Toán học

Số chính phương là gì?

Số chính phương là số bằng bình phương của một số nguyên.

Tức là: Nếu n là số chính phương thì n = k² (k ∈ Z)

Ví dụ: 4 = 2², 9 = 3², 100 = 10²

Một số tính chất

Số chính phương tận cùng bằng 1, 4 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.

Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2.

Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.

Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.

Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9.

Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25.

Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.

Mọi số chính phương khi chia cho 5, cho 8 chỉ dư 1, 0, 4

Số chính phương chia cho 4 hoặc 3 không bao giờ có số dư là 2

Số chính phương lẻ khi chia 8 luôn dư 1.

Một số tính chất

Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9; không bao giờ có chữ số tận cùng bằng 2, 3, 7, 8.

Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn.

Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n + 1. Không có số chính phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n ∈ N).

Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n + 1. Không có số chính phương nào có dạng 3n + 2 (n ∈ N).

Số chính phương tận cùng bằng 1, 4 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.

Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2.

Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.

Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.

Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9.

Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25.

Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.

Mọi số chính phương khi chia cho 5, cho 8 chỉ dư 1, 0, 4

Số chính phương chia cho 4 hoặc 3 không bao giờ có số dư là 2

Số chính phương lẻ khi chia 8 luôn dư 1.

Ta có: n⁶ - n ⁴ + 2n³ + 2n² = n². (n⁴ - n² + 2n +2)

= n². [n²(n-1)(n+1) +2(n+1)]

= n²[(n+1)(n³ - n² + 2)]

= n²(n + 1) . [(n³ + 1) - (n² - 1)]

= n²(n + 1)² . (n² - 2n + 2)

Với nN, n > 1 thì n² - 2n + 2 = ( n -1)² + 1 > ( n - 1)²

Và n² - 2n + 2 = n² - 2(n - 1) < n²

Vậy (n - 1)² < n² - 2n + 2 < n² => n² - 2n + 2 không phải là một số chính phương.

Ta có:

k(k + 1)(k + 2) = k (k + 1)(k + 2). 4

= k(k + 1)(k + 2).

= k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - k(k + 1)(k + 2)(k - 1)

=> 4S =1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + . . . + k(k + 1)(k + 2)(k + 3)

- k(k + 1)(k + 2)(k - 1) = k(k + 1)(k + 2)(k + 3)

=> 4S + 1 = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1

Theo kết quả bài 2 => k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1 là số chính phương.

# Bài toán về quãng đường nhảy xa của lực sĩ Báo

**Đề bài:**

Lực sĩ Báo thi nhảy xa năm bước. Ba bước đầu của lực sĩ là 605cm, hai bước nhảy cuối cùng của lực sĩ là 580cm.

a) Lực sĩ Báo nhảy được tổng cộng ......... cm

b) Lực sĩ Báo nhảy được tổng cộng ......... m ......... cm

**Giải:**

a) Tính tổng quãng đường lực sĩ Báo nhảy được (tính bằng cm)

Tổng quãng đường = Ba bước đầu + Hai bước cuối

Tổng quãng đường = 605 cm + 580 cm = 1185 cm

b) Chuyển đổi kết quả từ cm sang m và cm

Để chuyển từ cm sang m, ta chia cho 100:

1185 cm = 1185 ÷ 100 = 11,85 m

Viết dưới dạng m và cm:

1185 cm = 11 m 85 cm

**Đáp số:**

a) Lực sĩ Báo nhảy được tổng cộng 1185 cm

b) Lực sĩ Báo nhảy được tổng cộng 11 m 85 cm

Gọi chiều dài là: x (x > 0)

⇒ Chiều rộng hình chữ nhật sẽ là: x−17

Áp dụng định lý Pi-ta-go , ta có phương trình:

x²+(x−17)²=25²

⇔ x² + x² − 34 +17²=25²

⇔ 2x² − 34x + 289 =625

⇔2x² − 34x − 336=0

⇔ x² − 17x − 168 =0

⇔(x−24)(x+7)=0

=> x=24 (tmđk) và x = -7 (loại)

⇒ Chiều dài của hình chữ nhật là: 24 (m)

⇒ Chiều rộng hình chữ nhật là: 24−17=7 (m)

⇒ Diện tích hình chữ nhật là: 24.7=168 (m²)

a) Bước 1: Xếp 5 viên bi trắng thành hàng ngang ta có 5! cách xếp.

Bước 2: Ứng với 5 viên bi trắng đã được xếp vị trí ta xếp 4 viên bi xanh vào các vị trí xen kẽ bởi hai bi trắng có 4! cách xếp.

=> Có tất cả là 5!.4! = 2 880 cách.

b) Bước 1: Xếp 4 viên bi xanh thành hàng ngang ta có 4! cách xếp.

Bước 2: Ứng với 4 viên bi xanh đã được xếp vị trí, giả sử 4 viên bi xanh là một viên bi

Do đó ta cần xếp 6 viên bi thành một hàng có 6! cách xếp.

Vậy có tất cả 6!.4! = 17 280 cách.

a)

b) Gọi A là biến cố “Trong hai thẻ lấy ra có ít nhất 1 thẻ màu đỏ”.

Có 4 kết quả thuận lợi cho biến cố A là {XĐ, ĐX, ĐĐ, VĐ}

⇒ P(A) = \(\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\)

$n(\Omega )$= 6.6.6 = 216

a) A: “Tổng số chấm xuất hiện nhỏ hơn 5”.

Ta có: 1 + 1 + 1 = 3 < 5;

1 + 1 + 2 = 4 < 5

Các kết quả thuận lợi cho biến cố A là: A = {(1; 1; 1); (1; 1; 2); (1; 2; 1); (2; 1; 1)}.

⇒ n(A) = 4

⇒ P(A) = \(\frac{4}{216}=\frac{1}{54}\)

b) B: “Tích số chấm xuất hiện chia hết cho 5”.

Tích số chấm của ba con xúc xắc chia hết cho 5 thì trong đó phải có ít nhất một con xúc xắc có số chấm chia hết cho 5.

Do đó có thể hiểu B: “Xuất hiện ít nhất một mặt có 5 chấm”.

\(\overline{B}\): “Không xuất hiện mặt 5 chấm nào”.

=> n(\(\overline{B}\)) = 5.5.5 = 125.

⇒ P(\(\overline{B}\)) = \(\frac{125}{216}\)

⇒ P(B) = $1-P(\backslash (\backslash overline\{B\}\backslash ))=\; \backslash (1-\backslash frac\{125\}\{216\}=\backslash frac\{91\}\{216\}\backslash )$

Gieo bốn đồng xu cân đối và đồng chất, mỗi đồng xu có hai kết quả là sấp (S) hoặc ngửa (N) nên số kết quả có thể có khi gieo bốn đồng xu là: n_($\Omega$) = 2.2.2.2 = 16.

a) A: “Xuất hiện ít nhất ba mặt sấp”

\(\overline{A}\): “Xuất hiện nhiều nhất hai mặt sấp”

Các kết quả xảy ra cho biến cố A là: {(N; S; S; S); (S; N; S; S); (S; S; N; S); (S; S; S; N); (S; S; S; S)}.

⇒ n(A) = 5.

⇒ P(A) = \(\frac{5}{16}\)

⇒ P(\(\overline{A}\)) = 1 – P(A) = \(1-\frac{5}{16}=\frac{11}{16}\)

b) B: “Xuất hiện ít nhất một mặt ngửa”

\(\overline{B}\): “Không xuất hiện mặt ngửa”. => {(S; S; S; S)}.

⇒ n(\(\overline{B}\)) = 1.

⇒ P(\(\overline{B}\)) = \(\frac{1}{16}\)

⇒ P(B) = 1 – P(\(\overline{B}\)) = \(1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}\)

a) \(\Omega\) = {100; 101; 102; 103; ...; 997; 998; 999} = \(\left \{ k∊N*|100≤k≤999 \right \}\)

=> n_\(\Omega\) = (999 – 100) : 1 + 1 = 900 số

b) A: “Số được chọn là lập phương của một số nguyên”

Ta có:

⇒ n(A) = 5.

⇒ P(A) = \(\frac{5}{900}=\frac{1}{180}\)

c) B: “Số được chọn chia hết cho 5”.

Số chia hết cho 5 là các số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.

Các số đó là: 100; 105; 200; 205; ...; 995.

⇒ n(B) = (995 – 100):5 + 1 = 180.

⇒ P(B) = \(\frac{180}{900}=\frac{1}{5}\)