Toán học

Số chính phương là gì?

Số chính phương là số bằng bình phương của một số nguyên.

Tức là: Nếu n là số chính phương thì n = k² (k ∈ Z)

Ví dụ: 4 = 2², 9 = 3², 100 = 10²

Một số tính chất

Số chính phương tận cùng bằng 1, 4 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.

Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2.

Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.

Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.

Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9.

Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25.

Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.

Mọi số chính phương khi chia cho 5, cho 8 chỉ dư 1, 0, 4

Số chính phương chia cho 4 hoặc 3 không bao giờ có số dư là 2

Số chính phương lẻ khi chia 8 luôn dư 1.

Một số tính chất

Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9; không bao giờ có chữ số tận cùng bằng 2, 3, 7, 8.

Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn.

Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n + 1. Không có số chính phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n ∈ N).

Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n + 1. Không có số chính phương nào có dạng 3n + 2 (n ∈ N).

Số chính phương tận cùng bằng 1, 4 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.

Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2.

Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.

Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.

Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9.

Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25.

Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.

Mọi số chính phương khi chia cho 5, cho 8 chỉ dư 1, 0, 4

Số chính phương chia cho 4 hoặc 3 không bao giờ có số dư là 2

Số chính phương lẻ khi chia 8 luôn dư 1.

Ta có: n⁶ - n ⁴ + 2n³ + 2n² = n². (n⁴ - n² + 2n +2)

= n². [n²(n-1)(n+1) +2(n+1)]

= n²[(n+1)(n³ - n² + 2)]

= n²(n + 1) . [(n³ + 1) - (n² - 1)]

= n²(n + 1)² . (n² - 2n + 2)

Với nN, n > 1 thì n² - 2n + 2 = ( n -1)² + 1 > ( n - 1)²

Và n² - 2n + 2 = n² - 2(n - 1) < n²

Vậy (n - 1)² < n² - 2n + 2 < n² => n² - 2n + 2 không phải là một số chính phương.

Ta có:

k(k + 1)(k + 2) = k (k + 1)(k + 2). 4

= k(k + 1)(k + 2).

= k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - k(k + 1)(k + 2)(k - 1)

=> 4S =1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + . . . + k(k + 1)(k + 2)(k + 3)

- k(k + 1)(k + 2)(k - 1) = k(k + 1)(k + 2)(k + 3)

=> 4S + 1 = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1

Theo kết quả bài 2 => k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1 là số chính phương.

# Bài toán về quãng đường nhảy xa của lực sĩ Báo

**Đề bài:**

Lực sĩ Báo thi nhảy xa năm bước. Ba bước đầu của lực sĩ là 605cm, hai bước nhảy cuối cùng của lực sĩ là 580cm.

a) Lực sĩ Báo nhảy được tổng cộng ......... cm

b) Lực sĩ Báo nhảy được tổng cộng ......... m ......... cm

**Giải:**

a) Tính tổng quãng đường lực sĩ Báo nhảy được (tính bằng cm)

Tổng quãng đường = Ba bước đầu + Hai bước cuối

Tổng quãng đường = 605 cm + 580 cm = 1185 cm

b) Chuyển đổi kết quả từ cm sang m và cm

Để chuyển từ cm sang m, ta chia cho 100:

1185 cm = 1185 ÷ 100 = 11,85 m

Viết dưới dạng m và cm:

1185 cm = 11 m 85 cm

**Đáp số:**

a) Lực sĩ Báo nhảy được tổng cộng 1185 cm

b) Lực sĩ Báo nhảy được tổng cộng 11 m 85 cm

a) Xét phương trình: 4x² + 16y² = 1

=> \(\frac{x^2}{\frac{1}{4}}+\frac{y^2}{\frac{1}{16}}=1\)

=> \(\frac{x^2}{\left(\frac{1}{2}\right)^2}+\frac{y^2}{\left(\frac{1}{4}\right)^2}=1\)

Đây là phương trình chính tắc của elip với a = 1/2 và b = 1/4

Ta có: b² + c² = a²

=> c = \(\frac{\sqrt{3}}{4}\)

Khi đó tọa độ các tiêu điểm của elip là F₁$(\backslash (\backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{4\}\backslash );0)$và F₂$(-\backslash (\backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{4\}\backslash );0)$

b) Xét phương trình 16x² – 4y² = 144

=> \(\frac{16x^2}{144}-\frac{4y^2}{144}=1\)

=> \(\frac{x^2}{\frac{144}{16}}-\frac{y^2}{\frac{144}{4}}=1\)

=> \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{36}=1\)

Đây là phương trình chính tắc của hypebol với a = 3 và b = 6.

Ta có: a² + b² = c²

⇔ c² = 3² + 6² = 9 + 36 = 45

⇔ c = \(3\sqrt{5}\)

Khi đó tọa độ các tiêu điểm của hypebol là F₁$(\backslash (3\backslash sqrt\{5\}\backslash );0)$ và F₂$\left(-\backslash (3\backslash sqrt\{5\}\backslash );0\right)$

c) Ta có: x= \(\frac{1}{8}\)y²⇔ y² = 8x

Ta thấy phương trình (C₃) có dạng y² = 2px nên (C₃) là phương trình của parabol và p = 4.

⇒ Tọa độ tiêu điểm của (C₃) là F(2; 0).

Hình elip có độ dài trục lớn là 80 cm nên 2a = 80 => a = 40

Độ dài trục nhỏ là 40 cm nên 2b = 40 => b = 20

=> \(c=\sqrt{a^2-b^2}=20\sqrt{3}\) cm

=> 2c = \(40\sqrt{3}\)

⇒ F₁F₂ = \(40\sqrt{3}\)

Do đó hai cái đinh cách mép chiều dài của tấm ván là 20 cm, cách mép chiều rộng của tấm ván là:

(80 - \(40\sqrt{3}\)) : 2 ≈5,36 cm.

Độ dài vòng dây là MF₁ + MF₂ + F₁F₂ = 2a + 2c = 2.40 + 2.\(20\sqrt{3}\) ≈ 149,28 cm.

a, Ta có: AB < AC < BC

=> C < B< A

b, Xét tam giác BCD có CA và DK là đường trung tuyến

CA cắt DK tại M

=> M là trọng tâm tam giác BCD

=> MC= 2/3 AC= 2/3.8= 16/3 cm

c, Xét tam giác ABC và tam giác ADC có:

AB = AD

BAC= DAC= 90°AC chung

=> tam giác ABC = tam giác ADC (cgc)

=> ACB= ACD (2 góc tương ứng) và BC = DC ( 2 cạnh tương ứng) (1)

KQ là đường trung trực của AC

=> KQ vuông góc với AC tại E

Xét tam giác KCE và tam giác QCE có:

KCE= QCE

EC chung

KEC= QEC=90°

=> tam giác KCE = tam giác QCE (gcg)

=> KC = QC (2 cạnh tương ứng) (2)

Mà K là trung điểm BC (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra Q là trung điểm của DC

Xét tam giác BCD có M là trong tâm

=> M thuộc đường trung tuyến BQ

=> B, M, Q thẳng hàng

#buiphuongmai

\(\frac{4}{7}:x=\frac{5}{15}\)

\(x=\frac{4}{7}:\frac{5}{15}\)

\(x=\frac{12}{7}\)