Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Giải SBT Toán 11 Kết nối tri thức bài 15

Giải sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức bài 15: Giới hạn của dãy số được VnDoc.com sưu tầm và xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo để có thêm tài liệu học Toán 11 Kết nối tri thức nhé. Mời các bạn cùng theo dõi bài viết dưới đây.

Bài 5.1 trang 77 SBT Toán 11 Kết nối

Tính các giới hạn sau:

a) \lim_{n \to + \infty} \frac{n^{2}+1}{2n^{2}+n+2}\(\lim_{n \to + \infty} \frac{n^{2}+1}{2n^{2}+n+2}\)

b) \lim_{n \to + \infty}\frac{2^{n}+3}{1+3^{n}}\(\lim_{n \to + \infty}\frac{2^{n}+3}{1+3^{n}}\)

Bài làm

a) \lim_{n \to + \infty} \frac{n^{2}+1}{2n^{2}+n+2}=\lim_{n \to + \infty}\frac{1+\frac{1}{n^{2}}}{2+\frac{1}{n}+\frac{2}{n^{2}}}=\frac{1}{2}\(\lim_{n \to + \infty} \frac{n^{2}+1}{2n^{2}+n+2}=\lim_{n \to + \infty}\frac{1+\frac{1}{n^{2}}}{2+\frac{1}{n}+\frac{2}{n^{2}}}=\frac{1}{2}\)

b) \lim_{n \to + \infty}\frac{2^{n}+3}{1+3^{n}}=\lim_{n \to + \infty}\frac{(\frac{2}{3})^{n}+(\frac{1}{3})^{n-1}}{(\frac{1}{3})^{n}+1}=0\(\lim_{n \to + \infty}\frac{2^{n}+3}{1+3^{n}}=\lim_{n \to + \infty}\frac{(\frac{2}{3})^{n}+(\frac{1}{3})^{n-1}}{(\frac{1}{3})^{n}+1}=0\)

Bài 5.2 trang 78 SBT Toán 11 Kết nối

Tính các giới hạn sau:

a) \lim_{n \to + \infty}(\sqrt{n^{2}+2n}-n-2)\(\lim_{n \to + \infty}(\sqrt{n^{2}+2n}-n-2)\)

b) \lim_{n \to + \infty}(2+n^{2}-\sqrt{n^{4}+1}\(\lim_{n \to + \infty}(2+n^{2}-\sqrt{n^{4}+1}\)

c) \lim_{n \to + \infty}(\sqrt{n^{2}-n+2}+n)\(\lim_{n \to + \infty}(\sqrt{n^{2}-n+2}+n)\)

d) \lim_{n \to +\infty}(3n - \sqrt{4n^{2}+1})\(\lim_{n \to +\infty}(3n - \sqrt{4n^{2}+1})\)

Bài làm

a) \lim_{n \to + \infty}(\sqrt{n^{2}+2n}-n-2)\(\lim_{n \to + \infty}(\sqrt{n^{2}+2n}-n-2)\)

= \lim_{n \to +\infty}\frac{-2n-4}{\sqrt{n^{2}+2n}+n+2}\(\lim_{n \to +\infty}\frac{-2n-4}{\sqrt{n^{2}+2n}+n+2}\)

= \lim_{n \to +\infty}\frac{-2-\frac{4}{n}}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}+1+\frac{2}{n}}=-1\(\lim_{n \to +\infty}\frac{-2-\frac{4}{n}}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}+1+\frac{2}{n}}=-1\)

b) \lim_{n \to + \infty}(2+n^{2}-\sqrt{n^{4}+1})\(\lim_{n \to + \infty}(2+n^{2}-\sqrt{n^{4}+1})\)

= \lim_{n \to +\infty}\frac{4n^{2}+3}{2+n^{2}+\sqrt{n^{4}+1}}\(\lim_{n \to +\infty}\frac{4n^{2}+3}{2+n^{2}+\sqrt{n^{4}+1}}\)

= \lim_{n \to +\infty}\frac{4+\frac{3}{n^{2}}}{\frac{2}{n^{2}}+1+\sqrt{1+\frac{1}{n^{4}}}}\(\lim_{n \to +\infty}\frac{4+\frac{3}{n^{2}}}{\frac{2}{n^{2}}+1+\sqrt{1+\frac{1}{n^{4}}}}\)

= 2

c) \lim_{n \to + \infty}(\sqrt{n^{2}-n+2}+n)\(\lim_{n \to + \infty}(\sqrt{n^{2}-n+2}+n)\)

= \lim_{n \to +\infty}n(\sqrt{1-\frac{1}{n}+\frac{2}{n^{2}}}+1)\(\lim_{n \to +\infty}n(\sqrt{1-\frac{1}{n}+\frac{2}{n^{2}}}+1)\)

= +\infty\(+\infty\)

d) \lim_{n \to +\infty}(3n - \sqrt{4n^{2}+1})\(\lim_{n \to +\infty}(3n - \sqrt{4n^{2}+1})\)

= \lim_{n \to +\infty}n(3-\sqrt{4+\frac{1}{n^{2}}})\(\lim_{n \to +\infty}n(3-\sqrt{4+\frac{1}{n^{2}}})\)

= +\infty\(+\infty\)

Bài 5.3 trang 78 SBT Toán 11 Kết nối

Cho u_{n}=\frac{1+a+a^{2}+...+a^{n}}{1+b+b^{2}+...+b^{n}}\(u_{n}=\frac{1+a+a^{2}+...+a^{n}}{1+b+b^{2}+...+b^{n}}\) với a, b là các số thực thoả mãn |a| < 1, |b| < 1. Tìm \lim_{n \to +\infty}u_{n}\(\lim_{n \to +\infty}u_{n}\)

Bài làm

u_{n}=\frac{1+a+a^{2}+...+a^{n}}{1+b+b^{2}+...+b^{n}}=\frac{\frac{1-a^{n+1}}{1-a}}{\frac{1-b^{n+1}}{1-b}}=\frac{1-b}{1-a}.\frac{1-a^{n+1}}{1-b^{n+1}}\(u_{n}=\frac{1+a+a^{2}+...+a^{n}}{1+b+b^{2}+...+b^{n}}=\frac{\frac{1-a^{n+1}}{1-a}}{\frac{1-b^{n+1}}{1-b}}=\frac{1-b}{1-a}.\frac{1-a^{n+1}}{1-b^{n+1}}\)

Do đó \lim_{n \to + \infty}u_{n}=\frac{1-b}{1-a}\(\lim_{n \to + \infty}u_{n}=\frac{1-b}{1-a}\)

Bài 5.4 trang 78 SBT Toán 11 Kết nối

Tìm \lim_{n\to +\infty}\frac{1+3+5+...+(2n-1)}{n^{2}+2n}\(\lim_{n\to +\infty}\frac{1+3+5+...+(2n-1)}{n^{2}+2n}\)

Bài làm

\lim_{n\to +\infty}\frac{1+3+5+...+(2n-1)}{n^{2}+2n}\(\lim_{n\to +\infty}\frac{1+3+5+...+(2n-1)}{n^{2}+2n}\)

= \lim_{n \to +\infty}\frac{n^{2}}{n^{2}+2n}\(\lim_{n \to +\infty}\frac{n^{2}}{n^{2}+2n}\)

= \lim_{n\to +\infty}\frac{1}{1+\frac{2}{n}}=1\(\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{1+\frac{2}{n}}=1\)

Bài 5.5 trang 78 SBT Toán 11 Kết nối

Tính tổng S=-1+\frac{1}{5}-\frac{1}{5^{2}}+...+(-1)^{n}\frac{1}{5^{n-1}}+...\(S=-1+\frac{1}{5}-\frac{1}{5^{2}}+...+(-1)^{n}\frac{1}{5^{n-1}}+...\)

Bài làm

Ta thấy S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (u_{n})\((u_{n})\) với u_{1}=-1\(u_{1}=-1\)q=\frac{-1}{5}\(q=\frac{-1}{5}\)

Do đó S=\frac{-1}{1+\frac{1}{5}}=\frac{-5}{6}\(S=\frac{-1}{1+\frac{1}{5}}=\frac{-5}{6}\)

Bài 5.6 trang 78 SBT Toán 11 Kết nối

Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số:

a) 1,(03)

b) 3,(23)

Bài làm

a) 1,(03)=1+\frac{3}{100}+\frac{3}{100^{2}}+...\frac{3}{100^{n}}+...\(1,(03)=1+\frac{3}{100}+\frac{3}{100^{2}}+...\frac{3}{100^{n}}+...\)

= 1+\frac{\frac{3}{100}}{1-\frac{1}{100}}=1\frac{3}{99}=\frac{102}{99}\(1+\frac{\frac{3}{100}}{1-\frac{1}{100}}=1\frac{3}{99}=\frac{102}{99}\)

b) 3,(23)=3+\frac{23}{100}+\frac{23}{100^{2}}+...\frac{23}{100^{n}}+...\(3,(23)=3+\frac{23}{100}+\frac{23}{100^{2}}+...\frac{23}{100^{n}}+...\)

=3+\frac{\frac{23}{100}}{1-\frac{1}{100}}=3\frac{23}{99}=\frac{320}{99}\(=3+\frac{\frac{23}{100}}{1-\frac{1}{100}}=3\frac{23}{99}=\frac{320}{99}\)

Bài 5.7 trang 78 SBT Toán 11 Kết nối

Cho dãy số (u_{n})\((u_{n})\) với u_{n}=\frac{cosx}{n^{2}}\(u_{n}=\frac{cosx}{n^{2}}\). Tìm \lim_{n\to +\infty}u_{n}\(\lim_{n\to +\infty}u_{n}\)

Bài làm

Ta có: |u_{n}|=|\frac{cosn}{n^{2}}| \leq \frac{1}{n^{2}} .\(|u_{n}|=|\frac{cosn}{n^{2}}| \leq \frac{1}{n^{2}} .\)

Do \lim_{n \to + \infty}\frac{1}{n^{2}}=0 nên \lim_{n\to +\infty}u_{n}=0\(\lim_{n \to + \infty}\frac{1}{n^{2}}=0 nên \lim_{n\to +\infty}u_{n}=0\)

Bài 5.8 trang 78 SBT Toán 11 Kết nối

Cho tam giác A1B1C1 có diện tích là 3 (đơn vị diện tích). Dựng tam giác A2B2C2 bằng cách nối các trung điểm của các cạnh B1C1, C1A1, A1B1. Tiếp tục quá trình này, ta có các tam giác A3B3C3, …, AnBnCn,… Kí hiệu sn là diện tích của tam giác AnBnCn

a) Tính sn

b) Tính tổng s1 + s2 +...+ sn +...

Bài làm

a, Theo cách xác định tam giác A2B2C2, ta có: s_{2}=\frac{1}{4}s_{1}\(s_{2}=\frac{1}{4}s_{1}\)

Tương tự như vậy, ta có: s_{3}=\frac{1}{4}s_{2},...,s_{n}=\frac{1}{4}s_{n-1}\(s_{3}=\frac{1}{4}s_{2},...,s_{n}=\frac{1}{4}s_{n-1}\)

Do đó, s_{n}=(\frac{1}{4})^{n-1}s_{1}=3.(\frac{1}{4})^{n-1}\(s_{n}=(\frac{1}{4})^{n-1}s_{1}=3.(\frac{1}{4})^{n-1}\)

b, Suy ra: s_{1}+s_{2}+...+s_{n}+...=\frac{3}{1-\frac{1}{4}}=4\(s_{1}+s_{2}+...+s_{n}+...=\frac{3}{1-\frac{1}{4}}=4\)

Bài 5.9 trang 78 SBT Toán 11 Kết nối

Cho dãy số (u_{n})\((u_{n})\) với u_{1}=2,u_{n+1}=u_{n}+\frac{2}{3^{n}}, n \geq 1\(u_{1}=2,u_{n+1}=u_{n}+\frac{2}{3^{n}}, n \geq 1\). Đặt v_{n}=u_{n+1}-u_{n}\(v_{n}=u_{n+1}-u_{n}\)

a) Tính v_{1}+v_{2}+...+v_{n}\(v_{1}+v_{2}+...+v_{n}\) theo n

b) Tính un theo n

c) Tìm \lim_{n \to +\infty}u_{n}\(\lim_{n \to +\infty}u_{n}\)

Bài làm

a) Ta có: v_{n}=\frac{2}{3^{n}}\(v_{n}=\frac{2}{3^{n}}\)

Do đó v_{1}+v_{2}+...+v_{n}=2.\frac{1-\frac{1}{3^{n+1}}}{1-\frac{1}{3}}=3.(1-\frac{1}{3^{n+1}})\(v_{1}+v_{2}+...+v_{n}=2.\frac{1-\frac{1}{3^{n+1}}}{1-\frac{1}{3}}=3.(1-\frac{1}{3^{n+1}})\)

b) Ta có: v_{1}+v_{2}+...+v_{n}=(u_{2}-u_{1})+(u_{3}-u_{2})+...+(u_{n+1}-u_{n})\(v_{1}+v_{2}+...+v_{n}=(u_{2}-u_{1})+(u_{3}-u_{2})+...+(u_{n+1}-u_{n})\)

=u_{n+1}-u_{1}=u_{n+1}-2\(=u_{n+1}-u_{1}=u_{n+1}-2\)

Vậy u_{n}=3(1-\frac{1}{3^{n}})+2\(u_{n}=3(1-\frac{1}{3^{n}})+2\)

c) \lim_{n \to + \infty}u_{n}\(\lim_{n \to + \infty}u_{n}\)

=\lim_{n \to +\infty}[3(1-\frac{1}{3^{n}}+2]\(=\lim_{n \to +\infty}[3(1-\frac{1}{3^{n}}+2]\)

=\lim_{n \to +\infty}\frac{5.3^{n}-1}{3^{n}}\(=\lim_{n \to +\infty}\frac{5.3^{n}-1}{3^{n}}\)

=\lim_{n\to +\infty}\frac{5-\frac{1}{3^{n}}}{1}=5\(=\lim_{n\to +\infty}\frac{5-\frac{1}{3^{n}}}{1}=5\)

Bài 5.10 trang 78 SBT Toán 11 Kết nối

Cho dãy số un có tính chất |u_{n}-\frac{n}{n+1}| \leq \frac{1}{n^{2}}\(|u_{n}-\frac{n}{n+1}| \leq \frac{1}{n^{2}}\). Tính \lim_{n \to +\infty}u_{n}\(\lim_{n \to +\infty}u_{n}\)

Bài làm

\lim_{n \to +\infty}u_{n}=\lim_{n\to + \infty}(u_{n}-\frac{n}{n+1})=\lim_{n\to + \infty}(u_{n}-1)=0\(\lim_{n \to +\infty}u_{n}=\lim_{n\to + \infty}(u_{n}-\frac{n}{n+1})=\lim_{n\to + \infty}(u_{n}-1)=0\)

Do đó \lim_{n \to + \infty}u_{n}=1\(\lim_{n \to + \infty}u_{n}=1\)

Trắc nghiệm Toán 11 Kết nối tri thức bài 15

Bài trắc nghiệm số: 4341

--------------------------------------

Bài tiếp theo: Giải sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức bài 16

VnDoc.com vừa gửi tới bạn đọc bài viết Giải sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức bài 15: Giới hạn của dãy số. Mời các bạn cùng tham khảo thêm tại mục Toán 11 Kết nối tri thức, Giải SBT Toán 11 Kết nối tri thức.

Chia sẻ, đánh giá bài viết
1
Chỉ thành viên VnDoc PRO tải được nội dung này!
79.000 / tháng
Đặc quyền các gói Thành viên
PRO
Phổ biến nhất
PRO+
Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp
Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí
Xem nội dung bài viết
Trải nghiệm Không quảng cáo
Làm bài trắc nghiệm không giới hạn
Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%
Sắp xếp theo
    🖼️

    Gợi ý cho bạn

    Xem thêm
    🖼️

    Sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức

    Xem thêm
    Bạn cần đăng ký gói thành viên VnDoc PRO để làm được bài trắc nghiệm này!
    VnDoc PRO:Trải nghiệm không quảng cáoTải file không cần chờ đợi!
    Mua VnDoc PRO 79.000đ