Ôn thi vào 10 môn Toán: Giải toán bằng cách lập phương trình

Gọi khối lượng quặng chứa 75% sắt đem trộn là x tấn,

Gọi khối lượng quặng chứa 50% sắt đem trộn là y tấn.

Điều kiện:

Theo đề bài ta có:

Tổng khối lượng quặng là 25 tấn =>

Quặng chứa 75% sắt đem trộn với quặng chứa 50% sắt để được 25 tấn quặng chứa 66% sắt nên ta có phương trình:

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

Vậy khối lượng quặng chứa 75% sắt đem trộn là 16 tấn.

Gọi vận tốc hai xe lần lượt là x (km/h) và y (km/h)

Điều kiện x; y > 0

Xe thứ nhất nhanh hơn xe thứ hai là 10km/h nên ta có phương trình:

Thời gian xe thứ nhất và xe thứ hai đi hết quãng đường AB lần lượt là:

Vì xe thứ nhất đến sớm hơn xe thứ hai 1 giờ nên ta có phương trình:

Khi đó ta có hệ phương trình:

Xét phương trình (*)

Thay vào phương trình (**) ta được

Vậy vận tốc mỗi xe lần lượt là 50km/h và 40km/h.

Gọi số bi trong hộp thứ nhất và hộp thứ hai lần lượt là x; y (viên bi)

Điều kiện:

Trong hai hộp có tất cả 360 viên bi =>

Nếu Nam chuyển 30 viên bi từ hộp thứ hai sang hộp thứ nhất thì số viên vi ở hộp thứ nhất bằng 5/7 số viên bi ở hộp thứ hai ta có phương trình:

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

Vậy ở hộp thứ hai có 240 viên bi.

Gọi chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật lần lượt là x, y (cm)

Điều kiện 0 < x < y < 14

Khi đó diện tích hình chữ nhật là xy.

Theo bài ra ta có: Chu vi hình chữ nhật là 28cm

Nếu tăng chiều dài thêm 1cm và tăng chiều rộng thêm 2cm thì diện tích hình chữ nhật đó tăng thêm 25cm² khi đó ta có phương trình

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình

Vậy chiều dài hình chữ nhật là 9cm, chiều rộng hình chữ nhật là 5cm.

Gọi chiều cao ứng với cạnh đáy của thửa ruộng là

Điều kiện:

Vì thửa ruộng hình tam giác có diện tích nên chiều dài cạnh đáy thửa ruộng là:

Vì tăng cạnh đáy thêm 5m và chiều cao giảm đi 4m thì diện tích giảm nên ta có phương trình:

=> Chiều cao là 12m

=> Cạnh đáy của thửa ruộng ban đầu là 20m.

Gọi x là số phần trăm chỉ số học sinh tăng trung bình hằng năm

Điều kiện

Số học sinh tăng năm đầu là (học sinh)

Số học sinh tăng trong năm thứ hai là: (học sinh)

Theo bài ra ta có:

Sau hai năm số học sinh tăng là: (học sinh)

Khi đó ta có phương trình:

Vậy hằng năm trung bình số học sinh tăng .

Vì số thứ nhất gấp 8 lần số thứ hai nên số thứ hai bằng lần số thứ nhất.

Vậy khi số thứ nhất là thì số thứ hai sẽ là .

Gọi là chiều dài khu vườn

Chiều rộng bằng chiều dài nên chiều rộng có độ dài là:

Theo bài ra ta có diện tích khu vườn bằng .

Khi đó phương trình là:

Vậy chiều rộng mảnh vườn là: .

Gọi chiều rộng của mảnh vườn là

Suy ra chiều dài của mảnh vườn là

Theo đề bài có chu vi mảnh vườn bằng nên ta có phương trình:

Suy ra chiều dài của mảnh vườn bằng 10m và chiều rộng bằng 5m.

Vậy diện tích mảnh vườn bằng .

Ô tô thứ hai đi chậm hơn ô tô thứ nhất .

Suy ra vận tốc xe thứ nhất nhiều hơn vận tốc xe thứ hai là .

Nếu gọi vận tốc ô tô thứ hai là x km/h thì vận tốc xe thứ nhất là .

Gọi vận tốc và thời gian dự định của người đó lần lượt là x (km/h) và y (giờ)

Điều kiện

Khi đó độ dài quãng đường AB là xy (km)

Nếu người đó tăng vận tốc thêm 10km/h thì đến B sớm hơn dự định 1 giờ nên ta có:

Nếu người đó giảm bớt vận tốc đi 10km/h thì đến B muộn hơn dự định 2 giờ nên ta có:

Khi đó ta có hệ phương trình:

Vậy độ dài quãng đường là .

Gọi số tự nhiên có hai chữ số là:

Điều kiện:

Khi đổi chỗ hai chữ số của số đã cho ta được:

Đổi chỗ hai chữ số thì được một số lớn hơn số đã cho là 63, ta có:

(1)

Tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 99, ta có:

  (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Vậy số cần tìm là 18.

=> Tổng các chữ số là 9.

Đổi giờ phút bằng giờ.

Gọi vận tốc riêng của cano bằng .

Vận tốc của cano khi xuôi dòng là

Vận tốc của cano khi ngược dòng là

Theo bài ra ta có phương trình:

Vậy vận tốc riêng của cano là .

Gọi cạnh đáy của thửa ruộng là

Điều kiện:

=> Chiều cao của thửa ruộng là

Vì khi tăng cạnh đáy thêm 4m và giảm chiều cao tương ứng đi 1m thì diện tích thửa ruộng không đổi nên ta có phương trình:

Vậy cạnh đáy của thửa ruộng là .

Ta có:

Hai người đi hai xe khác nhau, khởi hành cùng một lúc từ địa điểm A.

Người thứ nhất đến sớm hơn người thứ hai là 2 giờ nên thời gian đi của người thứ hai nhiều hơn của người thứ nhất 2 giờ.

Nếu gọi thời gian đi của người thứ nhất là x giờ thì thời gian của người thứ hai là: .

Gọi năng suất trên 1 ha của lúa giống mới là x (tấn) của giống cũ là y (tấn). Điều kiện là .

Gọi vận tốc ban đầu là x (km/h); (x > 10)

Thời gian chạy dự định là y (giờ)

Chiều dài quãng đường là: x.y (km)

Nếu xe chạy mỗi giờ nhanh hơn 10 km thì đến nơi sớm hơn dự định 3 giờ.

Vận tốc xe khi đó là x + 10 (km /h); thời gian đi là: y – 3 (giờ) 

=> Chiều dài quãng đường là (x + 10)(y - 3) (km) (*)

Nếu xe chạy chậm lại mỗi giờ 10km thì đến nơi chậm mất 5 giờ.

Vận tốc xe đi khi đó là: x – 10 (km/h) và thời gian đi là : y + 5 (giờ).

=> Chiều dài quãng đường là (x - 10)(y + 5) (km) (**)

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

Vậy vận tốc của xe lúc ban đầu là 40km/h.

Gọi số máy móc công ty nên sử dụng là (máy)

Điều kiện

Trong một giờ, số quả bóng tennis sản xuất được là (quả bóng)

Như vậy, số giờ để sản xuất 8000 quả bóng là (giờ)

Mỗi giờ phải trả 192 nghìn đồng cho người giám sát và chi phí thiết lập cho mỗi máy là 200 nghìn đồng nên chi phí sản xuất là:

(đồng)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương và , ta được:

Dấu bằng xảy ra khi

Vậy số máy móc công ty nên sử dụng là 16 máy để chi phí sản xuất là thấp nhất.

Để giải bài toán bằng cách lập phương trình ta thực hiện lần lượt các bước sau

(1) Gọi ẩn và đặt điều kiện, đơn vị cho ẩn.

(2) Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

(3) Lập phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng.

(4) Giải phương trình

(5) Đối chiếu điều kiện và kết luận.

Gọi hai số tự nhiên liên tiếp cần tìm là và

Tích của hai số là:

Tổng hai số là: .

Theo bài ra ta có phương trình:

⇒ Phương trình có hai nghiệm:

=> Hai số tự nhiên cần tìm là 11 và 12.

Vậy số bé là 11.

Gọi người A làm một mình xong công việc trong x (giờ) (x > 0) và mỗi giờ làm được (công việc).

Người B làm một mình xong công việc trong y (giờ) (y > 0) và mỗi giờ làm được (công việc).

Người C làm một mình xong công việc trong z (giờ) (z > 0) và mỗi giờ làm được (công việc).

Hai người A và B làm xong công việc trong 72 giờ nên mỗi giờ hai người làm được công việc

Ta có phương trình

Hai người A và C làm xong công việc đó trong 63 giờ nên mỗi giờ hai người làm được công việc

Ta có phương trình

Hai người B và C làm xong công việc đó trong 56 giờ nên mỗi giờ hai người làm được công việc

Ta có phương trình

Khi đó ta có hệ phương trình:

Nếu cả ba người cùng làm thì mỗi giờ làm được công việc

Vậy cả ba người cùng làm sẽ hoàn thành công việc trong giờ

Gọi số sách trên giá thứ nhất là x (cuốn) và số sách trên giá thứ hai là y (cuốn)

Điều kiện: x, y nguyên dương

Hai giá sách có 450 cuốn nên ta có:

Khi chuyển 50 cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số sách ở giá thứ hai bằng số sách giá thứ nhất nên ta có phương trình:

Ta có hệ phương trình: 

Vậy giá thứ nhất có 300 cuốn, giá thứ hai có 150 cuốn