Ôn thi vào 10 môn Toán: Giải toán bằng cách lập phương trình

Gọi số sách trên giá thứ nhất là x (cuốn) và số sách trên giá thứ hai là y (cuốn)

Điều kiện: x, y nguyên dương

Hai giá sách có 450 cuốn nên ta có:

Khi chuyển 50 cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số sách ở giá thứ hai bằng số sách giá thứ nhất nên ta có phương trình:

Ta có hệ phương trình: 

Vậy giá thứ nhất có 300 cuốn, giá thứ hai có 150 cuốn

Gọi năng suất dự định là (sản phẩm/ giờ). Điều kiện

Thời gian dự định làm sản phẩm là:

Thời gian thực tế làm sản phẩm với năng suất (sản phẩm/ giờ) là:

Theo đề bài công nhân hoàn thành trước kế hoạch 40 phút ()

Ta có phương trình:

nên phương trình có hai nghiệm

Vậy năng suất dự định là: sản phẩm/ giờ.

Vì số thứ nhất gấp 8 lần số thứ hai nên số thứ hai bằng lần số thứ nhất.

Vậy khi số thứ nhất là thì số thứ hai sẽ là .

Để giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

(2) Gọi 2 ẩn và đặt điều kiện, đơn vị cho ẩn.

(1) Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

(3) Lập hai phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng.

(4) Giải hệ phương trình.

(5) Đối chiếu điều kiện và kết luận.

Gọi vận tốc thực của cano là x (km/h); x > 0

Vận tốc dòng chảy là y (km/h), 0 < y < x

Vận tốc cano khi xuôi dòng là x + y (km/h)

Vận tốc cano khi ngược dòng là: x - y (km/h)

Cano chạy trên sông trong 7 giờ, xuôi dòng 108km và ngược dòng 63km nên ta có phương trình:

Cano chạy trên sông trong 7 giờ, xuôi dòng 81km và ngược dòng 84km nên ta có phương trình:

Ta có hệ phương trình:

Vậy vận tốc nước chảy là: 3km/h.

Gọi số học sinh trường A và B tham gia thi lần lượt là x; y (học sinh)

Điều kiện:

Theo bài ra ta có:

Hai trường A, B có tổng cộng 350 học sinh dự thi

Trường A có 97% và trường B có 96% số học sinh trúng tuyển và có tổng cộng 338 học sinh trùng tuyển nên ta có phương trình:

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

Vậy số học sinh trường B tham gia dự thi là 150 học sinh.

Gọi người A làm một mình xong công việc trong x (giờ) (x > 0) và mỗi giờ làm được (công việc).

Người B làm một mình xong công việc trong y (giờ) (y > 0) và mỗi giờ làm được (công việc).

Người C làm một mình xong công việc trong z (giờ) (z > 0) và mỗi giờ làm được (công việc).

Hai người A và B làm xong công việc trong 72 giờ nên mỗi giờ hai người làm được công việc

Ta có phương trình

Hai người A và C làm xong công việc đó trong 63 giờ nên mỗi giờ hai người làm được công việc

Ta có phương trình

Hai người B và C làm xong công việc đó trong 56 giờ nên mỗi giờ hai người làm được công việc

Ta có phương trình

Khi đó ta có hệ phương trình:

Nếu cả ba người cùng làm thì mỗi giờ làm được công việc

Vậy cả ba người cùng làm sẽ hoàn thành công việc trong giờ

Để giải bài toán bằng cách lập phương trình ta thực hiện lần lượt các bước sau

(1) Gọi ẩn và đặt điều kiện, đơn vị cho ẩn.

(2) Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

(3) Lập phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng.

(4) Giải phương trình

(5) Đối chiếu điều kiện và kết luận.

Gọi x, y lần lượt là số chi tiết máy mà tổ 1 và tổ 2 sản xuất được trong tháng thứ nhất (điều kiện )

Do tổng số chi tiết máy hai tổ làm được trong tháng thứ nhất là 800 chi tiết nên ta có phương trình

Sang tháng thứ hai tổ 1 làm vượt mức 15%, tổ 2 vượt mức 20% do đó cuối tháng hai cả hai tổ sản xuất được 945 chi tiết máy nên ta có phương trình

Khi đó ta có hệ phương trình .

Gọi ta có:

Ta có phương trình:

nên phương trình có hai nghiệm

Vậy kết luận đúng là: hoặc .

Ta có:

Hai người đi hai xe khác nhau, khởi hành cùng một lúc từ địa điểm A.

Người thứ nhất đến sớm hơn người thứ hai là 2 giờ nên thời gian đi của người thứ hai nhiều hơn của người thứ nhất 2 giờ.

Nếu gọi thời gian đi của người thứ nhất là x giờ thì thời gian của người thứ hai là: .

Ô tô thứ hai đi chậm hơn ô tô thứ nhất .

Suy ra vận tốc xe thứ nhất nhiều hơn vận tốc xe thứ hai là .

Nếu gọi vận tốc ô tô thứ hai là x km/h thì vận tốc xe thứ nhất là .

Đổi giờ phút bằng giờ.

Gọi vận tốc riêng của cano bằng .

Vận tốc của cano khi xuôi dòng là

Vận tốc của cano khi ngược dòng là

Theo bài ra ta có phương trình:

Vậy vận tốc riêng của cano là .

Gọi vận tốc ban đầu là x (km/h); (x > 10)

Thời gian chạy dự định là y (giờ)

Chiều dài quãng đường là: x.y (km)

Nếu xe chạy mỗi giờ nhanh hơn 10 km thì đến nơi sớm hơn dự định 3 giờ.

Vận tốc xe khi đó là x + 10 (km /h); thời gian đi là: y – 3 (giờ) 

=> Chiều dài quãng đường là (x + 10)(y - 3) (km) (*)

Nếu xe chạy chậm lại mỗi giờ 10km thì đến nơi chậm mất 5 giờ.

Vận tốc xe đi khi đó là: x – 10 (km/h) và thời gian đi là : y + 5 (giờ).

=> Chiều dài quãng đường là (x - 10)(y + 5) (km) (**)

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

Vậy vận tốc của xe lúc ban đầu là 40km/h.

Gọi năng suất trên 1 ha của lúa giống mới là x (tấn) của giống cũ là y (tấn). Điều kiện là .

Gọi cạnh đáy của thửa ruộng là

Điều kiện:

=> Chiều cao của thửa ruộng là

Vì khi tăng cạnh đáy thêm 4m và giảm chiều cao tương ứng đi 1m thì diện tích thửa ruộng không đổi nên ta có phương trình:

Vậy cạnh đáy của thửa ruộng là .

Gọi vận tốc thực của cano là x (km/h); x > 0

Vận tốc dòng nước là y (km/h); 0 < y < x

Vận tốc cano khi xuôi dòng là x + y (km/h)

Vận tốc cano khi ngược dòng là: x – y (km/h)

Cano đi xuôi dòng theo một khúc sông trong 3 giờ và đi ngược dòng trong 4 giờ, được 380 km nên ta có phương trình:

Cano xuôi dòng trong 1 giờ và ngược dòng trong 30 phút được 85 km nên ta có phương trình:

Ta có hệ phương trình:

Vậy vận tốc dòng nước là: 5km/h.

Gọi chiều cao ứng với cạnh đáy của thửa ruộng là

Điều kiện:

Vì thửa ruộng hình tam giác có diện tích nên chiều dài cạnh đáy thửa ruộng là:

Vì tăng cạnh đáy thêm 5m và chiều cao giảm đi 4m thì diện tích giảm nên ta có phương trình:

=> Chiều cao là 12m

=> Cạnh đáy của thửa ruộng ban đầu là 20m.

Gọi x là số phần trăm chỉ số học sinh tăng trung bình hằng năm

Điều kiện

Số học sinh tăng năm đầu là (học sinh)

Số học sinh tăng trong năm thứ hai là: (học sinh)

Theo bài ra ta có:

Sau hai năm số học sinh tăng là: (học sinh)

Khi đó ta có phương trình:

Vậy hằng năm trung bình số học sinh tăng .

Gọi vận tốc của người thứ nhất và người thứ hai lần lượt là x, y (km/h)

Điều kiện: x; y > 0

Quãng đường người thứ nhất đi được khi gặp nhau là 2x (km)

Quãng đường người thứ hai đi được đến khi gặp nhau là 2y (km)

Người thứ nhất đi được nhiều hơn người thứ hai 2 km (*)

Hai thành phố cách nhau 38km (**)

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

Vậy vận tốc người thứ nhất là 10km/h.

Gọi số máy móc công ty nên sử dụng là (máy)

Điều kiện

Trong một giờ, số quả bóng tennis sản xuất được là (quả bóng)

Như vậy, số giờ để sản xuất 8000 quả bóng là (giờ)

Mỗi giờ phải trả 192 nghìn đồng cho người giám sát và chi phí thiết lập cho mỗi máy là 200 nghìn đồng nên chi phí sản xuất là:

(đồng)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương và , ta được:

Dấu bằng xảy ra khi

Vậy số máy móc công ty nên sử dụng là 16 máy để chi phí sản xuất là thấp nhất.

Gọi chiều rộng của mảnh vườn là

Suy ra chiều dài của mảnh vườn là

Theo đề bài có chu vi mảnh vườn bằng nên ta có phương trình:

Suy ra chiều dài của mảnh vườn bằng 10m và chiều rộng bằng 5m.

Vậy diện tích mảnh vườn bằng .

Gọi độ dài cạnh góc vuông nhỏ hơn của tam giác vuông đó là

Điều kiện:

Cạnh góc vuông lớn hơn của tam giác vuông đó dài là

Vì cạnh huyền bằng 20cm nên theo định lý Py - ta - go ta có:

Vậy độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông đó lần lượt là và

Trong 1 giờ vòi 1 và vòi 2 chảy được lần lượt là và bể

Trong một giờ cả hai vòi chảy được bể

Nếu vòi một chảy trong 4 giờ, vòi 2 chảy trong 3 giờ thì cả hai vòi chảy được 75% bể khi đó ta có phương trình

Khi đó ta có hệ phương trình

Vậy thời gian để vòi 1 và vòi 2 chảy một mình đầy bể lần lượt là 8 giờ và 12 giờ.

Gọi số sản phẩm nhóm thợ theo kế hoạch phải làm mỗi ngày là x (sản phẩm)

Điều kiện:

Theo kế hoạch:

Thời gian hoàn thành là (ngày)

Thực tế:

Số sản phẩm làm trong 8 ngày là (sản phẩm)

Số sản phẩm còn lại là  (sản phẩm)

Mỗi ngày sau đó nhóm thợ làm được (sản phẩm)

Thời gian hoàn thành là: (ngày)

Vì thời gian thực tế ít hơn thời gian dự định là 2 ngày nên ta có phương trình:

Phương trình có hai nghiệm phân biệt: 

Vậy theo kế hoạch, mỗi ngày cần làm 100 sản phẩm.