Ôn thi vào 10 môn Toán: Giải toán bằng cách lập phương trình

Tổng số học sinh dự thi là (học sinh)

Gọi số học sinh dự thi vào lớp 10 trường P và Q tương ứng là x, y (học sinh)

Điều kiện

Theo bài ra ta có:

Lại có tính riêng trường P đỗ 80%, trường Q đỗ 90% nên ta có phương trình:

Khi đó ta có hệ phương trình:

Vậy trường P có 120 học sinh và trường Q có 130 học sinh.

Gọi số bi trong hộp thứ nhất và hộp thứ hai lần lượt là x; y (viên bi)

Điều kiện:

Trong hai hộp có tất cả 360 viên bi =>

Nếu Nam chuyển 30 viên bi từ hộp thứ hai sang hộp thứ nhất thì số viên vi ở hộp thứ nhất bằng 5/7 số viên bi ở hộp thứ hai ta có phương trình:

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

Vậy ở hộp thứ hai có 240 viên bi.

Gọi x và y lần lượt là số thứ nhất và số thứ hai ()

Theo bài ra ta có:

4 lần số thứ nhất cộng với ba lần số thứ hai bằng suy ra

Ba lần số thứ nhất hơn 2 lần số thứ hai là suy ra

Khi đó ta có hệ phương trình .

Gọi thời gian của thuyền lúc đi là . Điều kiện . Khi đó vận tốc lúc về là

Thời gian đi của thuyền là

Vì khi đi có nghỉ 1 giờ tại trạm nghỉ nên thời gian đi hết tất cả là

Độ dài quãng đường lúc về là

Thời gian về là

Theo bài ra thời gian đi bằng thời gian về nên ta có phương trình:

Vậy vận tốc của thuyền lúc đi là .

Gọi vận tốc đi xe của Tuấn là x (km/h) điều kiện x > 0

Suy ra vận tốc đi xe của Hưng là

Thời gian đi xe của Tuấn là:

Thời gian đi xe của Hưng là:

Vì Tuấn đến trung tâm trước Hưng nửa giờ nên thời gian đi của Tuấn ít hơn thời gian của Hưng là .

Khi đó ta có phương trình:

nên phương trình có hai nghiệm

Vậy vận tốc đi xe của Tuấn là , vận tốc đi xe của Hưng là .

Gọi số sách trên giá thứ nhất là x (cuốn sách), số sách trên giá thứ hai là y (cuốn sách)

Điều kiện:

Hai giá sách có 450 cuốn =>

Nếu chuyển 50 cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số sách trên giá thứ hai bằng 4/5 số sách ở giá thứ nhất nên ta có phương trình:

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

Vậy số sách trên giá thứ hai là 150 cuốn sách.

Đổi giờ phút bằng giờ.

Gọi vận tốc riêng của cano bằng .

Vận tốc của cano khi xuôi dòng là

Vận tốc của cano khi ngược dòng là

Theo bài ra ta có phương trình:

Vậy vận tốc riêng của cano là .

Gọi vận tốc thật của cano khi xuôi dòng là x (km/h), vận tốc cano khi ngược dòng là y (km/h)

Điều kiện x, y > 3

Đổi 1 giờ 40 phút = giờ.

Theo bài ra ta có:

Vận tốc cano khi đi xuôi dòng lớn hơn vận tốc cano đi ngược dòng là và vận tốc dòng nước là nên ta có phương trình:

Hai địa điểm A đến B cách nhau mà hai cano gặp nhau sau giờ nên ta có phương trình:

Khi đó ta có hệ phương trình:

Vận tốc thật của cano khi xuôi dòng và ngược dòng lần lượt là .

Ô tô thứ hai đi chậm hơn ô tô thứ nhất .

Suy ra vận tốc xe thứ nhất nhiều hơn vận tốc xe thứ hai là .

Nếu gọi vận tốc ô tô thứ hai là x km/h thì vận tốc xe thứ nhất là .

Gọi hai số tự nhiên liên tiếp cần tìm là và

Tích của hai số là:

Tổng hai số là: .

Theo bài ra ta có phương trình:

⇒ Phương trình có hai nghiệm:

=> Hai số tự nhiên cần tìm là 11 và 12.

Vậy số bé là 11.

Gọi cạnh đáy của thửa ruộng là

Điều kiện:

=> Chiều cao của thửa ruộng là

Vì khi tăng cạnh đáy thêm 4m và giảm chiều cao tương ứng đi 1m thì diện tích thửa ruộng không đổi nên ta có phương trình:

Vậy cạnh đáy của thửa ruộng là .

Đổi 3 giờ 18 phút = 3,3 giờ.

Gọi vận tốc của xe đi nhanh và chậm tương ứng là x; y (km/h)

Điều kiện x > y > 0

Hai xe khởi hành cùng lúc và gặp nhau sau 3 giờ nên ta có phương trình

Quãng đường xe đi chậm hơn đi được là

Thời gian xe đi nhanh hơn hết 3 giờ 18 phút – 30 phút = 2,8 giờ.

Quãng đường xe đi nhanh hơn đi được là 2,8x (km)

Ta có phương trình

Khi đó ta có hệ phương trình:

Vậy vận tốc xe đi nhanh hơn là 60km/h.

Ta có:

Hai người đi hai xe khác nhau, khởi hành cùng một lúc từ địa điểm A.

Người thứ nhất đến sớm hơn người thứ hai là 2 giờ nên thời gian đi của người thứ hai nhiều hơn của người thứ nhất 2 giờ.

Nếu gọi thời gian đi của người thứ nhất là x giờ thì thời gian của người thứ hai là: .

Gọi chiều cao của tam giác là h (dm), cạnh đáy tam giác là a (dm)

Điều kiện:

Diện tích tam giác ban đầu là

Vì chiều cao bằng 1/4 cạnh đáy => Ta có phương trình  

Nếu chiều cao tăng thêm 2 dm và cạnh đáy giảm đi 2 dm thì diện tích của nó tăng thêm 2,5

=> Ta có phương trình:

Ta có hệ phương trình:

Vậy chiều cao của tấm bìa là 1,5dm và cạnh đáy của tấm bìa là 6dm.

Để giải bài toán bằng cách lập phương trình ta thực hiện lần lượt các bước sau

(1) Gọi ẩn và đặt điều kiện, đơn vị cho ẩn.

(2) Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

(3) Lập phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng.

(4) Giải phương trình

(5) Đối chiếu điều kiện và kết luận.

Gọi người A làm một mình xong công việc trong x (giờ) (x > 0) và mỗi giờ làm được (công việc).

Người B làm một mình xong công việc trong y (giờ) (y > 0) và mỗi giờ làm được (công việc).

Người C làm một mình xong công việc trong z (giờ) (z > 0) và mỗi giờ làm được (công việc).

Hai người A và B làm xong công việc trong 72 giờ nên mỗi giờ hai người làm được công việc

Ta có phương trình

Hai người A và C làm xong công việc đó trong 63 giờ nên mỗi giờ hai người làm được công việc

Ta có phương trình

Hai người B và C làm xong công việc đó trong 56 giờ nên mỗi giờ hai người làm được công việc

Ta có phương trình

Khi đó ta có hệ phương trình:

Nếu cả ba người cùng làm thì mỗi giờ làm được công việc

Vậy cả ba người cùng làm sẽ hoàn thành công việc trong giờ

Gọi ta có:

Ta có phương trình:

nên phương trình có hai nghiệm

Vậy kết luận đúng là: hoặc .

Gọi số máy móc công ty nên sử dụng là (máy)

Điều kiện

Trong một giờ, số quả bóng tennis sản xuất được là (quả bóng)

Như vậy, số giờ để sản xuất 8000 quả bóng là (giờ)

Mỗi giờ phải trả 192 nghìn đồng cho người giám sát và chi phí thiết lập cho mỗi máy là 200 nghìn đồng nên chi phí sản xuất là:

(đồng)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương và , ta được:

Dấu bằng xảy ra khi

Vậy số máy móc công ty nên sử dụng là 16 máy để chi phí sản xuất là thấp nhất.

Gọi số thứ nhất là a; số thứ hai là b

Điều kiện:

Giả sử

Vì số thứ nhất lớn hơn hai lần số thứ hai là 3 nên ta có

Vì hiệu các bình phương của chúng bằng 360 nên ta có phương trình:

Thay vào (*) ta được:

Vậy số bé là 9.

Gọi số sách trên giá thứ nhất là x (cuốn) và số sách trên giá thứ hai là y (cuốn)

Điều kiện: x, y nguyên dương

Hai giá sách có 450 cuốn nên ta có:

Khi chuyển 50 cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số sách ở giá thứ hai bằng số sách giá thứ nhất nên ta có phương trình:

Ta có hệ phương trình: 

Vậy giá thứ nhất có 300 cuốn, giá thứ hai có 150 cuốn

Gọi số bé hơn là

Điều kiện:  

=> Số chẵn liên tiếp lớn hơn là

Vì tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 482 

=> Ta có phương trình:

Vậy số bé hơn là 22.

Vì số thứ nhất gấp 8 lần số thứ hai nên số thứ hai bằng lần số thứ nhất.

Vậy khi số thứ nhất là thì số thứ hai sẽ là .

Gọi chiều rộng của mảnh vườn là

Suy ra chiều dài của mảnh vườn là

Theo đề bài có chu vi mảnh vườn bằng nên ta có phương trình:

Suy ra chiều dài của mảnh vườn bằng 10m và chiều rộng bằng 5m.

Vậy diện tích mảnh vườn bằng .

Gọi x là số phần trăm chỉ số học sinh tăng trung bình hằng năm

Điều kiện

Số học sinh tăng năm đầu là (học sinh)

Số học sinh tăng trong năm thứ hai là: (học sinh)

Theo bài ra ta có:

Sau hai năm số học sinh tăng là: (học sinh)

Khi đó ta có phương trình:

Vậy hằng năm trung bình số học sinh tăng .