VnDoc.com Lớp 11 Sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức

Giải SBT Toán 11 Kết nối tri thức bài tập cuối chương 1

Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
1 20
Bài viết đã được lưu
Mục lục

Giải sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức bài tập cuối chương 1

VnDoc.com xin gửi tới bạn đọc bài viết Giải SBT Toán 11 Kết nối tri thức bài tập cuối chương 1 đọc cùng tham khảo và có thêm tài liệu học Toán 11 Kết nối tri thức nhé. Mời các bạn cùng theo dõi bài viết.

Bài 1.31 trang 25 SBT Toán 11 Kết nối

Đổi số đo góc \alpha =105^{o} sang radian ta được:

A. \alpha =\frac{5\pi}{8}

B. \alpha =\frac{\pi}{8}

C. \alpha = \frac{7\pi}{12}

D. \alpha =\frac{9\pi}{12}

Bài làm

Đáp án: C

Bài 1.32 trang 25 SBT Toán 11 Kết nối

Cho góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo \alpha mà \widehat{uOv} là góc tù. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Có số nguyên k để \frac{\pi}{2}+k2\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} + k2\pi

B. -\pi \leq \alpha < -\frac{\pi}{2}

C. -\frac{\pi}{2} <\alpha \leq \frac{3\pi}{2}

D. \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi

Bài làm

Đáp án: A

Vì có vô số góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Ov nên ta loại trừ đáp án B, C, D (do chưa thể xác định được khoảng cụ thể của góc \alpha

Mà \widehat{uOv} là góc tù nên \frac{\pi}{2} <\widehat{uOv} <\frac{3\pi}{2}

Vậy tồn tại số nguyên k để \frac{\pi}{2} +k2\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} + k2\pi

Bài 1.33 trang 25 SBT Toán 11 Kết nối

Giá trị cot\frac{89\pi}{6} bằng

A. -\frac{\sqrt{3}}{3}

B. \sqrt{3}

C. -\sqrt{3}

D. \frac{\sqrt{3}}{3}

Bài làm

Đáp án: C

Bài 1.34 trang 25 SBT Toán 11 Kết nối

Cho \frac{\pi}{2}<\alpha < \pi. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. sin\alpha < 0; cos \alpha > 0

B. sin\alpha > 0; cos \alpha > 0

C. sin\alpha < 0; cos \alpha < 0

D. sin\alpha > 0; cos \alpha < 0

Bài làm

Đáp án: D

Bài 1.35 trang 25 SBT Toán 11 Kết nối

Trong các đẳng thức sau. đẳng thức nào sai?

A. sin(\frac{\pi}{2}-x)=cosx

B. sin(\frac{\pi}{2}+x)=cosx

C. tan(\frac{\pi}{2}-x)=cotx

D. tan(\frac{\pi}{2}+x)=cotx

Bài làm

Đáp án: D

tan(\frac{\pi}{2}+x)=cot[\frac{\pi}{2}-(\frac{\pi}{2}+x)]=cot(-x)=-cotx nên đáp án D sai

Bài 1.36 trang 26 SBT Toán 11 Kết nối

Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

A. sin(180o − a) = −cosa

B. sin(180o − a) = −sina

C. sin(180o − a) = sina

D. sin(180o − a) = cosa

Bài làm

Đáp án: C

Bài 1.37 trang 26 SBT Toán 11 Kết nối

Biết sinx=\frac{1}{2}. Giá trị của cos^{2}x bằng

A. cos^{2}x=\frac{1}{2}

B. cos^{2}x=\frac{\sqrt{3}}{2}

C. cos^{2}x=\frac{1}{4}

D. cos^{2}x=\frac{3}{4}

Bài làm

Đáp án: D

Ta có: sin^{2}x+cos^{2}x = 1 nên cos^{2}x=1-sin^{2}x=1-(\frac{1}{2})^{2}=\frac{3}{4}

Bài 1.38 trang 26 SBT Toán 11 Kết nối

Biết cotx=\frac{1}{2}. Giá trị của biểu thức \frac{4sinx+5cosx}{2sinx-3cosx} bằng:

A. \frac{1}{17}

B. \frac{5}{9}

C. 13

D. \frac{2}{9}

Bài làm

Vì cotx=\frac{1}{2} nên sinx \neq 0, ta chia cả tử và mẫu của biểu thức \frac{4sinx+5cosx}{2sinx-3cosx} cho sinx, ta được:

\frac{4sinx+5cosx}{2sinx-3cosx}=\frac{4\frac{sinx}{sinx}+5\frac{cosx}{sinx}}{2\frac{sinx}{sinx}-3\frac{cosx}{sinx}}

=\frac{4+5cotx}{2-3cotx}=\frac{4+5.\frac{1}{2}}{2-3.\frac{1}{2}}=13

Đáp án: C

Bài 1.39 trang 26 SBT Toán 11 Kết nối

Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?

A. cosu+cosv =2cos\frac{u+v}{2}cos\frac{u-v}{2}

B. cosu-cosv =2sin\frac{u+v}{2}sin\frac{u-v}{2}

C. sinu+sinv=2sin\frac{u+v}{2}cos\frac{u-v}{2}

D. sinu-sinv=2cos\frac{u+v}{2}sin\frac{u-v}{2}

Bài làm

Đáp án: B

Bài 1.40 trang 26 SBT Toán 11 Kết nối

Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?

A. sin2a = 2sinacosa.

B. cos 2a = cos^{2}a -sin^{2}a.

C. cos 2a = 1 – 2sin^{2}a .

D. tan2a=\frac{2tana}{1+tan^{2}a}

Bài làm

Đáp án: D

Bài 1.41 trang 26 SBT Toán 11 Kết nối

Tập xác định của hàm số y=\sqrt{1-cosx} là:

A. \mathbb{R}( \ \frac{\pi}{2}+k2\pi | k\in \mathbb{Z} )

B. \mathbb{R} \ ( k\pi | k\in \mathbb{Z} )

C. \mathbb{R} \ ( k2\pi | k\in \mathbb{Z} )

D. \mathbb{R}

Bài làm

Đáp án: D

Hàm số y=\sqrt{1-cosx} xác định khi 1-cosx \geq 0 hay cosx \leq 1 (xảy ra với mọi x \in \mathbb{R})

Bài 1.42 trang 26 SBT Toán 11 Kết nối

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số y = cosx nghịch biến trên khoảng (−π;0) và đồng biến khoảng (0;π)

B. Hàm số y = cosx đồng biến trên các khoảng (−π;0) và (0;π)

C. Hàm số y = cosx nghịch biến trên các khoảng (−π;0) và (0;π)

D. Hàm số y = cosx đồng biến trên khoảng (−π;0) và nghịch biến trên khoảng (0;π)

Bài làm

Đáp án: D

Bài 1.43 trang 27 SBT Toán 11 Kết nối

Khẳng định nào sau đây sai?

A. Tập xác định của hàm số y = tanx là D=\mathbb{R} \ ( \frac{\pi}{2}+k\pi | k \in \mathbb{Z} )

B. Hàm số y = tanx đồng biến trên các khoảng (-\frac{\pi}{2}+k\pi;\frac{\pi}{2}+k\pi) với mọi k\in \mathbb{Z}

C. Tập giá trị của hàm số y = tanx là (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})

D. Hàm số y = tanx là hàm số tuần hoàn với chu kì \pi

Bài làm

Đáp án: C

Tập giá trị của hàm số y = tan x là (-\infty; +\infty)

Bài 1.44 trang 27 SBT Toán 11 Kết nối

Hàm số nào dưới đây có đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng?

A. y = cosx.

B. y = sin3x .

C. y = sinx.

D. y = tanx.

Bài làm

Đáp án: A

Bài 1.45 trang 27 SBT Toán 11 Kết nối

Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Hàm số y = sinx tuần hoàn với chu kì 2π

B. Hàm số y = cosx tuần hoàn với chu kì 2π

C. Hàm số y = tanx tuần hoàn với chu kì 2π

D. Hàm số y = cotx tuần hoàn với chu kì π

Bài làm

Đáp án: C

Bài 1.46 trang 27 SBT Toán 11 Kết nối

Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Hàm số y = sinxcos2x là hàm số tuần hoàn.

B. Hàm số y = sinxcos2x là hàm số lẻ.

C. Hàm số y = xsinx là hàm số tuần hoàn.

D. Hàm số y = xsinx là hàm số chẵn.

Bài làm

Đáp án: C

Bài 1.47 trang 27 SBT Toán 11 Kết nối

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. cosx=-1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi (k \in \mathbb{Z})

B. sinx=0 \Leftrightarrow x = k2\pi (k \in \mathbb{Z})

C. tanx=0 \Leftrightarrow x = k2\pi (k \in \mathbb{Z})

D. cosx=0 \Leftrightarrow x =\frac{\pi}{2} +k2\pi (k \in \mathbb{Z})

Bài làm

Đáp án: A

Bài 1.48 trang 27 SBT Toán 11 Kết nối

Số nghiệm của phương trình 2cosx=\sqrt{3} trên đoạn [0;\frac{5\pi}{2}] là:

A. 1

B. 4

C. 3

D. 2

Bài làm

Đáp án: C

Dựa vào đồ thị ta có: đồ thị y=\frac{\sqrt{3}}{2} cắt đồ thị y = cosx tại 3 điểm nằm trong đoạn [0;\frac{5\pi}{2}]

Bài 1.49 trang 28 SBT Toán 11 Kết nối

Tổng các nghiệm thuộc khoảng (0; 2π) của phương trình 3cosx – 1 = 0 bằng

A. S = 2π.

B. S = 0.

C. S = 4π.

D. S = 3π.

Bài làm

Đáp án: A

Bài 1.50 trang 28 SBT Toán 11 Kết nối

Giá trị của các hàm số y = sin3x và y = sin x bằng nhau khi và chỉ khi

A. x = k\pi hoặc x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2} . ( k \in \mathbb{Z})

B. x=k\frac{\pi}{4} (k \in \mathbb{Z})

C. x=k\frac{\pi}{2} (k \in \mathbb{Z})

D. x = k2\pi hoặc x=\frac{\pi}{4}+k2\pi ( k \in \mathbb{Z})

Bài làm

Giá trị của hai hàm số y = sin3x và y = sinx bằng nhau khi và chỉ khi sin3x = sinx

3x=x+k2\pi hoặc 3x=\pi -x +k2\pi ( k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow x = k\pi hoặc x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2} (k\in \mathbb{Z})

Đáp án: A

Bài 1.51 trang 28 SBT Toán 11 Kết nối

Trên đường tròn lượng giác, xác định điểm M biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau và tính các giá trị lượng giác của chúng.

a) \frac{23\pi}{4}

b) \frac{31\pi}{6}

c) -1 380^{o}

Bài làm

a) Ta có \frac{23\pi}{4}=6\pi-\frac{\pi}{4}. Góc \frac{23\pi}{4} được biểu diễn bởi điểm M(\frac{\sqrt{2}}{2};-\frac{\sqrt{2}}{2}) trên đường tròn lượng giác (hình dưới).

Giải SBT Toán 11 Kết nối tri thức bài tập cuối chương 1

Vậy sin\frac{23\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}; cos\frac{23\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2} và tan\frac{23\pi}{4}=cot\frac{23\pi}{4}=-1

b) Ta có \frac{31\pi}{6}=\frac{7\pi}{6}+4\pi. Góс \frac{31\pi}{6} được biểu diễn bởi điểmM(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}) trên đường tròn lượng giác (hình dưới).

Giải SBT Toán 11 Kết nối tri thức bài tập cuối chương 1

Vậy sin\frac{31\pi}{6}=-\frac{1}{2}; cos\frac{31\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2};tan\frac{31\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}} và cot\frac{31\pi}{6}=\sqrt{3}

c) Ta có -1380^{o}=-4.360^{o}+60^{o}. Góc -13800 được biểu diễn bởi điểm M(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}) trên đường tròn lượng giác (hình dưới).

Giải SBT Toán 11 Kết nối tri thức bài tập cuối chương 1

Vậy sin(-1380^{o})=\frac{\sqrt{3}}{2};cos(-1380^{o})=\frac{1}{2}; tan(-1380^{o})=\sqrt{3} và cot(-1380^{o})=\frac{1}{\sqrt{3}}

Bài 1.52 trang 28 SBT Toán 11 Kết nối

Kim phút và kim giờ của đồng hồ lớn nhà Bưu điện Thành phố Hà Nội theo thứ tự dài 1,75 m và 1,26 m. Hỏi trong 15 phút, mũi kim phút vạch nên cung tròn có độ dài bao nhiêu mét? Cũng câu hỏi đó cho mũi kim giờ.

Bài làm

+) Trong 15 phút thì mũi kim phút vạch nên một cung tròn có độ dài bằng \frac{1}{4} độ dài đường tròn, do đó độ dài của cung này bằng

\frac{1}{4}.2\pi.R=\frac{1}{4}.2\pi.1,75=\frac{7\pi}{8} \approx 2,75 (m)

+) Trong 15 phút thì mũi kim giờ vạch nên một cung tròn có độ dài bằng \frac{1}{4}.\frac{1}{12}=\frac{1}{48} đường tròn, do đó độ dài của cung này bằng

\frac{1}{48}.2\pi.R’=\frac{1}{48}.2\pi.1,26=\frac{21\pi}{400} =\approx 0,16 (m)

Bài 1.53 trang 28 SBT Toán 11 Kết nối

Huyện lị Quản Bạ tỉnh Hà Giang và huyện lị Cái Nước tỉnh Cà Mau cùng nằm ở 105o kinh đông, nhưng Quản Bạ ở 23o vĩ bắc, Cái Nước ở vĩ độ 9o bắc. Hãy tính độ dài cung kinh tuyến nối hai huyện lị đó (khoảng cách theo đường chim bay), coi Trái Đất có bán kính 6378 km.

Bài làm

Góc ở tâm chắn cung kinh tuyến nối huyện Quản Bạ tỉnh Hà Giang và huyện Cái Nước tỉnh Cà Mau có số đo bằng 23o − 9o = 14o

Vậy độ dài cung kinh tuyến đó bằng \frac{6378.14.\pi}{180} \approx 1558 (km)

Bài 1.54 trang 28 SBT Toán 11 Kết nối

Cho cos\alpha = \frac{3}{4}, sin\alpha > 0, sin\beta =\frac{3}{5}, \beta \in (\frac{9\pi}{2};5\pi). Hãy tính cos2\alpha, sin2\alpha, cos2\beta, sin2\beta, cos(\alpha + \beta), sin(\alpha -\beta)

Bài làm

Ta có cos2\alpha = 2cos^{2}\alpha-1=2.(\frac{3}{4})^{2}-1=\frac{1}{8}.

Ta có sin^{2}\alpha = 1-cos^{2}\alpha = 1-(\frac{3}{4})^{2}=\frac{7}{16}

Lại do sin\alpha > 0 nên sin\alpha =\frac{\sqrt{7}}{4}

Suy ra sin2\alpha =2sin\alpha.cos\alpha = 2.\frac{\sqrt{7}}{4}.\frac{3}{4}=\frac{3\sqrt{7}}{8}

Ta có cos2\beta = 1-2sin^{2}\beta = 1-2.(\frac{3}{5})^{2}=\frac{7}{25}

Ta có cos^{2}\beta = 1-sin^{2}\beta = 1-(\frac{3}{5})^{2}=\frac{16}{25}

Lại do \beta \in (\frac{9\pi}{2};5\pi) nên cos\beta < 0, do đó cos\beta =-\frac{4}{5}

Suy ra sin2\beta =2sin\beta cos\beta = 2.\frac{3}{5}.(-\frac{4}{5})=-\frac{24}{25}

Ta có cos(\alpha + \beta) = cos\alpha .cos\beta -sin\alpha sin\beta

=\frac{3}{4}.(-\frac{4}{5})-\frac{\sqrt{7}}{4}.\frac{3}{5}=\frac{-12-3\sqrt{7}}{20}

sin(\alpha - \beta)=sin\alpha cos\beta -cos\alpha sin\beta

= \frac{\sqrt{7}}{4}(-\frac{4}{5}) -\frac{3}{4}.\frac{3}{5}=\frac{-9-4\sqrt{7}}{20}

Bài 1.55 trang 28 SBT Toán 11 Kết nối

Rút gọn các biểu thức sau:

a) \frac{sin(45^{o}+\alpha)-cos(45^{o}+\alpha)}{ sin(45^{o}+\alpha)+cos(45^{o}+\alpha)}

b) \frac{sin2\alpha + sin\alpha}{1+cos2\alpha + cos\alpha}

c) \frac{1+cos\alpha -sin\alpha}{1-cos\alpha-sin\alpha}

d) \frac{sin\alpha + sin3\alpha + sin5\alpha}{cos\alpha + cos3\alpha + cos5\alpha}

Bài làm

a) \frac{sin(45^{o}+\alpha)-cos(45^{o}+\alpha)}{ sin(45^{o}+\alpha)+cos(45^{o}+\alpha)}

=\frac{(sin45^{o}cos\alpha+cos45^{o}sin\alpha)-(cos45^{o}cos\alpha-sin45^{o}sin\alpha)}{(sin45^{o}cos\alpha+cos45^{o}sin\alpha)+(cos45^{o}cos\alpha -sin45^{o}sin\alpha)}

=\frac{(\frac{\sqrt{2}}{2}cos\alpha + \frac{\sqrt{2}}{2}sin\alpha)-(\frac{\sqrt{2}}{2}cos\alpha -\frac{\sqrt{2}}{2}sin\alpha)}{ (\frac{\sqrt{2}}{2}cos\alpha+ \frac{\sqrt{2}}{2}sin\alpha)+(\frac{\sqrt{2}}{2}cos\alpha -\frac{\sqrt{2}}{2}sin\alpha)}

=\frac{\sqrt{2}sin\alpha}{\sqrt{2}cos\alpha}

=tan\alpha

b) \frac{sin2\alpha + sin\alpha}{1+cos2\alpha + cos\alpha}

=\frac{2sin\alpha cos\alpha +sin\alpha}{1+(2cos^{2}\alpha-1)+cos\alpha}

=\frac{2sin\alpha(cos\alpha+1)}{2cos\alpha(cos\alpha+1)}

=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}

=tan\alpha

c) \frac{1+cos\alpha -sin\alpha}{1-cos\alpha-sin\alpha}

=\frac{1+(2cos^{2}\frac{\alpha}{2}-1)-2sin\frac{\alpha}{2}cos\frac{\alpha}{2}}{1-(1-2sin^{2}\frac{\alpha}{2})-2sin\frac{\alpha}{2}cos\frac{\alpha}{2}}{1-(1-2sin^{2}\frac{\alpha}{2})-2sin\frac{\alpha}{2}cos\frac{\alpha}{2}}

=\frac{2cos^{2}\frac{\alpha}{2}-2sin\frac{\alpha}{2}cos\frac{\alpha}{2}}{2sin^{2}\frac{\alpha}{2}-2sin\frac{\alpha}{2}cos\frac{\alpha}{2}}

=\frac{2cos\frac{\alpha}{2}(cos\frac{\alpha}{2}-sin\frac{\alpha}{2})}{2sin\frac{\alpha}{2}(sin\frac{\alpha}{2}-cos\frac{\alpha}{2})}

=\frac{cos\frac{\alpha}{2}}{-sin\frac{\alpha}{2}}

=-cot\frac{\alpha}{2}

d) \frac{sin\alpha + sin3\alpha + sin5\alpha}{cos\alpha + cos3\alpha + cos5\alpha}

=\frac{(sin5\alpha + sin\alpha)+sin3\alpha}{(cos5\alpha + cos\alpha)+cos3\alpha}

=\frac{2sin\frac{5\alpha+\alpha}{2}cos\frac{5\alpha-\alpha}{2}+sin3\alpha}{2cos\frac{5\alpha+\alpha}{2}cos\frac{5\alpha-\alpha}{2}+cos3\alpha}

=\frac{2sin3\alpha cos2\alpha+sin3\alpha}{2cos3\alpha cos2\alpha +cos3\alpha}

=\frac{sin3\alpha (2cos2\alpha + 1)}{cos3\alpha(2cos2\alpha + 1)}

=\frac{sin3\alpha}{cos3\alpha}

=tan3\alpha

Bài 1.56 trang 28 SBT Toán 11 Kết nối

Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x

a) A = sin(\frac{\pi}{4}+x)-cos(\frac{\pi}{4}-x)

b) B = cos(\frac{\pi}{6}-x)-sin(\frac{\pi}{3}+x)

c) C = sin^{2}x+cos(\frac{\pi}{3}-x)cos(\frac{\pi}{3}+x)

d) D = \frac{1-cos2x+sin2x}{1+cos2x+sin2x}.cotx

Bài làm

a) A = sin(\frac{\pi}{4}+x)-cos(\frac{\pi}{4}-x)

=sin(\frac{\pi}{4}+x)-sin[\frac{\pi}{2}-(\frac{\pi}{4}-x)]

=sin(\frac{\pi}{4}+x)-sin(\frac{\pi}{4}+x=0 \forall x

b) B = cos(\frac{\pi}{6}-x)-sin(\frac{\pi}{3}+x)

=cos(\frac{\pi}{6}-x)-cos[\frac{\pi}{2}-(\frac{\pi}{3}+x)]

=cos(\frac{\pi}{6}-x)-cos(\frac{\pi}{6}-x)=0 \forall x

c) C = sin^{2}x+cos(\frac{\pi}{3}-x)cos(\frac{\pi}{3}+x)

=sin^{2}+\frac{1}{2}[cos(\frac{\pi}{3}-x+\frac{\pi}{3}+x)+cos(\frac{\pi}{3}-x-\frac{\pi}{3}-x)]

=sin^{2}+\frac{1}{2}(cos\frac{2\pi}{3}+cos(-2x))=sin^{2}x+\frac{1}{2}(-\frac{1}{2}+cos(-2x))

=sin^{2}+\frac{1}{2}[-\frac{1}{2}+(1-2sin^{2})]

=sin^{2}x+\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-2sin^{2}x)

=sin^{2}x+\frac{1}{4}-sin^{2}x=\frac{1}{4} \forall x

d) D = \frac{1-cos2x+sin2x}{1+cos2x+sin2x}.cotx

=\frac{1-(1-2sin^{2}x)+2sinxcosx}{1+(2cos^{2}x-1)+2sinxcosx}.cotx

=\frac{2sin^{2}x+2sinxcosx}{2cos^{2}x+2sinxcosx}cotx

=\frac{2sinx(sinx+cosx)}{2cosx(cosx+sinx)}cotx

=\frac{sinx}{cosx}.cotx=tanx.cotx=1 \forall x

Bài 1.57 trang 28 SBT Toán 11 Kết nối

Hai sóng âm có phương trình lần lượt là

f1(t) = Csinωt và f2(t) = Csin(ωt + α)

Hai sóng này giao thoa với nhau tạo ra một âm kết hợp có phương trình

f(t) = f1(t) + f2(t) = Csinωt + Csin(ωt + α)

a) Sử dụng công thức cộng chỉ ra rằng hàm f(t) có thể viết được dưới dạng f(t) = 3sinωt + Bcosωt ở đó A, B là hai hằng số phụ thuộc vào α.

b) Khi C = 10 và α = π/3, hãy tìm biên độ và pha ban đầu của sóng âm kết hợp, tức là tìm hai hằng số k và φ sao cho f(t) = ksin(ωt + φ)

Bài làm

a) Ta có f(t)=f_{1}(t)+f_{2}(t)

= C sin\omega t + Csin(\omega r + \alpha)

= C sin \omega t + C(sin\omega t cos\alpha + cos\omega t sin\alpha)

= C sin \omega t + Csin\omega t cos\alpha + C cos\omega t sin\alpha

= C(1+cos\alpha)sin\omega t +C sin\alpha cos\omega t

Vậy f(t)=C(1+cos\alpha)sin\omega t + Csin\alpha cos\omega t với A=C1+cos\alpha) và B=Csin\alpha

b) Khi C = 10 và \alpha =\frac{\pi}{3} ta có

f(t)=10sin\omega t +10sin(\omega t + \frac{\pi}{3})

=10[sin\omega t + sin(\omega t +\frac{\pi}{3})]

=10.2sin\frac{\omega t + \omega t +\frac{\pi}{3}}{2} cos\frac{\omega t -\omega t -\frac{\pi}{3}}{2}

=20sin(\omega t +\frac{\pi}{6})cos(-\frac{\pi}{6})

=10\sqrt{3}sin(\omega t +\frac{\pi}{6})

Vậy biên độ và pha ban đầu của sóng âm kết hợp lần lượt là k=10\sqrt{3} và \varphi =\frac{\pi}{6}

Bài 1.58 trang 29 SBT Toán 11 Kết nối

Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) y=cos\frac{2x}{x-1}

b) y=\frac{1}{cosx-cos3x}

c) y=\frac{1}{cosx+sin2x}

d) y = tanx + cotx

Bài làm

a) Biểu thức cos\frac{2x}{x-1} có nghĩa khi x-1\neq 0 hay x \neq 1

Vậy tập xác định của hàm số là D = \mathbb{R} \neq 1

b) Biểu thức \frac{1}{cosx-cos3x} có nghĩa khi cosx-cos3x \neq 0 hay cosx \neq cos3x

\Leftrightarrow 3x \neq \pm x + k2\pi (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow x \neq k\frac{\pi}{2} (k \in \mathbb{Z})

Vậy tập xác định của hàm số là D=\mathbb{R} \ { k\frac{\pi}{2}|k \in \mathbb{Z} }

c) Biểu thức \frac{1}{cosx+sin2x} có nghĩa khi cosx +sin2x \neq 0 \Leftrightarrow cosx \neq cos3x

\Leftrightarrow 3x \neq \pm x + k2\pi (k \in \mathbb{Z}) (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow x \neq k\frac{\pi}{2} (k \in \mathbb{Z})

\left\{\begin{matrix}x \neq \frac{\pi}{2}+2x+k2\pi\\x \neq -(\frac{-\pi}{2}+2x)+k2\pi \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x \neq -\frac{\pi}{2}+k2\pi\\x \neq -\frac{\pi}{6} +k\frac{2\pi}{3}\end{matrix}\right. (k \in \mathbb{Z})

Vậy tập xác định của hàm số là D=\mathbb{R} \ { -\frac{\pi}{2}+k2\pi,-\frac{\pi}{6}+k\frac{2\pi}{3} | k \in \mathbb{Z} }

d) Biểu thức tanx + cotx có nghĩa khi

\left\{\begin{matrix}sinx \neq 0\\cosx \neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow 2sinxcosx \neq 0 \Leftrightarrow sin2x \neq 0 \Leftrightarrow 2x \neq k\pi \Leftrightarrow x \neq k\frac{\pi}{2} (k \in \mathbb{Z})

Vậy tập xác định của hàm số là D=\mathbb{R} \ { k\frac{\pi}{2} |k\in \mathbb{Z} }

Bài 1.59 trang 29 SBT Toán 11 Kết nối

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của p

a) y = sinx – cosx;

b) y=sinx+sin(\frac{\pi}{3}-x)

c) y=sin^{4}x+cos^{4}x

d) y = cos2x + 2cosx–1

Bài làm

a) Ta có y=sinx-cosx=\sqrt{2}sin(x-\frac{\pi}{4})

Vì -1\leq sin(x-\frac{\pi}{4}) \leq 1 nên \sqrt{2} \leq \sqrt{2}sin(x-\frac{\pi}{4}) \leq \sqrt{2}, với mọi x\in \mathbb{R}

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là \sqrt{2}, đạt được khi sin(x-\frac{\pi}{4})=1

\Leftrightarrow x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+k2\pi (k \in \mathbb{Z})

\Leftrightarrow x = \frac{3\pi}{4}+k2\pi (k \in \mathbb{Z})

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là -\sqrt{2}, đạt được khi sin(x-\frac{\pi}{4})=-1

\Leftrightarrow x-\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{2}+k2\pi (k \in \mathbb{Z})

\Leftrightarrow x = -\frac{\pi}{4}+k2\pi (k \in \mathbb{Z})

b) Ta có y=sinx+sin(\frac{\pi}{3}-x)=2sin\frac{x+\frac{x}{3}-x}{2}cos\frac{x-\frac{x}{3}+x}{2}

=2sin\frac{\pi}{6}cos(x-\frac{\pi}{6})=2.\frac{1}{2}.cos(x-\frac{\pi}{6})=cos(x-\frac{\pi}{6})

Ta có -1 \leq cos(x-\frac{\pi}{6}) \leq 1 \forall x \in \mathbb{Z}

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 1, đạt được khi cos(x-\frac{\pi}{6})=1 \Leftrightarrow x-\frac{\pi}{6}=k2\pi (k\in \mathbb{Z})

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là – 1, đạt được khi cos(x-\frac{\pi}{6})=-1 \Leftrightarrow x-\frac{\pi}{6}=\pi+k2\pi (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow x =\frac{7\pi}{6}+k2\pi ( k \in \mathbb{Z})

c) Ta có y=sin^{4}x+cos^{4}=(sin^{2}x+cos^{2}x)^{2}-2sin^{2}xcos^{2}x

=1-2(sinxcosx)^{2}=1-2.(\frac{sin2x}{2})^{2}=1-\frac{1}{2}sin^{2}2x=1-\frac{1}{2}.\frac{1-cos4x}{2}=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}cos4x

=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}cos4x

Vì -1 \leq cos4x \leq 1 nên -\frac{1}{4} \leq \frac{1}{4}cos4x \leq \frac{1}{4} , do đó \frac{3}{4}-\frac{1}{4} \leq \frac{3}{4}+\frac{1}{4}cos4x \leq \frac{3}{4}+\frac{1}{4}

hay \frac{1}{2} \leq \frac{3}{4} + \frac{1}{4}cos4x \leq 1 \forall x \in \mathbb{R}

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 1, đạt được khi cos4x =1

\Leftrightarrow 4x =k2\pi (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow x = k\frac{\pi}{2} (k \in \mathbb{Z})

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \frac{1}{2}, đạt được khi cos4x = -1

\Leftrightarrow 4x =\pi + k2\pi ( k\in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2} (k\in \mathbb{Z})

d) Ta có y = cos2x + 2cos x − 1

=(2cos^{2}x-1)+2cosx-1

=2cos^{2}x+2cosx-2

=2t^{2}+2t-2 với t=cosx \in [-1;1]

Xét hàm số y=2t^{2}+2t-2 trên đoạn [– 1; 1]. Hàm số này có đồ thị như trong hình vẽ dưới đây.

Giải SBT Toán 11 Kết nối tri thức bài tập cuối chương 1

Từ đồ thị ở hình trên ta suy ra được giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là 2, đạt được khi cosx =1 \Leftrightarrow x =k2\pi (k \in \mathbb{Z})

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là -\frac{5}{2}, đạt được khi cosx=-\frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \pm \frac{2\pi}{3}+k2\pi (k \in \mathbb{Z})

Bài 1.60 trang 29 SBT Toán 11 Kết nối

Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:

a) y=sin^{3}x-cotx

b) y=\frac{cosx+tan^{2}x}{cosx}

c) y = sin2x + cosx;

d) y=2cos(\frac{3\pi}{4}+x)sin(\frac{\pi}{4}-x)

Bài làm

a) Tập xác định của hàm số y=sin^{3}x-cotx là D=\mathbb{R} \ { k\pi|k\in \mathbb{Z} }

Nếu kí hiệu f(x)=sin^{3}+cotx thì với mọi x\in D ta có: -x \in D và

f(-x)=sin^{3}(-x)-cot(-x)=-sin^{3}x+cotx=-(sin^{3}x-cotx)=-f(x)

Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.

b) Tập xác định của hàm số y = \frac{cosx+tan^{2}x}{cosx} là D=\mathbb{R} \ { \frac{\pi}{2}+k\pi|k\in \mathbb{Z} }

Nếu kí hiệu f(x)=\frac{cosx+tan^{2}x}{cosx} thì với mọi x\in D ta có: -x\in D và

f(-x)=\frac{cos(-x)+tan^{2}(-x)}{cos(-x)}=\frac{cosx+(-tanx)^{2}}{cosx}=\frac{cosx+tan^{2}x}{cosx}=f(x)

Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

c) Tập xác định của hàm số y = sin2x + cosx là D=\mathbb{R}

Nếu kí hiệu f(x) = sin2x + cosx thì với mọi x\in D ta có: -x \in D và

f(– x) = sin [2(– x)] + cos (– x) = – sin 2x + cos x ≠ ± f(x).

Vậy hàm số đã cho là hàm số không chẵn cũng không lẻ.

d) Tập xác định của hàm số y=2cos(\frac{3\pi}{4}+x)sin(\frac{\pi}{4}-x) là D=\mathbb{R}

Ta có y=2cos(\frac{3\pi}{4}+x)sin(\frac{\pi}{4}-x)

y= sin[(\frac{\pi}{4}-x)+(\frac{3\pi}{4}+x)]+sin[(\frac{\pi}{4}-x)-(\frac{3\pi}{4}+x)]y= sin\pi +sin(-\frac{\pi}{2}-2x) =0-sin(\frac{\pi}{2}+2x)

y =-cos[\frac{\pi}{2}-(\frac{\pi}{2}+2x)]=-cos2x

Nếu kí hiệu f(x)=2cos(\frac{3\pi}{4}+x)sin(\frac{\pi}{4}-x) thì với mọi x\in D ta có: -x \in D và f(-x)=-cos(-2x)=-cos2x=f(x)

Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

Bài 1.61 trang 29 SBT Toán 11 Kết nối

Xét tính tuần hoàn của các hàm số sau:

a) y=sin\frac{x}{2}+cos3x

b) y=cos5x+tan\frac{x}{3}

Bài làm

a) Hàm số y=sin\frac{x}{2} tuần hoàn với chu kì T_{1}=\frac{2\pi}{\frac{1}{2}}=4\pi, hàm số y = cos3x tuần hoàn với chu kì T_{2}=\frac{2\pi}{3}. Ta có 4\pi=6.\frac{2\pi}{3}

Ta chỉ ra rằng hàm số f(x)=sin\frac{x}{2}+cos3x tuần hoàn như sau:

f(x+4\pi)=sin\frac{x+4\pi}{2}+cos3(x+4\pi)

=sin(\frac{x}{2}+2\pi)+cos(3x+12\pi)

=sin\frac{x}{2}+cos3x=f(x) \forall x \in \mathbb{R}

Vậy hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn với chu kì T=4\pi

b) Hàm số y = cos5x tuần hoàn với chu kì T_{1}=\frac{2\pi}{5}, hàm số y=tan\frac{x}{3} hoàn với chu kì T_{2}=\frac{\pi}{\frac{1}{3}}=3\pi

Ta có 6\pi =2.3\pi = 15.\frac{2\pi}{5}

Ta có thể chỉ ra hàm số f(x)=cos5x+tan\frac{x}{3} tuần hoàn như sau

f(x+6\pi)=cos5(x+6\pi)+tan\frac{x+6\pi}{3}=cos(5x+30\pi)+tan(\frac{x}{3}+2\pi)

=cos5x+tan\frac{x}{3}=f(x) \forall x \in \mathbb{R}

Vậy hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn với chu kì T=6\pi

Bài 1.62 trang 29 SBT Toán 11 Kết nối

Giải các phương trình sau:

a) sin3x=-\frac{\sqrt{3}}{2}

b) tan(\frac{x}{3}+10^{o})=-\frac{1}{\sqrt{3}}

c) sin 3x – cos 5x = 0;

d) tan 3x tan x = 1.

Bài làm

a) Ta có sin3x=-\frac{\sqrt{3}}{2}

\Leftrightarrow sin3x=sin(-\frac{\pi}{3})

\Leftrightarrow 3x=-\frac{\pi}{3}+k2\pi hoặc 3x=\pi-(-\frac{\pi}{3})+k2\pi (k \in \mathbb{Z})

\Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{9}+k\frac{2\pi}{3} hoặc x=\frac{4\pi}{9}+k\frac{2\pi}{3}) (k \in \mathbb{Z})

b) Ta có tan(\frac{x}{3}+10^{o})=-\frac{1}{\sqrt{3}}

\Leftrightarrow tan(\frac{x}{3}+10^{o})=tan(-30^{o})

\Leftrightarrow \frac{x}{3}+10^{o}=-30^{o}+k.180^{o} (k\in \mathbb{Z})

\Leftrightarrow x = -120^{o}+k.540^{o} (k \in \mathbb{Z})

c) Ta có sin3x – cos5x = 0

\Leftrightarrow sin3x=cos5x

\Leftrightarrow sin3x = sin(\frac{\pi}{2}-5x)

\Leftrightarrow 3x=\frac{\pi}{2}-5x+k2\pi hoặc 3x=\pi-(\frac{\pi}{2}-5x)+k2\pi (k \in \mathbb{Z})

\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{16}+k\frac{\pi}{4} hoặc x=-\frac{\pi}{4}-k\pi (k \in \mathbb{Z})

d) Điều kiện cos3x \neq 0 và cosx \neq 0 \Leftrightarrow cos3x \neq 0

Ta có tan3xtan x = 1

\Leftrightarrow tan3x=\frac{1}{tanx}

\Leftrightarrow tan3x=cotx

\Leftrightarrow tan3x=tan(\frac{\pi}{2}-x)

\Leftrightarrow3x=\frac{\pi}{2}-x+k\pi (k \in \mathbb{Z})

\Leftrightarrow x =\frac{\pi}{8}+k\frac{\pi}{4} (k \in \mathbb{Z})

Ta thấy x=\frac{\pi}{8}+k\frac{\pi}{4} (k \in \mathbb{Z}) thoả mãn điều kiện.

Vậy nghiệm của phương trình là x=\frac{\pi}{8}+k\frac{\pi}{4} (k \in \mathbb{Z})

Bài 1.63 trang 30 SBT Toán 11 Kết nối

Giải các phương trình sau:

a) sin 5x + cos 5x = – 1;

b) cos 3x – cos 5x = sin x;

c) 2cos^{2}x+cos2x=2

d) sin^{4}x+cos^{4}x=\frac{1}{2}sin^{2}2x

Bài làm

a) Ta có sin5x + cos5x = –1\Leftrightarrow \sqrt{2}sin(5x+\frac{\pi}{4})=-1

\Leftrightarrow sin(5x+\frac{\pi}{4})=-\frac{1}{\sqrt{2}}

\Leftrightarrow sin(5x+\frac{\pi}{4})=sin(-\frac{\pi}{4})

\Leftrightarrow 5x+\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{4}+k2\pi hoặc 5x+\frac{\pi}{4}=\pi-(-\frac{\pi}{4})+k2\pi

\Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{10}+k\frac{2\pi}{5} hoặc x=\frac{\pi}{5}+k\frac{2\pi}{5} (k \in \mathbb{Z})

b) Ta có cos3x – cos5x = sinx

\Leftrightarrow -2sin\frac{3x+5x}{2}sin\frac{3x-5x}{2}=sinx

\Leftrightarrow -2sin4xsin(-x)=sinx

\Leftrightarrow -2sin4xsinx-sinx=0

\Leftrightarrow sin(2sin4x-1)=0

\Leftrightarrow sinx=0 hoặc sin4x=\frac{1}{2}

+ Với sinx = 0 ta được x=k\pi (k \in \mathbb{Z}

+ Với sin4x=\frac{1}{2} \Leftrightarrow sin4x=sin(\frac{\pi}{6})

\Leftrightarrow 4x=\frac{\pi}{6}+k2\pi hoặc 4x=\pi-\frac{\pi}{6}+k2\pi (k\in \mathbb{Z})

\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{24}+k\frac{\pi}{2} hoặc x=\frac{5\pi}{24}+k\frac{\pi}{2}(k\in \mathbb{Z})

c) Ta có: 2cos^{2}x+cos2x=2

\Leftrightarrow (2cos^{2}x-1)+cos2x=1

\Leftrightarrow cos2x +cos2x=1

\Leftrightarrow 2cos2x=1

\Leftrightarrow cos2x=\frac{1}{2}

\Leftrightarrow cos2x=cos\frac{\pi}{3}

\Leftrightarrow 2x =\pm \frac{\pi}{3}+k2\pi (k \in \mathbb{Z})

\Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi}{6} + k\pi (k \in \mathbb{Z})

d) Ta có sin^{4}x+cos^{4}x=\frac{1}{2}sin^{2}2x

\Leftrightarrow (sin^{2}x+cos^{2}x)^{2}-2sin^{2}xcos^{2}x=\frac{1}{2}sin^{2}2x

\Leftrightarrow 1-\frac{1}{2}(2sinx cosx)^{2}=\frac{1}{2}sin^{2}2x

\Leftrightarrow 1-\frac{1}{2}sin^{2}2x=\frac{1}{2}sin^{2}2x

\Leftrightarrow sin^{2}2x=1

\Leftrightarrow cos2x = 0 (do sin^{2}2x + cos^{2}2x=1 )

\Leftrightarrow 2x =\frac{\pi}{2}+k\pi (k \in \mathbb{Z})

\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2} (k \in \mathbb{Z})

Bài 1.64 trang 30 SBT Toán 11 Kết nối

Một thanh xà gồ hình hộp chữ nhật được cắt ra từ một khối gỗ hình trụ có đường kính 30 cm.

a) Chứng minh rằng diện tích mặt cắt của thanh xà gồ được tính bởi công thức

S(θ) = 450sin2θ(cm2)

ở đó góc θ được chỉ ra trong hình vẽ dưới đây.

Giải sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức bài tập cuối chương 1

b) Tìm góc θ để diện tích mặt cắt của thanh xà gồ là lớn nhất.

Bài làm

a) Mặt cắt của thanh xà gồ (hình dưới) là hình chữ nhật có hai kích thước là

AB=30cos\theta và BC=30sin\theta

Giải sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức bài tập cuối chương 1

Vậy diện tích mặt cắt là S=AB.BC=30cos\theta .30sin\theta =450 sin2\theta

b) Vì -1 \leq sin2\theta \leq 1 nên ta có S=450sin2\theta \leq 450

Vậy diện tích mặt cắt của thanh xà gồ lớn nhất khi sin2\theta = 1 hay góc \theta =45^{o}

Bài 1.65 trang 30 SBT Toán 11 Kết nối

Huyết áp là áp lực cần thiết tác động lên thành của động mạch để đưa máu từ tim đến nuôi dưỡng các mô trong cơ thể. Huyết áp được tạo ra do lực co bóp của cơ tim và sức cản của thành động mạch. Mỗi lần tim đập, huyết áp của chúng ta tăng rồi giảm giữa các nhịp. Huyết áp tối đa và huyết áp tối thiểu gọi là huyết áp tâm thu và tâm trương, tương ứng. Chỉ số huyết áp của chúng ta được viết là tâm thu/tâm trương. Chỉ số huyết áp 120/80 là bình thường. Giả sử một người nào đó có nhịp tim là 70 lần trên phút và huyết áp của người đó được mô hình hóa bởi hàm số

P(t)=100 \Leftrightarrow 100 + 20sin(\frac{7\pi}{3}t)=100

ở đó P(t) là huyết áp tính theo đơn vị mmHg (milimét thuỷ ngân) và thời gian t tính theo giây.

a) Trong khoảng từ 0 đến 1 giây, hãy xác định số lần huyết áp là 100 mmHg.

b) Trong khoảng từ 0 đến 1 giây, hãy xác định số lần huyết áp là 120 mmHg

Bài làm

a) Huyết áp là 100 mmHg khi

P((t)=100 \Leftrightarrow 100 + 20sin(\frac{7\pi}{3}t) =100

\Leftrightarrow sin(\frac{7\pi}{3}t)=0 \Leftrightarrow \frac{7\pi}{3}t=k\pi (k\in \mathbb{Z})

\Leftrightarrow t=\frac{3k}{7} ( k \in \mathbb{Z})

Xét 0 < t < 1 \Leftrightarrow 0 <\frac{3k}{7} <1 \Leftrightarrow 0 < k <\frac{7}{3}. Suy ra k \in {1;2} vì k \in \mathbb{Z}

Vậy trong khoảng từ 0 đến 1 giây, có 2 lần huyết áp là 100 mmHg.

b) Huyết áp là 120 mmHg khi

P(t)=120 \Leftrightarrow 100 + 20sin(\frac{7\pi}{3}t)=120

\Leftrightarrow sin(\frac{7\pi}{3}t)=1 \Leftrightarrow \frac{7\pi}{3}t=\frac{\pi}{2}+k2\pi (k \in \mathbb{Z})

\Leftrightarrow t = \frac{3}{14}+\frac{6k}{7} ( k\in \mathbb{Z}) .

Xét 0 < t <1 \Leftrightarrow 0<\frac{3}{14} +\frac{6k}{7}< 1 \Leftrightarrow -\frac{1}{4} < k <\frac{11}{12}

Suy ra k = 0 vì k \in \mathbb{Z}

Vậy trong khoảng từ 0 đến 1 giây, có 1 lần huyết áp là 120 mmHg.

------------------------------------

Bài tiếp theo: Giải SBT Toán 11 Kết nối tri thức bài 5

VnDoc.com vừa gửi tới bạn đọc bài viết Giải SBT Toán 11 Kết nối tri thức bài tập cuối chương 1. Mời các bạn cùng tham khảo thêm tại mục Toán 11 Kết nối tri thức, Giải sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức.

Đánh giá bài viết
1 20
Mục lục
Tìm thêm: Sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức Toán 11 kết nối tri thức toán 11 kết nối
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
    Giải SBT Toán 11 Kết nối tri thức

    Tham khảo thêm

    Sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức

    Xem thêm