Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Thi vào lớp 10 Ôn Chuyên đề Toán 9
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Ôn thi vào 10 môn Toán: Rút gọn biểu thức và các câu toán liên quan

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 30 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 30 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức

    Tính giá trị biểu thức \left( \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2}.\sqrt{4,5} + \frac{2}{5}\sqrt{50} ight):\frac{4}{15}\sqrt{\frac{1}{8}}?

    Hướng dẫn:

    Thực hiện tính \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2}.\sqrt{4,5} + \frac{2}{5}\sqrt{50} ta có:

    \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2}.\sqrt{4,5} + \frac{2}{5}\sqrt{50}

    = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2}.\sqrt{\frac{9}{2}} + \frac{2}{5}\sqrt{\frac{25}{2}}

    = \frac{1}{2\sqrt{2}} - \frac{9}{2\sqrt{2}} + 2\sqrt{2}

    = \frac{1}{2\sqrt{2}} - \frac{9}{2\sqrt{2}} + \frac{\left( 2\sqrt{2} ight)^{2}}{2\sqrt{2}}

    = \frac{1 - 9 + \left( 2\sqrt{2} ight)^{2}}{2\sqrt{2}} = 0

    Khi đó \left( \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2}.\sqrt{4,5} + \frac{2}{5}\sqrt{50} ight):\frac{4}{15}\sqrt{\frac{1}{8}} = 0

  • Câu 2: Nhận biết
    Tính giá trị của biểu thức

    Tính giá trị của biểu thức D = \sqrt {15{b^2} - 8b\sqrt {15} + 16} với: b = \sqrt {\frac{3}{5}}

    Hướng dẫn:

     D = \sqrt {15{b^2} - 8b\sqrt {15} + 16} = \sqrt {{{\left( {b\sqrt {15} - 4} ight)}^2}} = \left| {b\sqrt {15} - 4} ight|

    Thay số ta được D = 1

  • Câu 3: Thông hiểu
    Tìm nghiệm phương trình

    Phương trình x+\sqrt{(x-1)^{2}}=3 có:

    Hướng dẫn:

    Điều kiện: \forall x \in \mathbb{R}

    Phương trình tương đương:

    \begin{matrix} x + \sqrt {{{(x - 1)}^2}} = 3 \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt {{{(x - 1)}^2}} = 3 - x \hfill \\ \Leftrightarrow \left| {x - 1} ight| = 3 - x \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x - 1 = 3 - x} \\ {x - 1 = - 3 + x} \end{array}} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 2\left( {tm} ight)} \\ {0x = - 2\left( L ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy phương trình có một nghiệm dương.

  • Câu 4: Vận dụng
    Tìm các giá trị nguyên của x để N nguyên

    Cho biểu thức N = \frac{7 + 3\sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}};(x \geq 0). Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của x để biểu thức N nhận giá trị nguyên?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    N = \frac{7 + 3\sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}} = \frac{3\sqrt{x} + 3 + 4}{\sqrt{x} + 1} = 3 + \frac{4}{\sqrt{x} + 1}

    Để N\mathbb{\in Z \Rightarrow}\frac{4}{\sqrt{x} + 1}\mathbb{\in Z} hay \sqrt{x} + 1 \in U(4) = \left\{ \pm 4; \pm 2; \pm 1 ight\}

    Vì \Rightarrow \sqrt{x} \in \left\{ - 5; - 3; - 2;0;1;3 ight\} với mọi x \geq 0 \Rightarrow \sqrt{x} \in \left\{ 0;1;3 ight\} \Rightarrow x \in \left\{ 0;1;9 ight\}

    Vậy có 3 giá trị nguyên của x thỏa mãn điều kiện bài toán.

  • Câu 5: Thông hiểu
    Ghi lời giải bài toán vào chỗ trống

    Rút gọn các biểu thức sau:

    a) 2\sqrt{5} - \sqrt{125} - \sqrt{80} + \sqrt{605}

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

    b) \frac{5 + \sqrt{10}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} + \frac{8}{1 - \sqrt{5}}

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

    c) \frac{3}{\sqrt{7} - 2} + \sqrt{\left( 3 - \sqrt{7} ight)^{2}}

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Rút gọn các biểu thức sau:

    a) 2\sqrt{5} - \sqrt{125} - \sqrt{80} + \sqrt{605}

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

    b) \frac{5 + \sqrt{10}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} + \frac{8}{1 - \sqrt{5}}

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

    c) \frac{3}{\sqrt{7} - 2} + \sqrt{\left( 3 - \sqrt{7} ight)^{2}}

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 6: Thông hiểu
    Ghi lời giải bài toán vào ô trống

    Rút gọn các biểu thức sau

    a) A = \sqrt{5} + \sqrt{20} + \sqrt{45}.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

    b) B = \left( \sqrt{x}\ - \ \frac{1}{\sqrt{x}} ight)\ :\ \left( \frac{\sqrt{x}\ - \ 1}{\sqrt{x}}\ + \ \frac{1\ - \ \sqrt{x}}{x\ + \ \sqrt{x}} ight) với x > 0,\ \ x eq 1.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Rút gọn các biểu thức sau

    a) A = \sqrt{5} + \sqrt{20} + \sqrt{45}.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

    b) B = \left( \sqrt{x}\ - \ \frac{1}{\sqrt{x}} ight)\ :\ \left( \frac{\sqrt{x}\ - \ 1}{\sqrt{x}}\ + \ \frac{1\ - \ \sqrt{x}}{x\ + \ \sqrt{x}} ight) với x > 0,\ \ x eq 1.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 7: Nhận biết
    Giải phương trình chứa căn

    Nghiệm của phương trình \sqrt{2}x - \sqrt{50} = 0 là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \sqrt{2}x - \sqrt{50} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{50}{2}} = \sqrt{25} = 5

    Vậy phương trình có nghiệm x = 5.

  • Câu 8: Nhận biết
    Tính căn bậc ba của -125

    Căn bậc ba của - 125 là:

    Hướng dẫn:

    Ta có: \sqrt[3]{- 125} = \sqrt[3]{( - 5)^{3}} = - 5.

  • Câu 9: Vận dụng
    Giải phương trình

    Phương trình \sqrt{4+4x+x^{2}}=x-2

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định \forall x \in \mathbb{R}

    Phương trình tương đương:

    \begin{matrix} \sqrt {4 + 4x + 4{x^2}} = x - 2 \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x - 2 \geqslant 0} \\ {4 + 4x + 4{x^2} = {{\left( {x - 2} ight)}^2}} \end{array}} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \geqslant 2} \\ {4 + 4x + 4{x^2} = {x^2} - 4x + 4} \end{array}} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \geqslant 2} \\ {3{x^2} + 8x = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \geqslant 2} \\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0} \\ {x = - \dfrac{8}{3}} \end{array}} ight.\left( {ktm} ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy phương trình vô nghiệm.

  • Câu 10: Vận dụng
    Xác định số nghiệm của phương trình

    Số nghiệm của phương trình \frac{2}{3}\sqrt {9x - 9} - \frac{1}{4}\sqrt {16x -1 6} + 27\sqrt {\frac{{x + 1}}{{81}}} = 4 là:

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định: 

    \begin{matrix} \left\{ \begin{gathered} 9x - 9 \geqslant 0 \hfill \\ 16x - 16 \geqslant 0 \hfill \\ \dfrac{{x + 1}}{{81}} \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 9\left( {x - 1} ight) \geqslant 0 \hfill \\ 16\left( {x - 1} ight) \geqslant 0 \hfill \\ x + 1 \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \Rightarrow x + 1 \geqslant 0 \Rightarrow x \geqslant - 1 \hfill \\ \end{matrix}

    Phương trình tương đương:

    \begin{matrix} \Leftrightarrow \dfrac{2}{3}\sqrt {9\left( {x - 1} ight)} - \dfrac{1}{4}\sqrt {16\left( {x - 1} ight)} + 27\sqrt {\dfrac{1}{{81}}\left( {x + 1} ight)} = 4 \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{2}{3}.3\sqrt {x - 1} - \dfrac{1}{4}.4\sqrt {x - 1} + 27.\dfrac{1}{9}\sqrt {x - 1} = 4 \hfill \\ \Leftrightarrow 2\sqrt {x - 1} - \sqrt {x - 1} + 3\sqrt {x - 1} = 4 \hfill \\ \Leftrightarrow 4\sqrt {x - 1} = 4 \Leftrightarrow \sqrt {x - 1} = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow x - 1 = 1 \Leftrightarrow x = 2\left( {tm} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm.

  • Câu 11: Nhận biết
    Chọn đáp án đúng

    Trục căn thức ở mẫu thức của biểu thức \frac{6}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} ta được kết quả là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \frac{6}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{6\left( \sqrt{5} + \sqrt{3} ight)}{\left( \sqrt{5} - \sqrt{3} ight)\left( \sqrt{5} + \sqrt{3} ight)}

    = \frac{6\left( \sqrt{5} + \sqrt{3} ight)}{\left( \sqrt{5} ight)^{2} - \left( \sqrt{3} ight)^{2}} = \frac{6\left( \sqrt{5} + \sqrt{3} ight)}{5 - 3}

    = \frac{6\left( \sqrt{5} + \sqrt{3} ight)}{2} = 3\left( \sqrt{5} + \sqrt{3} ight)

  • Câu 12: Vận dụng cao
    Tính giá trị biểu thức M = x + y

    Biết \left( {x + \sqrt {{x^2} + 3} } ight).\left( {y + \sqrt {{y^2} + 3} } ight) = 3. Tính giá trị biểu thức M = x + y

    Kết quả của biểu thức là: 0||1||4||5

    Đáp án là:

    Biết \left( {x + \sqrt {{x^2} + 3} } ight).\left( {y + \sqrt {{y^2} + 3} } ight) = 3. Tính giá trị biểu thức M = x + y

    Kết quả của biểu thức là: 0||1||4||5

     Ta có:

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {x + \sqrt {{x^2} + 3} } ight).\left( {x - \sqrt {{x^2} + 3} } ight)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 3} } ight) = 3\left( {x - \sqrt {{x^2} + 3} } ight)} \\ {\left( {x + \sqrt {{x^2} + 3} } ight).\left( {y + \sqrt {{y^2} + 3} } ight).\left( {y - \sqrt {{y^2} + 3} } ight) = 3\left( {y - \sqrt {{y^2} + 3} } ight)} \end{array}} ight.

    => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y + \sqrt {{y^2} + 3} = - \left( {x - \sqrt {{x^2} + 3} } ight)} \\ {\left( {x + \sqrt {{x^2} + 3} } ight) = - \left( {y - \sqrt {{y^2} + 3} } ight)} \end{array}} ight.

    Cộng hai vế của phương trình

    => x = -y

    => x + y = 0

    => M = 0

  • Câu 13: Vận dụng
    Tìm x thỏa mãn yêu cầu đề bài

    Cho biểu thức Q = \frac{2\sqrt{x} - 9}{x - 5\sqrt{x} + 6} - \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 2} - \frac{2\sqrt{x} + 1}{3 - \sqrt{x}} với x \geq 0;x eq 4;x eq 9. Tìm tất cả các giá trị của x để Q < 1?

    Hướng dẫn:

    Biến đổi biểu thức:

    x - 5\sqrt{x} + 6 = x - 2\sqrt{x} - 3\sqrt{x} + 6

    = x - 2\sqrt{x} - 3\sqrt{x} + 6

    = \sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 2 ight) - 3\left( \sqrt{x} - 2 ight)

    = \left( \sqrt{x} - 3 ight)\left( \sqrt{x} - 2 ight)

    Theo bài ra ta có:

    Q = \frac{2\sqrt{x} - 9}{x - 5\sqrt{x} + 6} - \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 2} - \frac{2\sqrt{x} + 1}{3 - \sqrt{x}}

    Q = \frac{2\sqrt{x} - 9}{\left( \sqrt{x} - 3 ight)\left( \sqrt{x} - 2 ight)} - \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 2} + \frac{2\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3}

    Q = \frac{2\sqrt{x} - 9}{\left( \sqrt{x} - 3 ight)\left( \sqrt{x} - 2 ight)} - \frac{\left( \sqrt{x} + 3 ight)\left( \sqrt{x} - 3 ight)}{\left( \sqrt{x} - 2 ight)\left( \sqrt{x} - 3 ight)} + \frac{\left( 2\sqrt{x} + 1 ight)\left( \sqrt{x} - 2 ight)}{\left( \sqrt{x} - 3 ight)\left( \sqrt{x} - 2 ight)}

    Q = \frac{2\sqrt{x} - 9 - x + 9 + 2x - 3\sqrt{x} - 2}{\left( \sqrt{x} - 3 ight)\left( \sqrt{x} - 2 ight)}

    Q = \frac{x - \sqrt{x} - 2}{\left( \sqrt{x} - 3 ight)\left( \sqrt{x} - 2 ight)}

    Q = \frac{x - 2\sqrt{x} + \sqrt{x} - 2}{\left( \sqrt{x} - 3 ight)\left( \sqrt{x} - 2 ight)}

    Q = \frac{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 2 ight) + \left( \sqrt{x} - 2 ight)}{\left( \sqrt{x} - 3 ight)\left( \sqrt{x} - 2 ight)}

    Q = \frac{\left( \sqrt{x} + 1 ight)\left( \sqrt{x} - 2 ight)}{\left( \sqrt{x} - 3 ight)\left( \sqrt{x} - 2 ight)}

    Q = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3}

    Để Q < 1 \Leftrightarrow \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} < 1

    \Leftrightarrow \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} - \frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} - 3} < 0

    \Leftrightarrow \frac{\sqrt{x} + 1 - \sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 3} < 0 \Leftrightarrow \frac{4}{\sqrt{x} - 3} < 0

    Vì 4 > 0 \Rightarrow \sqrt{x} - 3 < 0 \Leftrightarrow \sqrt{x} < 3 \Leftrightarrow x < 9

    Kết hợp với điều kiện x \geq 0;x eq 4;x eq 9 suy ra 0 \leq x < 9;x eq 4

  • Câu 14: Nhận biết
    Biến đổi biểu thức chứa căn

    Với x > 0, đơn giản biểu thức \frac{x - \sqrt{x}}{\sqrt{x}} thu được kết quả là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \frac{x - \sqrt{x}}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 1 ight)}{\sqrt{x}} = \sqrt{x} - 1

  • Câu 15: Thông hiểu
    Chọn kết quả đúng

    Tính kết quả biểu thức \left( \frac{10 + 2\sqrt{10}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} + \frac{\sqrt{30} - \sqrt{6}}{\sqrt{5} - 1} ight):\frac{1}{2\sqrt{5} - \sqrt{6}}.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \left( \frac{10 + 2\sqrt{10}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} + \frac{\sqrt{30} - \sqrt{6}}{\sqrt{5} - 1} ight):\frac{1}{2\sqrt{5} - \sqrt{6}}

    = \left( \frac{\sqrt{100} - \sqrt{40}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} + \frac{\sqrt{30} - \sqrt{6}}{\sqrt{5} - 1} ight):\frac{1}{2\sqrt{5} - \sqrt{6}}

    = \left\lbrack \frac{\sqrt{20}\left( \sqrt{5} + \sqrt{2} ight)}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} + \frac{\sqrt{6}\left( \sqrt{5} - 1 ight)}{\sqrt{5} - 1} ightbrack:\frac{1}{2\sqrt{5} - \sqrt{6}}

    = \left( 2\sqrt{5} + \sqrt{6} ight)\left( 2\sqrt{5} - \sqrt{6} ight) = 14

  • Câu 16: Thông hiểu
    Tính giá trị của biểu thức

    Tính giá trị của biểu thức M = \frac{{\sqrt {{x^2} - 2x\sqrt 5 + 5} }}{{x - \sqrt 5 }} với giá trị x = 4 - \sqrt 5

    Gợi ý:

    Bước 1: Thực hiện thu gọn biểu thức

    Chú ý: \sqrt {{A^2}} = \left| A ight|

    Bước 2: Thay giá trị của biến số vào biểu thức thu gọn

    Bước 3: Thực hiện phép tính ta được kết quả cần tìm

    Hướng dẫn:

     M = \frac{{\sqrt {{x^2} - 2x\sqrt 5 + 5} }}{{x - \sqrt 5 }} = \frac{{\left| {x - \sqrt 5 } ight|}}{{x - \sqrt 5 }} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1{\text{ khi x}} \geqslant \sqrt 5 } \\ { - 1{\text{ khi x < }}\sqrt 5 } \end{array}} ight.

    Vì 4 - \sqrt 5 < \sqrt 5 \Rightarrow M = - 1

  • Câu 17: Vận dụng
    Tìm các giá trị của a

    Cho biểu thức G = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 5} - \frac{5}{\sqrt{a} + 5} - \frac{10\sqrt{a}}{a - 25}. Có bao nhiêu giá trị của a thỏa mãn |G| = \frac{1}{4}?

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định a \geq 0,a eq 25

    Ta có:

    G = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 5} - \frac{5}{\sqrt{a} + 5} - \frac{10\sqrt{a}}{a - 25}

    G = \frac{\sqrt{a}\left( \sqrt{a} + 5 ight)}{\left( \sqrt{a} + 5 ight)\left( \sqrt{a} - 5 ight)} - \frac{5\left( \sqrt{a} - 5 ight)}{\left( \sqrt{a} + 5 ight)\left( \sqrt{a} - 5 ight)} - \frac{10\sqrt{a}}{\left( \sqrt{a} + 5 ight)\left( \sqrt{a} - 5 ight)}

    G = \frac{a - 10\sqrt{a} + 25}{\left( \sqrt{a} + 5 ight)\left( \sqrt{a} - 5 ight)} = \frac{\left( \sqrt{a} - 5 ight)^{2}}{\left( \sqrt{a} + 5 ight)\left( \sqrt{a} - 5 ight)} = \frac{\sqrt{a} - 5}{\sqrt{a} + 5}

    Xét |G| = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \left| \frac{\sqrt{a} - 5}{\sqrt{a} + 5} ight| = \frac{1}{4}(*)

    TH1: a > 25 phương trình (*) tương đương

    \frac{\sqrt{a} - 5}{\sqrt{a} + 5} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow 4\sqrt{a} - 20 = \sqrt{a} + 5

    \Leftrightarrow a = \left( \frac{25}{3} ight)^{2} = \frac{625}{9}(tm)

    TH2: a < 25 phương trình (*) tương đương

    \frac{\sqrt{a} - 5}{\sqrt{a} + 5} = - \frac{1}{4} \Leftrightarrow - 4\sqrt{a} + 20 = \sqrt{a} + 5

    \Leftrightarrow a = 3^{2} = 9(tm)

    Vậy có 2 giá trị của a thỏa mãn yêu cầu đề bài.

  • Câu 18: Vận dụng cao
    Các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện

    Các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x\sqrt {1 - {y^2}} + y\sqrt {2 - {x^2}} + z\sqrt {3 - {x^2}} = 3 là:

    Hướng dẫn:

     \begin{matrix} x\sqrt {1 - {y^2}} + y\sqrt {2 - {x^2}} + z\sqrt {3 - {x^2}} = 3 \hfill \\ \Rightarrow 2x\sqrt {1 - {y^2}} + 2y\sqrt {2 - {x^2}} + 2z\sqrt {3 - {x^2}} = 6 \hfill \\ \end{matrix}

    Áp dụng bất đẳng thức 2ab \leqslant {a^2} + {b^2}

    2x\sqrt {1 - {y^2}} + 2y\sqrt {2 - {x^2}} + 2z\sqrt {3 - {x^2}} \leqslant {x^2} + 1 - {y^2} + {y^2} + 2 - {z^2} + {z^2} + 3 - {x^2} = 6

    Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \sqrt {1 - {y^2}} } \\ {y = \sqrt {2 - {x^2}} } \\ {z = \sqrt {3 - {x^2}} } \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} + {y^2} = 1} \\ {{y^2} + {z^2} = 2} \\ {{z^2} + {x^2} = 3} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1} \\ {y = 0} \\ {z = \sqrt 2 } \end{array}} ight.

  • Câu 19: Vận dụng
    Tìm các giá trị của x để biểu thức

    Tìm các giá trị của x để biểu thức B = \frac{5}{{3\sqrt x + 2}} \in \mathbb{Z} là:

    Hướng dẫn:

    Ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0 \leqslant B \leqslant \dfrac{5}{2}} \\ {B \in \mathbb{Z}} \end{array}} ight. \Rightarrow B \in \left\{ {1;2} ight\}

    => B = 1 \Leftrightarrow \frac{5}{{3\sqrt x + 2}} = 1 \Rightarrow x = 1

    =>  B = 2 \Leftrightarrow \frac{5}{{3\sqrt x + 2}} = 2 \Rightarrow x = 2

  • Câu 20: Nhận biết
    Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa

    Biểu thức \sqrt{\frac{1}{A}} xác định khi

    Hướng dẫn:

    Biểu thức \sqrt{\frac{1}{A}} xác định khi \left\{ \begin{matrix} A eq 0 \\ \frac{1}{A} \geq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow A > 0.

  • Câu 21: Thông hiểu
    Tìm nghiệm của phương trình

    Phương trình \sqrt{3}x + \sqrt{3} = \sqrt{12} + \sqrt{27} có nghiệm là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \sqrt{3}x + \sqrt{3} = \sqrt{12} + \sqrt{27}

    \Leftrightarrow \sqrt{3}x + \sqrt{3} = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3}

    \Leftrightarrow \sqrt{3}x = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - \sqrt{3}

    \Leftrightarrow \sqrt{3}x = 4\sqrt{3} \Leftrightarrow x = 4

    Vậy nghiệm của phương trình là x = 4.

  • Câu 22: Vận dụng cao
    Tìm giá trị x, y, z

    Giá trị x, y, z để thỏa mãn \sqrt x + \sqrt {y - z} + \sqrt {z - x} = \frac{1}{2}\left( {y + 3} ight) là ?

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \geqslant 0} \\ {y - z \geqslant 0} \\ {z - x \geqslant 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow y \geqslant z \geqslant x \geqslant 0

    Ta có: 

    \begin{matrix} \sqrt x + \sqrt {y - z} + \sqrt {z - x} = \dfrac{1}{2}\left( {y + 3} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow 2\sqrt x + 2\sqrt {y - z} + 2\sqrt {z - x} = y + 3 \hfill \\ \Leftrightarrow 2\sqrt x + 2\sqrt {y - z} + 2\sqrt {z - x} = x + y - z + z - x - 3 \hfill \\ \Leftrightarrow x - 2\sqrt x + 1 + y - z - 2\sqrt {y - z} + 1 \hfill \\ + z - x - 2\sqrt {z - x} + 1 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x - 1} ight)^2} + {\left( {\sqrt {y - z} - 1} ight)^2} + {\left( {\sqrt {z - x} - 1} ight)^2} = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \sqrt x - 1 = 0 \hfill \\ \sqrt {y - z} - 1 = 0 \hfill \\ \sqrt {z - x} - 1 = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 1 \hfill \\ y = 3 \hfill \\ z = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight.\left( {tm} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 23: Thông hiểu
    Đơn giản biểu thức chứa căn

    Rút gọn biểu thức \sqrt{( - a)^{2}} - \sqrt{16a^{2}} với a < 0, ta được:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \sqrt{( - a)^{2}} - \sqrt{16a^{2}} = \sqrt{a^{2}} - \sqrt{(4a)^{2}}

    = |a| - |4a|

    Vì a < 0 nên \left\{ \begin{matrix} |a| = - a \\ |4a| = - 4a \\ \end{matrix} ight.

    Khi đó

    \sqrt{( - a)^{2}} - \sqrt{16a^{2}} = - a - ( - 4a) = - a + 4a = 3a

  • Câu 24: Thông hiểu
    Tìm các giá trị tham số a

    Cho biểu thức B = \left( \frac{\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} + 1} - \frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} - 1} ight)\left( \frac{1}{2\sqrt{a}} - \frac{\sqrt{a}}{2} ight). Có tất cả bao nhiêu giá trị a thỏa mãn B = 1 - \sqrt{a}?

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định \left\{ \begin{matrix} \sqrt{a} + 1 eq 0 \\ \sqrt{a} - 1 eq 0 \\ 2\sqrt{a} eq 0 \\ a \geq 0 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có:

    B = \left( \frac{\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} + 1} - \frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} - 1} ight)\left( \frac{1}{2\sqrt{a}} - \frac{\sqrt{a}}{2} ight)

    B = \frac{\left( \sqrt{a} - 1 ight)^{2} - \left( \sqrt{a} + 1 ight)^{2}}{\left( \sqrt{a} + 1 ight)\left( \sqrt{a} - 1 ight)}.\frac{1 - a}{2\sqrt{a}}

    B = \frac{\left( \sqrt{a} - 1 - \sqrt{a} - 1 ight)\left( \sqrt{a} - 1 + \sqrt{a} + 1 ight)}{- 2\sqrt{a}}

    B = \frac{- 2\sqrt{a}}{- 2\sqrt{a}} = 1

    Mặt khác B = 1 - \sqrt{a}

    \Leftrightarrow 1 = 1 - \sqrt{a} \Leftrightarrow \sqrt{a} = 0 \Leftrightarrow a = 0(tm)

    Vậy có 1 giá trị của a thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 25: Vận dụng
    Tìm x để P nguyên

    Cho P = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}. Tìm tất cả các giá trị x để P nhận những giá trị nguyên.

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định x \geqslant 0,x e 1

    Ta có: P = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} = 1 + \frac{2}{{\sqrt x - 1}}

    Ta có P nhận những giá trị nguyên mà 1 \in \mathbb{Z} \Rightarrow \frac{2}{{\sqrt x - 1}} \in \mathbb{Z}

    \left( {\sqrt x - 1} ight) \in U\left( 2 ight) = \left\{ { - 2;2; - 1;1} ight\}

    Ta có bảng sau:

    {\sqrt x - 1}

    -2

    -1

    1

    2

    x

    ktm

    0

    4

    9

    => x \in \left \{0;4;9 ight \}

  • Câu 26: Vận dụng
    Tính giá trị của biểu thức

    Tính giá trị của biểu thức A = \frac{{2a.\sqrt {1 + {x^2}} }}{{\sqrt {1 + {x^2}} - x}} với x = \frac{1}{2}.\left( {\sqrt {\frac{{1 - a}}{2}} + \sqrt {\frac{a}{{1 - a}}} } ight)

    Kết quả của biểu thức là: 1

    Đáp án là:

    Tính giá trị của biểu thức A = \frac{{2a.\sqrt {1 + {x^2}} }}{{\sqrt {1 + {x^2}} - x}} với x = \frac{1}{2}.\left( {\sqrt {\frac{{1 - a}}{2}} + \sqrt {\frac{a}{{1 - a}}} } ight)

    Kết quả của biểu thức là: 1

     Ta có:

    \begin{matrix} x = \dfrac{1}{2}.\left( {\sqrt {\dfrac{{1 - a}}{2}} + \sqrt {\dfrac{a}{{1 - a}}} } ight) \hfill \\ \Rightarrow x = \dfrac{{1 - 2a}}{{2\sqrt {x\left( {1 - a} ight)} }} \hfill \\ \Rightarrow \sqrt {1 + {x^2}} = \dfrac{1}{{2\sqrt {x\left( {1 - a} ight)} }} \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} A = \dfrac{{2a.\sqrt {1 + {x^2}} }}{{\sqrt {1 + {x^2}} - x}} = \dfrac{{2a.\dfrac{1}{{2\sqrt {a.\left( {1 - a} ight)} }}}}{{\dfrac{1}{{2\sqrt {a.\left( {1 - a} ight)} }} - x}} = \dfrac{a}{{\sqrt {a\left( {1 - a} ight)} }}:\dfrac{{2a}}{{2\sqrt {a.\left( {1 - a} ight)} }} \hfill \\ = \dfrac{a}{{\sqrt {a\left( {1 - a} ight)} }}.\dfrac{{2\sqrt {a\left( {1 - a} ight)} }}{{2a}} = 1 \hfill \\ \end{matrix}

    => A = 1

  • Câu 27: Thông hiểu
    Tìm điều kiện xác định của biểu thức

    Tìm tất cả các giá trị của x để biểu thức \frac{2x}{\sqrt{x^{2} - 4x + 4}} xác định?

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định

    x^{2} - 4x + 4 > 0 mà x^{2} - 4x + 4 = (x - 2)^{2} \geq 0 với mọi x nên x eq 2.

  • Câu 28: Vận dụng cao
    Tìm x thỏa mãn yêu cầu

    Với x > 5, cho biểu thức A = \frac{\sqrt{x^{2} - 5x}}{\sqrt{x - 5}} và B = x. Có bao nhiêu giá trị của x để A = B?

    Hướng dẫn:

    Với x > 5 thì x - 5 > 0. Ta có:

    A = \frac{\sqrt{x^{2} - 5x}}{\sqrt{x - 5}} = \frac{\sqrt{x(x - 5)}}{\sqrt{x - 5}} = \frac{\sqrt{x}.\sqrt{x - 5}}{\sqrt{x - 5}} = \sqrt{x}

    Theo bài ra ta có:

    A = B \Leftrightarrow \sqrt{x} = x \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ \end{matrix} ight.

    Kết hợp với điều kiện ta thấy không có giá trị nào của x thỏa mãn yêu cầu.

  • Câu 29: Nhận biết
    Giá trị của biểu thức

    Giá trị của biểu thức: P = \frac{{\sqrt x - 1}}{{x - 1}} tại x = {\left( {1 - \sqrt 2 } ight)^2}

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    P = \frac{{\sqrt x - 1}}{{x - 1}} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} ight)\left( {\sqrt x + 1} ight)}} = \frac{1}{{\sqrt x + 1}}

    Mặt khác x = {\left( {1 - \sqrt 2 } ight)^2} \Rightarrow \sqrt x = \sqrt 2 - 1

    Thay x vào biểu thức P ta có: P = \frac{1}{{\sqrt 2 - 1 + 1}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}

  • Câu 30: Nhận biết
    Tìm điều kiện xác định của phương trình

    Tìm điều kiện xác định của phương trình \sqrt{(x - 4)^{2}} - 2x = \frac{4 - x}{\sqrt{x^{2}- 8x + 16}}?

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định:

    \left\{ \begin{matrix}(x - 4)^{2} \geq 0 \\x^{2} - 8x + 16 > 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}(x - 4)^{2} \geq 0 \\(x - 4)^{2} > 0 \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow (x - 4)^{2} > 0\Leftrightarrow x eq 4

0/30
30 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (27%):
    2/3
  • Thông hiểu (33%):
    2/3
  • Vận dụng (27%):
    2/3
  • Vận dụng cao (13%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
1
Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này
🖼️

Ôn Chuyên đề Toán 9
Xem thêm