Ôn thi vào 10 môn Toán: Giải toán bằng cách lập phương trình

Để giải bài toán bằng cách lập phương trình ta thực hiện lần lượt các bước sau

(1) Gọi ẩn và đặt điều kiện, đơn vị cho ẩn.

(2) Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

(3) Lập phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng.

(4) Giải phương trình

(5) Đối chiếu điều kiện và kết luận.

Gọi người A làm một mình xong công việc trong x (giờ) (x > 0) và mỗi giờ làm được (công việc).

Người B làm một mình xong công việc trong y (giờ) (y > 0) và mỗi giờ làm được (công việc).

Người C làm một mình xong công việc trong z (giờ) (z > 0) và mỗi giờ làm được (công việc).

Hai người A và B làm xong công việc trong 72 giờ nên mỗi giờ hai người làm được công việc

Ta có phương trình

Hai người A và C làm xong công việc đó trong 63 giờ nên mỗi giờ hai người làm được công việc

Ta có phương trình

Hai người B và C làm xong công việc đó trong 56 giờ nên mỗi giờ hai người làm được công việc

Ta có phương trình

Khi đó ta có hệ phương trình:

Nếu cả ba người cùng làm thì mỗi giờ làm được công việc

Vậy cả ba người cùng làm sẽ hoàn thành công việc trong giờ

Gọi ta có:

Ta có phương trình:

nên phương trình có hai nghiệm

Vậy kết luận đúng là: hoặc .

Gọi cạnh đáy của thửa ruộng là

Điều kiện:

=> Chiều cao của thửa ruộng là

Vì khi tăng cạnh đáy thêm 4m và giảm chiều cao tương ứng đi 1m thì diện tích thửa ruộng không đổi nên ta có phương trình:

Vậy cạnh đáy của thửa ruộng là .

Vì hệ phương trình có nghiệm nên

Vậy m = 3 là giá trị cần tìm.

Ta có: 7 giờ 12 phút = giờ.

Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể là (giờ)

Điều kiện

Thời gian vòi thứ hai chảy riêng đầy bể là

Theo bài ra ta có:

Hai vòi cùng chảy mà đầy bể hết giờ nên ta có phương trình:

nên phương trình có hai nghiệm

Vậy vòi thứ nhất chảy riêng một mình đầy bể sau 12 giờ, vòi thứ hai chảy đầy bể một mình trong 18 giờ. Hoặc ngược lại.

Gọi x; y lần lượt là thể tích bình thứ hai và thứ ba (x; y > 0)

Suy ra thể tích bình thứ nhất là 120 – (x + y)

Nếu đổ đầy nước vào bình thứ nhất rồi rót vào hai bình kia thì hoặc bình thứ ba đầy nước còn bình thứ hai chỉ được một nửa thể tích của nó nên ta có phương trình:

Và

Khi đó ta có hệ phương trình:

Suy ra số lít nước của bình thứ nhất là lít.

Gọi chiều rộng của mảnh vườn là

Suy ra chiều dài của mảnh vườn là

Theo đề bài có chu vi mảnh vườn bằng nên ta có phương trình:

Suy ra chiều dài của mảnh vườn bằng 10m và chiều rộng bằng 5m.

Vậy diện tích mảnh vườn bằng .

Gọi thời gian của thuyền lúc đi là . Điều kiện . Khi đó vận tốc lúc về là

Thời gian đi của thuyền là

Vì khi đi có nghỉ 1 giờ tại trạm nghỉ nên thời gian đi hết tất cả là

Độ dài quãng đường lúc về là

Thời gian về là

Theo bài ra thời gian đi bằng thời gian về nên ta có phương trình:

Vậy vận tốc của thuyền lúc đi là .

Gọi x, y lần lượt là số chi tiết máy mà tổ 1 và tổ 2 sản xuất được trong tháng thứ nhất (điều kiện )

Do tổng số chi tiết máy hai tổ làm được trong tháng thứ nhất là 800 chi tiết nên ta có phương trình

Sang tháng thứ hai tổ 1 làm vượt mức 15%, tổ 2 vượt mức 20% do đó cuối tháng hai cả hai tổ sản xuất được 945 chi tiết máy nên ta có phương trình

Khi đó ta có hệ phương trình .

Gọi khối lượng quặng chứa 75% sắt đem trộn là x tấn,

Gọi khối lượng quặng chứa 50% sắt đem trộn là y tấn.

Điều kiện:

Theo đề bài ta có:

Tổng khối lượng quặng là 25 tấn =>

Quặng chứa 75% sắt đem trộn với quặng chứa 50% sắt để được 25 tấn quặng chứa 66% sắt nên ta có phương trình:

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

Vậy khối lượng quặng chứa 75% sắt đem trộn là 16 tấn.

Gọi chiều rộng của hình chữ nhật là

Điều kiện:

Nữa chu vi hình chữ nhật là:

Chiều dài của hình chữ nhật là: )

Diện tích hình chữ nhật ban đầu là:

Chiều rộng sau khi thêm 5cm là:

Chiều dài sau khi giảm 5cm là:  

Diện tích hình chữ nhật sau khi thay đổi kích thước là:

Diện tích hình chữ nhật tăng nên ta có phương trình :

=> Chiều rộng của hình chữ nhật ban đầu là:

=> Chiều dài của hình chữ nhật ban đầu là:

Gọi thời gian tàu chạy xuôi dòng là , thời gian tàu chạy ngược dòng là

Gọi là vận tốc của tàu khi nước yên lặng ta có:

Vận tốc xuôi dòng là

Vận tốc ngược dòng là

Ta có:

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

Vậy vận tốc cần tìm là

Gọi số máy móc công ty nên sử dụng là (máy)

Điều kiện

Trong một giờ, số quả bóng tennis sản xuất được là (quả bóng)

Như vậy, số giờ để sản xuất 8000 quả bóng là (giờ)

Mỗi giờ phải trả 192 nghìn đồng cho người giám sát và chi phí thiết lập cho mỗi máy là 200 nghìn đồng nên chi phí sản xuất là:

(đồng)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương và , ta được:

Dấu bằng xảy ra khi

Vậy số máy móc công ty nên sử dụng là 16 máy để chi phí sản xuất là thấp nhất.

Gọi số tự nhiên có hai chữ số là:

Điều kiện:

Khi đổi chỗ hai chữ số của số đã cho ta được:

Đổi chỗ hai chữ số thì được một số lớn hơn số đã cho là 18, ta có:

(1)

Tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 66, ta có:

(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Vậy số cần tìm là 24

=> Tổng các chữ số là 6.

Gọi vận tốc hai xe lần lượt là x (km/h) và y (km/h)

Điều kiện x; y > 0

Xe thứ nhất nhanh hơn xe thứ hai là 10km/h nên ta có phương trình:

Thời gian xe thứ nhất và xe thứ hai đi hết quãng đường AB lần lượt là:

Vì xe thứ nhất đến sớm hơn xe thứ hai 1 giờ nên ta có phương trình:

Khi đó ta có hệ phương trình:

Xét phương trình (*)

Thay vào phương trình (**) ta được

Vậy vận tốc mỗi xe lần lượt là 50km/h và 40km/h.

Gọi số xe ban đầu là chiếc

Điều kiện .

Lúc đầu mỗi xe dự định chở (tấn hàng)

Theo đề bài, mỗi xe phải chở thêm tấn hàng nên ta có phương trình:

Vậy ban đầu đội xe tải có chiếc xe.

Ta có:

Hai người đi hai xe khác nhau, khởi hành cùng một lúc từ địa điểm A.

Người thứ nhất đến sớm hơn người thứ hai là 2 giờ nên thời gian đi của người thứ hai nhiều hơn của người thứ nhất 2 giờ.

Nếu gọi thời gian đi của người thứ nhất là x giờ thì thời gian của người thứ hai là: .

Ô tô thứ hai đi chậm hơn ô tô thứ nhất .

Suy ra vận tốc xe thứ nhất nhiều hơn vận tốc xe thứ hai là .

Nếu gọi vận tốc ô tô thứ hai là x km/h thì vận tốc xe thứ nhất là .

Gọi số sách trên giá thứ nhất là x (cuốn) và số sách trên giá thứ hai là y (cuốn)

Điều kiện: x, y nguyên dương

Hai giá sách có 450 cuốn nên ta có:

Khi chuyển 50 cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số sách ở giá thứ hai bằng số sách giá thứ nhất nên ta có phương trình:

Ta có hệ phương trình: 

Vậy giá thứ nhất có 300 cuốn, giá thứ hai có 150 cuốn

Gọi x là số phần trăm chỉ số học sinh tăng trung bình hằng năm

Điều kiện

Số học sinh tăng năm đầu là (học sinh)

Số học sinh tăng trong năm thứ hai là: (học sinh)

Theo bài ra ta có:

Sau hai năm số học sinh tăng là: (học sinh)

Khi đó ta có phương trình:

Vậy hằng năm trung bình số học sinh tăng .

Gọi x và y lần lượt là số thứ nhất và số thứ hai ()

Theo bài ra ta có:

4 lần số thứ nhất cộng với ba lần số thứ hai bằng suy ra

Ba lần số thứ nhất hơn 2 lần số thứ hai là suy ra

Khi đó ta có hệ phương trình .

Đổi giờ phút bằng giờ.

Gọi vận tốc riêng của cano bằng .

Vận tốc của cano khi xuôi dòng là

Vận tốc của cano khi ngược dòng là

Theo bài ra ta có phương trình:

Vậy vận tốc riêng của cano là .