Ôn thi vào 10 môn Toán: Giải toán bằng cách lập phương trình

Gọi x là số phần trăm chỉ số học sinh tăng trung bình hằng năm

Điều kiện

Số học sinh tăng năm đầu là (học sinh)

Số học sinh tăng trong năm thứ hai là: (học sinh)

Theo bài ra ta có:

Sau hai năm số học sinh tăng là: (học sinh)

Khi đó ta có phương trình:

Vậy hằng năm trung bình số học sinh tăng .

Gọi vận tốc dự định của ca nô là x (km/h)

Điều kiện:

Thời gian dự định đi từ A đến B là y (h)

Điều kiện:

Quãng đường AN là (km)

Nếu ca nô tăng vận tốc thêm 3 km/h thì thời gian rút ngắn được 2h nên ta có phương trình

Nếu ca nô giảm vận tốc đi 3 km/h thì thời gian tăng 3h nên ta có phương trình

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

Vậy vận tốc dự định của ca nô và thời gian dự định đi từ A đến B lần lượt là 15 km/h và 12h.

Gọi số bé hơn là

Điều kiện:  

=> Số chẵn liên tiếp lớn hơn là

Vì tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 482 

=> Ta có phương trình:

Vậy số bé hơn là 22.

Gọi vận tốc và thời gian dự định của người đó lần lượt là x (km/h) và y (giờ)

Điều kiện

Khi đó độ dài quãng đường AB là xy (km)

Nếu người đó tăng vận tốc thêm 10km/h thì đến B sớm hơn dự định 1 giờ nên ta có:

Nếu người đó giảm bớt vận tốc đi 10km/h thì đến B muộn hơn dự định 2 giờ nên ta có:

Khi đó ta có hệ phương trình:

Vậy độ dài quãng đường là .

Gọi vận tốc đi xe của Tuấn là x (km/h) điều kiện x > 0

Suy ra vận tốc đi xe của Hưng là

Thời gian đi xe của Tuấn là:

Thời gian đi xe của Hưng là:

Vì Tuấn đến trung tâm trước Hưng nửa giờ nên thời gian đi của Tuấn ít hơn thời gian của Hưng là .

Khi đó ta có phương trình:

nên phương trình có hai nghiệm

Vậy vận tốc đi xe của Tuấn là , vận tốc đi xe của Hưng là .

Gọi chiều rộng của mảnh vườn là

Suy ra chiều dài của mảnh vườn là

Theo đề bài có chu vi mảnh vườn bằng nên ta có phương trình:

Suy ra chiều dài của mảnh vườn bằng 10m và chiều rộng bằng 5m.

Vậy diện tích mảnh vườn bằng .

Đổi

Gọi thời gian mỗi người làm riêng hoàn thành công việc là x; y (giờ)

Trong 1 giờ người thứ nhất làm được công việc, người thứ hai làm được công việc.

Theo bài ra ta có hệ phương trình

Vậy người thứ nhất làm một mình trong 40 giờ thì hoàn thành công việc, người thứ hai làm một mình trong 40 giờ thì xong công việc.

Ô tô thứ hai đi chậm hơn ô tô thứ nhất .

Suy ra vận tốc xe thứ nhất nhiều hơn vận tốc xe thứ hai là .

Nếu gọi vận tốc ô tô thứ hai là x km/h thì vận tốc xe thứ nhất là .

Gọi thời gian A và B làm một mình xong công việc lần lượt là (giờ)

Điều kiện

Trong 1 giờ A và B làm được khối lượng công việc tương ứng là và (công việc)

Nếu làm chung thì 1 giờ hai người làm được khối lượng công việc là (công việc)

Theo giả thiết ta có hệ phương trình:

Vậy nếu làm một mình thì A làm trong 12 giờ thì xong công việc.

Gọi số máy móc công ty nên sử dụng là (máy)

Điều kiện

Trong một giờ, số quả bóng tennis sản xuất được là (quả bóng)

Như vậy, số giờ để sản xuất 8000 quả bóng là (giờ)

Mỗi giờ phải trả 192 nghìn đồng cho người giám sát và chi phí thiết lập cho mỗi máy là 200 nghìn đồng nên chi phí sản xuất là:

(đồng)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương và , ta được:

Dấu bằng xảy ra khi

Vậy số máy móc công ty nên sử dụng là 16 máy để chi phí sản xuất là thấp nhất.

Gọi năng suất trên 1 ha của lúa giống mới là x (tấn) của giống cũ là y (tấn). Điều kiện là .

Gọi số sản phẩm nhóm thợ theo kế hoạch phải làm mỗi ngày là x (sản phẩm)

Điều kiện:

Theo kế hoạch:

Thời gian hoàn thành là (ngày)

Thực tế:

Số sản phẩm làm trong 8 ngày là (sản phẩm)

Số sản phẩm còn lại là  (sản phẩm)

Mỗi ngày sau đó nhóm thợ làm được (sản phẩm)

Thời gian hoàn thành là: (ngày)

Vì thời gian thực tế ít hơn thời gian dự định là 2 ngày nên ta có phương trình:

Phương trình có hai nghiệm phân biệt: 

Vậy theo kế hoạch, mỗi ngày cần làm 100 sản phẩm.

Gọi chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật lần lượt là x, y (m)

Điều kiện: x > 0; y > 0

Chu vi hình chữ nhật ban đầu là 48m

=>

Nếu tăng chiều rộng lên bốn lần và tăng chiều dài lên ba lần thì chu vi của khu vườn sẽ là 162m

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

=> Diện tích của hình chữ nhật là:

Ta có: 7 giờ 12 phút = giờ.

Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể là (giờ)

Điều kiện

Thời gian vòi thứ hai chảy riêng đầy bể là

Theo bài ra ta có:

Hai vòi cùng chảy mà đầy bể hết giờ nên ta có phương trình:

nên phương trình có hai nghiệm

Vậy vòi thứ nhất chảy riêng một mình đầy bể sau 12 giờ, vòi thứ hai chảy đầy bể một mình trong 18 giờ. Hoặc ngược lại.

Gọi ta có:

Ta có phương trình:

nên phương trình có hai nghiệm

Vậy kết luận đúng là: hoặc .

Để giải bài toán bằng cách lập phương trình ta thực hiện lần lượt các bước sau

(1) Gọi ẩn và đặt điều kiện, đơn vị cho ẩn.

(2) Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

(3) Lập phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng.

(4) Giải phương trình

(5) Đối chiếu điều kiện và kết luận.

Vì hệ phương trình có nghiệm nên

Vậy m = 3 là giá trị cần tìm.

Ta có:

Hai người đi hai xe khác nhau, khởi hành cùng một lúc từ địa điểm A.

Người thứ nhất đến sớm hơn người thứ hai là 2 giờ nên thời gian đi của người thứ hai nhiều hơn của người thứ nhất 2 giờ.

Nếu gọi thời gian đi của người thứ nhất là x giờ thì thời gian của người thứ hai là: .

Để giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

(2) Gọi 2 ẩn và đặt điều kiện, đơn vị cho ẩn.

(1) Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

(3) Lập hai phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng.

(4) Giải hệ phương trình.

(5) Đối chiếu điều kiện và kết luận.

Gọi người A làm một mình xong công việc trong x (giờ) (x > 0) và mỗi giờ làm được (công việc).

Người B làm một mình xong công việc trong y (giờ) (y > 0) và mỗi giờ làm được (công việc).

Người C làm một mình xong công việc trong z (giờ) (z > 0) và mỗi giờ làm được (công việc).

Hai người A và B làm xong công việc trong 72 giờ nên mỗi giờ hai người làm được công việc

Ta có phương trình

Hai người A và C làm xong công việc đó trong 63 giờ nên mỗi giờ hai người làm được công việc

Ta có phương trình

Hai người B và C làm xong công việc đó trong 56 giờ nên mỗi giờ hai người làm được công việc

Ta có phương trình

Khi đó ta có hệ phương trình:

Nếu cả ba người cùng làm thì mỗi giờ làm được công việc

Vậy cả ba người cùng làm sẽ hoàn thành công việc trong giờ

Gọi hai số tự nhiên liên tiếp cần tìm là và

Tích của hai số là:

Tổng hai số là: .

Theo bài ra ta có phương trình:

⇒ Phương trình có hai nghiệm:

=> Hai số tự nhiên cần tìm là 11 và 12.

Vậy số bé là 11.