VnDoc.com

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2019 - 2020 trường Lê Quý Đôn, Hà Nội

Đề thi HSG môn Toán lớp 12 có đáp án

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI

TRƯỜNG THPT LÊ QUÝ ĐÔN - ĐỐNG ĐA

(Đề gồm 01 trang)

ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG 12

MÔN: TOÁN

NĂM HỌC: 2019 - 2020

Thời gian làm bài 180 phút

Câu 1 (4 điểm).

Tìm

m

để đồ thị hàm số

3 2

y x x mx m    

cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

, ,A B C

sao cho tổng hệ số góc của các tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại các điểm

, ,A B C

bằng 3.

Câu 2 (6 điểm).

a. Giải phương trình:

 

2sin 2 cos2 2 2 sin 2 .cos sin 2cos .x x x x x x

    

b. Giải hệ phương trình:

 

3 2

2

2 2 1

.

3 2 0

x y x xy

x x y



   





   





Câu 3 (4 điểm).

Cho dãy số

 

n

u

xác định bởi

1

*

2

1

2020

, .

2019

2 2

n n n

u

n

u u u















 





Đặt

1 2

1 1 1

...

2 2 2

n

S

u u u

   

  

. Tính

lim .

n

S

Câu 4 (4 điểm).

Cho hình chóp tam giác đều

.

S ABC

có cạnh đáy bằng 1. Gọi

,M N

là hai điểm thay

đổi lần lượt thuộc các cạnh

,AB AC

sao cho mặt phẳng

 

SMN

luôn vuông góc với

mặt phẳng

 

ABC

. Đặt

, .AM x AN y 

a. Chứng minh rằng

3 .x y xy 

b. Tìm

,x y

để

SMN

có diện tích bé nhất, lớn nhất.

Câu 5 (2 điểm).

Cho

, , a b c

là các số thực dương thoả mãn

3

a b c

  

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu

thức.

   

3

2

.

3 6 1 1 1

abc abc

P

ab bc ca a b c

  

     

----------------------- HẾT -----------------------

Thí sinh không sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com

ĐÁP ÁN ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI 12

CÂU Ý NỘI DUNG ĐIỂM

1

Tìm m để đồ thị hàm số

3 2

y x x mx m    

cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

, ,A B C

sao cho tổng hệ số góc của các tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại các điểm

, ,A B C

bằng 3.

4

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình

3 2

3 2 0 (1)

x x mx m     có 3 nghiệm phân biệt.

3 2 2

3 2 0 ( 1)( 2 2) 0

x x mx m x x x m

          

1,0

Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt

2

2 2 0

x x m

    

(2) có hai nghiệm phân

biệt khác 1

(*)

' 3 0

3

1 2 2 0

m

   



  



   



.

1,0

Gọi

1 2

,x x

là nghiệm của phương trình (2), suy ra tổng hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị

hàm số tại giao điểm

, ,A B C

là:

2

1 2 1 2 1 2 1 2

'(1) '( ) '( ) 3( ) 6 6( ) 3 3 9 3y y x y x x x x x x x m m

          

1,5

Tổng HSG của các tiếp tuyến bằng 3

9 3 3 2

m m

    

(t/m đk (*)).

ĐS:

2

m



0.5

2

a

Giải phương trình:

 

2sin 2 cos2 2 2 sin 2 .cos sin 2cosx x x x x x

    

1,0

     

2

os2x = 2 sin 2x.cosx - sin2x 2 sin x - sin2x 2 2

cosx - 2

2 os 1 sin 2x 2 osx -1 2 sinx 2 osx -1 2 2 osx -1

c

c x c c c

  

    

1,0

    

 

   

2 osx +1 2 osx -1 2 osx -1 sin 2x - 2 sinx +2

1

osx = 1

2

2 sinx + cosx 2sinx.cosx - 1 = 0 2

c c c

c

 

 

 













0.5

+ (1)

2

4

x k



   

+ (2)

2

4 4

x k x k

 

      

,

Kết luận phương trình có 3 họ nghiệm : ………..

0.5

Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com

b

Giải hệ phương trình:

 

3 2

2

2 2 1

3 2

x y x xy

x x y



   





   





.

3

Viết lại hệ:

 

2

2 1

2 2

x x x y



  





    





1,0

Đặt

2

2 ,

u x x v x y   

. Dễ có:

1

u

 

.

Hệ trở thành:

. 1

2

u v







  



0.5

Suy ra:

1

u

v

 





 



0.5

Ta có

2

2 1

1

x x

x y



  



  



0.5

1

0

x

y

 









0.5

3

Cho dãy số

 

n

u

xác định bởi:

1

*

2

1

2020

,

2019

2 2

n n n

u

n

u u u















 





Đặt

1 2

1 1 1

...

2 2 2

n

S

u u u

   

  

. Tính:

lim

n

S

.

4

Ta chứng minh

*

1, (1)

n

u n  



bằng phương pháp qui nạp toán học.

Với

1

2020

1, 1 (1)

2019

n u   

đúng với

1

n



.

Giả sử (1) đúng với

( 1)

n k k

 

ta có

 

1

k

u gtqn



. Ta phải chứng minh (1) đúng với

1n k 

tức là phải chứng minh

1

k

u





.

Thật vậy

2 2 2

1 1 1

2 2( 1)

1

1 1 0 1 0 1.

2 2 2 2

k k k k k

k k k

u u u u u

u u u

  

  

           

Theo nguyên lý qui nạp toán học ta có

*

1,

n

u n

  

Mặt khác

2 *

1

0,

n n n n

u u u u n



     



vì dãy số

1

n

u



nên dãy số

 

n

u

là dãy số

tăng.

1,0

Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2020 trường Lê Quý Đôn, Hà Nội

VnDoc.com xin gửi tới bạn đọc bài viết Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2019 - 2020 trường Lê Quý Đôn, Hà Nội để bạn đọc cùng tham khảo và có thêm tài liệu ôn tập cho kì thi học sinh giỏi sắp tới nhé. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết và tải về tại đây.

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2019 - 2020 trường Lê Quý Đôn, Hà Nội vừa được VnDoc.com sưu tập và xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo. Bài viết gồm có 5 câu tự luận, thí sinh làm đề trong thời gian 180 phút, đề có đáp án kèm theo. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết tại đây.

Trên đây VnDoc.com vừa giới thiệu tới các bạn Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2019 - 2020 trường Lê Quý Đôn, Hà Nội, mong rằng qua bài viết này các bạn có thể học tập tốt hơn môn Toán lớp 12. Mời các bạn cùng tham khảo thêm kiến thức các môn Ngữ văn 12, Tiếng Anh 12, đề thi học kì 1 lớp 12, đề thi học kì 2 lớp 12...