Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2019 - 2020 Sở GD&ĐT Bình Phước
Đề thi HSG môn Toán lớp 12 có đáp án
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BÌNH PHƯỚC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
CẤP TỈNH LỚP 12 NĂM 2019
Môn: Toán.
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề).
Ngày thi: 22/09/2019.
Câu 1. (4 điểm) Cho hàm số
( )
1
1
x
y fx
x
+
= =
−
có đồ thị
( )
C
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )
C
của hàm số
( )
.y fx=
b) Tìm hai điểm
,AB
thuộc về hai nhánh của đồ thị
( )
C
sao cho
AB
ngắn nhất.
Câu 2. (6 điểm)
a) Giải phương trình:
( )
sin 2 cos2 cos 2cos2 sin 0x xx x x+ + −=
.
b) Giải hệ phương trình:
2 2 22
3
3
2 12 4 10
2 2 2 6 2
xy y y xy x
x xy x
− − ++ +=
− = ++
c) Có 27 tấm thẻ được đánh các số tự nhiên từ 1 đến 27 (mỗi thẻ đánh đúng một số). Rút ngẫu nhiên
ba thẻ. Tính xác suất để rút được ba thẻ mà tổng các số trên ba thẻ chia hết cho 3.
Câu 3. (4 điểm)
a) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ
Oxy
. Cho tam giác
ABC
nội tiếp đường tròn tâm
( )
2; 1I −−
,
= 90
,
( )
1; 3H −−
là hình chiếu vuông góc của
A
lên
BC
và
( )
1; 2K −
là một điểm thuộc
đường thẳng
AC
. Tìm tọa độ các đỉnh
,,ABC
. Biết rằng điểm
A
có hoành độ dương.
b) Cho tam giác
ABC
( )
.AB AC<
Đường phân giác trong góc
A
cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
tại điểm
D
. Gọi
E
là giao điểm của đường trung trực của đoạn thẳng
AC
và đường phân
giác ngoài của góc
A
. Gọi
H
là giao điểm của
DE
và
AC
. Đường thẳng qua
H
và vuông góc
với
DE
cắt
AE
tại
.F
Đường thẳng qua
F
vuông góc với
AE
cắt
AB
tại
.K
Chứng minh rằng
KH
song song
.BC
Câu 4. (3 điểm) Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật biết
, 2,AB a BC a= =
tam giác
SAB
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng
( )
.ABCD
a) Tính thể tích khối chóp
..S ACD
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
SC
và
.BD
Câu 5. (2 điểm) Cho
,,abc
là các số thực không âm thỏa
( )( )( )
0abbcac+ + +>
và
{ }
max ,a bc≥
.
Chứng minh rằng:
( )
7
11 15
2
22
a bc
a bc
bc ac ab a
++
+ ++ >
+ ++
Câu 6. (1 điểm) Cho dãy số
( )
n
u
xác định bởi
12 1 1
2019
2019
1; 2020; 1 , 2
1
n
nn
u
uu u un
nn
+−
= = = + + ∀≥
−
Tính
123
111 1
lim ...
n
n
uuu u
→+∞
+ + ++
.
………HẾT………
- Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay
- Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
7ҥL W j L O L ӉX PL ӇQ SKt KW W SV YQGRF F RP
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm có 01 trang)
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Bài 1.
Cho hàm số
( )
1
1
x
y f x
x
+
= =
−
có đồ thị
( )
C
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )
C
của hàm số
( )
y f x=
.
b) Tìm hai điểm
A
,
B
thuộc về hai nhánh của đồ thị
( )
C
sao cho
AB
ngắn nhất.
Lời giải
a)
( )
1
1
x
y f x
x
+
= =
−
+) Tập xác định:
{ }
\ 1D = ℝ
.
+)
( )
2
2
0
1
y
x
−
′
= <
−
, 1x∀ ≠ . Hàm số nghịch biến trên các khoảng
( )
;1−∞
và
( )
1;+∞
.
+)
y
′
không xác định tại 1x = .
+)
lim 1
x
y
→±∞
=
nên
1y =
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
+)
1
lim
x
y
−
→
= −∞
;
1
lim
x
y
+
→
= +∞
nên 1x = là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
+) Đồ thị
b) Giả sử
1
1
1
1
;
1
x
A x
x
+
−
;
2
2
2
1
;
1
x
B x
x
+
−
, với
1 2
1x x< <
.
Đặt
1
1x a= −
;
2
1x b= +
với
, 0a b >
.
( )
( )
( ) ( )
2
2
2 1
2
2 1
2 2
1 2
4
1 1
x x
AB x x
x x
−
= − +
− −
( )
( )
( )
2
2
2
4
a b
a b
ab
+
= + +
( )
2
2
2
1a b
ab
= + +
4
4 . 16ab
ab
≥ =
.
7ҥL W j L O L ӉX PL ӇQ SKt KW W SV YQGRF F RP
Dấu
" "
=
xảy ra khi và chỉ khi
2
1
a b
ab
=
=
2
2
a
b
=
⇔
=
. Vậy
(
)
1 2;1 2
A − −
,
(
)
1 2;1 2
B + +
.
Bài 2.
a)
Giải phương trình
(
)
sin 2 cos 2 cos 2 cos 2 sin 0
x x x x x
+ + − =
b) Giải hệ phương trình
( )
( )
2 2 2 2
3
3
2 1 2 4 1 0 1
2 2 2 6 2 2
xy y y xy x
x x y x
− − + + + =
− = + +
c) Có
27
tấm thẻ được đánh các số tự nhiên từ
1
đến 27 (mỗi thẻ đánh đúng một số). Rút ngẫu
nhiên ba thẻ. Tính xác suất để rút được ba thẻ mà tổng các số trên ba thẻ chia hết cho
3
.
Lời giải
a)
(
)
(
)
2
sin 2 cos 2 cos 2cos 2 sin 0 2sin cos cos 2 cos 2 sin 0
x x x x x x x x x x
+ + − = ⇔ + + − =
(
)
(
)
(
)
2
sin 2cos 1 cos2 cos 2 0 cos2 sin cos 2 0
x x x x x x x
⇔ − + − = ⇔ + − =
cos 2 0
4 2
sin cos 2 0
sin 2(PTVN)
4
k
x
x
x x
x
π π
π
= +
=
⇔ ⇔
+ − =
+ =
.
Vậy nghiệm của phương trình là
|
4 2
k
S k
π π
= + ∈
ℤ
.
b)ĐK:
0; 0
x y
≥ ≥
.
Nhận thấy
0; 0
x y
= =
không phải là nghiệm của hệ phương trình do đó ta chỉ xét
0, 0
x y
> >
.
Ta có:
(
)
(
)
2 2 2 2 2 2 2
2
2
2 1 2 4 1 0 2 1 4 1 1
1 1
2 1 4 1 1
xy y y xy x xy x y y
x x
y y
− − + + + = ⇔ + + = + +
⇔ + + = + +
Xét hàm số
( )
(
)
2
1 1 , 0
f t t t t
= + + >
,
( )
2
2
2
1 1 0
1
t
f t t
t
′
= + + + >
+
.
Hàm số
(
)
f t
đồng biến trên
(
)
0;
+∞
dó đó ta có
(
)
( )
2
2
1 1 1 1 1
2 1 4 1 1 2 2
2
x x f x f x y
y y y y x
+ + = + + ⇔ = ⇔ = ⇔ =
Thay vào phương trình
(
)
2
ta có:
7ҥL W j L O L ӉX PL ӇQ SKt KW W SV YQGRF F RP
Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2020 Sở GD&ĐT Bình Phước
VnDoc.com xin gửi tới bạn đọc bài viết Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2019 - 2020 Sở GD&ĐT Bình Phước để bạn đọc cùng tham khảo và có thêm tài liệu ôn tập cho kì thi học sinh giỏi sắp tới nhé. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết tại đây.
- Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2019 - 2020 trường chuyên Lê Quý Đôn, Quảng Trị
- Đề thi học sinh giỏi cấp thành phố môn Toán lớp 12 năm học 2019 - 2020 Sở GD&ĐT Hải Phòng
Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2019 - 2020 Sở GD&ĐT Bình Phước vừa được VnDoc.com sưu tập và xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo. Bài viết gồm có 6 câu tự luận, thí sinh làm đề trong thời gian 180 phút và có lời giải kèm theo. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết và tải về.
Trên đây VnDoc.com vừa giới thiệu tới các bạn Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2019 - 2020 Sở GD&ĐT Bình Phước, mong rằng qua bài viết này các bạn có thể học tập tốt hơn môn Toán lớp 12. Mời các bạn cùng tham khảo thêm kiến thức các môn Ngữ văn 12, Tiếng Anh 12, đề thi học kì 1 lớp 12, đề thi học kì 2 lớp 12...
