Ôn thi vào 10 môn Toán: Giải toán bằng cách lập phương trình

Gọi số sản phẩm của tổ I sản xuất được trong tháng thứ nhất là x (sản phẩm).

Số sản phẩm của tổ II sản xuất được trong tháng thứ nhất là y (sản phẩm). 

Điều kiện:

Tháng thứ nhất, 2 tổ sản xuất được 900 sản phẩm nên ta có phương trình:

Tháng thứ 2 tổ I vượt mức 30% nên tổ I sản xuất được (sản phầm) 

Tổ II giảm mức đi 22% so với tháng thứ nhất nên tổ 2 sản xuất được (sản phẩm)

Ta lại có: 2 tổ đã sản xuất được 1300 sản phẩm nên ta có phương trình:

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

Vậy trong tháng thứ hai tổ II sản xuất được (sản phẩm).

Gọi số xe ban đầu là chiếc

Điều kiện .

Lúc đầu mỗi xe dự định chở (tấn hàng)

Theo đề bài, mỗi xe phải chở thêm tấn hàng nên ta có phương trình:

Vậy ban đầu đội xe tải có chiếc xe.

Số con gà là x con, số con mèo là y con khi đó ta có điều kiện của x và y là .

Ta có:

Hai người đi hai xe khác nhau, khởi hành cùng một lúc từ địa điểm A.

Người thứ nhất đến sớm hơn người thứ hai là 2 giờ nên thời gian đi của người thứ hai nhiều hơn của người thứ nhất 2 giờ.

Nếu gọi thời gian đi của người thứ nhất là x giờ thì thời gian của người thứ hai là: .

Gọi thời gian của thuyền lúc đi là . Điều kiện . Khi đó vận tốc lúc về là

Thời gian đi của thuyền là

Vì khi đi có nghỉ 1 giờ tại trạm nghỉ nên thời gian đi hết tất cả là

Độ dài quãng đường lúc về là

Thời gian về là

Theo bài ra thời gian đi bằng thời gian về nên ta có phương trình:

Vậy vận tốc của thuyền lúc đi là .

Gọi x, y lần lượt là số chi tiết máy mà tổ 1 và tổ 2 sản xuất được trong tháng thứ nhất (điều kiện )

Do tổng số chi tiết máy hai tổ làm được trong tháng thứ nhất là 800 chi tiết nên ta có phương trình

Sang tháng thứ hai tổ 1 làm vượt mức 15%, tổ 2 vượt mức 20% do đó cuối tháng hai cả hai tổ sản xuất được 945 chi tiết máy nên ta có phương trình

Khi đó ta có hệ phương trình .

Để giải bài toán bằng cách lập phương trình ta thực hiện lần lượt các bước sau

(1) Gọi ẩn và đặt điều kiện, đơn vị cho ẩn.

(2) Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

(3) Lập phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng.

(4) Giải phương trình

(5) Đối chiếu điều kiện và kết luận.

Gọi số tự nhiên có hai chữ số là:

Điều kiện:

Khi đổi chỗ hai chữ số của số đã cho ta được:

Đổi chỗ hai chữ số thì được một số lớn hơn số đã cho là 63, ta có:

(1)

Tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 99, ta có:

  (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Vậy số cần tìm là 18.

=> Tổng các chữ số là 9.

Gọi ta có:

Ta có phương trình:

nên phương trình có hai nghiệm

Vậy kết luận đúng là: hoặc .

Gọi số cây trong mỗi hàng dự kiến ban đầu là x (cây) và số lượng hàng dự kiến là y (hàng)

Điều kiện

Theo bài ra ta có:

Bác dự định trồng 300 cây cam theo nguyên tắc trồng thành các hàng, mỗi hàng có số cây bằng nhau nên

Nhưng khi thực hiện bác Bình trồng thêm hai hàng mỗi hàng thêm 3 cây so với dự kiến ban đầu nên trồng được tất cả 391 cây nên ta có phương trình:

Khi đó ta có hệ phương trình:

Suy ra

Vậy nếu bác Bình giảm đi hai hàng cây, số cây trên mỗi hàng giữ nguyên với dự định ban đầu thì trồng cây

Vì số thứ nhất gấp 8 lần số thứ hai nên số thứ hai bằng lần số thứ nhất.

Vậy khi số thứ nhất là thì số thứ hai sẽ là .

Gọi số bi trong hộp thứ nhất và hộp thứ hai lần lượt là x; y (viên bi)

Điều kiện:

Trong hai hộp có tất cả 360 viên bi =>

Nếu Nam chuyển 30 viên bi từ hộp thứ hai sang hộp thứ nhất thì số viên vi ở hộp thứ nhất bằng 5/7 số viên bi ở hộp thứ hai ta có phương trình:

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

Vậy ở hộp thứ hai có 240 viên bi.

Gọi số sách trên giá thứ nhất là x (cuốn sách), số sách trên giá thứ hai là y (cuốn sách)

Điều kiện:

Hai giá sách có 450 cuốn =>

Nếu chuyển 50 cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số sách trên giá thứ hai bằng 4/5 số sách ở giá thứ nhất nên ta có phương trình:

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

Vậy số sách trên giá thứ hai là 150 cuốn sách.

 Gọi x là chiều rộng hình chữ nhật lúc đầu

Chiều dài hình chữ nhật lúc đầu:

Chiều rộng hình chữ nhật lúc sau:

Chiều dài hình chữ nhật lúc sau:

Theo đề bài ta có phương trình:

=> Chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật ban đầu là: 6cm và 12cm

=> Chu vi hình chữ nhật ban đầu là

Gọi chiều cao của tam giác là h (dm), cạnh đáy tam giác là a (dm).

Điều kiện:

Diện tích tam giác ban đầu là

Vì chiều cao bằng 3/4 cạnh đáy nên ta có phương trình: (dm)

Nếu chiều cao tăng thêm 3 dm và cạnh đáy giảm đi 3 dm thì diện tích của nó tăng thêm 12 .

=> Ta có phương trình:

Ta có hệ phương trình:

Vậy chiều cao của tam giác bằng 33dm, cạnh đáy tam giác bằng 44dm

=> Diện tích tam giác ban đầu là:

Gọi hai số tự nhiên liên tiếp cần tìm là và

Tích của hai số là:

Tổng hai số là: .

Theo bài ra ta có phương trình:

⇒ Phương trình có hai nghiệm:

=> Hai số tự nhiên cần tìm là 11 và 12.

Vậy số bé là 11.

Gọi chiều rộng của mảnh vườn là

Suy ra chiều dài của mảnh vườn là

Theo đề bài có chu vi mảnh vườn bằng nên ta có phương trình:

Suy ra chiều dài của mảnh vườn bằng 10m và chiều rộng bằng 5m.

Vậy diện tích mảnh vườn bằng .

Gọi số học sinh trường A và B tham gia thi lần lượt là x; y (học sinh)

Điều kiện:

Theo bài ra ta có:

Hai trường A, B có tổng cộng 350 học sinh dự thi

Trường A có 97% và trường B có 96% số học sinh trúng tuyển và có tổng cộng 338 học sinh trùng tuyển nên ta có phương trình:

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

Vậy số học sinh trường B tham gia dự thi là 150 học sinh.

Gọi x là số phần trăm chỉ số học sinh tăng trung bình hằng năm

Điều kiện

Số học sinh tăng năm đầu là (học sinh)

Số học sinh tăng trong năm thứ hai là: (học sinh)

Theo bài ra ta có:

Sau hai năm số học sinh tăng là: (học sinh)

Khi đó ta có phương trình:

Vậy hằng năm trung bình số học sinh tăng .

Gọi cạnh đáy của thửa ruộng là

Điều kiện:

=> Chiều cao của thửa ruộng là

Vì khi tăng cạnh đáy thêm 4m và giảm chiều cao tương ứng đi 1m thì diện tích thửa ruộng không đổi nên ta có phương trình:

Vậy cạnh đáy của thửa ruộng là .

Gọi số máy móc công ty nên sử dụng là (máy)

Điều kiện

Trong một giờ, số quả bóng tennis sản xuất được là (quả bóng)

Như vậy, số giờ để sản xuất 8000 quả bóng là (giờ)

Mỗi giờ phải trả 192 nghìn đồng cho người giám sát và chi phí thiết lập cho mỗi máy là 200 nghìn đồng nên chi phí sản xuất là:

(đồng)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương và , ta được:

Dấu bằng xảy ra khi

Vậy số máy móc công ty nên sử dụng là 16 máy để chi phí sản xuất là thấp nhất.

Gọi người A làm một mình xong công việc trong x (giờ) (x > 0) và mỗi giờ làm được (công việc).

Người B làm một mình xong công việc trong y (giờ) (y > 0) và mỗi giờ làm được (công việc).

Người C làm một mình xong công việc trong z (giờ) (z > 0) và mỗi giờ làm được (công việc).

Hai người A và B làm xong công việc trong 72 giờ nên mỗi giờ hai người làm được công việc

Ta có phương trình

Hai người A và C làm xong công việc đó trong 63 giờ nên mỗi giờ hai người làm được công việc

Ta có phương trình

Hai người B và C làm xong công việc đó trong 56 giờ nên mỗi giờ hai người làm được công việc

Ta có phương trình

Khi đó ta có hệ phương trình:

Nếu cả ba người cùng làm thì mỗi giờ làm được công việc

Vậy cả ba người cùng làm sẽ hoàn thành công việc trong giờ