Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2019 - 2020 Sở GD&ĐT Khánh Hòa
Đề thi HSG môn Toán lớp 12 có đáp án
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN
KHÁNH HÒA THI HSG THPT CẤP QUỐC GIA NĂM 2020
Môn thi: TOÁN (Vòng 1)
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(Đề thi có 01 trang)
Ngày thi: 19/9/2019
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Bài 1. (4,0 điểm)
Giải hệ phương trình:
3
3
3
3
4
2 4 6 2
4
3
4 2 4 6 2
4
3
4
2 4 6 2
4
x
x y
y
y y z
z
z
z x
x
( , , ).
x y z
Bài 2. (6,0 điểm)
a) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, tồn tại duy nhất một cặp số nguyên dương
;a
b
sao cho
1
(
1)( 2) .
2
n
a b a b a
b) Cho dãy số
n
u
xác định bởi
1
5
u
,
1
1
n
n
n
u
u
u
với mọi
1.
n
Tìm phần nguyên của
209
.u
Bài 3. (4,0 điểm)
Một nhóm phượt có n thành viên. Năm 2018, họ thực hiện sáu chuyến du lịch mà mỗi chuyến có
đúng 5 thành viên tham gia. Biết rằng hai chuyến du lịch bất kì chung nhau không quá 2 thành viên.
Tìm giá trị nhỏ nhất của n.
Bài 4. (4,0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn không cân có đường trung tuyến AM và đường phân giác trong AD. Qua
điểm N thuộc đoạn thẳng AD (N không trùng với A và D), kẻ NP vuông góc với AB (P thuộc cạnh
AB). Đường thẳng qua P vuông góc với AD cắt đoạn thẳng AM tại Q. Chứng minh rằng QN vuông
góc với BC.
Bài 5. (2,0 điểm)
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn
( ).xy yz zx xyz x y z
Chứng minh rằng
1 1 1
1.
2 1 2 1 2 1x y z
--------------- HẾT ---------------
Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com
S
Ở GIÁO DỤC V
À ĐÀO T
ẠO KHÁNH
HOÀ
GIẢI ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH
GIỎI QUỐC GIA
NĂM HỌC 2019 – 2020
MÔN THI: TOÁN (ngày 1)
Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian phát đề)
ĐÈ CHÍNH THỨC
Bài 1. (3 điểm) Giải hệ phươn
g trình
3
3
3
3
4 2 4 6 2
4
3
4 2 4 6 2
4
3
4 2 4 6 2
4
x x y
y
y y z
z
z z x
x
+ + = + −
−
+ + = + −
−
+ + = + −
−
.
Lời giải
Điều kiện:
3
3
3
x
y
z
≤
≤
≤
.
Xét hàm
( )
3
4 2f t t t= + +
và
( )
3
4 6 2
4
g t t
t
= + −
−
trên
(
]
;3−∞
.
Hệ phương trình trở thành
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
2
3
f x g y
f y g z
f z g x
=
=
=
Ta có
( )
2
3 4 0f t t
′
= + >
(
]
;3t∀ ∈ −∞
⇒ Hàm số
( )
3
4 2f t t t= + +
đồng biến trên
(
]
;3−∞
.
( )
( )
2
3 4
0
6 2
4
g t
t
t
′
= − − <
−
−
( )
;3t∀ ∈ −∞
⇒
( )
3
4 6 2
4
g t t
t
= + −
−
nghịch biến trên
(
]
;3−∞
.
Không mất tính tổng quát ta giả sử
{ }
; ;x max x y z=
. Khi đó ta có x y≥ ; x z≥ .
x y≥ (*)
( ) ( )
f x f y⇒ ≥
(vì hàm
( )
f t
đồng biến), kết hợp với hệ phương trình
( ) ( )
g y g z⇒ ≥
(vì hàm
( )
g t
nghịch biến), kết hợp hệ phương trình
y z⇒ ≤
( ) ( )
f y f z⇒ ≤
( ) ( )
g z g x⇒ ≤
z x⇒ ≥
(**).
Từ (*) và (**) ta suy ra x z=
( ) ( )
f x f z⇒ =
( ) ( )
g y g x⇒ =
y x⇒ = .
Vậy ta có
x y z= =
.
Từ hệ phương trình ta suy ra
( ) ( )
f x g x=
3
3
4 2 4 6 2
4
x x x
x
⇔ + + = + −
−
3
3
4 2 4 6 2 0
4
x x x
x
⇔ + + − − − =
−
.
Xét hàm
( )
3
3
4 2 4 6 2
4
h x x x x
x
= + + − − −
−
trên
(
]
;3−∞
.
Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com
Ta có
( )
( )
2
2
3 4
3 4 0
6 2
4
h x x
x
x
′
= + + + >
−
−
(
)
;3
x∀ ∈ −∞
⇒
hàm số
( )
3
3
4 2 4 6 2
4
h x x x x
x
= + + − − −
−
đồng biến trên
(
]
;3
−∞
.
⇒
Phương trình
(
)
0
h x
=
có nhiều nhất một nghiệm.
Ta có
(
)
1 0
h
=
nên phương trình
(
)
0
h x
=
có nghiệm duy nhất
1
x
=
.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
(
)
1;1;1
Bài 2.
a. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương
n
, tồn tại duy nhất một cặp số nguyên dương
(
)
;
a b
sao cho
( )( )
1
1 2
2
n a b a b a
= + − + − +
.
b. Cho dãy số xác định bởi
1 1
1
5;
n n
n
u u u
u
+
= = +
với mọi
1
n
≥
. Tìm phần
(
)
n
u
nguyên của
209
u
.
Lời giải
a.
Cách 1. Đặt
2
m a b m
= + ⇒ ≥
.
Phương trình trên trở thành:
( )( )
1
1 2
2
n m m m b
= − − + −
( )
2 2
1 1
1 0 2 1 0
2 2
m m b n m m b n
⇔ − + − − = ⇔ − + − − =
(1).
Để tồn tại cặp số nguyên dương
(
)
;
a b
thì (1) phải có nghiệm nguyên dương lớn hơn hoặc bằng
2.
Do đó, điều kiện cần là
(1)
0
∆ >
và phải chính phương.
(
)
(
)
(1)
1 8 1 8 7
b n b n
∆ = − − − = + −
Dễ thấy
( )
2
(1)
2 1 ,k k
∆ = + ∈
ℕ
Khi đó
( ) ( ) ( )
2
2
8 7 2 1 2 2
b n k b n k k
+ − = + ⇔ + = + +
.
2
1
2
k k
b n
+
⇔ = + −
.
Khi này,
(1)
2 1
k
∆ = +
và nghiệm nguyên dương duy nhất của (1) là
1 2 1
1
2
k
m k
+ +
= = +
.
Thay vào được
2 2
1 1
2 2
k k k k
a m b k n n
+ −
= − = + − + − = −
.
Sử dụng các điều kiện
1; 1
a b
≥ ≥
được hệ
Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com
Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2020 Sở GD&ĐT Khánh Hòa
VnDoc.com xin gửi tới bạn đọc bài viết Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2019 - 2020 Sở GD&ĐT Khánh Hòa để bạn đọc cùng tham khảo và có thêm tài liệu ôn tập cho kì thi học sinh giỏi sắp tới nhé. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết và tải về tại đây.
- Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2019 - 2020 trường chuyên Lê Quý Đôn, Quảng Trị
- Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2019 - 2020 Sở GD&ĐT Bình Phước
Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2019 - 2020 Sở GD&ĐT Khánh Hòa vừa được VnDoc.com sưu tập và xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo. Bài viết gồm có 5 câu tự luận, thí sinh làm trong thời gian 180 phút, đề có lời giải kèm theo. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết tại đây.
Trên đây VnDoc.com vừa giới thiệu tới các bạn Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2019 - 2020 Sở GD&ĐT Khánh Hòa, mong rằng qua bài viết này các bạn có thể học tập tốt hơn môn Toán 12. Mời các bạn cùng tham khảo thêm kiến thức các môn Ngữ văn 12, Tiếng Anh 12, đề thi học kì 1 lớp 12, đề thi học kì 2 lớp 12...
