Toán học

Số chính phương là gì?

Số chính phương là số bằng bình phương của một số nguyên.

Tức là: Nếu n là số chính phương thì n = k² (k ∈ Z)

Ví dụ: 4 = 2², 9 = 3², 100 = 10²

Một số tính chất

Số chính phương tận cùng bằng 1, 4 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.

Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2.

Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.

Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.

Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9.

Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25.

Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.

Mọi số chính phương khi chia cho 5, cho 8 chỉ dư 1, 0, 4

Số chính phương chia cho 4 hoặc 3 không bao giờ có số dư là 2

Số chính phương lẻ khi chia 8 luôn dư 1.

Một số tính chất

Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9; không bao giờ có chữ số tận cùng bằng 2, 3, 7, 8.

Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn.

Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n + 1. Không có số chính phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n ∈ N).

Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n + 1. Không có số chính phương nào có dạng 3n + 2 (n ∈ N).

Số chính phương tận cùng bằng 1, 4 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.

Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2.

Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.

Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.

Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9.

Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25.

Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.

Mọi số chính phương khi chia cho 5, cho 8 chỉ dư 1, 0, 4

Số chính phương chia cho 4 hoặc 3 không bao giờ có số dư là 2

Số chính phương lẻ khi chia 8 luôn dư 1.

Ta có: n⁶ - n ⁴ + 2n³ + 2n² = n². (n⁴ - n² + 2n +2)

= n². [n²(n-1)(n+1) +2(n+1)]

= n²[(n+1)(n³ - n² + 2)]

= n²(n + 1) . [(n³ + 1) - (n² - 1)]

= n²(n + 1)² . (n² - 2n + 2)

Với nN, n > 1 thì n² - 2n + 2 = ( n -1)² + 1 > ( n - 1)²

Và n² - 2n + 2 = n² - 2(n - 1) < n²

Vậy (n - 1)² < n² - 2n + 2 < n² => n² - 2n + 2 không phải là một số chính phương.

Ta có:

k(k + 1)(k + 2) = k (k + 1)(k + 2). 4

= k(k + 1)(k + 2).

= k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - k(k + 1)(k + 2)(k - 1)

=> 4S =1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + . . . + k(k + 1)(k + 2)(k + 3)

- k(k + 1)(k + 2)(k - 1) = k(k + 1)(k + 2)(k + 3)

=> 4S + 1 = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1

Theo kết quả bài 2 => k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1 là số chính phương.

# Bài toán về quãng đường nhảy xa của lực sĩ Báo

**Đề bài:**

Lực sĩ Báo thi nhảy xa năm bước. Ba bước đầu của lực sĩ là 605cm, hai bước nhảy cuối cùng của lực sĩ là 580cm.

a) Lực sĩ Báo nhảy được tổng cộng ......... cm

b) Lực sĩ Báo nhảy được tổng cộng ......... m ......... cm

**Giải:**

a) Tính tổng quãng đường lực sĩ Báo nhảy được (tính bằng cm)

Tổng quãng đường = Ba bước đầu + Hai bước cuối

Tổng quãng đường = 605 cm + 580 cm = 1185 cm

b) Chuyển đổi kết quả từ cm sang m và cm

Để chuyển từ cm sang m, ta chia cho 100:

1185 cm = 1185 ÷ 100 = 11,85 m

Viết dưới dạng m và cm:

1185 cm = 11 m 85 cm

**Đáp số:**

a) Lực sĩ Báo nhảy được tổng cộng 1185 cm

b) Lực sĩ Báo nhảy được tổng cộng 11 m 85 cm

a) Quãng đường từ bến xe buýt đến quê là:

85 - 10 = 75 km

1 giờ 30 phút = 1,5 giờ

Vận tốc xe buýt là:

75 : 1,5 giờ = 50 km/giờ

b) Thời gian người đó đi từ nhà đến quê là:

15 phút + 1 giờ 30 phút = 1 giờ 45 phút

Người đó đến quê lúc:

6 giờ 30 phút + 1 giờ 45 phút = 8 giờ 15 phút

Đáp số: a) 50km/giờ; b) 8 giờ 15 phút

i) 5,32 - (19,25 + 5,32)

= 5,32 - 24,57

= - 19,25

j) (-1,9).5,3 + (-1,9).4,7

= (- 1,9).(5,3 + 4,7)

= - 1,9 . 1 = - 1,9

k) 2,9 + (-12,8) + (-2,9)

= 2,9 + (-2,9) + (-12,8)

= 0 + (-12,8) = -12,8

m) 19,7 + (-4,5) : 0,5

= 19,7 + (- 9)

= 10,7

n) (-5,8) + (-14,5) + 5,8

= (-5,8)+ 5,8 + (-14,5)

= 0 + (-14,5) = -14,5

o) 12,7 + (-3,5) : 0,5

= 12,7 + (- 7)

= 5,7

p) 8,26 - (25,14 + 8,26)

= 8,26 - 25,14 - 8,26

= - 25,14

q) (-5,4). 3,6 + (-5,4).6.4

= - 5,4 . (3,6 +6,4)

= -5,4 .1 = - 5,4

e) \(\hat{EAC}=30^{\circ}\)

=> \(\hat{AEC}=60^{\circ} = \hat{DEB}\) (2 góc đối đỉnh)

=> \(\hat{EBD} =30^{\circ}\)

Xét tam giác vuông BCF và tam giác vuông BCA có:

\(\hat{FBC} = \hat{ABC} =30^{\circ}\)

BC chung

=> tam giác BCF = tam giác BCA (gcg)

=> CF = CA (2 cạnh tương ứng)

=> C là trung điểm của AF

Xét tam giác vuông ABD và tam giác vuông AFD có:

\(\hat{BAD} = \hat{FAD}\)

AD chung

=> tam giác BCF = tam giác BCA (gcg)

=> BD = DF (2 cạnh tương ứng)

=> D là trung điểm của BF

Xét tam giác ABF có BC và AD là đường trung tuyến cắt nhau tại E

=> E là trọng tâm tam giác ABF

f) Ta có BF = BA (tg BFC = tg BAC)

BA = AF (tg ABD = tg AFD)

=> AB = AF = BF

=> Tam giác ABF là tam giác đều

Bài 3:

Thời gian xe máy đi trước ô tô là:

11 giờ 7 phút – 8 giờ 37 phút = 2 giờ 30 phút = 2,5 giờ.

Đến 11 giờ 7 phút xe máy đã đi được quãng đường là:

36 x 2,5 = 90 (km)

Sau mỗi giờ, ô tô đến gần xe máy là:

54 – 36 = 18 (km).

Thời gian để ô tô đuổi kịp xe máy là:

90 : 18 = 5 (giờ).

Ô tô đuổi kịp xe máy lúc:

11 giờ 7 phút + 5 giờ = 16 giờ 7 phút (hay 4 giờ 7 phút chiều).

Đáp số: 16 giờ 7 phút.

b) Ta có tam giác AHB đồng dạng với tam giác AMH (cma)

=> \(\frac{AH}{AM}=\frac{AB}{AH}\) => AH² = AM. AB (1)

Ta có tam giác AHC đồng dạng với tam giác ANH (cma)

=> \(\frac{AH}{AN}=\frac{AC}{AH}\) => AH² = AN.AC (2)

Từ (1) và (2) suy ra AM.AB = AN.AC

=> \(\frac{AN}{AB}=\frac{AM}{AC}\)

Xét tam giác AMN và tam giác ACB có:

\(\hat{A}\) chung

\(\frac{AN}{AB}=\frac{AM}{AC}\)

=> tam giác AMN đồng dạng tam giác ACB (cgc)