Ôn thi vào 10 môn Toán: Giải toán bằng cách lập phương trình

Để giải bài toán bằng cách lập phương trình ta thực hiện lần lượt các bước sau

(1) Gọi ẩn và đặt điều kiện, đơn vị cho ẩn.

(2) Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

(3) Lập phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng.

(4) Giải phương trình

(5) Đối chiếu điều kiện và kết luận.

Gọi thời gian của thuyền lúc đi là . Điều kiện . Khi đó vận tốc lúc về là

Thời gian đi của thuyền là

Vì khi đi có nghỉ 1 giờ tại trạm nghỉ nên thời gian đi hết tất cả là

Độ dài quãng đường lúc về là

Thời gian về là

Theo bài ra thời gian đi bằng thời gian về nên ta có phương trình:

Vậy vận tốc của thuyền lúc đi là .

Gọi thời gian dự định từ A đến B là x (giờ)

Vận tốc dự định đi từ A đến B là y (km/h)

Điều kiện

Khi đó quãng đường từ A đến B là

Theo đề bài ta có hệ phương trình:

Vậy thời điểm xe xuất phát từ A là 11 – 6 = 5 (giờ)

Gọi số máy móc công ty nên sử dụng là (máy)

Điều kiện

Trong một giờ, số quả bóng tennis sản xuất được là (quả bóng)

Như vậy, số giờ để sản xuất 8000 quả bóng là (giờ)

Mỗi giờ phải trả 192 nghìn đồng cho người giám sát và chi phí thiết lập cho mỗi máy là 200 nghìn đồng nên chi phí sản xuất là:

(đồng)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương và , ta được:

Dấu bằng xảy ra khi

Vậy số máy móc công ty nên sử dụng là 16 máy để chi phí sản xuất là thấp nhất.

Gọi x là chiều rộng hình chữ nhật lúc đầu

Chiều dài hình chữ nhật lúc đầu:

Chiều rộng hình chữ nhật lúc sau:

Chiều dài hình chữ nhật lúc sau:

Theo đề bài ta có phương trình:

=> Chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật ban đầu lần lượt là: 12cm và 4cm.

=> Chu vi hình chữ nhật ban đầu là: .

Gọi vận tốc và thời gian dự định của người đó lần lượt là x (km/h) và y (giờ)

Điều kiện

Khi đó độ dài quãng đường AB là xy (km)

Nếu người đó tăng vận tốc thêm 10km/h thì đến B sớm hơn dự định 1 giờ nên ta có:

Nếu người đó giảm bớt vận tốc đi 10km/h thì đến B muộn hơn dự định 2 giờ nên ta có:

Khi đó ta có hệ phương trình:

Vậy độ dài quãng đường là .

Gọi số sách trên giá thứ nhất là x (cuốn) và số sách trên giá thứ hai là y (cuốn)

Điều kiện: x, y nguyên dương

Hai giá sách có 450 cuốn nên ta có:

Khi chuyển 50 cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số sách ở giá thứ hai bằng số sách giá thứ nhất nên ta có phương trình:

Ta có hệ phương trình: 

Vậy giá thứ nhất có 300 cuốn, giá thứ hai có 150 cuốn

Gọi x và y lần lượt là số chiếc áo nhóm 1 và nhóm 2 hoàn thành vào tháng 6/2023.

Điều kiện

Theo bài ra ta có hệ phương trình

Vậy tháng 7/2023:

Nhóm 1 hoàn thành được chiếc áo

Nhóm 2 hoàn thành được chiếc áo.

Gọi ta có:

Ta có phương trình:

nên phương trình có hai nghiệm

Vậy kết luận đúng là: hoặc .

Gọi người A làm một mình xong công việc trong x (giờ) (x > 0) và mỗi giờ làm được (công việc).

Người B làm một mình xong công việc trong y (giờ) (y > 0) và mỗi giờ làm được (công việc).

Người C làm một mình xong công việc trong z (giờ) (z > 0) và mỗi giờ làm được (công việc).

Hai người A và B làm xong công việc trong 72 giờ nên mỗi giờ hai người làm được công việc

Ta có phương trình

Hai người A và C làm xong công việc đó trong 63 giờ nên mỗi giờ hai người làm được công việc

Ta có phương trình

Hai người B và C làm xong công việc đó trong 56 giờ nên mỗi giờ hai người làm được công việc

Ta có phương trình

Khi đó ta có hệ phương trình:

Nếu cả ba người cùng làm thì mỗi giờ làm được công việc

Vậy cả ba người cùng làm sẽ hoàn thành công việc trong giờ

Nửa chu vi hình chữ nhật là 250 : 2 = 125m

Gọi chiều dài hình chữ nhật là x (m)

Chiều rộng hình chữ nhật là y (m)

Điều kiện 0 < y < x <125

Diện tích hình chữ nhật là

Vì nửa chu vi hình chữ nhật bằng 125m nên

Khi ta giảm chiều dài 3 lần và tăng chiều rộng 2 lần thì chu vi thửa ruộng không đổi nên ta có phương trình:

Khi đó ta có hệ phương trình:

Vậy chiều dài hình chữ nhật là 75m và chiều rộng hình chữ nhật là 50m.

Suy ra diện tích thửa ruộng là

Ô tô thứ hai đi chậm hơn ô tô thứ nhất .

Suy ra vận tốc xe thứ nhất nhiều hơn vận tốc xe thứ hai là .

Nếu gọi vận tốc ô tô thứ hai là x km/h thì vận tốc xe thứ nhất là .

Gọi x là số phần trăm chỉ số học sinh tăng trung bình hằng năm

Điều kiện

Số học sinh tăng năm đầu là (học sinh)

Số học sinh tăng trong năm thứ hai là: (học sinh)

Theo bài ra ta có:

Sau hai năm số học sinh tăng là: (học sinh)

Khi đó ta có phương trình:

Vậy hằng năm trung bình số học sinh tăng .

Đổi

Gọi thời gian mỗi người làm riêng hoàn thành công việc là x; y (giờ)

Trong 1 giờ người thứ nhất làm được công việc, người thứ hai làm được công việc.

Theo bài ra ta có hệ phương trình

Vậy người thứ nhất làm một mình trong 40 giờ thì hoàn thành công việc, người thứ hai làm một mình trong 40 giờ thì xong công việc.

Vì số thứ nhất gấp 8 lần số thứ hai nên số thứ hai bằng lần số thứ nhất.

Vậy khi số thứ nhất là thì số thứ hai sẽ là .

Ta có:

Hai người đi hai xe khác nhau, khởi hành cùng một lúc từ địa điểm A.

Người thứ nhất đến sớm hơn người thứ hai là 2 giờ nên thời gian đi của người thứ hai nhiều hơn của người thứ nhất 2 giờ.

Nếu gọi thời gian đi của người thứ nhất là x giờ thì thời gian của người thứ hai là: .

Gọi chiều cao ứng với cạnh đáy của thửa ruộng là

Điều kiện:

Vì thửa ruộng hình tam giác có diện tích nên chiều dài cạnh đáy thửa ruộng là:

Vì tăng cạnh đáy thêm 5m và chiều cao giảm đi 4m thì diện tích giảm nên ta có phương trình:

=> Chiều cao là 12m

=> Cạnh đáy của thửa ruộng ban đầu là 20m.

Gọi vận tốc thật của cano khi xuôi dòng là x (km/h), vận tốc cano khi ngược dòng là y (km/h)

Điều kiện x, y > 3

Đổi 1 giờ 40 phút = giờ.

Theo bài ra ta có:

Vận tốc cano khi đi xuôi dòng lớn hơn vận tốc cano đi ngược dòng là và vận tốc dòng nước là nên ta có phương trình:

Hai địa điểm A đến B cách nhau mà hai cano gặp nhau sau giờ nên ta có phương trình:

Khi đó ta có hệ phương trình:

Vận tốc thật của cano khi xuôi dòng và ngược dòng lần lượt là .

Gọi x; y lần lượt là số vịt và số chó tương ứng

Điều kiện

Do vịt có 2 chân và chó có 4 chân, tổng số chân bằng 150 nên ta có phương trình

Tổng số vịt và chó là 45 con nên

Khi đó ta có hệ phương trình

Vậy số chó hơn số vịt là

Số con gà là x con, số con mèo là y con khi đó ta có điều kiện của x và y là .

Trong 1 giờ vòi 1 và vòi 2 chảy được lần lượt là và bể

Trong một giờ cả hai vòi chảy được bể

Nếu vòi một chảy trong 4 giờ, vòi 2 chảy trong 3 giờ thì cả hai vòi chảy được 75% bể khi đó ta có phương trình

Khi đó ta có hệ phương trình

Vậy thời gian để vòi 1 và vòi 2 chảy một mình đầy bể lần lượt là 8 giờ và 12 giờ.