Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2019 - 2020 trường Lê Quý Đôn, Hà Nội

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT LÊ QUÝ ĐÔN - ĐỐNG ĐA
(Đề gồm 01 trang)
ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG 12
MÔN: TOÁN
NĂM HỌC: 2019 - 2020
Thời gian làm bài 180 phút
Câu 1 (4 điểm).
Tìm
m
để đồ thị hàm số
3 2
3 2
y x x mx m
cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
, ,A B C
sao cho tổng hệ số góc của các tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại các điểm
, ,A B C
bằng 3.
Câu 2 (6 điểm).
a. Giải phương trình:
2sin 2 cos2 2 2 sin 2 .cos sin 2cos .x x x x x x
b. Giải hệ phương trình:
3 2
2
2 2 1
.
3 2 0
x y x xy
x x y
Câu 3 (4 điểm).
Cho dãy số
n
u
xác định bởi
1
*
2
1
2020
, .
2019
2 2
n n n
u
n
u u u
Đặt
1 2
1 1 1
...
2 2 2
n
n
S
u u u
. Tính
Câu 4 (4 điểm).
Cho hình chóp tam giác đều
.
S ABC
có cạnh đáy bằng 1. Gọi
,M N
là hai điểm thay
đổi lần lượt thuộc các cạnh
,AB AC
sao cho mặt phẳng
SMN
luôn vuông góc với
mặt phẳng
ABC
. Đặt
, .AM x AN y
a. Chứng minh rằng
3 .x y xy
b. Tìm
,x y
để
SMN
có diện tích bé nhất, lớn nhất.
Câu 5 (2 điểm).
Cho
, , a b c
là các số thực dương thoả mãn
3
a b c
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức.
3
2
.
3 6 1 1 1
abc abc
P
ab bc ca a b c
----------------------- HẾT -----------------------
Thí sinh không sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com
ĐÁP ÁN ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI 12
CÂU Ý NỘI DUNG ĐIỂM
1
Tìm m để đồ thị hàm số
3 2
3 2
y x x mx m
cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
, ,A B C
sao cho tổng h số góc của các tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại các điểm
, ,A B C
bằng 3.
4
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình
3 2
3 2 0 (1)
x x mx m có 3 nghiệm phân biệt.
3 2 2
3 2 0 ( 1)( 2 2) 0
x x mx m x x x m
1,0
Phương trình (1) 3 nghiệm phân biệt
2
2 2 0
x x m
(2) hai nghiệm phân
biệt khác 1
(*)
' 3 0
3
1 2 2 0
m
m
m
.
1,0
Gọi
1 2
,x x
nghiệm của phương trình (2), suy ra tổng hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị
hàm số tại giao điểm
, ,A B C
là:
2
1 2 1 2 1 2 1 2
'(1) '( ) '( ) 3( ) 6 6( ) 3 3 9 3y y x y x x x x x x x m m
1,5
Tổng HSG của các tiếp tuyến bằng 3
9 3 3 2
m m
(t/m đk (*)).
ĐS:
2
m
0.5
2
a
Giải phương trình:
2sin 2 cos2 2 2 sin 2 .cos sin 2cosx x x x x x
1,0
2
os2x = 2 sin 2x.cosx - sin2x 2 sin x - sin2x 2 2
cosx - 2
2 os 1 sin 2x 2 osx -1 2 sinx 2 osx -1 2 2 osx -1
c
c x c c c
1,0
2 osx +1 2 osx -1 2 osx -1 sin 2x - 2 sinx +2
1
osx = 1
2
2 sinx + cosx 2sinx.cosx - 1 = 0 2
c c c
c
0.5
+ (1)
2
4
x k
+ (2)
2
4 4
x k x k
,
Kết luận phương trình có 3 họ nghiệm : ………..
0.5
Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com
b
Giải hệ phương trình:
3 2
2
2 2 1
3 2
x y x xy
x x y
.
3
Viết lại hệ:
2
2
2 1
2 2
x x x y
x x x y
1,0
Đặt
2
2 ,
u x x v x y
. Dễ có:
1
u
.
Hệ trở thành:
. 1
2
u v
u v
0.5
Suy ra:
1
1
u
v
0.5
Ta có
2
2 1
1
x x
x y
0.5
1
0
x
y
0.5
3
Cho dãy số
n
u
xác định bởi:
1
*
2
1
2020
,
2019
2 2
n n n
u
n
u u u
Đặt
1 2
1 1 1
...
2 2 2
n
n
S
u u u
. Tính:
lim
n
S
.
4
Ta chứng minh
*
1, (1)
n
u n
bằng phương pháp qui nạp toán học.
Với
1
2020
1, 1 (1)
2019
n u
đúng với
1
n
.
Giả sử (1) đúng với
( 1)
n k k
ta có
1
k
u gtqn
. Ta phải chứng minh (1) đúng với
1n k
tức là phải chứng minh
1
1
k
u
.
Thật vậy
2 2 2
1 1 1
2 2( 1)
1
1 1 0 1 0 1.
2 2 2 2
k k k k k
k k k
u u u u u
u u u
Theo nguyên lý qui nạp toán học ta có
*
1,
n
u n
Mặt khác
2 *
1
0,
n n n n
u u u u n
vì dãy số
1
n
u
nên dãy số
n
u
là dãy số
tăng.
1,0
Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2020 trường Lê Quý Đôn, Hà Nội

VnDoc.com xin gửi tới bạn đọc bài viết Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2019 - 2020 trường Lê Quý Đôn, Hà Nội để bạn đọc cùng tham khảo và có thêm tài liệu ôn tập cho kì thi học sinh giỏi sắp tới nhé. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết và tải về tại đây.

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2019 - 2020 trường Lê Quý Đôn, Hà Nội vừa được VnDoc.com sưu tập và xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo. Bài viết gồm có 5 câu tự luận, thí sinh làm đề trong thời gian 180 phút, đề có đáp án kèm theo. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết tại đây.

Trên đây VnDoc.com vừa giới thiệu tới các bạn Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2019 - 2020 trường Lê Quý Đôn, Hà Nội, mong rằng qua bài viết này các bạn có thể học tập tốt hơn môn Toán lớp 12. Mời các bạn cùng tham khảo thêm kiến thức các môn Ngữ văn 12, Tiếng Anh 12, đề thi học kì 1 lớp 12, đề thi học kì 2 lớp 12...

Đánh giá bài viết
1 81
0 Bình luận
Sắp xếp theo
Thi học sinh giỏi lớp 12 Xem thêm