Ôn thi vào 10 môn Toán: Giải toán bằng cách lập phương trình

Ô tô thứ hai đi chậm hơn ô tô thứ nhất .

Suy ra vận tốc xe thứ nhất nhiều hơn vận tốc xe thứ hai là .

Nếu gọi vận tốc ô tô thứ hai là x km/h thì vận tốc xe thứ nhất là .

Để giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

(2) Gọi 2 ẩn và đặt điều kiện, đơn vị cho ẩn.

(1) Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

(3) Lập hai phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng.

(4) Giải hệ phương trình.

(5) Đối chiếu điều kiện và kết luận.

Gọi thời gian dự định từ A đến B là x (giờ)

Vận tốc dự định đi từ A đến B là y (km/h)

Điều kiện

Khi đó quãng đường từ A đến B là

Theo đề bài ta có hệ phương trình:

Vậy thời điểm xe xuất phát từ A là 11 – 6 = 5 (giờ)

Gọi chiều rộng của mảnh vườn là

Suy ra chiều dài của mảnh vườn là

Theo đề bài có chu vi mảnh vườn bằng nên ta có phương trình:

Suy ra chiều dài của mảnh vườn bằng 10m và chiều rộng bằng 5m.

Vậy diện tích mảnh vườn bằng .

Ta có:

Hai người đi hai xe khác nhau, khởi hành cùng một lúc từ địa điểm A.

Người thứ nhất đến sớm hơn người thứ hai là 2 giờ nên thời gian đi của người thứ hai nhiều hơn của người thứ nhất 2 giờ.

Nếu gọi thời gian đi của người thứ nhất là x giờ thì thời gian của người thứ hai là: .

Gọi chiều cao của tam giác là h (dm), cạnh đáy tam giác là a (dm)

Điều kiện:

Diện tích tam giác ban đầu là

Vì chiều cao bằng 1/4 cạnh đáy => Ta có phương trình  

Nếu chiều cao tăng thêm 2 dm và cạnh đáy giảm đi 2 dm thì diện tích của nó tăng thêm 2,5

=> Ta có phương trình:

Ta có hệ phương trình:

Vậy chiều cao của tấm bìa là 1,5dm và cạnh đáy của tấm bìa là 6dm.

Gọi là chiều dài khu vườn

Chiều rộng bằng chiều dài nên chiều rộng có độ dài là:

Theo bài ra ta có diện tích khu vườn bằng .

Khi đó phương trình là:

Vậy chiều rộng mảnh vườn là: .

Để giải bài toán bằng cách lập phương trình ta thực hiện lần lượt các bước sau

(1) Gọi ẩn và đặt điều kiện, đơn vị cho ẩn.

(2) Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

(3) Lập phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng.

(4) Giải phương trình

(5) Đối chiếu điều kiện và kết luận.

Gọi x và y lần lượt là số thứ nhất và số thứ hai ()

Theo bài ra ta có:

4 lần số thứ nhất cộng với ba lần số thứ hai bằng suy ra

Ba lần số thứ nhất hơn 2 lần số thứ hai là suy ra

Khi đó ta có hệ phương trình .

Gọi số sản phẩm của tổ I sản xuất được trong tháng thứ nhất là x (sản phẩm).

số sản phẩm của tổ II sản xuất được trong tháng thứ nhất là y (sản phẩm).

Điều kiện:

Tháng thứ nhất, 2 tổ sản xuất được 900900 sản phẩm nên ta có phương trình:

Tháng thứ 2 tổ I vượt mức 30% nên tổ I sản xuất được (sản phẩm)

Tổ II giảm mức đi 22% so với tháng thứ nhất nên tổ 2 sản xuất được (sản phẩm).

=> 2 tổ đã sản xuất được 1300 sản phẩm, nên ta có phương trình:

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

Vậy trong tháng thứ hai tổ II sản xuất được sản phẩm.

Gọi chiều cao ứng với cạnh đáy của thửa ruộng là

Điều kiện:

Vì thửa ruộng hình tam giác có diện tích nên chiều dài cạnh đáy thửa ruộng là:

Vì tăng cạnh đáy thêm 5m và chiều cao giảm đi 4m thì diện tích giảm nên ta có phương trình:

=> Chiều cao là 12m

=> Cạnh đáy của thửa ruộng ban đầu là 20m.

Gọi x là chiều rộng hình chữ nhật lúc đầu

Chiều dài hình chữ nhật lúc đầu:

Chiều rộng hình chữ nhật lúc sau:

Chiều dài hình chữ nhật lúc sau:

Theo đề bài ta có phương trình:

=> Chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật ban đầu lần lượt là: 12cm và 4cm.

=> Chu vi hình chữ nhật ban đầu là: .

Ta có: 7 giờ 12 phút = giờ.

Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể là (giờ)

Điều kiện

Thời gian vòi thứ hai chảy riêng đầy bể là

Theo bài ra ta có:

Hai vòi cùng chảy mà đầy bể hết giờ nên ta có phương trình:

nên phương trình có hai nghiệm

Vậy vòi thứ nhất chảy riêng một mình đầy bể sau 12 giờ, vòi thứ hai chảy đầy bể một mình trong 18 giờ. Hoặc ngược lại.

Gọi năng suất dự định là (sản phẩm/ giờ). Điều kiện

Thời gian dự định làm sản phẩm là:

Thời gian thực tế làm sản phẩm với năng suất (sản phẩm/ giờ) là:

Theo đề bài công nhân hoàn thành trước kế hoạch 40 phút ()

Ta có phương trình:

nên phương trình có hai nghiệm

Vậy năng suất dự định là: sản phẩm/ giờ.

Gọi số máy móc công ty nên sử dụng là (máy)

Điều kiện

Trong một giờ, số quả bóng tennis sản xuất được là (quả bóng)

Như vậy, số giờ để sản xuất 8000 quả bóng là (giờ)

Mỗi giờ phải trả 192 nghìn đồng cho người giám sát và chi phí thiết lập cho mỗi máy là 200 nghìn đồng nên chi phí sản xuất là:

(đồng)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương và , ta được:

Dấu bằng xảy ra khi

Vậy số máy móc công ty nên sử dụng là 16 máy để chi phí sản xuất là thấp nhất.

Vì hệ phương trình có nghiệm nên

Vậy m = 3 là giá trị cần tìm.

Gọi hai số tự nhiên liên tiếp cần tìm là và

Tích của hai số là:

Tổng hai số là: .

Theo bài ra ta có phương trình:

⇒ Phương trình có hai nghiệm:

=> Hai số tự nhiên cần tìm là 11 và 12.

Vậy số bé là 11.

Vì số thứ nhất gấp 8 lần số thứ hai nên số thứ hai bằng lần số thứ nhất.

Vậy khi số thứ nhất là thì số thứ hai sẽ là .

Gọi ta có:

Ta có phương trình:

nên phương trình có hai nghiệm

Vậy kết luận đúng là: hoặc .

Gọi số sách trên giá thứ nhất là x (cuốn sách), số sách trên giá thứ hai là y (cuốn sách)

Điều kiện:

Hai giá sách có 450 cuốn =>

Nếu chuyển 50 cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số sách trên giá thứ hai bằng 4/5 số sách ở giá thứ nhất nên ta có phương trình:

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

Vậy số sách trên giá thứ hai là 150 cuốn sách.

Nửa chu vi hình chữ nhật là 250 : 2 = 125m

Gọi chiều dài hình chữ nhật là x (m)

Chiều rộng hình chữ nhật là y (m)

Điều kiện 0 < y < x <125

Diện tích hình chữ nhật là

Vì nửa chu vi hình chữ nhật bằng 125m nên

Khi ta giảm chiều dài 3 lần và tăng chiều rộng 2 lần thì chu vi thửa ruộng không đổi nên ta có phương trình:

Khi đó ta có hệ phương trình:

Vậy chiều dài hình chữ nhật là 75m và chiều rộng hình chữ nhật là 50m.

Suy ra diện tích thửa ruộng là

Gọi người A làm một mình xong công việc trong x (giờ) (x > 0) và mỗi giờ làm được (công việc).

Người B làm một mình xong công việc trong y (giờ) (y > 0) và mỗi giờ làm được (công việc).

Người C làm một mình xong công việc trong z (giờ) (z > 0) và mỗi giờ làm được (công việc).

Hai người A và B làm xong công việc trong 72 giờ nên mỗi giờ hai người làm được công việc

Ta có phương trình

Hai người A và C làm xong công việc đó trong 63 giờ nên mỗi giờ hai người làm được công việc

Ta có phương trình

Hai người B và C làm xong công việc đó trong 56 giờ nên mỗi giờ hai người làm được công việc

Ta có phương trình

Khi đó ta có hệ phương trình:

Nếu cả ba người cùng làm thì mỗi giờ làm được công việc

Vậy cả ba người cùng làm sẽ hoàn thành công việc trong giờ