Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

VnDoc.com

Giải SBT Toán 11 Kết nối tri thức bài 15

Giới hạn của dãy số

Bài trước

Bài sau

Giải sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức bài 15: Giới hạn của dãy số

Bài 5.1 trang 77 SBT Toán 11 Kết nối
Bài 5.2 trang 78 SBT Toán 11 Kết nối
Bài 5.3 trang 78 SBT Toán 11 Kết nối
Bài 5.4 trang 78 SBT Toán 11 Kết nối
Bài 5.5 trang 78 SBT Toán 11 Kết nối
Bài 5.6 trang 78 SBT Toán 11 Kết nối
Bài 5.7 trang 78 SBT Toán 11 Kết nối
Bài 5.8 trang 78 SBT Toán 11 Kết nối
Bài 5.9 trang 78 SBT Toán 11 Kết nối
Bài 5.10 trang 78 SBT Toán 11 Kết nối
Trắc nghiệm Toán 11 Kết nối tri thức bài 15

Giải sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức bài 15: Giới hạn của dãy số được VnDoc.com sưu tầm và xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo để có thêm tài liệu học Toán 11 Kết nối tri thức nhé. Mời các bạn cùng theo dõi bài viết dưới đây.

Bài 5.1 trang 77 SBT Toán 11 Kết nối

Tính các giới hạn sau:

a) $\lim_{n \to + \infty} \frac{n^{2}+1}{2n^{2}+n+2}$ $\lim_{n \to + \infty} \frac{n^{2}+1}{2n^{2}+n+2}$

b) $\lim_{n \to + \infty}\frac{2^{n}+3}{1+3^{n}}$ $\lim_{n \to + \infty}\frac{2^{n}+3}{1+3^{n}}$

Bài làm

a) $\lim_{n \to + \infty} \frac{n^{2}+1}{2n^{2}+n+2}=\lim_{n \to + \infty}\frac{1+\frac{1}{n^{2}}}{2+\frac{1}{n}+\frac{2}{n^{2}}}=\frac{1}{2}$ $\lim_{n \to + \infty} \frac{n^{2}+1}{2n^{2}+n+2}=\lim_{n \to + \infty}\frac{1+\frac{1}{n^{2}}}{2+\frac{1}{n}+\frac{2}{n^{2}}}=\frac{1}{2}$

b) $\lim_{n \to + \infty}\frac{2^{n}+3}{1+3^{n}}=\lim_{n \to + \infty}\frac{(\frac{2}{3})^{n}+(\frac{1}{3})^{n-1}}{(\frac{1}{3})^{n}+1}=0$ $\lim_{n \to + \infty}\frac{2^{n}+3}{1+3^{n}}=\lim_{n \to + \infty}\frac{(\frac{2}{3})^{n}+(\frac{1}{3})^{n-1}}{(\frac{1}{3})^{n}+1}=0$

Bài 5.2 trang 78 SBT Toán 11 Kết nối

Tính các giới hạn sau:

a) $\lim_{n \to + \infty}(\sqrt{n^{2}+2n}-n-2)$ $\lim_{n \to + \infty}(\sqrt{n^{2}+2n}-n-2)$

b) $\lim_{n \to + \infty}(2+n^{2}-\sqrt{n^{4}+1}$ $\lim_{n \to + \infty}(2+n^{2}-\sqrt{n^{4}+1}$

c) $\lim_{n \to + \infty}(\sqrt{n^{2}-n+2}+n)$ $\lim_{n \to + \infty}(\sqrt{n^{2}-n+2}+n)$

d) $\lim_{n \to +\infty}(3n - \sqrt{4n^{2}+1})$ $\lim_{n \to +\infty}(3n - \sqrt{4n^{2}+1})$

Bài làm

a) $\lim_{n \to + \infty}(\sqrt{n^{2}+2n}-n-2)$ $\lim_{n \to + \infty}(\sqrt{n^{2}+2n}-n-2)$

= $\lim_{n \to +\infty}\frac{-2n-4}{\sqrt{n^{2}+2n}+n+2}$ $\lim_{n \to +\infty}\frac{-2n-4}{\sqrt{n^{2}+2n}+n+2}$

= $\lim_{n \to +\infty}\frac{-2-\frac{4}{n}}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}+1+\frac{2}{n}}=-1$ $\lim_{n \to +\infty}\frac{-2-\frac{4}{n}}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}+1+\frac{2}{n}}=-1$

b) $\lim_{n \to + \infty}(2+n^{2}-\sqrt{n^{4}+1})$ $\lim_{n \to + \infty}(2+n^{2}-\sqrt{n^{4}+1})$

= $\lim_{n \to +\infty}\frac{4n^{2}+3}{2+n^{2}+\sqrt{n^{4}+1}}$ $\lim_{n \to +\infty}\frac{4n^{2}+3}{2+n^{2}+\sqrt{n^{4}+1}}$

= $\lim_{n \to +\infty}\frac{4+\frac{3}{n^{2}}}{\frac{2}{n^{2}}+1+\sqrt{1+\frac{1}{n^{4}}}}$ $\lim_{n \to +\infty}\frac{4+\frac{3}{n^{2}}}{\frac{2}{n^{2}}+1+\sqrt{1+\frac{1}{n^{4}}}}$

= 2

c) $\lim_{n \to + \infty}(\sqrt{n^{2}-n+2}+n)$ $\lim_{n \to + \infty}(\sqrt{n^{2}-n+2}+n)$

= $\lim_{n \to +\infty}n(\sqrt{1-\frac{1}{n}+\frac{2}{n^{2}}}+1)$ $\lim_{n \to +\infty}n(\sqrt{1-\frac{1}{n}+\frac{2}{n^{2}}}+1)$

= $+\infty$ $+\infty$

d) $\lim_{n \to +\infty}(3n - \sqrt{4n^{2}+1})$ $\lim_{n \to +\infty}(3n - \sqrt{4n^{2}+1})$

= $\lim_{n \to +\infty}n(3-\sqrt{4+\frac{1}{n^{2}}})$ $\lim_{n \to +\infty}n(3-\sqrt{4+\frac{1}{n^{2}}})$

= $+\infty$ $+\infty$

Bài 5.3 trang 78 SBT Toán 11 Kết nối

Cho $u_{n}=\frac{1+a+a^{2}+...+a^{n}}{1+b+b^{2}+...+b^{n}}$ $u_{n}=\frac{1+a+a^{2}+...+a^{n}}{1+b+b^{2}+...+b^{n}}$ với a, b là các số thực thoả mãn |a| < 1, |b| < 1. Tìm $\lim_{n \to +\infty}u_{n}$ $\lim_{n \to +\infty}u_{n}$

Bài làm

$u_{n}=\frac{1+a+a^{2}+...+a^{n}}{1+b+b^{2}+...+b^{n}}=\frac{\frac{1-a^{n+1}}{1-a}}{\frac{1-b^{n+1}}{1-b}}=\frac{1-b}{1-a}.\frac{1-a^{n+1}}{1-b^{n+1}}$ $u_{n}=\frac{1+a+a^{2}+...+a^{n}}{1+b+b^{2}+...+b^{n}}=\frac{\frac{1-a^{n+1}}{1-a}}{\frac{1-b^{n+1}}{1-b}}=\frac{1-b}{1-a}.\frac{1-a^{n+1}}{1-b^{n+1}}$

Do đó $\lim_{n \to + \infty}u_{n}=\frac{1-b}{1-a}$ $\lim_{n \to + \infty}u_{n}=\frac{1-b}{1-a}$

Bài 5.4 trang 78 SBT Toán 11 Kết nối

Tìm $\lim_{n\to +\infty}\frac{1+3+5+...+(2n-1)}{n^{2}+2n}$ $\lim_{n\to +\infty}\frac{1+3+5+...+(2n-1)}{n^{2}+2n}$

Bài làm

$\lim_{n\to +\infty}\frac{1+3+5+...+(2n-1)}{n^{2}+2n}$ $\lim_{n\to +\infty}\frac{1+3+5+...+(2n-1)}{n^{2}+2n}$

= $\lim_{n \to +\infty}\frac{n^{2}}{n^{2}+2n}$ $\lim_{n \to +\infty}\frac{n^{2}}{n^{2}+2n}$

= $\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{1+\frac{2}{n}}=1$ $\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{1+\frac{2}{n}}=1$

Bài 5.5 trang 78 SBT Toán 11 Kết nối

Tính tổng $S=-1+\frac{1}{5}-\frac{1}{5^{2}}+...+(-1)^{n}\frac{1}{5^{n-1}}+...$ $S=-1+\frac{1}{5}-\frac{1}{5^{2}}+...+(-1)^{n}\frac{1}{5^{n-1}}+...$

Bài làm

Ta thấy S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn $(u_{n})$ $(u_{n})$ với $u_{1}=-1$ $u_{1}=-1$ và $q=\frac{-1}{5}$ $q=\frac{-1}{5}$

Do đó $S=\frac{-1}{1+\frac{1}{5}}=\frac{-5}{6}$ $S=\frac{-1}{1+\frac{1}{5}}=\frac{-5}{6}$

Bài 5.6 trang 78 SBT Toán 11 Kết nối

Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số:

a) 1,(03)

b) 3,(23)

Bài làm

a) $1,(03)=1+\frac{3}{100}+\frac{3}{100^{2}}+...\frac{3}{100^{n}}+...$ $1,(03)=1+\frac{3}{100}+\frac{3}{100^{2}}+...\frac{3}{100^{n}}+...$

= $1+\frac{\frac{3}{100}}{1-\frac{1}{100}}=1\frac{3}{99}=\frac{102}{99}$ $1+\frac{\frac{3}{100}}{1-\frac{1}{100}}=1\frac{3}{99}=\frac{102}{99}$

b) $3,(23)=3+\frac{23}{100}+\frac{23}{100^{2}}+...\frac{23}{100^{n}}+...$ $3,(23)=3+\frac{23}{100}+\frac{23}{100^{2}}+...\frac{23}{100^{n}}+...$

$=3+\frac{\frac{23}{100}}{1-\frac{1}{100}}=3\frac{23}{99}=\frac{320}{99}$ $=3+\frac{\frac{23}{100}}{1-\frac{1}{100}}=3\frac{23}{99}=\frac{320}{99}$

Bài 5.7 trang 78 SBT Toán 11 Kết nối

Cho dãy số $(u_{n})$ $(u_{n})$ với $u_{n}=\frac{cosx}{n^{2}}$ $u_{n}=\frac{cosx}{n^{2}}$. Tìm $\lim_{n\to +\infty}u_{n}$ $\lim_{n\to +\infty}u_{n}$

Bài làm

Ta có: $|u_{n}|=|\frac{cosn}{n^{2}}| \leq \frac{1}{n^{2}} .$ $|u_{n}|=|\frac{cosn}{n^{2}}| \leq \frac{1}{n^{2}} .$

Do $\lim_{n \to + \infty}\frac{1}{n^{2}}=0 nên \lim_{n\to +\infty}u_{n}=0$ $\lim_{n \to + \infty}\frac{1}{n^{2}}=0 nên \lim_{n\to +\infty}u_{n}=0$

Bài 5.8 trang 78 SBT Toán 11 Kết nối

Cho tam giác A₁B₁C₁ có diện tích là 3 (đơn vị diện tích). Dựng tam giác A₂B₂C₂ bằng cách nối các trung điểm của các cạnh B₁C₁, C₁A₁, A₁B₁. Tiếp tục quá trình này, ta có các tam giác A₃B₃C₃, …, A_nB_nC_n,… Kí hiệu sn là diện tích của tam giác A_nB_nC_n

a) Tính sn

b) Tính tổng s₁+ s₂ +...+ s_n +...

Bài làm

a, Theo cách xác định tam giác A₂B₂C₂, ta có: $s_{2}=\frac{1}{4}s_{1}$ $s_{2}=\frac{1}{4}s_{1}$

Tương tự như vậy, ta có: $s_{3}=\frac{1}{4}s_{2},...,s_{n}=\frac{1}{4}s_{n-1}$ $s_{3}=\frac{1}{4}s_{2},...,s_{n}=\frac{1}{4}s_{n-1}$

Do đó, $s_{n}=(\frac{1}{4})^{n-1}s_{1}=3.(\frac{1}{4})^{n-1}$ $s_{n}=(\frac{1}{4})^{n-1}s_{1}=3.(\frac{1}{4})^{n-1}$

b, Suy ra: $s_{1}+s_{2}+...+s_{n}+...=\frac{3}{1-\frac{1}{4}}=4$ $s_{1}+s_{2}+...+s_{n}+...=\frac{3}{1-\frac{1}{4}}=4$

Bài 5.9 trang 78 SBT Toán 11 Kết nối

Cho dãy số $(u_{n})$ $(u_{n})$ với $u_{1}=2,u_{n+1}=u_{n}+\frac{2}{3^{n}}, n \geq 1$ $u_{1}=2,u_{n+1}=u_{n}+\frac{2}{3^{n}}, n \geq 1$. Đặt $v_{n}=u_{n+1}-u_{n}$ $v_{n}=u_{n+1}-u_{n}$

a) Tính $v_{1}+v_{2}+...+v_{n}$ $v_{1}+v_{2}+...+v_{n}$ theo n

b) Tính u_n theo n

c) Tìm $\lim_{n \to +\infty}u_{n}$ $\lim_{n \to +\infty}u_{n}$

Bài làm

a) Ta có: $v_{n}=\frac{2}{3^{n}}$ $v_{n}=\frac{2}{3^{n}}$

Do đó $v_{1}+v_{2}+...+v_{n}=2.\frac{1-\frac{1}{3^{n+1}}}{1-\frac{1}{3}}=3.(1-\frac{1}{3^{n+1}})$ $v_{1}+v_{2}+...+v_{n}=2.\frac{1-\frac{1}{3^{n+1}}}{1-\frac{1}{3}}=3.(1-\frac{1}{3^{n+1}})$

b) Ta có: $v_{1}+v_{2}+...+v_{n}=(u_{2}-u_{1})+(u_{3}-u_{2})+...+(u_{n+1}-u_{n})$ $v_{1}+v_{2}+...+v_{n}=(u_{2}-u_{1})+(u_{3}-u_{2})+...+(u_{n+1}-u_{n})$

$=u_{n+1}-u_{1}=u_{n+1}-2$ $=u_{n+1}-u_{1}=u_{n+1}-2$

Vậy $u_{n}=3(1-\frac{1}{3^{n}})+2$ $u_{n}=3(1-\frac{1}{3^{n}})+2$

c) $\lim_{n \to + \infty}u_{n}$ $\lim_{n \to + \infty}u_{n}$

$=\lim_{n \to +\infty}[3(1-\frac{1}{3^{n}}+2]$ $=\lim_{n \to +\infty}[3(1-\frac{1}{3^{n}}+2]$

$=\lim_{n \to +\infty}\frac{5.3^{n}-1}{3^{n}}$ $=\lim_{n \to +\infty}\frac{5.3^{n}-1}{3^{n}}$

$=\lim_{n\to +\infty}\frac{5-\frac{1}{3^{n}}}{1}=5$ $=\lim_{n\to +\infty}\frac{5-\frac{1}{3^{n}}}{1}=5$

Bài 5.10 trang 78 SBT Toán 11 Kết nối

Cho dãy số u_n có tính chất $|u_{n}-\frac{n}{n+1}| \leq \frac{1}{n^{2}}$ $|u_{n}-\frac{n}{n+1}| \leq \frac{1}{n^{2}}$. Tính $\lim_{n \to +\infty}u_{n}$ $\lim_{n \to +\infty}u_{n}$

Bài làm

$\lim_{n \to +\infty}u_{n}=\lim_{n\to + \infty}(u_{n}-\frac{n}{n+1})=\lim_{n\to + \infty}(u_{n}-1)=0$ $\lim_{n \to +\infty}u_{n}=\lim_{n\to + \infty}(u_{n}-\frac{n}{n+1})=\lim_{n\to + \infty}(u_{n}-1)=0$

Do đó $\lim_{n \to + \infty}u_{n}=1$ $\lim_{n \to + \infty}u_{n}=1$

Trắc nghiệm Toán 11 Kết nối tri thức bài 15

Bài trắc nghiệm số: 4341

--------------------------------------

Bài tiếp theo: Giải sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức bài 16

VnDoc.com vừa gửi tới bạn đọc bài viết Giải sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức bài 15: Giới hạn của dãy số. Mời các bạn cùng tham khảo thêm tại mục Toán 11 Kết nối tri thức, Giải SBT Toán 11 Kết nối tri thức.

Chia sẻ, đánh giá bài viết

Bài trước

Bài sau