Giải SBT Toán 11 Kết nối tri thức bài 16

VnDoc.com xin gửi tới bạn đọc bài viết Giải SBT Toán 11 Kết nối tri thức bài 16: Giới hạn của hàm số để bạn đọc cùng tham khảo và có thêm tài liêu học Toán 11 Kết nối tri thức nhé. Mời các bạn cùng theo dõi bài viết dưới đây.

Bài 5.11 trang 83 SBT Toán 11 Kết nối

Cho hàm số \(f(x)=\left\{\begin{matrix}x ;(x>1)\\2; (x=1)\\1;( x<1) \end{matrix}\right.\). Hàm số f(x) có giới hạn khi x  1 không?

Bài làm

Vì \(\lim_{x \to 1^{+}}f(x)=\lim_{x \to 1^{-}}f(x)=1\) nên hàm số f(x) có giới hạn khi x \(\to\) 1

Bài 5.12 trang 83 SBT Toán 11 Kết nối

Tính các giới hạn sau:

a) \(\lim_{x \to 2}\frac{\sqrt{4x+1}-3}{x-2}\)

b) \(\lim_{x \to 1}\frac{x^{3}+x^{2}+x-3}{x^{3}-1}\)

c) \(\lim_{x \to 2^{+}}\frac{x^{2}-5x+6}{(x-2)^{2}}\)

d) \(\lim_{x \to 0^{-}}\frac{x^{2}+x-2}{x}\)

Bài làm

a) \(\lim_{x \to 2}\frac{\sqrt{4x+1}-3}{x-2}\)

\(=\lim_{x \to 2}\frac{4x-8}{(x-2)(\sqrt{4x+1}+3)}\)

\(=\lim_{x\to 2}\frac{4}{\sqrt{4x+1}+3}=\frac{2}{3}\)

b) \(\lim_{x \to 1}\frac{x^{3}+x^{2}+x-3}{x^{3}-1}\)

\(=\lim_{x\to 1}\frac{(x^{3}-1)+(x^{2}-1)+(x-1)}{(x-1)(x^{2}+x+1)}\)

\(=\lim_{x\to 1}\frac{(x^{2}+x+1)+(x+1)+1}{x^{2}+x+1}\)

\(=\lim_{x\to 1}\frac{x^{2}+2x+3}{x^{2}+x+1}\)

\(=\frac{1+2+3}{1+1+1}=2\)

c) \(\lim_{x \to 2^{+}}\frac{x^{2}-5x+6}{(x-2)^{2}}=\lim_{x\to 2^{+}}\frac{(x-2)(x-3)}{(x-2)^{2}}=\lim_{x\to 2^{+}}\frac{x-3}{x-2}\)

Vì \(\lim_{x \to 2^{+}}(x-3)=-1, \lim_{x\to 2^{+}}(x-2)=0\) và \(x-2>0 \forall x>2\)

Suy ra \(\lim_{x\to 2^{+}}\frac{x-3}{x-2}=-\infty\)

d) \(\lim_{x \to 0^{-}}\frac{x^{2}+x-2}{x}\)

Vì \(\lim_{x \to 0^{-}}(x^{2}+x-2)=-2, \lim_{x\to 0^{-}}=0\) và x < 0 \(\forall\) x < 0

Suy ra \(\lim_{x \to 0^{-}}\frac{x^{2}+x-2}{x}=+\infty\)

Bài 5.13 trang 83 SBT Toán 11 Kết nối

Tìm a để hàm \(f(x)=\left\{\begin{matrix}x^{2}+ax; x>3 \\ 3x^{2}+1, x \leq 3\end{matrix}\right.\)  có giới hạn khi x \(\to\) 3

Bài làm

Ta có: \(\lim_{x \to 3^{+}}f(x)=\lim_{x\to 3^{+}}(x^{2}+ax)=9+3a\)

\(\lim_{x \to 3^{-}}f(x)=\lim_{x \to 3^{-}}(3x^{2}+1)=28\)

Hàm số f(x) có giới hạn khi x \(\to\) 3 khi \(\lim_{x\to 3^{+}}f(x)=\lim_{x\to 3^{-}}f(x)\)

Suy ra 9 + 3a = 28 \(\Leftrightarrow a=\frac{19}{3}\)

Bài 5.14 trang 83 SBT Toán 11 Kết nối

Tìm các số thực a và b sao cho \(\lim_{x\to 1}\frac{2x^{2}-ax+1}{x^{2}-3x+1}=b\)

Bài làm

Vì x = 1 là nghiệm của đa thức \(x^{2}-3x+1\) nên đa thức \(2x^{2}-ax+1\) phải có nghiệm x = 1

Do đó, \(2.1^{2}-a+1=0 \Leftrightarrow a=3\)

Ta có: \(\lim_{x\to 1}\frac{2x^{2}-3x+1}{x^{2}-3x+1}=\lim_{x\to 1}\frac{(2x-1)(x-1)}{(x-1)(x-2)}=\lim_{x\to 1}\frac{2x-1}{x-2}=\frac{2.1-1}{1-2}=-1\)

Vậy b = - 1

Bài 5.15 trang 83 SBT Toán 11 Kết nối

Cho hàm số \(f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}-x+2}}{x}\). Tính:

a) \(\lim_{x\to +\infty}f(x)\)

b) \(\lim_{x\to -\infty}f(x)\)

Bài làm

a) \(\lim_{x\to +\infty}f(x)=\lim_{x\to +\infty}\frac{\sqrt{x^{2}-x+2}}{x}=\lim_{x\to +\infty}\frac{\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{2}{x^{2}}}}{1}=1\)

b) \(\lim_{x\to -\infty}f(x)=\lim_{x\to -\infty}\frac{\sqrt{x^{2}-x+2}}{x}=\lim_{x\to -\infty}\frac{-\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{2}{x^{2}}}}{1}=-1\)

Bài 5.16 trang 83 SBT Toán 11 Kết nối

Tìm giới hạn \(\lim_{x\to +\infty}(1-x)(1-x^{2})(1-x^{3})\)

Bài làm

\(\lim_{x\to +\infty}(1-x)(1-x^{2})(1-x^{3})\)

\(=\lim_{x \to +\infty}x^{6}(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{x^{2}}-1)(\frac{1}{x^{3}}-1)=-\infty\)

Bài 5.17 trang 83 SBT Toán 11 Kết nối

Cho hàm số \(g(x)=\sqrt{x^{2}+2x}-\sqrt{x^{2}-1}-2m\) với m là tham số. Biết \(\lim_{x\to +\infty}g(x)=0\), tìm giá trị của m

Bài làm

Ta có: \(g(x)=\sqrt{x^{2}+2x}-\sqrt{x^{2}-1}-2m=\frac{2x+1}{\sqrt{x^{2}+2x}+\sqrt{x^{2}-1}}-2m\)

\(=\frac{2+\frac{1}{x}}{\sqrt{1+\frac{2}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x^{2}}}}-2m\)

Do đó, \(\lim_{x\to +\infty}g(x)=\lim_{x\to +\infty}\frac{2+\frac{1}{x}}{\sqrt{1+\frac{2}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x^{2}}}}-2m=1-2m\)

Để \(\lim_{x\to +\infty}g(x)=0 thì 1-2m = 0 \Leftrightarrow m=\frac{1}{2}\)

Bài 5.18 trang 83 SBT Toán 11 Kết nối

Cho m là một số thực. Biết \(\lim_{x\to -\infty}[(m-x)(mx+1)]=-\infty\). Xác định dấu của m.

Bài làm

\(\lim_{x\to -\infty}[(m-x)(mx+1)]=\lim_{x\to -\infty}x^{2}(\frac{m}{x}-1)(m+\frac{1}{x})=-m\)

Để \(\lim_{x\to -\infty}[(m-x)(mx+1)]=-\infty\) thì m > 0

Bài 5.19 trang 83 SBT Toán 11 Kết nối

Cho hàm số \(f(x)=\frac{sin^{2}x}{x^{2}}\). Chứng minh rằng \(\lim_{x\to +\infty}f(x)=0\)

Bài làm

Lấy dãy số \((x_{n})\) bất kì sao cho \(x_{n} \to +\infty\)

Khi đó \(|f(x_{n})|=\frac{sin^{2}x_{n}}{x_{n}^{2}} \leq \frac{1}{x_{n}^{2}} \to 0\) khi \(n \to + \infty\)

Vậy \(\lim_{n \to +\infty}f(x_{n})=0\). Do đó, \(\lim_{x\to +\infty}f(x)=0\)

Bài 5.20 trang 83 SBT Toán 11 Kết nối

Một đơn vị sản xuất hàng thủ công ước tính chi phí để sản xuất x đơn vị sản phẩm là C_(x) = 2x + 55 (triệu đồng).

a) Tìm hàm số f(x) biểu thị chi phí trung bình để sản xuất mỗi đơn vị sản phẩm.

b) Tính lim_x→+∞f(x). Giới hạn này có ý nghĩa gì?

Bài làm

a) Ta có: \(f(x)=\frac{C(x)}{x}=\frac{2x+55}{x}\)

b) Ta có: \(\lim_{x \to +\infty}f(x)=\lim_{x\to +\infty}\frac{2x+55}{x}=\lim_{x\to +\infty}\frac{2+\frac{55}{x}}{1}=2\)

Khi số lượng sản phẩm sản xuất được càng lớn thì chi phí trung bình để sản xuất một đơn vị sản phẩm càng gần với 2 (triệu đồng).

Trắc nghiệm Toán 11 Kết nối tri thức bài 16

------------------------------------------------

Bài tiếp theo: Giải SBT Toán 11 Kết nối tri thức bài 17

VnDoc.com vừa gửi tới bạn đọc bài viết Giải SBT Toán 11 Kết nối tri thức bài 16: Giới hạn của hàm số. Mời các bạn cùng tham khảo thêm tại mục Toán 11 Kết nối tri thức, Giải SBT Toán 11 Kết nối tri thức.