Ôn thi vào 10 môn Toán: Giải toán bằng cách lập phương trình

Gọi vận tốc đi xe của Tuấn là x (km/h) điều kiện x > 0

Suy ra vận tốc đi xe của Hưng là

Thời gian đi xe của Tuấn là:

Thời gian đi xe của Hưng là:

Vì Tuấn đến trung tâm trước Hưng nửa giờ nên thời gian đi của Tuấn ít hơn thời gian của Hưng là .

Khi đó ta có phương trình:

nên phương trình có hai nghiệm

Vậy vận tốc đi xe của Tuấn là , vận tốc đi xe của Hưng là .

Gọi lần lượt là số bé và số lớn cần tìm.

Điều kiện

Ta có hiệu của số lớn với số nhỏ bằng

Tổng hai số bằng

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình

Vậy số bé và số lớn cần tìm là .

Gọi độ dài cạnh góc vuông nhỏ hơn của tam giác vuông đó là

Điều kiện:

Cạnh góc vuông lớn hơn của tam giác vuông đó dài là

Vì cạnh huyền bằng 20cm nên theo định lý Py - ta - go ta có:

Vậy độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông đó lần lượt là và

Gọi số máy móc công ty nên sử dụng là (máy)

Điều kiện

Trong một giờ, số quả bóng tennis sản xuất được là (quả bóng)

Như vậy, số giờ để sản xuất 8000 quả bóng là (giờ)

Mỗi giờ phải trả 192 nghìn đồng cho người giám sát và chi phí thiết lập cho mỗi máy là 200 nghìn đồng nên chi phí sản xuất là:

(đồng)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương và , ta được:

Dấu bằng xảy ra khi

Vậy số máy móc công ty nên sử dụng là 16 máy để chi phí sản xuất là thấp nhất.

Gọi chiều rộng của mảnh vườn là

Suy ra chiều dài của mảnh vườn là

Theo đề bài có chu vi mảnh vườn bằng nên ta có phương trình:

Suy ra chiều dài của mảnh vườn bằng 10m và chiều rộng bằng 5m.

Vậy diện tích mảnh vườn bằng .

Gọi người A làm một mình xong công việc trong x (giờ) (x > 0) và mỗi giờ làm được (công việc).

Người B làm một mình xong công việc trong y (giờ) (y > 0) và mỗi giờ làm được (công việc).

Người C làm một mình xong công việc trong z (giờ) (z > 0) và mỗi giờ làm được (công việc).

Hai người A và B làm xong công việc trong 72 giờ nên mỗi giờ hai người làm được công việc

Ta có phương trình

Hai người A và C làm xong công việc đó trong 63 giờ nên mỗi giờ hai người làm được công việc

Ta có phương trình

Hai người B và C làm xong công việc đó trong 56 giờ nên mỗi giờ hai người làm được công việc

Ta có phương trình

Khi đó ta có hệ phương trình:

Nếu cả ba người cùng làm thì mỗi giờ làm được công việc

Vậy cả ba người cùng làm sẽ hoàn thành công việc trong giờ

Ô tô thứ hai đi chậm hơn ô tô thứ nhất .

Suy ra vận tốc xe thứ nhất nhiều hơn vận tốc xe thứ hai là .

Nếu gọi vận tốc ô tô thứ hai là x km/h thì vận tốc xe thứ nhất là .

Ta có:

Hai người đi hai xe khác nhau, khởi hành cùng một lúc từ địa điểm A.

Người thứ nhất đến sớm hơn người thứ hai là 2 giờ nên thời gian đi của người thứ hai nhiều hơn của người thứ nhất 2 giờ.

Nếu gọi thời gian đi của người thứ nhất là x giờ thì thời gian của người thứ hai là: .

Gọi x là số phần trăm chỉ số học sinh tăng trung bình hằng năm

Điều kiện

Số học sinh tăng năm đầu là (học sinh)

Số học sinh tăng trong năm thứ hai là: (học sinh)

Theo bài ra ta có:

Sau hai năm số học sinh tăng là: (học sinh)

Khi đó ta có phương trình:

Vậy hằng năm trung bình số học sinh tăng .

Gọi năng suất trên 1 ha của lúa giống mới là x (tấn) của giống cũ là y (tấn). Điều kiện là .

Gọi số học sinh trường A và B tham gia thi lần lượt là x; y (học sinh)

Điều kiện:

Theo bài ra ta có:

Hai trường A, B có tổng cộng 350 học sinh dự thi

Trường A có 97% và trường B có 96% số học sinh trúng tuyển và có tổng cộng 338 học sinh trùng tuyển nên ta có phương trình:

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

Vậy số học sinh trường B tham gia dự thi là 150 học sinh.

Gọi chiều cao ứng với cạnh đáy của thửa ruộng là

Điều kiện:

Vì thửa ruộng hình tam giác có diện tích nên chiều dài cạnh đáy thửa ruộng là:

Vì tăng cạnh đáy thêm 5m và chiều cao giảm đi 4m thì diện tích giảm nên ta có phương trình:

=> Chiều cao là 12m

=> Cạnh đáy của thửa ruộng ban đầu là 20m.

Gọi chiều cao của tam giác là h (dm), cạnh đáy tam giác là a (dm)

Điều kiện:

Diện tích tam giác ban đầu là

Vì chiều cao bằng 1/4 cạnh đáy => Ta có phương trình  

Nếu chiều cao tăng thêm 2 dm và cạnh đáy giảm đi 2 dm thì diện tích của nó tăng thêm 2,5

=> Ta có phương trình:

Ta có hệ phương trình:

Vậy chiều cao của tấm bìa là 1,5dm và cạnh đáy của tấm bìa là 6dm.

Số con gà là x con, số con mèo là y con khi đó ta có điều kiện của x và y là .

Gọi ta có:

Ta có phương trình:

nên phương trình có hai nghiệm

Vậy kết luận đúng là: hoặc .

Gọi số học sinh của trường A dự thi là x (học sinh), số học sinh của trường B dự thi là y (học sinh)

Điều kiện:

Hai trường có tất cả 300 học sinh tham gia cuộc thi nên ta có phương trình:

Trường A có 75% học sinh đạt, trường B có 60% đạt nên cả 2 trường có 207 học sinh đạt, ta có phương trình: 

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

Vậy số học sinh dự thi của trường A và trường B lần lượt là: 180 và 120 học sinh.

Gọi số bi trong hộp thứ nhất và hộp thứ hai lần lượt là x; y (viên bi)

Điều kiện:

Trong hai hộp có tất cả 360 viên bi =>

Nếu Nam chuyển 30 viên bi từ hộp thứ hai sang hộp thứ nhất thì số viên vi ở hộp thứ nhất bằng 5/7 số viên bi ở hộp thứ hai ta có phương trình:

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

Vậy ở hộp thứ hai có 240 viên bi.

Vì số thứ nhất gấp 8 lần số thứ hai nên số thứ hai bằng lần số thứ nhất.

Vậy khi số thứ nhất là thì số thứ hai sẽ là .

Gọi chiều cao của tam giác là h (dm), cạnh đáy tam giác là a (dm).

Điều kiện:

Diện tích tam giác ban đầu là

Vì chiều cao bằng 3/4 cạnh đáy nên ta có phương trình: (dm)

Nếu chiều cao tăng thêm 3 dm và cạnh đáy giảm đi 3 dm thì diện tích của nó tăng thêm 12 .

=> Ta có phương trình:

Ta có hệ phương trình:

Vậy chiều cao của tam giác bằng 33dm, cạnh đáy tam giác bằng 44dm

=> Diện tích tam giác ban đầu là:

Gọi số thứ nhất là a; số thứ hai là b

Điều kiện:

Giả sử

Vì số thứ nhất lớn hơn hai lần số thứ hai là 3 nên ta có

Vì hiệu các bình phương của chúng bằng 360 nên ta có phương trình:

Thay vào (*) ta được:

Vậy số bé là 9.

Gọi số sách trên giá thứ nhất là x (cuốn sách), số sách trên giá thứ hai là y (cuốn sách)

Điều kiện:

Hai giá sách có 450 cuốn =>

Nếu chuyển 50 cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số sách trên giá thứ hai bằng 4/5 số sách ở giá thứ nhất nên ta có phương trình:

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

Vậy số sách trên giá thứ hai là 150 cuốn sách.

Để giải bài toán bằng cách lập phương trình ta thực hiện lần lượt các bước sau

(1) Gọi ẩn và đặt điều kiện, đơn vị cho ẩn.

(2) Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

(3) Lập phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng.

(4) Giải phương trình

(5) Đối chiếu điều kiện và kết luận.