Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

VnDoc.com

Giải SBT Toán 11 Kết nối tri thức bài 5

Dãy số

Bài trước

Bài sau

Giải sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức bài 5: Dãy số

Bài 2.1 trang 33 SBT Toán 11 Kết nối tri thức
Bài 2.2 trang 33 SBT Toán 11 Kết nối tri thức
Bài 2.3 trang 33 SBT Toán 11 Kết nối tri thức
Bài 2.4 trang 34 SBT Toán 11 Kết nối tri thức
Bài 2.5 trang 34 SBT Toán 11 Kết nối tri thức
Bài 2.6 trang 34 SBT Toán 11 Kết nối tri thức
Bài 2.7 trang 34 SBT Toán 11 Kết nối tri thức
Bài 2.8 trang 34 SBT Toán 11 Kết nối tri thức
Bài 2.9 trang 34 SBT Toán 11 Kết nối tri thức
Bài 2.10 trang 34 SBT Toán 11 Kết nối tri thức

VnDoc.com xin gửi tới bạn đọc bài viết Giải sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức bài 5: Dãy số để bạn đọc cùng tham khảo và có thêm tài liệu học Toán 11 Kết nối tri thức nhé. Mời các bạn cùng theo dõi bài viết dưới đây.

Bài 2.1 trang 33 SBT Toán 11 Kết nối tri thức

Viết năm số hạng đầu tiên của mỗi dãy số (u_n) sau:

a) $u_{n}=(-1)^{n-1}\frac{n}{2x-1}$ $u_{n}=(-1)^{n-1}\frac{n}{2x-1}$

b) $u_{1}=1,u_{n}=n-u_{n-1} (n \geq 2)$ $u_{1}=1,u_{n}=n-u_{n-1} (n \geq 2)$

Bài làm

a) $u_{1}=(-1)^{0}.\frac{1}{2.1-1}=1$ $u_{1}=(-1)^{0}.\frac{1}{2.1-1}=1$

$u_{2}=(-1)^{2-1}.\frac{2}{2.2-1}=-\frac{2}{3}$ $u_{2}=(-1)^{2-1}.\frac{2}{2.2-1}=-\frac{2}{3}$

$u_{3}=(-1)^{3-1}.\frac{3}{2.3-1}=\frac{3}{5}$ $u_{3}=(-1)^{3-1}.\frac{3}{2.3-1}=\frac{3}{5}$

$u_{4}=(-1)^{4-1}.\frac{4}{2.4-1}=-\frac{4}{7}$ $u_{4}=(-1)^{4-1}.\frac{4}{2.4-1}=-\frac{4}{7}$

$u_{5}=(-1)^{5-1}.\frac{5}{2.5-1}=\frac{5}{9}$ $u_{5}=(-1)^{5-1}.\frac{5}{2.5-1}=\frac{5}{9}$

b) $u_{1}=1;u_{2}=2-u_{1}=2-1=1$ $u_{1}=1;u_{2}=2-u_{1}=2-1=1$

$u_{3}=3-u_{2}=3-1=2$ $u_{3}=3-u_{2}=3-1=2$

$u_{4}=4-u_{3}=4-2=2$ $u_{4}=4-u_{3}=4-2=2$

$u_{5}=5-u_{4}=5-2=3$ $u_{5}=5-u_{4}=5-2=3$

Bài 2.2 trang 33 SBT Toán 11 Kết nối tri thức

Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số sau:

a) $u_{n}=n^{2}+n+1$ $u_{n}=n^{2}+n+1$

b) $u_{n}=\frac{2n+5}{n+2}$ $u_{n}=\frac{2n+5}{n+2}$

c) $u_{n}=\frac{(-1)^{n-1}}{n^{2}+1}$ $u_{n}=\frac{(-1)^{n-1}}{n^{2}+1}$

Bài làm

a) Ta có $u_{n+1}-u_{n}=[(n+1)^{2}+(n+1)+1]-(n^{2}+n+1)$ $u_{n+1}-u_{n}=[(n+1)^{2}+(n+1)+1]-(n^{2}+n+1)$

$= n^{2}+2n+1+n+1+1-n^{2}-n-1=2n+2 > 0 \forall n \geq 1$ $= n^{2}+2n+1+n+1+1-n^{2}-n-1=2n+2 > 0 \forall n \geq 1$

Do đó, $u_{n+1}>u_{n} \forall n \geq 1$ $u_{n+1}>u_{n} \forall n \geq 1$. Vậy $(u_{n})$ $(u_{n})$ là dãy số tăng.

b) Ta có $u_{n+1}-u_{n}=\frac{2(n+1)+5}{n+1+2}-\frac{2n+5}{n+2}=$ $u_{n+1}-u_{n}=\frac{2(n+1)+5}{n+1+2}-\frac{2n+5}{n+2}=$

$\frac{2n+7}{n+3}-\frac{2n+5}{n+2}=\frac{(2n+7)(n+2)-(2n+5)(n+3)}{(n+3)(n+2)}$ $\frac{2n+7}{n+3}-\frac{2n+5}{n+2}=\frac{(2n+7)(n+2)-(2n+5)(n+3)}{(n+3)(n+2)}$

$=\frac{-1}{(n+3)(n+2)}<0, \forall n \geq 1$ $=\frac{-1}{(n+3)(n+2)}<0, \forall n \geq 1$

Do đó, $u_{n + 1} < u_{n}, \forall n \geq 1$ $u_{n + 1} < u_{n}, \forall n \geq 1$. Vậy $(u_{n})$ $(u_{n})$ là dãy số giảm.

c) Ta có $u_{n+1}-u_{n}=\frac{(-1)^{n+1-1}}{(n+1)^{2}+1}-\frac{(-1)^{n-1}}{n^{2}+1}$ $u_{n+1}-u_{n}=\frac{(-1)^{n+1-1}}{(n+1)^{2}+1}-\frac{(-1)^{n-1}}{n^{2}+1}$

$=\frac{(-1)^{n}}{(n+1)^{2}+1}+\frac{(-1)^{n}}{n^{2}+1}=(-1)^{n}(\frac{1}{(n+1)^{2}+1}+\frac{1}{n^{2}+1})$ $=\frac{(-1)^{n}}{(n+1)^{2}+1}+\frac{(-1)^{n}}{n^{2}+1}=(-1)^{n}(\frac{1}{(n+1)^{2}+1}+\frac{1}{n^{2}+1})$

Vì $\frac{1}{(n+1)^{2}+1}+\frac{1}{n^{2}+1} > 0, \forall n \geq 1$ $\frac{1}{(n+1)^{2}+1}+\frac{1}{n^{2}+1} > 0, \forall n \geq 1$ nên hiệu $u_{n+1}-u_{n}$ $u_{n+1}-u_{n}$ dương hay âm phụ thuộc vào n, cụ thể là dương khi n chẵn và âm khi n lẻ.

Do đó, dãy số $(u_{n})$ $(u_{n})$ không tăng cũng không giảm.

Bài 2.3 trang 33 SBT Toán 11 Kết nối tri thức

Xét tính bị chặn của các dãy số sau:

a) $u_{n}=\frac{n}{2n+1}$ $u_{n}=\frac{n}{2n+1}$

b) $u_{n}=n^{2}+n-1$ $u_{n}=n^{2}+n-1$

c) $u_{n}=-n^{2}+1$ $u_{n}=-n^{2}+1$

Bài làm

a) Ta có $u_{n}=\frac{n}{2n+1} \geq \frac{1}{3} , \forall n \geq 1$ $u_{n}=\frac{n}{2n+1} \geq \frac{1}{3} , \forall n \geq 1$

Lại có $u_{n}=\frac{n}{2n+1}=\frac{\frac{1}{2}(2n+1)-\frac{1}{2}}{2n+1}$ $u_{n}=\frac{n}{2n+1}=\frac{\frac{1}{2}(2n+1)-\frac{1}{2}}{2n+1}$

$=\frac{1}{2}-\frac{\frac{1}{2}}{2n+1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2(2n+1)}$ $=\frac{1}{2}-\frac{\frac{1}{2}}{2n+1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2(2n+1)}$

Suy ra $u_{n} \leq \frac{1}{2}, \forall n \geq 1$ $u_{n} \leq \frac{1}{2}, \forall n \geq 1$

Do đó $\frac{1}{3} \leq u_{n} \leq \frac{1}{2} \forall n \geq 1$ $\frac{1}{3} \leq u_{n} \leq \frac{1}{2} \forall n \geq 1$. Vậy $(u_{n})$ $(u_{n})$ là dãy số bị chặn.

b) Ta có $n-1 \geq 0$ $n-1 \geq 0$ với mọi $n \geq 1$ $n \geq 1$ và $n^{2} \geq 0$ $n^{2} \geq 0$ với mọi n.

Do đó, $u_{n}=n^{2}+n-1 \geq 1$ $u_{n}=n^{2}+n-1 \geq 1$

Vậy dãy số $(u_{n})$ $(u_{n})$ bị chặn dưới bởi 1 với mọi $n \geq 1$ $n \geq 1$

c) Ta có $u_{n}=-n^{2}+1<1$ $u_{n}=-n^{2}+1<1$ với mọi $n \geq 1$ $n \geq 1$

Vậy dãy số $(u_{n})$ $(u_{n})$ bị chặn trên bởi 1 với mọi $n \geq 1$ $n \geq 1$

Bài 2.4 trang 34 SBT Toán 11 Kết nối tri thức

Để tính xấp xỉ giá trị $\sqrt{p}$ $\sqrt{p}$, người ta có thể dùng dãy số cho bởi hệ thức truy hồi sau:

$u_{1}=k,u_{n}=\frac{1}{2}(u_{n-1}+\frac{p}{u_{n-1}}) với n \geq 2$ $u_{1}=k,u_{n}=\frac{1}{2}(u_{n-1}+\frac{p}{u_{n-1}}) với n \geq 2$

ở đó k là một giá trị dự đoán ban đầu của $\sqrt{p}$ $\sqrt{p}$

Sử dụng hệ thức truy hồi này, hãy tính xấp xỉ các giá trị sau bằng cách tính $u_{5}$ $u_{5}$ và tính sai số tuyệt đối khi so với giá trị tính bằng máy tính cầm tay (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ năm).

a) $\sqrt{5}$ $\sqrt{5}$ (lấy k = 3);

b) $\sqrt{8}$ $\sqrt{8}$ (lấy k = 3).

Bài làm

a) Với p = 5 thì $\sqrt{5} \approx 2,23607$ $\sqrt{5} \approx 2,23607$. Nếu ta chọn $u_{1}=3$ $u_{1}=3$ thì ta có:

u₁ = 3

u₂ = $\frac{1}{2}(u_{1}+\frac{5}{u_{1}}=\frac{1}{2}(3+\frac{5}{3}) \approx 2,3333$ $\frac{1}{2}(u_{1}+\frac{5}{u_{1}}=\frac{1}{2}(3+\frac{5}{3}) \approx 2,3333$

u₃ = $\frac{1}{2}(u_{2}+\frac{5}{u_{2}}=\frac{1}{2}(2,3333+\frac{5}{2,3333}) \approx 2,2381$ $\frac{1}{2}(u_{2}+\frac{5}{u_{2}}=\frac{1}{2}(2,3333+\frac{5}{2,3333}) \approx 2,2381$

u₄ = $\frac{1}{2}(u_{3}+\frac{5}{u_{3}}=\frac{1}{2}(2,2381+\frac{5}{2,2381}) \approx 2,2361$ $\frac{1}{2}(u_{3}+\frac{5}{u_{3}}=\frac{1}{2}(2,2381+\frac{5}{2,2381}) \approx 2,2361$

u₅ = $\frac{1}{2}(u_{4}+\frac{5}{u_{4}}=\frac{1}{2}(2,2361+\frac{5}{2,2361}) \approx 2,2361$ $\frac{1}{2}(u_{4}+\frac{5}{u_{4}}=\frac{1}{2}(2,2361+\frac{5}{2,2361}) \approx 2,2361$

Sai số tuyệt đối xấp xỉ bằng 2,2361 – 2,23607 = 0,00003.

b) Với p = 8 thì $\sqrt{8} \approx 2,82843$ $\sqrt{8} \approx 2,82843$. Nếu ta chọn u₁ = 3 thì ta có:

u₁ = 3

u₂ = $\frac{1}{2}(u_{1}+\frac{8}{u_{1}}=\frac{1}{2}(3+\frac{8}{3}) \approx 2,8333$ $\frac{1}{2}(u_{1}+\frac{8}{u_{1}}=\frac{1}{2}(3+\frac{8}{3}) \approx 2,8333$

u₃ = $\frac{1}{2}(u_{2}+\frac{8}{u_{2}}=\frac{1}{2}(2,8333+\frac{8}{2,8333}) \approx 2,8284$ $\frac{1}{2}(u_{2}+\frac{8}{u_{2}}=\frac{1}{2}(2,8333+\frac{8}{2,8333}) \approx 2,8284$

u₄ = $\frac{1}{2}(u_{3}+\frac{8}{u_{3}}=\frac{1}{2}(2,8284+\frac{8}{2,8284}) \approx 2,8284$ $\frac{1}{2}(u_{3}+\frac{8}{u_{3}}=\frac{1}{2}(2,8284+\frac{8}{2,8284}) \approx 2,8284$

u₅ = $\frac{1}{2}(u_{4}+\frac{8}{u_{4}}=\frac{1}{2}(2,8284+\frac{8}{2,8284}) \approx 2,8284$ $\frac{1}{2}(u_{4}+\frac{8}{u_{4}}=\frac{1}{2}(2,8284+\frac{8}{2,8284}) \approx 2,8284$

Sai số tuyệt đối xấp xỉ bằng 2,8284 – 2,82843 = 0,00003.

Bài 2.5 trang 34 SBT Toán 11 Kết nối tri thức

Cho dãy số (u_n) xác định bằng hệ thức truy hồi

$u_{1},u_{n+1}=u_{n}+(n+1)$ $u_{1},u_{n+1}=u_{n}+(n+1)$

a) Mỗi số hạng của dãy số này gọi là một số tam giác. Viết bảy số tam giác đầu.

b) Biết rằng 1+2+…+... = $\frac{n(n+1)}{2}$ $\frac{n(n+1)}{2}$. Hãy chứng tỏ công thức của số hạng tổng quát là $u_{n+1}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$ $u_{n+1}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$

c) Chứng minh rằng $u_{n+1}+u_{n}=(n+1)^{2}$ $u_{n+1}+u_{n}=(n+1)^{2}$, tức là tổng của hai số tam giác liên tiếp là một số chính phương

Bài làm

a) Bảy số tam giác đầu là u₁ = 1; u₂ = u₁ + (1 + 1) = 1 + 2 = 3 ;

u₃ = u₃ + (2 + 1) = 3 + 3 = 6; u₄ = u₃ + (3 + 1) = 6 + 4 = 10 ;

u₅ = u₄ + (4 + 1) = 10 + 5 = 15; u₆ = u₅ + (5 + 1) = 15 + 6 = 21 ;

u₇ = u₆ + (6 + 1) = 21 + 7 = 28 .

b) Từ kết quả ở câu a, ta nhận thấy u₁ = 1, u₂ = 1 + 2, u₃ = 1 + 2 + 3, u₄ = 1 + 2 + 3 + 4, ...

Từ đó suy ra $u_{n + 1} = 1 + 2 + ... + n + (n + 1) =\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)$ $u_{n + 1} = 1 + 2 + ... + n + (n + 1) =\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)$

$=\frac{n(n+1)+2(n+1)}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$ $=\frac{n(n+1)+2(n+1)}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$

Vậy $u_{n+1}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$ $u_{n+1}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$

c) Theo công thức ở câu b) ta có:

$u_{n+1}+u_{n}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}+\frac{n(n+1)}{2}=\frac{(n+1)((n+2)+n)}{2}$ $u_{n+1}+u_{n}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}+\frac{n(n+1)}{2}=\frac{(n+1)((n+2)+n)}{2}$

$=\frac{(n+1).2(n+1)}{2}=(n+1)^{2}$ $=\frac{(n+1).2(n+1)}{2}=(n+1)^{2}$

Vậy tổng của hai số tam giác liên tiếp là một số chính phương.

Bài 2.6 trang 34 SBT Toán 11 Kết nối tri thức

Giá của một chiếc máy photocopy lúc mới mua là 50 triệu đồng. Biết rằng giá trị của nó sau mỗi năm sử dụng chỉ còn 75% giá trị trong năm liền trước đó. Tính giá trị còn lại của chiếc máy photocopy đó sau mỗi năm, trong khoảng thời gian 5 năm kể từ khi mua.

Bài làm

Giá trị của máy photocopy sau 1 năm sử dụng là

T₁ = 50.75 (triệu đồng).

Giá trị của máy photocopy sau 2 năm sử dụng là

T₂ = T₁.75 (triệu đồng).

Giá trị của máy photocopy sau 3 năm sử dụng là

T₃ = T₂.75 (triệu đồng).

Giá trị của máy photocopy sau 4 năm sử dụng là

T₄ = T₃.75 (triệu đồng).

Giá trị của máy photocopy sau 5 năm sử dụng là

T₅ = T₄.75 (triệu đồng).

Tổng quát, giá trị của máy photocopy sau n năm sử dụng là

T_n = T₁.(0,75)^n–1 (triệu đồng).

Bài 2.7 trang 34 SBT Toán 11 Kết nối tri thức

Nếu tỉ lệ lạm phát là 3,5% mỗi năm và giá trung bình của một căn hộ chung cư mới tại thời điểm hiện tại là 2,5 tỉ đồng thì giá trung bình của một căn hộ chung cư mới sau n năm nữa được cho bởi công thức

A_n = 2,5.(1,035)ⁿ (tỉ đồng).

Tìm giá trung bình của một căn hộ chung cư mới sau 5 năm nữa.

Bài làm

Giá trung bình của một căn hộ chung cư mới sau 5 năm là

A₅ = 2,5.(1,035)ⁿ ≈ 2,9692 (tỉ đồng).

Bài 2.8 trang 34 SBT Toán 11 Kết nối tri thức

Bác An gửi tiết kiệm 200 triệu đồng kì hạn 3 tháng, với lãi suất 3% một năm. Số tiền (triệu đồng) cả vốn lẫn lãi mà bác An nhận được sau n quý (mỗi quý là 3 tháng) sẽ là

$A_{n}=200(1+\frac{0,03}{4})^{n}, n=0,1,2,…$ $A_{n}=200(1+\frac{0,03}{4})^{n}, n=0,1,2,…$

a) Viết ba số hạng đầu của dãy số.

b) Tìm số tiền bác An nhận được sau 2 năm.

Bài làm

a) Ba số hạng đầu của dãy số là

$A_{1}=200(1+\frac{0,03}{4})^{1}=201,5$ $A_{1}=200(1+\frac{0,03}{4})^{1}=201,5$

$A_{2}=200(1+\frac{0,03}{4})^{2}=203,01125$ $A_{2}=200(1+\frac{0,03}{4})^{2}=203,01125$

$A_{3}=200(1+\frac{0,03}{4})^{3} \approx 204,5338$ $A_{3}=200(1+\frac{0,03}{4})^{3} \approx 204,5338$

b) Ta có 2 năm bằng 8 quý, tức là n = 8.

Do đó, sau 2 năm số tiền bác An nhận được là

$A_{8}=200(1+\frac{0,03}{4})^{8} \approx 212,3198$ $A_{8}=200(1+\frac{0,03}{4})^{8} \approx 212,3198$

Bài 2.9 trang 34 SBT Toán 11 Kết nối tri thức

Vi khuẩn E. Coli sinh sản thông qua một quá trình gọi là quá trình phân đôi. Vi khuẩn E. Coli phân chia làm đôi cứ sau 20 phút. Giả sử tốc độ phân chia này được duy trì trong 12 giờ kể từ khi vi khuẩn ban đầu xâm nhập vào cơ thể. Hỏi sau 12 giờ sẽ có bao nhiêu vi khuẩn E. Coli trong cơ thể? Giả sử có một nguồn dinh dưỡng vô hạn để vi khuẩn E. Coli duy trì tốc độ phân chia như cũ trong 48 giờ kể từ khi vi khuẩn ban đầu xâm nhập vào cơ thể. Hỏi sau 48 giờ sẽ có bao nhiêu vi khuẩn E. Coli trong cơ thể?

Bài làm

Giả sử ban đầu có 1 vi khuẩn E. Coli.

Sau 20 phút lần một, số vi khuẩn là 1 . 2 = 2 (con).

Sau 20 phút lần hai, số vi khuẩn là 2 . 2 = 2² (con).

Sau 20 phút lần ba, số vi khuẩn là 2² . 2 = 2³ (con).

Sau 20 phút lần bốn, số vi khuẩn là 2³ . 2 = 2⁴ (con).

...

Tương tự như vậy sau 12 giờ (bằng 3 . 12 lần 20 phút) thì số vi khuẩn là

2^3.12 = 2³⁶ ≈ 6,87.10¹⁰(con).

Sau 48 giờ (bằng 3 . 48 lần 20 phút) thì số vi khuẩn là

2^3.48 = 2¹⁴⁴ ≈ 2,23 . 10⁴³ (con).

Bài 2.10 trang 34 SBT Toán 11 Kết nối tri thức

Một công ty dược phẩm đang thử nghiệm một loại thuốc mới. Một thí nghiệm bắt đầu với 1,0 × 10⁹ vi khuẩn. Một liều thuốc được sử dụng sau mỗi bốn giờ có thể tiêu diệt 4,0 × 10⁸ vi khuẩn. Giữa các liều thuốc, số lượng vi khuẩn tăng lên 25%.

a) Viết hệ thức truy hồi cho số lượng vi khuẩn sống trước mỗi lần sử dụng thuốc.

b) Tìm số vi khuẩn còn sống trước lần sử dụng thuốc thứ năm.

Bài làm

a) Gọi u₁ = 1,0 . 10⁹ là số vi khuẩn tại thời điểm ban đầu và un là số vi khuẩn trước lần dùng thuốc thứ n.

Do mỗi liều thuốc được sử dụng sau bốn giờ có thể tiêu diệt 4,0.108 vi khuẩn và giữa các liều thuốc, số lượng vi khuẩn tăng lên 25% nên ta có

u_n+1 = (u_n − 4,0.10⁸) + 25.

Ta có hệ thức truy hồi u₁ = 1,0.10⁹; u_n+1 = 1,25u_n − 4,0 . 10⁸

b) Ta tính u₅ như sau:

u₁ = 1,0 . 10⁹;

u₂ = 1,25u₁ − 4,0 . 10⁸ = 1,25 . 1,0 . 10⁹ − 4,0 . 10⁸ = 8,5 . 10⁸;

u₃ = 1,25u₂ − 4,0 . 10⁸ = 1,25 . 8,5 . 10⁸ − 4,0 . 10⁸ = 6,625 . 10⁸;

u₄ = 1,25u₃ − 4,0 . 10⁸ = 1,25 . 6,625 . 10⁸ − 4,0 . 10⁸ = 4,28125 . 10⁸;

u₅ = 1,25u₄ − 4,0 . 10⁸ = 1,25 . 4,28125 . 10⁸ − 4,0 . 10⁸ = 1,3515625 . 10⁸ = 135156250;

Vậy số vi khuẩn còn sống trước lần sử dụng thuốc thứ năm là 135 156 250 con.

------------------------------------------

Bài tiếp theo: Giải sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức bài 6

VnDoc.com vừa gửi tới bạn đọc bài viết Giải sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức bài 5: Dãy số. Mời các bạn cùng tham khảo thêm tại mục Toán 11 Kết nối tri thức, Giải sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức.

Chia sẻ, đánh giá bài viết

Bài trước

Bài sau