Ôn thi vào 10 môn Toán: Giải toán bằng cách lập phương trình

Gọi chiều rộng của mảnh vườn là

Suy ra chiều dài của mảnh vườn là

Theo đề bài có chu vi mảnh vườn bằng nên ta có phương trình:

Suy ra chiều dài của mảnh vườn bằng 10m và chiều rộng bằng 5m.

Vậy diện tích mảnh vườn bằng .

Gọi số sách trên giá thứ nhất là x (cuốn) và số sách trên giá thứ hai là y (cuốn)

Điều kiện: x, y nguyên dương

Hai giá sách có 450 cuốn nên ta có:

Khi chuyển 50 cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số sách ở giá thứ hai bằng số sách giá thứ nhất nên ta có phương trình:

Ta có hệ phương trình: 

Vậy giá thứ nhất có 300 cuốn, giá thứ hai có 150 cuốn

Gọi số sản phẩm của tổ I sản xuất được trong tháng thứ nhất là x (sản phẩm).

Số sản phẩm của tổ II sản xuất được trong tháng thứ nhất là y (sản phẩm). 

Điều kiện:

Tháng thứ nhất, 2 tổ sản xuất được 900 sản phẩm nên ta có phương trình:

Tháng thứ 2 tổ I vượt mức 30% nên tổ I sản xuất được (sản phầm) 

Tổ II giảm mức đi 22% so với tháng thứ nhất nên tổ 2 sản xuất được (sản phẩm)

Ta lại có: 2 tổ đã sản xuất được 1300 sản phẩm nên ta có phương trình:

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

Vậy trong tháng thứ hai tổ II sản xuất được (sản phẩm).

Gọi vận tốc đi xe của Tuấn là x (km/h) điều kiện x > 0

Suy ra vận tốc đi xe của Hưng là

Thời gian đi xe của Tuấn là:

Thời gian đi xe của Hưng là:

Vì Tuấn đến trung tâm trước Hưng nửa giờ nên thời gian đi của Tuấn ít hơn thời gian của Hưng là .

Khi đó ta có phương trình:

nên phương trình có hai nghiệm

Vậy vận tốc đi xe của Tuấn là , vận tốc đi xe của Hưng là .

Vì số thứ nhất gấp 8 lần số thứ hai nên số thứ hai bằng lần số thứ nhất.

Vậy khi số thứ nhất là thì số thứ hai sẽ là .

Gọi x là số phần trăm chỉ số học sinh tăng trung bình hằng năm

Điều kiện

Số học sinh tăng năm đầu là (học sinh)

Số học sinh tăng trong năm thứ hai là: (học sinh)

Theo bài ra ta có:

Sau hai năm số học sinh tăng là: (học sinh)

Khi đó ta có phương trình:

Vậy hằng năm trung bình số học sinh tăng .

Gọi là chiều dài khu vườn

Chiều rộng bằng chiều dài nên chiều rộng có độ dài là:

Theo bài ra ta có diện tích khu vườn bằng .

Khi đó phương trình là:

Vậy chiều rộng mảnh vườn là: .

Gọi số bi trong hộp thứ nhất và hộp thứ hai lần lượt là x; y (viên bi)

Điều kiện:

Trong hai hộp có tất cả 360 viên bi =>

Nếu Nam chuyển 30 viên bi từ hộp thứ hai sang hộp thứ nhất thì số viên vi ở hộp thứ nhất bằng 5/7 số viên bi ở hộp thứ hai ta có phương trình:

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

Vậy ở hộp thứ hai có 240 viên bi.

Để giải bài toán bằng cách lập phương trình ta thực hiện lần lượt các bước sau

(1) Gọi ẩn và đặt điều kiện, đơn vị cho ẩn.

(2) Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

(3) Lập phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng.

(4) Giải phương trình

(5) Đối chiếu điều kiện và kết luận.

Gọi x; y lần lượt là số vịt và số chó tương ứng

Điều kiện

Do vịt có 2 chân và chó có 4 chân, tổng số chân bằng 150 nên ta có phương trình

Tổng số vịt và chó là 45 con nên

Khi đó ta có hệ phương trình

Vậy số chó hơn số vịt là

Đổi giờ phút bằng giờ.

Gọi vận tốc riêng của cano bằng .

Vận tốc của cano khi xuôi dòng là

Vận tốc của cano khi ngược dòng là

Theo bài ra ta có phương trình:

Vậy vận tốc riêng của cano là .

Gọi năng suất trên 1 ha của lúa giống mới là x (tấn) của giống cũ là y (tấn). Điều kiện là .

Ô tô thứ hai đi chậm hơn ô tô thứ nhất .

Suy ra vận tốc xe thứ nhất nhiều hơn vận tốc xe thứ hai là .

Nếu gọi vận tốc ô tô thứ hai là x km/h thì vận tốc xe thứ nhất là .

Ta có:

Hai người đi hai xe khác nhau, khởi hành cùng một lúc từ địa điểm A.

Người thứ nhất đến sớm hơn người thứ hai là 2 giờ nên thời gian đi của người thứ hai nhiều hơn của người thứ nhất 2 giờ.

Nếu gọi thời gian đi của người thứ nhất là x giờ thì thời gian của người thứ hai là: .

Gọi hai số tự nhiên liên tiếp cần tìm là và

Tích của hai số là:

Tổng hai số là: .

Theo bài ra ta có phương trình:

⇒ Phương trình có hai nghiệm:

=> Hai số tự nhiên cần tìm là 11 và 12.

Vậy số bé là 11.

Gọi số máy móc công ty nên sử dụng là (máy)

Điều kiện

Trong một giờ, số quả bóng tennis sản xuất được là (quả bóng)

Như vậy, số giờ để sản xuất 8000 quả bóng là (giờ)

Mỗi giờ phải trả 192 nghìn đồng cho người giám sát và chi phí thiết lập cho mỗi máy là 200 nghìn đồng nên chi phí sản xuất là:

(đồng)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương và , ta được:

Dấu bằng xảy ra khi

Vậy số máy móc công ty nên sử dụng là 16 máy để chi phí sản xuất là thấp nhất.

Gọi số bé hơn là

Điều kiện:  

=> Số chẵn liên tiếp lớn hơn là

Vì tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 482 

=> Ta có phương trình:

Vậy số bé hơn là 22.

Gọi ta có:

Ta có phương trình:

nên phương trình có hai nghiệm

Vậy kết luận đúng là: hoặc .

Gọi vận tốc thật của cano khi xuôi dòng là x (km/h), vận tốc cano khi ngược dòng là y (km/h)

Điều kiện x, y > 3

Đổi 1 giờ 40 phút = giờ.

Theo bài ra ta có:

Vận tốc cano khi đi xuôi dòng lớn hơn vận tốc cano đi ngược dòng là và vận tốc dòng nước là nên ta có phương trình:

Hai địa điểm A đến B cách nhau mà hai cano gặp nhau sau giờ nên ta có phương trình:

Khi đó ta có hệ phương trình:

Vận tốc thật của cano khi xuôi dòng và ngược dòng lần lượt là .

Gọi vận tốc thực của cano là x (km/h); x > 0

Vận tốc dòng nước là y (km/h); 0 < y < x

Vận tốc cano khi xuôi dòng là x + y (km/h)

Vận tốc cano khi ngược dòng là: x – y (km/h)

Cano đi xuôi dòng theo một khúc sông trong 3 giờ và đi ngược dòng trong 4 giờ, được 380 km nên ta có phương trình:

Cano xuôi dòng trong 1 giờ và ngược dòng trong 30 phút được 85 km nên ta có phương trình:

Ta có hệ phương trình:

Vậy vận tốc dòng nước là: 5km/h.

Gọi thời gian A và B làm một mình xong công việc lần lượt là (giờ)

Điều kiện

Trong 1 giờ A và B làm được khối lượng công việc tương ứng là và (công việc)

Nếu làm chung thì 1 giờ hai người làm được khối lượng công việc là (công việc)

Theo giả thiết ta có hệ phương trình:

Vậy nếu làm một mình thì A làm trong 12 giờ thì xong công việc.