Ôn thi vào 10 môn Toán: Giải toán bằng cách lập phương trình

Gọi x là số phần trăm chỉ số học sinh tăng trung bình hằng năm

Điều kiện

Số học sinh tăng năm đầu là (học sinh)

Số học sinh tăng trong năm thứ hai là: (học sinh)

Theo bài ra ta có:

Sau hai năm số học sinh tăng là: (học sinh)

Khi đó ta có phương trình:

Vậy hằng năm trung bình số học sinh tăng .

Ô tô thứ hai đi chậm hơn ô tô thứ nhất .

Suy ra vận tốc xe thứ nhất nhiều hơn vận tốc xe thứ hai là .

Nếu gọi vận tốc ô tô thứ hai là x km/h thì vận tốc xe thứ nhất là .

Số con gà là x con, số con mèo là y con khi đó ta có điều kiện của x và y là .

Gọi vận tốc của người thứ nhất và người thứ hai lần lượt là x, y (km/h)

Điều kiện: x; y > 0

Quãng đường người thứ nhất đi được khi gặp nhau là 2x (km)

Quãng đường người thứ hai đi được đến khi gặp nhau là 2y (km)

Người thứ nhất đi được nhiều hơn người thứ hai 2 km (*)

Hai thành phố cách nhau 38km (**)

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

Vậy vận tốc người thứ nhất là 10km/h.

Gọi cạnh đáy của thửa ruộng là

Điều kiện:

=> Chiều cao của thửa ruộng là

Vì khi tăng cạnh đáy thêm 4m và giảm chiều cao tương ứng đi 1m thì diện tích thửa ruộng không đổi nên ta có phương trình:

Vậy cạnh đáy của thửa ruộng là .

Gọi số xe ban đầu là chiếc

Điều kiện .

Lúc đầu mỗi xe dự định chở (tấn hàng)

Theo đề bài, mỗi xe phải chở thêm tấn hàng nên ta có phương trình:

Vậy ban đầu đội xe tải có chiếc xe.

Gọi người A làm một mình xong công việc trong x (giờ) (x > 0) và mỗi giờ làm được (công việc).

Người B làm một mình xong công việc trong y (giờ) (y > 0) và mỗi giờ làm được (công việc).

Người C làm một mình xong công việc trong z (giờ) (z > 0) và mỗi giờ làm được (công việc).

Hai người A và B làm xong công việc trong 72 giờ nên mỗi giờ hai người làm được công việc

Ta có phương trình

Hai người A và C làm xong công việc đó trong 63 giờ nên mỗi giờ hai người làm được công việc

Ta có phương trình

Hai người B và C làm xong công việc đó trong 56 giờ nên mỗi giờ hai người làm được công việc

Ta có phương trình

Khi đó ta có hệ phương trình:

Nếu cả ba người cùng làm thì mỗi giờ làm được công việc

Vậy cả ba người cùng làm sẽ hoàn thành công việc trong giờ

Vì số thứ nhất gấp 8 lần số thứ hai nên số thứ hai bằng lần số thứ nhất.

Vậy khi số thứ nhất là thì số thứ hai sẽ là .

Gọi chiều rộng của mảnh vườn là

Suy ra chiều dài của mảnh vườn là

Theo đề bài có chu vi mảnh vườn bằng nên ta có phương trình:

Suy ra chiều dài của mảnh vườn bằng 10m và chiều rộng bằng 5m.

Vậy diện tích mảnh vườn bằng .

Để giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

(2) Gọi 2 ẩn và đặt điều kiện, đơn vị cho ẩn.

(1) Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

(3) Lập hai phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng.

(4) Giải hệ phương trình.

(5) Đối chiếu điều kiện và kết luận.

Gọi vận tốc đi xe của Tuấn là x (km/h) điều kiện x > 0

Suy ra vận tốc đi xe của Hưng là

Thời gian đi xe của Tuấn là:

Thời gian đi xe của Hưng là:

Vì Tuấn đến trung tâm trước Hưng nửa giờ nên thời gian đi của Tuấn ít hơn thời gian của Hưng là .

Khi đó ta có phương trình:

nên phương trình có hai nghiệm

Vậy vận tốc đi xe của Tuấn là , vận tốc đi xe của Hưng là .

Để giải bài toán bằng cách lập phương trình ta thực hiện lần lượt các bước sau

(1) Gọi ẩn và đặt điều kiện, đơn vị cho ẩn.

(2) Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

(3) Lập phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng.

(4) Giải phương trình

(5) Đối chiếu điều kiện và kết luận.

Gọi chiều cao của tam giác là h (dm), cạnh đáy tam giác là a (dm)

Điều kiện:

Diện tích tam giác ban đầu là

Vì chiều cao bằng 1/4 cạnh đáy => Ta có phương trình  

Nếu chiều cao tăng thêm 2 dm và cạnh đáy giảm đi 2 dm thì diện tích của nó tăng thêm 2,5

=> Ta có phương trình:

Ta có hệ phương trình:

Vậy chiều cao của tấm bìa là 1,5dm và cạnh đáy của tấm bìa là 6dm.

Trong 1 giờ vòi 1 và vòi 2 chảy được lần lượt là và bể

Trong một giờ cả hai vòi chảy được bể

Nếu vòi một chảy trong 4 giờ, vòi 2 chảy trong 3 giờ thì cả hai vòi chảy được 75% bể khi đó ta có phương trình

Khi đó ta có hệ phương trình

Vậy thời gian để vòi 1 và vòi 2 chảy một mình đầy bể lần lượt là 8 giờ và 12 giờ.

Gọi vận tốc và thời gian dự định của người đó lần lượt là x (km/h) và y (giờ)

Điều kiện

Khi đó độ dài quãng đường AB là xy (km)

Nếu người đó tăng vận tốc thêm 10km/h thì đến B sớm hơn dự định 1 giờ nên ta có:

Nếu người đó giảm bớt vận tốc đi 10km/h thì đến B muộn hơn dự định 2 giờ nên ta có:

Khi đó ta có hệ phương trình:

Vậy độ dài quãng đường là .

Gọi số máy móc công ty nên sử dụng là (máy)

Điều kiện

Trong một giờ, số quả bóng tennis sản xuất được là (quả bóng)

Như vậy, số giờ để sản xuất 8000 quả bóng là (giờ)

Mỗi giờ phải trả 192 nghìn đồng cho người giám sát và chi phí thiết lập cho mỗi máy là 200 nghìn đồng nên chi phí sản xuất là:

(đồng)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương và , ta được:

Dấu bằng xảy ra khi

Vậy số máy móc công ty nên sử dụng là 16 máy để chi phí sản xuất là thấp nhất.

Gọi vận tốc ban đầu là x (km/h); (x > 10)

Thời gian chạy dự định là y (giờ)

Chiều dài quãng đường là: x.y (km)

Nếu xe chạy mỗi giờ nhanh hơn 10 km thì đến nơi sớm hơn dự định 3 giờ.

Vận tốc xe khi đó là x + 10 (km /h); thời gian đi là: y – 3 (giờ) 

=> Chiều dài quãng đường là (x + 10)(y - 3) (km) (*)

Nếu xe chạy chậm lại mỗi giờ 10km thì đến nơi chậm mất 5 giờ.

Vận tốc xe đi khi đó là: x – 10 (km/h) và thời gian đi là : y + 5 (giờ).

=> Chiều dài quãng đường là (x - 10)(y + 5) (km) (**)

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

Vậy vận tốc của xe lúc ban đầu là 40km/h.

Gọi ta có:

Ta có phương trình:

nên phương trình có hai nghiệm

Vậy kết luận đúng là: hoặc .

Gọi x, y lần lượt là số chi tiết máy mà tổ 1 và tổ 2 sản xuất được trong tháng thứ nhất (điều kiện )

Do tổng số chi tiết máy hai tổ làm được trong tháng thứ nhất là 800 chi tiết nên ta có phương trình

Sang tháng thứ hai tổ 1 làm vượt mức 15%, tổ 2 vượt mức 20% do đó cuối tháng hai cả hai tổ sản xuất được 945 chi tiết máy nên ta có phương trình

Khi đó ta có hệ phương trình .

Gọi x là chiều rộng hình chữ nhật lúc đầu

Chiều dài hình chữ nhật lúc đầu:

Chiều rộng hình chữ nhật lúc sau:

Chiều dài hình chữ nhật lúc sau:

Theo đề bài ta có phương trình:

=> Chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật ban đầu lần lượt là: 12cm và 4cm.

=> Chu vi hình chữ nhật ban đầu là: .

Tổng số học sinh dự thi là (học sinh)

Gọi số học sinh dự thi vào lớp 10 trường P và Q tương ứng là x, y (học sinh)

Điều kiện

Theo bài ra ta có:

Lại có tính riêng trường P đỗ 80%, trường Q đỗ 90% nên ta có phương trình:

Khi đó ta có hệ phương trình:

Vậy trường P có 120 học sinh và trường Q có 130 học sinh.