a}{{1 - a}}} } ight) \hfill \\ \Rightarrow x = \dfrac{{1 - 2a}}{{2\sqrt {x\left( {1 - a} ight)} }} \hfill \\ \Rightarrow \sqrt {1 + {x^2}} = \dfrac{1}{{2\sqrt {x\left( {1 - a} ight)} }} \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} A = \dfrac{{2a.\sqrt {1 + {x^2}} }}{{\sqrt {1 + {x^2}} - x}} = \dfrac{{2a.\dfrac{1}{{2\sqrt {a.\left( {1 - a} ight)} }}}}{{\dfrac{1}{{2\sqrt {a.\left( {1 - a} ight)} }} - x}} = \dfrac{a}{{\sqrt {a\left( {1 - a} ight)} }}:\dfrac{{2a}}{{2\sqrt {a.\left( {1 - a} ight)} }} \hfill \\ = \dfrac{a}{{\sqrt {a\left( {1 - a} ight)} }}.\dfrac{{2\sqrt {a\left( {1 - a} ight)} }}{{2a}} = 1 \hfill \\ \end{matrix}

    => A = 1

  • Câu 6: Thông hiểu
    Trục căn thức ở mẫu của biểu thức

    Kết quả sau khi thu gọn biểu thức \frac{3}{\sqrt{2} - 1} - \frac{3}{\sqrt{2} + 1} là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \frac{3}{\sqrt{2} - 1} - \frac{3}{\sqrt{2} + 1}

    = \frac{3\left( \sqrt{2} + 1 ight) - 3\left( \sqrt{2} - 1 ight)}{\left( \sqrt{2} + 1 ight)\left( \sqrt{2} - 1 ight)}

    = \frac{3\sqrt{2} + 3 - 3\sqrt{2} + 3}{2 - 1} = 6

  • Câu 7: Vận dụng
    Tìm x để P nguyên

    Cho P = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}. Tìm tất cả các giá trị x để P nhận những giá trị nguyên.

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định x \geqslant 0,x e 1

    Ta có: P = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} = 1 + \frac{2}{{\sqrt x - 1}}

    Ta có P nhận những giá trị nguyên mà 1 \in \mathbb{Z} \Rightarrow \frac{2}{{\sqrt x - 1}} \in \mathbb{Z}

    \left( {\sqrt x - 1} ight) \in U\left( 2 ight) = \left\{ { - 2;2; - 1;1} ight\}

    Ta có bảng sau:

    {\sqrt x - 1}

    -2

    -1

    1

    2

    x

    ktm

    0

    4

    9

    => x \in \left \{0;4;9 ight \}

  • Câu 8: Vận dụng
    Tìm các giá trị của x để biểu thức

    Tìm các giá trị của x để biểu thức B = \frac{5}{{3\sqrt x + 2}} \in \mathbb{Z} là:

    Hướng dẫn:

    Ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0 \leqslant B \leqslant \dfrac{5}{2}} \\ {B \in \mathbb{Z}} \end{array}} ight. \Rightarrow B \in \left\{ {1;2} ight\}

    => B = 1 \Leftrightarrow \frac{5}{{3\sqrt x + 2}} = 1 \Rightarrow x = 1

    =>  B = 2 \Leftrightarrow \frac{5}{{3\sqrt x + 2}} = 2 \Rightarrow x = 2

  • Câu 9: Vận dụng
    Tìm các giá trị của a

    Cho biểu thức G = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 5} - \frac{5}{\sqrt{a} + 5} - \frac{10\sqrt{a}}{a - 25}. Có bao nhiêu giá trị của a thỏa mãn |G| = \frac{1}{4}?

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định a \geq 0,a eq 25

    Ta có:

    G = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 5} - \frac{5}{\sqrt{a} + 5} - \frac{10\sqrt{a}}{a - 25}

    G = \frac{\sqrt{a}\left( \sqrt{a} + 5 ight)}{\left( \sqrt{a} + 5 ight)\left( \sqrt{a} - 5 ight)} - \frac{5\left( \sqrt{a} - 5 ight)}{\left( \sqrt{a} + 5 ight)\left( \sqrt{a} - 5 ight)} - \frac{10\sqrt{a}}{\left( \sqrt{a} + 5 ight)\left( \sqrt{a} - 5 ight)}

    G = \frac{a - 10\sqrt{a} + 25}{\left( \sqrt{a} + 5 ight)\left( \sqrt{a} - 5 ight)} = \frac{\left( \sqrt{a} - 5 ight)^{2}}{\left( \sqrt{a} + 5 ight)\left( \sqrt{a} - 5 ight)} = \frac{\sqrt{a} - 5}{\sqrt{a} + 5}

    Xét |G| = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \left| \frac{\sqrt{a} - 5}{\sqrt{a} + 5} ight| = \frac{1}{4}(*)

    TH1: a > 25 phương trình (*) tương đương

    \frac{\sqrt{a} - 5}{\sqrt{a} + 5} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow 4\sqrt{a} - 20 = \sqrt{a} + 5

    \Leftrightarrow a = \left( \frac{25}{3} ight)^{2} = \frac{625}{9}(tm)

    TH2: a < 25 phương trình (*) tương đương

    \frac{\sqrt{a} - 5}{\sqrt{a} + 5} = - \frac{1}{4} \Leftrightarrow - 4\sqrt{a} + 20 = \sqrt{a} + 5

    \Leftrightarrow a = 3^{2} = 9(tm)

    Vậy có 2 giá trị của a thỏa mãn yêu cầu đề bài.

  • Câu 10: Nhận biết
    Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

    Giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = x + \sqrt x - 1 là:

    Hướng dẫn:

     Ta có:

    \begin{matrix} C = x + \sqrt x - 1 \hfill \\ \Rightarrow C = {\left( {\sqrt x } ight)^2} + 2.\sqrt x .\dfrac{1}{2} + {\left( {\dfrac{1}{2}} ight)^2} - {\left( {\dfrac{1}{2}} ight)^2} - 1 \hfill \\ \Rightarrow C = \left[ {{{\left( {\sqrt x } ight)}^2} + 2.\sqrt x .\dfrac{1}{2} + {{\left( {\dfrac{1}{2}} ight)}^2}} ight] - \dfrac{5}{4} \hfill \\ \Rightarrow C = {\left( {\sqrt x + \dfrac{1}{2}} ight)^2} - \dfrac{5}{4} \hfill \\ \end{matrix}

    Vì \sqrt x \geqslant 0,\forall x \geqslant 0 \Rightarrow \sqrt x + \frac{1}{2} \geqslant \frac{1}{2}

    \begin{matrix} {\left( {\sqrt x + \dfrac{1}{2}} ight)^2} \geqslant \dfrac{1}{4} \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x + \dfrac{1}{2}} ight)^2} - \dfrac{5}{4} \geqslant \dfrac{1}{4} - \dfrac{5}{4} \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x + \dfrac{1}{2}} ight)^2} - \dfrac{5}{4} \geqslant - 1 \hfill \\ \Rightarrow {P_{\min }} = - 1 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 11: Thông hiểu
    Biểu thức nhận giá trị dương khi

    Biểu thức E = \frac{{{x^4} - 1}}{{{x^2} + 1}} nhận giá trị dương khi và chỉ khi:

    Gợi ý:

     Biểu thức B nhận giá trị dương có nghĩa là B > 0

    \frac{A}{B} > 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {A > 0} \\ {B > 0} \end{array}} ight.} \\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {A < 0} \\ {B < 0} \end{array}} ight.} \end{array}} ight.

    Hướng dẫn:

      Ta có:

    \begin{matrix} \dfrac{{{x^4} - 1}}{{{x^2} + 1}} > 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {{x^2} + 1} ight)\left( {{x^2} - 1} ight)}}{{{x^2} + 1}} > 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2} - 1 > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x > 1} \\ {x < - 1} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 12: Thông hiểu
    Tìm x

    Tìm x biết \sqrt{5 + \sqrt{x}} = 4?

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định \left\{ \begin{matrix}x \geq 0 \\5 + \sqrt{x} \geq 0 \\\end{matrix} ight.

    Ta có:

    \sqrt{5 + \sqrt{x}} = 4

    \Leftrightarrow 5 + \sqrt{x} =16

    \Leftrightarrow \sqrt{x} = 11\Leftrightarrow x = 121(tm)

    Vậy x = 121.

  • Câu 13: Thông hiểu
    Thực hiện phép tính

    Tính giá trị biểu thức \frac{3\sqrt{2} - 2\sqrt{3}}{\sqrt{6} - 2}?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \frac{3\sqrt{2} - 2\sqrt{3}}{\sqrt{6} - 2} = \frac{\sqrt{6}\left( \sqrt{3} - \sqrt{2} ight)}{\sqrt{2}\left( \sqrt{3} - \sqrt{2} ight)} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{6}{2}} = \sqrt{3}

  • Câu 14: Vận dụng cao
    Các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện

    Các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x\sqrt {1 - {y^2}} + y\sqrt {2 - {x^2}} + z\sqrt {3 - {x^2}} = 3 là:

    Hướng dẫn:

     \begin{matrix} x\sqrt {1 - {y^2}} + y\sqrt {2 - {x^2}} + z\sqrt {3 - {x^2}} = 3 \hfill \\ \Rightarrow 2x\sqrt {1 - {y^2}} + 2y\sqrt {2 - {x^2}} + 2z\sqrt {3 - {x^2}} = 6 \hfill \\ \end{matrix}

    Áp dụng bất đẳng thức 2ab \leqslant {a^2} + {b^2}

    2x\sqrt {1 - {y^2}} + 2y\sqrt {2 - {x^2}} + 2z\sqrt {3 - {x^2}} \leqslant {x^2} + 1 - {y^2} + {y^2} + 2 - {z^2} + {z^2} + 3 - {x^2} = 6

    Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \sqrt {1 - {y^2}} } \\ {y = \sqrt {2 - {x^2}} } \\ {z = \sqrt {3 - {x^2}} } \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} + {y^2} = 1} \\ {{y^2} + {z^2} = 2} \\ {{z^2} + {x^2} = 3} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1} \\ {y = 0} \\ {z = \sqrt 2 } \end{array}} ight.

  • Câu 15: Nhận biết
    Tính giá trị của biểu thức

    Tính giá trị của biểu thức D = \sqrt {15{b^2} - 8b\sqrt {15} + 16} với: b = \sqrt {\frac{3}{5}}

    Hướng dẫn:

     D = \sqrt {15{b^2} - 8b\sqrt {15} + 16} = \sqrt {{{\left( {b\sqrt {15} - 4} ight)}^2}} = \left| {b\sqrt {15} - 4} ight|

    Thay số ta được D = 1

  • Câu 16: Vận dụng cao
    Tính giá trị lớn nhất của A

    Cho biểu thức: A = \left( {\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt {xy} + 1}} + \frac{{\sqrt {xy} + \sqrt x }}{{1 - \sqrt {xy} }} + 1} ight):\left( {1 - \frac{{\sqrt {xy} + \sqrt x }}{{1 - \sqrt {xy} }} - \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt {xy} + 1}}} ight)

    Nếu \frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}=6 thì Max A bằng ?

    Hướng dẫn:

     Ta có:

    \begin{matrix} A = \left( {\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt {xy} + 1}} + \dfrac{{\sqrt {xy} + \sqrt x }}{{1 - \sqrt {xy} }} + 1} ight):\left( {1 - \dfrac{{\sqrt {xy} + \sqrt x }}{{1 - \sqrt {xy} }} - \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt {xy} + 1}}} ight) \hfill \\ = M:N \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} M = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt {xy} + 1}} + \dfrac{{\sqrt {xy} + \sqrt x }}{{1 - \sqrt {xy} }} + 1 \hfill \\ = \dfrac{{\left( {\sqrt x + 1} ight)\left( {1 - \sqrt {xy} } ight) + \sqrt x \left( {\sqrt y + 1} ight)\left( {\sqrt {xy} + 1} ight) + \left( {1 + \sqrt {xy} } ight)\left( {1 - \sqrt {xy} } ight)}}{{\left( {1 + \sqrt {xy} } ight)\left( {1 - \sqrt {xy} } ight)}} \hfill \\ = \dfrac{{\sqrt x - x\sqrt y + 1 - \sqrt {xy} + xy + \sqrt {xy} + x\sqrt y + \sqrt x + 1 - xy}}{{\left( {1 + \sqrt {xy} } ight)\left( {1 - \sqrt {xy} } ight)}} \hfill \\ = \dfrac{{2\sqrt x + 2}}{{\left( {1 + \sqrt {xy} } ight)\left( {1 - \sqrt {xy} } ight)}} \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} N = 1 - \dfrac{{\sqrt {xy} + \sqrt x }}{{\sqrt {xy} - 1}} - \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt {xy} + 1}} \hfill \\ = \dfrac{{\left( {\sqrt {xy} - 1} ight)\left( {\sqrt {xy} + 1} ight) - \left( {\sqrt {xy} + \sqrt x } ight)\left( {\sqrt {xy} + 1} ight) - \left( {\sqrt x + 1} ight)\left( {\sqrt {xy} - 1} ight)}}{{\left( {\sqrt {xy} - 1} ight)\left( {\sqrt {xy} + 1} ight)}} \hfill \\ = \dfrac{{xy - 1 - xy - \sqrt {xy} - x\sqrt y - \sqrt x - x\sqrt y + \sqrt x - \sqrt {xy} + 1}}{{\left( {\sqrt {xy} - 1} ight)\left( {\sqrt {xy} + 1} ight)}} \hfill \\ = \dfrac{{ - 2\sqrt {xy} - 2x\sqrt y }}{{\left( {\sqrt {xy} - 1} ight)\left( {\sqrt {xy} + 1} ight)}} \hfill \\ = \dfrac{{ - 2\sqrt {xy} (\sqrt x + 1)}}{{\left( {\sqrt {xy} - 1} ight)\left( {\sqrt {xy} + 1} ight)}} \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} \Rightarrow A = \dfrac{{2\sqrt x + 2}}{{\left( {1 + \sqrt {xy} } ight)\left( {1 - \sqrt {xy} } ight)}}:\dfrac{{ - 2\sqrt {xy} (\sqrt x + 1)}}{{\left( {\sqrt {xy} - 1} ight)\left( {\sqrt {xy} + 1} ight)}} \hfill \\ = \dfrac{{2\left( {\sqrt x + 1} ight)}}{{\left( {1 + \sqrt {xy} } ight)\left( {1 - \sqrt {xy} } ight)}}:\dfrac{{2\sqrt {xy} (\sqrt x + 1)}}{{\left( {1 + \sqrt {xy} } ight)\left( {1 - \sqrt {xy} } ight)}} \hfill \\ = \dfrac{{2\left( {\sqrt x + 1} ight)}}{{\left( {1 + \sqrt {xy} } ight)\left( {1 - \sqrt {xy} } ight)}}.\dfrac{{\left( {1 + \sqrt {xy} } ight)\left( {1 - \sqrt {xy} } ight)}}{{2\sqrt {xy} (\sqrt x + 1)}} \hfill \\ = \dfrac{1}{{\sqrt {xy} }} \hfill \\ \end{matrix}

    Áp dụng bất đẳng thức {\left( {a + b} ight)^2} \geqslant 4ab khi đó ta có:

    A = \frac{1}{{\sqrt x .\sqrt y }} \leqslant \frac{1}{4}{\left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt y }}} ight)^2} = \frac{1}{4}{.6^2} = 9

    Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \left\{ \begin{gathered} \sqrt x = \sqrt y \hfill \\ \dfrac{1}{{\sqrt x }} + \dfrac{1}{{\sqrt y }} = 6 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow x = y = \frac{1}{9}

  • Câu 17: Vận dụng
    Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức G

    Cho biểu thức G = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 3} với x \geq 0. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức G bằng bao nhiêu?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    G = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 3} = \frac{\sqrt{x} + 3 - 5}{\sqrt{x} + 3}

    = \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 3} - \frac{5}{\sqrt{x} + 3}

    = 1 - \frac{5}{\sqrt{x} + 3}

    Vì x \geq 0 nên \sqrt{x} \geq 0 \Rightarrow \sqrt{x} + 3 \geq 3

    \Rightarrow \frac{- 5}{\sqrt{x} + 3} \geq \frac{- 5}{3} \Rightarrow 1 - \frac{5}{\sqrt{x} + 3} \geq 1 - \frac{5}{3} = - \frac{2}{3}

    Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 0

    Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức G bằng - \frac{2}{3} khi x = 0.

  • Câu 18: Vận dụng
    Xác định giá trị của biểu thức S

    Cho biểu thức E = \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 1}. Giả sử S là tổng tất cả các giá trị của x để biểu thức E đạt giá trị nguyên. Khi đó giá trị của S là:

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định x \geq 0;x eq 1

    Ta có:

    E = \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 1} = \frac{\sqrt{x} - 1 + 4}{\sqrt{x} - 1} = 1 + \frac{4}{\sqrt{x} - 1}

    Vì E có giá trị nguyên nên \frac{4}{\sqrt{x} - 1}\mathbb{\in Z}

    \Rightarrow \sqrt{x} - 1 \in U(4) = \left\{ - 4; - 2; - 1;1;2;4 ight\}

    \Rightarrow \sqrt{x} \in \left\{ 0;2;3;5 ight\} \Rightarrow x \in \left\{ 0;4;9;25 ight\}

    \Rightarrow S = 0 + 4 + 9 + 25 = 38

  • Câu 19: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức P

    Giá trị của biểu thức P = \sqrt{\left( \sqrt{7} - 5 ight)^{2}} + \sqrt{\left( 2 - \sqrt{7} ight)^{2}} bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    P = \sqrt{\left( \sqrt{7} - 5 ight)^{2}} + \sqrt{\left( 2 - \sqrt{7} ight)^{2}}

    P = \left| \sqrt{7} - 5 ight| + \left| 2 - \sqrt{7} ight|

    P = 5 - \sqrt{7} + \sqrt{7} - 2 = 3

  • Câu 20: Nhận biết
    Chọn khẳng định đúng

    Khẳng định nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \left( 5\sqrt[3]{6} ight)^{3} = 125.6 = 750 \\ \left( 6\sqrt[3]{5} ight)^{3} = 216.5 = 1080 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow 5\sqrt[3]{6} < 6\sqrt[3]{5}

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} 2\sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{8.3} = \sqrt[3]{24} \\ \sqrt[3]{23} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow 2\sqrt[3]{3} > \sqrt[3]{23}

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} 33 = 3\left( \sqrt[3]{11} ight)^{3} = 3\sqrt[3]{1331} \\ 3\sqrt[3]{1333} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow 33 < 3\sqrt[3]{1333}

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}\dfrac{2}{3}\sqrt[3]{18} = \sqrt[3]{\dfrac{8}{27}.18} =\sqrt[3]{5\dfrac{1}{3}} \\\dfrac{3}{4}\sqrt[3]{12} = \sqrt[3]{\dfrac{27}{64}.12} =\sqrt[3]{5\dfrac{1}{16}} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \frac{2}{3}\sqrt[3]{18} >\frac{3}{4}\sqrt[3]{12}

  • Câu 21: Vận dụng
    Tìm các giá trị nguyên của x để N nguyên

    Cho biểu thức N = \frac{7 + 3\sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}};(x \geq 0). Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của x để biểu thức N nhận giá trị nguyên?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    N = \frac{7 + 3\sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}} = \frac{3\sqrt{x} + 3 + 4}{\sqrt{x} + 1} = 3 + \frac{4}{\sqrt{x} + 1}

    Để N\mathbb{\in Z \Rightarrow}\frac{4}{\sqrt{x} + 1}\mathbb{\in Z} hay \sqrt{x} + 1 \in U(4) = \left\{ \pm 4; \pm 2; \pm 1 ight\}

    Vì \Rightarrow \sqrt{x} \in \left\{ - 5; - 3; - 2;0;1;3 ight\} với mọi x \geq 0 \Rightarrow \sqrt{x} \in \left\{ 0;1;3 ight\} \Rightarrow x \in \left\{ 0;1;9 ight\}

    Vậy có 3 giá trị nguyên của x thỏa mãn điều kiện bài toán.

  • Câu 22: Thông hiểu
    Tìm điều kiện của x và y

    Với giá trị nào của x và y ta có \sqrt{\frac{y}{x^{2}}} = \frac{\sqrt{y}}{x}:

    Hướng dẫn:

    Để \sqrt{\frac{y}{x^{2}}} có nghĩa khi y \geq 0;x eq 0 (1)

    Khi đó \sqrt{\frac{y}{x^{2}}} = \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x^{2}}} = \frac{\sqrt{y}}{|x|}

    Để |x| = x thì x \geq 0 (2)

    Từ (1) và (2) suy ra y \geq 0;x > 0

  • Câu 23: Nhận biết
    Tính giá trị biểu thức B

    Cho biểu thức B = x\sqrt{x} + 2\sqrt{x} - 3 với x \geq 0. Tính giá trị của biểu thức B khi x = 9?

    Hướng dẫn:

    Ta có: x = 9 \Rightarrow \sqrt{x} = 3

    Thay vào biểu thức B ta được:

    B = 9.3 + 2.3 - 3 = 30

  • Câu 24: Vận dụng
    Tìm giá trị của a

    Cho biểu thức: A = \left( {1 - \frac{{a - 3\sqrt a }}{{a - 9}}} ight):\left( {\frac{{\sqrt a - 2}}{{\sqrt a + 3}} + \frac{{\sqrt a - 3}}{{2 - \sqrt a }} - \frac{{9 - a}}{{a + \sqrt a - 6}}} ight) với 

    (a\geq 0;aeq4;aeq9). Tìm giá trị của a để A - \frac{1}{A} = 0

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    A = \left( {1 - \frac{{a - 3\sqrt a }}{{a - 9}}} ight):\left( {\frac{{\sqrt a - 2}}{{\sqrt a + 3}} + \frac{{\sqrt a - 3}}{{2 - \sqrt a }} - \frac{{9 - a}}{{a + \sqrt a - 6}}} ight)

    A = \left[ {1 - \frac{{\sqrt a \left( {\sqrt a - 3} ight)}}{{\left( {\sqrt a - 3} ight)\left( {\sqrt a + 3} ight)}}} ight]

    :\left[ {\frac{{\sqrt a - 2}}{{\sqrt a + 3}} - \frac{{\sqrt a - 3}}{{\sqrt a - 2}} + \frac{{\left( {\sqrt a - 3} ight)\left( {\sqrt a + 3} ight)}}{{\left( {\sqrt a + 3} ight)\left( {\sqrt a - 2} ight)}}} ight]

    A = \left[ {1 - \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a + 3}}} ight]:\left[ {\frac{{\sqrt a - 2}}{{\sqrt a + 3}} - \frac{{\sqrt a - 3}}{{\sqrt a - 2}} + \frac{{\sqrt a - 3}}{{\sqrt a - 2}}} ight]

    A = \left[ {\frac{{\sqrt a + 3 - \sqrt a }}{{\sqrt a + 3}}} ight]:\left[ {\frac{{\sqrt a - 2}}{{\sqrt a + 3}}} ight]

    A = \frac{3}{{\sqrt a + 3}}.\frac{{\sqrt a + 3}}{{\sqrt a - 2}} = \frac{3}{{\sqrt a - 2}}

    Theo bài ra ta có:

    \begin{matrix} A - \dfrac{1}{A} = 0,\left( {A e 0} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow {A^2} - 1 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow A = \pm 1 \hfill \\ \end{matrix}

    Với A = 1 khi đó:

    \begin{matrix} \dfrac{3}{{\sqrt a - 2}} = 1 \Rightarrow \sqrt a - 2 = 3 \hfill \\ \Rightarrow \sqrt a = 5 \Rightarrow a = 25 \hfill \\ \end{matrix}

    Với A = -1 khi đó:

    \begin{matrix} \dfrac{3}{{\sqrt a - 2}} = - 1 \Rightarrow \sqrt a - 2 = - 3 \hfill \\ \Rightarrow \sqrt a = - 1\left( {loai} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy a = 25.

  • Câu 25: Nhận biết
    Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

    Đưa thừa số \sqrt{81(2 - y)^{4}} ra ngoài dấu căn ta được kết quả nào sau đây?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \sqrt{81(2 - y)^{4}} = \sqrt{9^{2}.\left\lbrack (2 - y)^{2} ightbrack^{2}}

    = 9.\left| (2 - y)^{2} ight| = 9.(2 - y)^{2}

  • Câu 26: Vận dụng cao
    Tìm giá trị của biểu thức E

    Cho biểu thức C = a - 2\sqrt{a} với a \geq 0. Biểu thức B đạt giá trị nhỏ nhất khi a = a_{0}. Giá trị của biểu thức E = {a_{0}}^{2} + 1 là:

    Hướng dẫn:

    Với a \geq 0 ta có:

    C = a - 2\sqrt{a} = a - 2\sqrt{a} + 1 - 1 = \left( \sqrt{a} - 1 ight)^{2} - 1

    Vì \left( \sqrt{a} - 1 ight)^{2} \geq 0;\forall a \geq 0 nên \left( \sqrt{a} - 1 ight)^{2} - 1 \geq 1

    Suy ra C đạt giá trị nhỏ nhất khi dấu bằng xảy ra

    Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \sqrt{a} - 1 = 0 \Leftrightarrow a = 1 \Rightarrow a_{0} = 1

    \Rightarrow E = {a_{0}}^{2} + 1 = 2

  • Câu 27: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức

    Khi a \geq 0,b \geq 0 và a eq b . Tính giá trị của \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\frac{2b}{a-b}

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt a - \sqrt b }} - \dfrac{{\sqrt b }}{{\sqrt a + \sqrt b }} - \dfrac{{2b}}{{a - b}} \hfill \\ = \dfrac{{\sqrt a \left( {\sqrt a + \sqrt b } ight) - \sqrt b \left( {\sqrt a - \sqrt b } ight)}}{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } ight)\left( {\sqrt a + \sqrt b } ight)}} \hfill \\ - \dfrac{{2b}}{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } ight)\left( {\sqrt a + \sqrt b } ight)}} \hfill \\ = \dfrac{{a + \sqrt {ab} - \sqrt {ab} + b - 2b}}{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } ight)\left( {\sqrt a + \sqrt b } ight)}} \hfill \\ = \dfrac{{a - b}}{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } ight)\left( {\sqrt a + \sqrt b } ight)}} = 1 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 28: Thông hiểu
    Tính giá trị của biểu thức

    Tính giá trị của biểu thức M = \frac{{\sqrt {{x^2} - 2x\sqrt 5 + 5} }}{{x - \sqrt 5 }} với giá trị x = 4 - \sqrt 5

    Gợi ý:

    Bước 1: Thực hiện thu gọn biểu thức

    Chú ý: \sqrt {{A^2}} = \left| A ight|

    Bước 2: Thay giá trị của biến số vào biểu thức thu gọn

    Bước 3: Thực hiện phép tính ta được kết quả cần tìm

    Hướng dẫn:

     M = \frac{{\sqrt {{x^2} - 2x\sqrt 5 + 5} }}{{x - \sqrt 5 }} = \frac{{\left| {x - \sqrt 5 } ight|}}{{x - \sqrt 5 }} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1{\text{ khi x}} \geqslant \sqrt 5 } \\ { - 1{\text{ khi x < }}\sqrt 5 } \end{array}} ight.

    Vì 4 - \sqrt 5 < \sqrt 5 \Rightarrow M = - 1

  • Câu 29: Nhận biết
    Tìm điều kiện xác định của phương trình

    Tìm điều kiện xác định của phương trình \sqrt{(x - 4)^{2}} - 2x = \frac{4 - x}{\sqrt{x^{2}- 8x + 16}}?

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định:

    \left\{ \begin{matrix}(x - 4)^{2} \geq 0 \\x^{2} - 8x + 16 > 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}(x - 4)^{2} \geq 0 \\(x - 4)^{2} > 0 \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow (x - 4)^{2} > 0\Leftrightarrow x eq 4

  • Câu 30: Nhận biết
    Thực hiện phép tính

    Tính giá trị biểu thức A = \sqrt{3 + 2\sqrt{7}} - \sqrt{7 + 2\sqrt{10}}?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    A = \sqrt{3 + 2\sqrt{7}} - \sqrt{7 + 2\sqrt{10}}

    = \sqrt{\left( \sqrt{2} + 1 ight)^{2}} - \sqrt{\left( \sqrt{5} + \sqrt{2} ight)^{2}}

    = \sqrt{2} + 1 - \sqrt{5} - \sqrt{2} = 1 - \sqrt{5}

0/30
30 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (27%):
    2/3
  • Thông hiểu (33%):
    2/3
  • Vận dụng (27%):
    2/3
  • Vận dụng cao (13%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại

Đấu trường Ôn thi vào 10 môn Toán: Rút gọn biểu thức và các câu toán liên quan

Đang tìm đối thủ...

Đang tải...

Tạo phòng ngay Đấu trường chung
1
6 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này