Giải SBT Toán 11 Kết nối tri thức bài tập cuối chương 2

Giải sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức bài tập cuối chương 2 được VnDoc.com sưu tầm và xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo. Mời các bạn cùng theo dõi để có thêm tài liệu học Toán 11 Kết nối tri thức nhé.

Bài 2.31 trang 40 SBT Toán 11 Kết nối

Cho dãy số (u_n) xác định bởi: u₁ = 1, u_n+1 = u_n + n. Số hạng u₄ là

A. 5.

B. 6.

C. 7.

D. 10.

Bài làm

Đáp án C

Bài 2.32 trang 40 SBT Toán 11 Kết nối

Hãy chọn dãy số bị chặn trong các dãy số (u_n) sau:

A. u_n = 1 − n².

B. u_n = 2ⁿ.

C. u_n = nsinn.

D. u_n = \(\frac{2-n}{n+1}\)

Bài làm

Đáp án D

Bài 2.33 trang 41 SBT Toán 11 Kết nối

Hãy chọn dãy số tăng trong các dãy số (u_n) sau:

A. u_n = −2n + 1.

B. u_n = n² − n + 1.

C. u_n = (−1)ⁿ.2ⁿ.

D. u_n = 1 + sinn.

Bài làm

Đáp án B

Bài 2.34 trang 41 SBT Toán 11 Kết nối

Cho dãy số u_n = 2020sin\(\frac{2\pi }{2}\) + 2021cos\(\frac{n\pi }{3}\). Mệnh nào dưới đây là đúng?

A. u_n+6 = u_n.

B. u_n+9 = u_n.

C. u_n+4 = u_n.

D. u_n+12 = u_n.

Bài làm

Đáp án D

Bài 2.35 trang 41 SBT Toán 11 Kết nối

Chọn cấp số cộng trong các dãy số (un) sau:

A. u_n = 3ⁿ + 2.

B. u_n = \(\frac{3}{n}\) + 1.

C. u_n = 3n.

D. u₁ = 1, u_n+1 = u_n + n.

Bài làm

Đáp án C

Bài 2.36 trang 41 SBT Toán 11 Kết nối

Cho cấp số cộng với u₁ = −2,u₉ = 22. Tổng của 50 số hạng đầu của cấp số cộng này là

A. 3570.

B. 3575.

C. 3576.

D. 3580.

Bài làm

Đáp án B

Bài 2.37 trang 41 SBT Toán 11 Kết nối

Chọn cấp số nhân trong các dãy số (u_n) sau:

A. u_n = 2n.

B. u_n = \(\frac{2}{n}\)

C. u_n = 2ⁿ.

D. u₁ = 1, u_n+1 = nu_n.

Bài làm

Đáp án C

Bài 2.38 trang 41 SBT Toán 11 Kết nối

Tổng \(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+…+\frac{1}{2^{n}}\) bằng

A. \(2+\frac{1}{2^{n}}\)

B. \(2-\frac{1}{2^{n-1}}\)

C. \(2-\frac{1}{2^{n+1}}\)

D. \(2-\frac{1}{2^{n}}\)

Bài làm

Đáp án D

Bài 2.39 trang 41 SBT Toán 11 Kết nối

Có bao nhiêu cấp số nhân có năm số hạng mà tổng của năm số hạng đó là 31 và tích của chúng là 1024?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Bài làm

Đáp án D

Bài 2.40 trang 41 SBT Toán 11 Kết nối

Ông Trung có 100 triệu đồng gửi tiết kiệm vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn 6 tháng với lãi suất 8% một năm. Giả sử lãi suất không thay đổi. Hỏi sau 3 năm số tiền trong tài khoản tiết kiệm của ông Trung gần nhất với số nào sau đây?

A. 126 532 000 đồng.

B. 158 687 000 đồng.

C. 125 971 000 đồng.

D. 112 486 000 đồng.

Bài làm

Đáp án B

Bài 2.41 trang 41 SBT Toán 11 Kết nối

Một du khách vào trường đua ngựa xem đua ngựa và đặt cược chọn con thắng cuộc. Nếu chọn đúng con thắng cuộc thì sẽ nhận được số tiền gấp đôi số tiền đặt cược, còn nếu chọn sai thì sẽ mất số tiền đặt cược. Người du khách đó lần đầu tiên đặt 20 000 đồng, mỗi lần sau tiền đặt gấp đôi tiền đặt lần trước. Người đó thua 9 lần liên tiếp và thắng ở lần thứ 10. Hỏi du khách đó thắng hay thua bao nhiêu?

A. Thắng 20 000 đồng.

B. Hoà vốn.

C. Thua 20 000 đồng.

D. Thua 40 000 đồng.

Bài làm

Đáp án A

Bài 2.42 trang 42 SBT Toán 11 Kết nối

Ba số phân biệt có tổng là 217 có thể coi là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, cũng có thể coi là số hạng thứ 2, thứ 9, thứ 44 của một cấp số cộng. Hỏi phải lấy bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng này để tổng của chúng bằng 210?

A. 40.

B. 30.

C. 20.

D. 10.

Bài làm

Đáp án D

Bài 2.43 trang 42 SBT Toán 11 Kết nối

Trong các dãy số (u_n) dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng, dãy số nào là cấp số nhân? Nếu dãy số là cấp số cộng hoặc cấp số nhân, hãy xác định công sai hoặc công bội của nó.

a) u₁ = 2, u_n+1 = u_n + n;

b) u_n = 6n + 3;

c) u₁ = 1, u_n+1 = n.u_n;

d) u_n = 3.5ⁿ.

Bài làm

a) Từ hệ thức truy hồi ta có u₁ = 2; u₂ = u₁ + 1 = 2 + 1 = 3; u₃ = u₂ + 2 = 3 + 2 = 5.

Ta có 3 – 2 = 1; 5 – 3 = 2 nên u₂ − u₁ ≠ u₃ − u₂ và 32 ≠ 53 nên u₂u₁ ≠ u₃u₂

Do vậy, dãy số đã cho không là cấp số cộng và cũng không là cấp số nhân.

b) Từ u_n = 6n + 3, suy ra u_n+1 =6(n + 1) + 3 = 6n + 9.

Ta có u_n+1 = (6n + 9) − (6n + 3) = 6 không đổi với mọi n ≥ 1.

Vậy dãy số đã cho là cấp số cộng với công sai d = 6.

c) Từ hệ thức truy hồi ta có u₁ = 1; u₂ = 1; u₃ = 2 . u₂ = 2.

Từ đó suy ra u₂ − u₁ ≠ u₃ − u₂ và \(\frac{u_{2} }{u_{1} }\) ≠ \(\frac{u_{3} }{u_{2} }\)

Vậy dãy số đã cho không là cấp số cộng và cũng không là cấp số nhân.

d) Từ u_n = 3.5ⁿ suy ra u_n+1 = 3.5ⁿ⁺¹ = 3.5.5ⁿ.

Ta có \(\frac{u_{n+1} }{u_{n} } = \frac{3.5.5^{n} }{3.5^{n} }\) = 5 không đổi với mọi n ≥ 1.

Vậy dãy số đã cho là cấp số nhân với công bội q = 5.

Bài 2.44 trang 42 SBT Toán 11 Kết nối

Chứng minh rằng:

a) Nếu a₁, a₂, a₃,... và b₁, b₂, b₃,... là hai cấp số cộng thì a₁ + b₁, a₂ + b₂, a₃ + b₃, ... cũng là cấp số cộng.

b) Nếu a₁, a₂, a₃,... và b₁, b₂, b₃, ... là hai cấp số nhân thì a₁b₁, a₂b₂, a₃b₃, ... cũng là cấp số nhân.

Bài làm

a) Theo giả thiết, ta giả sử dãy số (a_n) là cấp số cộng với công sai d1 và dãy số (b_n) là cấp số cộng với công sai d₂ nên ta có:

a_n+1 = a_n + d₁ và b_n+1 = b_n + d₂ với mọi n ≥ 1.

Khi đó a_n+1 + b_n+1 = (a_n + d₁) + (b_n + d₂) = (a_n + b_n) + d₁ + d₂ với mọi n ≥ 1.

Vậy dãy số (an+bn) là cấp số cộng với công sai d₁ + d₂.

b) Theo giả thiết, ta giả sử dãy số (a_n) là cấp số nhân với công bội q₁ và dãy số (b_n) là cấp số nhân với công bội q₂ nên ta có:

q_n+1 = a_nq₁ và b_n+1 = b_nq₂ với mọi n ≥ 1.

Khi đó a_n+1b_n+1 = (a_nq₁).(b_nq₂) = (a_nb_n)q₁q₂ với mọi n ≥ 1.

Vậy dãy số (a_nb_n) là cấp số nhân với công bội q₁q₂.

Bài 2.45 trang 42 SBT Toán 11 Kết nối

Một con chó con nặng 0,4 kg khi mới sinh và sau mỗi tuần tuổi khối lượng của nó tăng thêm 24%. Giả sử u_n (kg) là khối lượng của con chó vào cuối tuần tuổi thứ n.

a) Viết lần lượt các công thức tính u₂, u₃. Từ đó dự đoán công thức của un.

b) Con chó nặng bao nhiêu kilôgam khi được sáu tuần tuổi?

Bài làm

a) Giả sử u_n (kg) là khối lượng của con chó vào cuối tuần tuổi thứ n.

Ta có u₁ = 0,4; u₂ = u₁ + u₁24;

u₃ = u₂ + u₂24.

Cứ tiếp tục làm tương tự, ta dự đoán được công thức u_n = u₁ (1 + 0,24)ⁿ⁻¹ với mọi n ≥ 1.

b) Sau sáu tuần tuổi thì con chó nặng là

u₆ = u₁ (1 + 0,24)⁶⁻¹ = 0,4.(1,24)⁵ ≈ 1,173 (kg).

Bài 2.46 trang 42 SBT Toán 11 Kết nối

Bác Hưng quyết định tham gia một chương trình bơi lội để duy trì sức khoẻ. Bác bắt đầu bằng cách bơi 10 phút vào ngày đầu tiên, sau đó thêm 2 phút mỗi ngày sau đó.

a) Tìm công thức truy hồi cho số phút T_n mà bác ấy bơi vào ngày thứ n của chương trình.

b) Tìm sáu số hạng đầu của dãy số T_n.

c) Tìm công thức tổng quát của dãy số (T_n).

d) Bác Hưng đạt được mục tiêu bơi ít nhất 60 phút mỗi ngày vào ngày thứ bao nhiêu của chương trình?

e) Tính tổng thời gian bác Hưng bơi sau 30 ngày đầu của chương trình.

Bài làm

Gọi T_n là số phút mà bác Hưng bơi vào ngày thứ n của chương trình.

a) Do bác bắt đầu bằng cách bơi 10 phút vào ngày đầu tiên, sau đó thêm 2 phút mỗi ngày sau đó nên ta có hệ thức truy hồi sau T₁ = 10, T_n+1 = T_n + 2, ∀ n ≥ 1.

b) Sáu số hạng đầu của dãy số là

T₄ = 10;

T₄ = T₄ + 2 = 10 + 2 = 12;

T₄ = T₄ + 2 = 12 + 2 = 14:

T₄ = T₄ + 2 = 14 + 2 = 16;

T₅ = T₄ + 2 = 16 + 2 = 18;

T₆ = T₅ + 2 = 18 + 2 = 20.

c) Từ công thức truy hồi T_n+1 = T_n+2 suy ra T_n+1 − T_n = 2 không đổi ∀ n ≥ 1.

Do đó, dãy số (T_n) là cấp số cộng có số hạng đầu T₁ = 10 và công sai d = 2.

Suy ra, công thức tổng quát của dãy số là

T_n = T₁ + (n − 1) d = 10 + (n − 1) . 2 = 8 + 2n, ∀ n ≥ 1

d) Ta có T_n ≥ 60 ⇔ 8 + 2n ≥ 60 ⇔ n ≥ 26.

Vậy bác Hưng đạt được mục tiêu bơi ít nhất 60 phút mỗi ngày vào ngày thứ 26 của chương trình.

e) Tổng thời gian bác Hưng bơi trong 30 ngày đầu của chương trình là

S₃₀ = \(\frac{30}{2}\) [2 . 10 + (30 − 1) . 2] = 1170 (phút)

Bài 2.47 trang 43 SBT Toán 11 Kết nối

Dãy các số chính phương sau đây không phải là cấp số cộng

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ...

Tuy nhiên, chúng ta có thể lập một cấp số cộng liên quan bằng cách tìm hiệu của các số hạng liên tiếp của dãy số này.

a) Viết tám số hạng đầu của cấp số cộng liên quan được mô tả ở trên. Tìm công thức của số hạng thứ n của cấp số cộng này.

b) Mô tả bằng cách nào để chúng ta có thể lập được một cấp số cộng từ dãy các số lập phương sau đây:

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, ...

c) Viết bảy số hạng đầu của cấp số cộng ở trong phần b) và tìm số hạng thứ n của nó.

Bài làm

a) Công thức số hạng thứ n của dãy các số chính phương đã cho là n² ∀ n ≥ 1.

Tám số hạng đầu của cấp số cộng (u_n) được mô tả là

u₁ = 4 − 1 = 3; u₂ = 9 − 4 = 5; u₃ = 16 − 9 = 7; u₄ = 25 − 16 = 9;

u₅ = 36 − 25 = 11; u₆ = 49 − 36 = 13; u₇ = 64 − 49 = 15; u₈ = 81 − 64 = 17.

Theo giả thiết chúng ta xét hiệu của hai số hạng liên tiếp, do đó số hạng thứ n của cấp số cộng này là hiệu của số hạng thứ n + 1 và số hạng thứ n của dãy các số chính phương nên

u_n = (n + 1)² − n² = 2n + 1, ∀ n ≥ 1.

Ta chứng minh được dãy số (un) là cấp số cộng với công sai d = 2.

b) Xét dãy các số lập phương, với ba số hạng liên tiếp ta lấy số đầu cộng với số thứ ba trừ đi 2 lần số thứ hai ta thu được một cấp số cộng.

c) Bảy số hạng đầu của cấp số cộng ở trong câu b là 12; 18; 24; 30; 36, 42, 48,

u₁ = 1 + 27 − 2.8 = 12;

u₂ = 8 + 64 − 2.27 = 18;

u₃ = 27 + 125 − 2.64 = 24;

u₄ = 64 + 216 − 2.125 = 30;

u₅ = 125 + 343 − 2.216 = 36;

u₆ = 216 + 512 − 2.343 = 42;

u₇ = 343 + 729 − 2.512 = 48.

Công thức số hạng thứ n của cấp số cộng này là

u_n = n³ + (n + 2)³ − 2(n + 1)³ = 6n + 6, ∀ n ≥ 1

Bài 2.48 trang 43 SBT Toán 11 Kết nối

Chứng minh rằng nếu ba số theo thứ tự vừa lập thành một cấp số cộng vừa lập thành một cấp số nhân thì ba số ấy bằng nhau.

Bài làm

Gọi x, y lần lượt là số thứ nhất và số thứ ba trong ba số đó.

Vì ba số theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng nên số thứ hai là \(\frac{x+y}{2}\)

Khi đó, ba số cần tìm có dạng: x, \(\frac{x+y}{2}\), y.

Vì ba số này lập thành một cấp số nhân nên ta có

\(xy=(\frac{x+y}{2})^{2} \Leftrightarrow 4xy=x^{2}+2xy+y^{2} \Leftrightarrow x^{2}-2xy+y^{2}=0 \Leftrightarrow (x-y)^{2}=0\), tức là x = y.

Suy ra \(\frac{x+y}{2}=\frac{x+x}{2}=\frac{2x}{2}=x\)

Vậy ba số đó bằng nhau.

Bài 2.49 trang 43 SBT Toán 11 Kết nối

Anh Nam là một cầu thủ bóng đá chuyên nghiệp. Anh vừa kí hợp đồng 5 năm với một câu lạc bộ với mức lương năm khởi điểm là 300 triệu đồng. Chủ tịch câu lạc bộ đưa ra cho anh Nam ba phương án về lương như sau:

- Phương án 1: Mỗi năm ngoài mức lương cố định như trên, sẽ được thưởng thêm 50 triệu đồng.

- Phương án 2: Mỗi năm lương sẽ tăng thêm 10% so với lương năm trước đó, bắt đầu kể từ năm thứ hai.

- Phương án 3: Mỗi năm lương sẽ tăng thêm 30 triệu so với lương năm trước đó, bắt đầu kể từ năm thứ hai.

Em hãy tính giúp anh Nam xem với phương án lương nào thì tổng lương sau 5 năm của anh Nam là lớn nhất?

Bài làm

Ta tính tổng tiền lương của anh Nam theo từng phương án:

- Phương án 1: Mỗi năm ngoài mức lương cố định như trên, sẽ được thưởng thêm 50 triệu đồng thì sau 5 năm tổng số tiền lương của anh Nam là

5.300 + 5.50 = 1750 (triệu đồng).

- Phương án 2: Mỗi năm lương sẽ tăng thêm 10% so với lương năm trước đó, bắt đầu kể từ năm thứ hai thì sau 5 năm tổng số tiền lương của anh Nam là

300 + 300 . 1 + 10 (triệu đồng).

- Phương án 3: Mỗi năm lương sẽ tăng thêm 30 triệu so với lương năm trước đó, bắt đầu kể từ năm thứ hai thì sau 5 năm tổng số tiền lương của anh Nam là

300 + 330 + 360 + 390 + 420 = 1800 (triệu đồng).

Vậy anh Nam nên sử dụng phương án 2 để nhận được tổng lương sau 5 năm là cao nhất.

Bài 2.50 trang 43 SBT Toán 11 Kết nối

Một dãy số (u_n) được gọi là một cấp số nhân cộng nếu nó cho bởi hệ thức truy hồi

u₁ = a, u_n+1 = qu_n + d.

Nếu q = 1 ta có cấp số cộng với công sai d, còn nếu d = 0 ta có cấp số nhân với công bội q.

a) Giả sử q ≠ 1. Dự đoán công thức số hạng tổng quát un.

b) Thiết lập công thức tính tổng S_n của n số hạng đầu của cấp số nhân cộng (u_n).

Bài làm

a) Ta viết lần lượt các số hạng của dãy:

u₁ = a;

u₂ = qu₁ + d;

u₃ = qu₂ + d = q(qu₁ + d) + d = q²u₁ + qd + d = q²u₁ + d(q + 1);

u₄ = qu₃ + d = q(q²u₁ + qd + d) + d = q³u₁ + q²d + qd + d

\(= q^{3}u_{1}+d(q^{2}+q + 1)=q^{3}u_{1}+d\frac{1-q^{3}}{1-q} (với q \neq 1 ).\)

Làm tương tự ta được công thức số hạng tổng quát un:

\(u_{n}=q^{n-1}u_{1}+d(q^{n-2}+q^{n-3} + ... + 1)=q^{n-1}u_{1}+ d\frac{1-q^{n-1}}{1-q}\)

b) Ta viết tổng n số hạng đầu như sau

S_n = u₁ + u₂ + ... + u_n

= u₁ + (qu₁ + d) + (qu₂ + d) +...+ (qu_n−1 + d)

= u1 + q(u₁ + u₂ +...+ u_n−1) + (n − 1)d

= u₁ + qS_n−1 + (n − 1)d

= qS_n−1 + a + (n − 1)d (vì u₁ = a).

Như vậy, ta được (S_n) cũng là một cấp số nhân cộng với S₁ = u₁ = a.

Áp dụng công thức số hạng tổng quát vừa tìm được ở câu a để tính S_n ta có

\(S_{n}=q^{n-1}S_{1}+[a+(n-1)d]\frac{1-q^{n-1}}{1-q}=q^{n-1}a+[a+(n-1)d]\frac{1-q^{n-1}}{1-q}\)

-------------------------------------------------

Bài tiếp theo: Giải sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức bài 8

VnDoc.com vừa gửi tới bạn đọc bài viết Giải sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức bài tập cuối chương 2. Mời các bạn cùng tham khảo thêm tại mục Toán 11 Kết nối tri thức, Giải sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức.