Bài toán thực tế về đạo hàm
Toán lớp 11
Tìm hiểu thêm
Tặng thêm 15 ngày khi mua gói 4 tháng.
BÀI TẬP THỰC TẾ ĐẠO HÀM
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Định nghĩa
Cho hàm số
y f x
xác định trên khoảng
;ab
và điểm
0
;x a b
.
Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn
0
0
0
lim
xx
f x f x
xx
thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số
y f x
tại
0
x
và được kí hiệu là
0
fx
hoặc
0
x
y
.
Hàm số
y f x
được gọi là có đạo hàm trên khoảng
;ab
nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm
x
trên
khoảng đó.
2. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa
Để tính đạo hàm
0
fx
của hàm số
y f x
tại
0
x
ta lần lượt thực hiện ba bước sau:
Bước 1. Xét
0
x x x
là số gia của biến số tại điểm
0
x
.
Tính
00
y f x x f x
.
Bước 2. Rút gọn tỉ số
y
x
.
Bước 3. Tính
0
lim
x
y
x
.
Kết luận: Nếu
0
lim
x
y
a
x
thì
0
f x a
.
3. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Đạo hàm của hàm số
y f x
tại điểm
0
x
là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm
0 0 0
;M x f x
.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y f x
tại điểm
0 0 0
;M x f x
là
0 0 0
y f x x x f x
.
4. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương
Giả sử
,f f x g g x
là các hàm số có đạo hàm tại điểm
x
thuộc khoảng xác định. Ta có:
;f g f g
;f g f g
;fg f g fg
2
0
f f g fg
g g x
gg
5. Đạo hàm của hàm hợp
Nếu hàm số
u g x
có đạo hàm tại
x
là
x
u
và hàm số
y f u
có đạo hàm tại
u
là
u
y
thì hàm hợp
y f g x
có đạo hàm tại
x
là
.
x u x
y y u
.
6. Bảng đạo hàm của một số hàm số sơ cấp cơ bản và hàm hợp
Đạo hàm của hàm số sơ cấp cơ bản
thường gặp là
Đạo hàm của hàm hợp (ở đây
u u x
)
1
.
nn
x n x
1
..
nn
u nu u
2
11
xx
2
1 u
uu
1
2
x
x
2
u
u
u
sin cosxx
sin .cosu u u
cos sinxx
cos .sinu u u
2
1
tan
cos
x
x
2
tan
cos
u
u
u
2
1
cot
sin
x
x
2
cot
sin
u
u
u
xx
ee
.
uu
e u e
.ln
xx
a a a
. .ln
uu
a u a a
1
ln x
x
ln
u
u
u
1
log
ln
a
x
xa
log
ln
a
u
u
ua
7. Định nghĩa đạo hàm cấp 2
Giả sử hàm số
y f x
có đạo hàm
y f x
tại mọi điểm
;x a b
. Nếu hàm số
y f x
tiếp tục có
đạo hàm tại
x
thì ta gọi đạo hàm của
y
tại
x
là đạo hàm cấp hai của hàm số
y f x
tại
x
, kí hiệu là
y
hoặc
fx
.
8. Ý nghĩa cơ học
Đạo hàm cấp hai
st
là gia tốc tức thời của chuyển động
s s t
tại thời điểm
t
.
B. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Câu 1: Giả sử chi phí
C
(USD) để sản xuất
Q
máy vô tuyến là
2
80 3500C Q Q Q
.
a) Ta gọi chi phí biên là chi phí gia tăng để sản xuất thêm 1 sản phẩm từ
Q
sản phẩm lên
1Q
sản phẩm. Giả sử chi phí biên được xác định bởi hàm số
CQ
. Tìm hàm chi phí biên.
b) Tìm
90C
và giải thích ý nghĩa kết quả tìm được.
c) Hãy tính chi phí sản xuất máy vô tuyến thứ 100.
Lời giải
a) Chi phí biên là chi phí gia tăng để sản xuất thêm 1 sản phẩm từ
Q
sản phẩm lên
1Q
sản
phẩm. Chi phí biên được xác định bởi hàm số
CQ
22
1
80 3500 ( 1) 80 1 3500
lim
1
QQ
Q Q Q Q
CQ
QQ
22
1
1
80 3500 2 1 80 80 3500
lim
1
lim 2 80
QQ
QQ
Q Q Q Q Q
CQ
C Q Q
b)
2.90 80 26090C USD
=> Ý nghĩa: Chi phí gia tăng để sản xuất thêm 1 sản phẩm từ 89 sản phẩm lên 90 sản phẩm là
260 (USD)
c) Chi phí sản xuất 101 máy vô tuyến là:
2
101 101 80.101 3500 21781C USD
Chi phí sản xuất 100 máy vô tuyến là:
2
100 100 80.100 3500 21500C USD
Chi phí sản xuất máy vô tuyến thứ 100 là
101 100 281C C USD
Câu 2: Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình
3
4 6 2s t t t
, trong đó
s
tính bằng mét
và
t
là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc tức thời của chuyển động tại
2t
.
Lời giải
Vận tốc tức thời của chuyển động là:
2
12 6v t s t t
Khi
2
2, v 2 12.2 6 54t
Câu 3: Trên Mặt Trăng, quãng đường rơi tư do của một vật được cho bởi công thức
2
0,81h t t
, với
t
được tính bằng giây và
h
tính bằng mét. Hãy tính vận tốc tức thời của vật được thả rơi tự do
trên Mặt Trăng tại thời điểm
2t
.
49 bài toán thực tế về đạo hàm lớp 11
VnDoc.com xin gửi tới bạn đọc bài viết Bài toán thực tế về đạo hàm để bạn đọc cùng tham khảo nhé. Bài viết được tổng hợp gồm có 2 phần: Lý thuyết kiến thức cần nhớ về đạo hàm và bài tập vận dụng với 49 bài toán đạo hàm. Phần bài tập có đáp án và lời giải chi tiết kèm theo. Mời các bạn cùng theo dõi chi tiết bài viết dưới đây để có thêm tài liệu học tập môn Toán lớp 11 nhé.
