Ôn thi vào 10 môn Toán: Giải toán bằng cách lập phương trình

Vì số thứ nhất gấp 8 lần số thứ hai nên số thứ hai bằng lần số thứ nhất.

Vậy khi số thứ nhất là thì số thứ hai sẽ là .

Ta có: 7 giờ 12 phút = giờ.

Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể là (giờ)

Điều kiện

Thời gian vòi thứ hai chảy riêng đầy bể là

Theo bài ra ta có:

Hai vòi cùng chảy mà đầy bể hết giờ nên ta có phương trình:

nên phương trình có hai nghiệm

Vậy vòi thứ nhất chảy riêng một mình đầy bể sau 12 giờ, vòi thứ hai chảy đầy bể một mình trong 18 giờ. Hoặc ngược lại.

Đổi giờ phút bằng giờ.

Gọi vận tốc riêng của cano bằng .

Vận tốc của cano khi xuôi dòng là

Vận tốc của cano khi ngược dòng là

Theo bài ra ta có phương trình:

Vậy vận tốc riêng của cano là .

Gọi x, y lần lượt là số chi tiết máy mà tổ 1 và tổ 2 sản xuất được trong tháng thứ nhất (điều kiện )

Do tổng số chi tiết máy hai tổ làm được trong tháng thứ nhất là 800 chi tiết nên ta có phương trình

Sang tháng thứ hai tổ 1 làm vượt mức 15%, tổ 2 vượt mức 20% do đó cuối tháng hai cả hai tổ sản xuất được 945 chi tiết máy nên ta có phương trình

Khi đó ta có hệ phương trình .

Vì hệ phương trình có nghiệm nên

Vậy m = 3 là giá trị cần tìm.

Để giải bài toán bằng cách lập phương trình ta thực hiện lần lượt các bước sau

(1) Gọi ẩn và đặt điều kiện, đơn vị cho ẩn.

(2) Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

(3) Lập phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng.

(4) Giải phương trình

(5) Đối chiếu điều kiện và kết luận.

Gọi hai số tự nhiên liên tiếp cần tìm là và

Tích của hai số là:

Tổng hai số là: .

Theo bài ra ta có phương trình:

⇒ Phương trình có hai nghiệm:

=> Hai số tự nhiên cần tìm là 11 và 12.

Vậy số bé là 11.

Gọi số bé hơn là

Điều kiện:  

=> Số chẵn liên tiếp lớn hơn là

Vì tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 482 

=> Ta có phương trình:

Vậy số bé hơn là 22.

Gọi người A làm một mình xong công việc trong x (giờ) (x > 0) và mỗi giờ làm được (công việc).

Người B làm một mình xong công việc trong y (giờ) (y > 0) và mỗi giờ làm được (công việc).

Người C làm một mình xong công việc trong z (giờ) (z > 0) và mỗi giờ làm được (công việc).

Hai người A và B làm xong công việc trong 72 giờ nên mỗi giờ hai người làm được công việc

Ta có phương trình

Hai người A và C làm xong công việc đó trong 63 giờ nên mỗi giờ hai người làm được công việc

Ta có phương trình

Hai người B và C làm xong công việc đó trong 56 giờ nên mỗi giờ hai người làm được công việc

Ta có phương trình

Khi đó ta có hệ phương trình:

Nếu cả ba người cùng làm thì mỗi giờ làm được công việc

Vậy cả ba người cùng làm sẽ hoàn thành công việc trong giờ

Gọi số máy móc công ty nên sử dụng là (máy)

Điều kiện

Trong một giờ, số quả bóng tennis sản xuất được là (quả bóng)

Như vậy, số giờ để sản xuất 8000 quả bóng là (giờ)

Mỗi giờ phải trả 192 nghìn đồng cho người giám sát và chi phí thiết lập cho mỗi máy là 200 nghìn đồng nên chi phí sản xuất là:

(đồng)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương và , ta được:

Dấu bằng xảy ra khi

Vậy số máy móc công ty nên sử dụng là 16 máy để chi phí sản xuất là thấp nhất.

Gọi x là số phần trăm chỉ số học sinh tăng trung bình hằng năm

Điều kiện

Số học sinh tăng năm đầu là (học sinh)

Số học sinh tăng trong năm thứ hai là: (học sinh)

Theo bài ra ta có:

Sau hai năm số học sinh tăng là: (học sinh)

Khi đó ta có phương trình:

Vậy hằng năm trung bình số học sinh tăng .

Gọi vận tốc thật của cano khi xuôi dòng là x (km/h), vận tốc cano khi ngược dòng là y (km/h)

Điều kiện x, y > 3

Đổi 1 giờ 40 phút = giờ.

Theo bài ra ta có:

Vận tốc cano khi đi xuôi dòng lớn hơn vận tốc cano đi ngược dòng là và vận tốc dòng nước là nên ta có phương trình:

Hai địa điểm A đến B cách nhau mà hai cano gặp nhau sau giờ nên ta có phương trình:

Khi đó ta có hệ phương trình:

Vận tốc thật của cano khi xuôi dòng và ngược dòng lần lượt là .

Số con gà là x con, số con mèo là y con khi đó ta có điều kiện của x và y là .

Gọi năng suất lúa mới và lúa cũ trên 11 ha lần lượt là x; y (tấn/ha)

Điều kiện:

Vì cấy 50 ha lúa giống mới và 30 ha lúa giống cũ, thu hoạch được tất cả 410 tấn thóc nên ta có phương trình

Vì 5ha trồng lúa mới thu hoạch được nhiều hơn 6ha trồng lúa cũ là 0,5 tấn nên ta có phương trình

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

Vậy năng suất lúa cũ trên 1 ha là 4,5 tấn.

Gọi chiều rộng của mảnh vườn là

Suy ra chiều dài của mảnh vườn là

Theo đề bài có chu vi mảnh vườn bằng nên ta có phương trình:

Suy ra chiều dài của mảnh vườn bằng 10m và chiều rộng bằng 5m.

Vậy diện tích mảnh vườn bằng .

Gọi ta có:

Ta có phương trình:

nên phương trình có hai nghiệm

Vậy kết luận đúng là: hoặc .

Gọi vận tốc thực của cano là x (km/h); x > 0

Vận tốc dòng nước là y (km/h); 0 < y < x

Vận tốc cano khi xuôi dòng là x + y (km/h)

Vận tốc cano khi ngược dòng là: x – y (km/h)

Cano đi xuôi dòng theo một khúc sông trong 3 giờ và đi ngược dòng trong 4 giờ, được 380 km nên ta có phương trình:

Cano xuôi dòng trong 1 giờ và ngược dòng trong 30 phút được 85 km nên ta có phương trình:

Ta có hệ phương trình:

Vậy vận tốc dòng nước là: 5km/h.

Gọi số sách ở tủ thứ nhất và thứ hai lần lượt là cuốn sách

Điều kiện

Ta có số sách ở cả hai tủ là 2000 cuốn suy ra

Nếu chuyển cuốn ở tủ thứ nhất sang tủ thứ hai thì số sách tủ thứ hai gấp bốn lần số sách tủ thứ nhất suy ra ta có phương trình .

Khi đó ta có hệ phương trình

Vậy số sách ở tủ thứ nhất là 1200 cuốn.

Ô tô thứ hai đi chậm hơn ô tô thứ nhất .

Suy ra vận tốc xe thứ nhất nhiều hơn vận tốc xe thứ hai là .

Nếu gọi vận tốc ô tô thứ hai là x km/h thì vận tốc xe thứ nhất là .

Gọi vận tốc và thời gian dự định của người đó lần lượt là x (km/h) và y (giờ)

Điều kiện

Khi đó độ dài quãng đường AB là xy (km)

Nếu người đó tăng vận tốc thêm 10km/h thì đến B sớm hơn dự định 1 giờ nên ta có:

Nếu người đó giảm bớt vận tốc đi 10km/h thì đến B muộn hơn dự định 2 giờ nên ta có:

Khi đó ta có hệ phương trình:

Vậy độ dài quãng đường là .

Gọi x là chiều rộng hình chữ nhật lúc đầu

Chiều dài hình chữ nhật lúc đầu:

Chiều rộng hình chữ nhật lúc sau:

Chiều dài hình chữ nhật lúc sau:

Theo đề bài ta có phương trình:

=> Chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật ban đầu lần lượt là: 12cm và 4cm.

=> Chu vi hình chữ nhật ban đầu là: .

Ta có:

Hai người đi hai xe khác nhau, khởi hành cùng một lúc từ địa điểm A.

Người thứ nhất đến sớm hơn người thứ hai là 2 giờ nên thời gian đi của người thứ hai nhiều hơn của người thứ nhất 2 giờ.

Nếu gọi thời gian đi của người thứ nhất là x giờ thì thời gian của người thứ hai là: .