Giải SBT Toán 11 Kết nối tri thức bài 3
Giải sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức bài 3: Hàm số lượng giác
- Bài 1.16 trang 17 SBT Toán 11 Kết nối
- Bài 1.17 trang 17 SBT Toán 11 Kết nối
- Bài 1.18 trang 18 SBT Toán 11 Kết nối
- Bài 1.19 trang 18 SBT Toán 11 Kết nối
- Bài 1.20 trang 18 SBT Toán 11 Kết nối
- Bài 1.21 trang 18 SBT Toán 11 Kết nối
- Bài 1.22 trang 18 SBT Toán 11 Kết nối
- Bài 1.23 trang 18 SBT Toán 11 Kết nối
- Bài 1.24 trang 18 SBT Toán 11 Kết nối
Giải sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức bài 3: Hàm số lượng giác được VnDoc.com sưu tầm và xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo. Mời các bạn cùng theo dõi để có thêm tài liệu học Toán 11 Kết nối tri thức nhé.
Bài 1.16 trang 17 SBT Toán 11 Kết nối
Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) y = cot3x
b) 
\(y=\sqrt{1-cos4x}\)
c) \(y=\frac{cos2x}{sin^{2}x-cos^{2}x}\)
d) \(y=\sqrt{\frac{1+cos2x}{1-sin2x}}\)
Bài làm
a) y = cot3x xác định khi \(sin3x \neq 0\) hay \(3x \neq k\pi, k \in \mathbb{Z}\)
Vậy tập xác định của hàm số y là \(\mathbb{R} \{ k\frac{\pi}{3} | {k \in \mathbb{Z} }\)
b) \(y=\sqrt{1-cos4x}\) xác định với mọi x vì \(cos4x \leq 1\) với mọi x nên \(1-cos4x \geq 0\) với mọi x
Vậy tập xác định của hàm số y là \(\mathbb{R}\)
c) \(y=\frac{cos2x}{sin^{2}x-cos^{2}x}=\frac{cos2x}{-(cos^{2}x-sin^{2}x)}=\frac{cos2x}{-cos2x}\) xác định khi \(cos2x \neq 0\)
Suy ra \(2x \neq \frac{\pi}{2}+k\pi, k \in \mathbb{Z}\) hay \(x \neq \frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},k \in \mathbb{Z}\)
Vậy tập xác định của hàm số y là \(\mathbb{R} \ \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2}| k\in \mathbb{Z}\)
d) Ta có: \(cos2x \geq -1 nên 1+cos2x \geq 0\) với mọi x
sin \(2x \leq 1\) nên \(1-sin2x \geq 0\) với mọi x
Do đó biểu thức \(y=\sqrt{\frac{1+cos2x}{1-sin2x}}\) xác định khi \(sin2x\neq 1\) hay \(2x\neq \frac{\pi}{2}+k2\pi, k \in \mathbb{Z}\)
Vậy tập xác định của hàm số y là \(\mathbb{R} = \frac{\pi}{4}+k\pi|k \in \mathbb{Z}\)
Bài 1.17 trang 17 SBT Toán 11 Kết nối
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) y = 2 + 3|cosx|;
b) \(y=2\sqrt{sinx}+1\);
c) \(y = 3 cos^{2} x + 4 cos2x\);
d) y = sinx + cosx.
Bài làm
a) Vì \(0 \leq |cos x| \leq 1\) nên \(0 \leq 3|cos x| \leq 3\), do đó \(2 \leq 2 + 3|cos x| \leq 5\) với mọi \(x\in \mathbb{R}\).
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 5, đạt được khi \(|cosx| = 1\Leftrightarrow sinx= 0\Leftrightarrow x = k\pi ( k \in \mathbb{Z})\)
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 2, đạt được khi \(cosx = 0\Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2}+k\pi (k \in \mathbb{Z})\)
b) Điều kiện \(sinx \ geq 0\). Vì \(0 \leq \sqrt{sinx} \leq 1 nên 0 \leq 2\sqrt{sinx} \leq 2\)
Do đó \(1 \leq 1+2\sqrt{sinx} \leq 3\) với mọi x thoả mãn \(0 \leq sinx \leq 1\)
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 3, đạt được khi sin x = 1 hay \(x=\frac{\pi}{2}+k2\pi (k \in \mathbb{Z})\)
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1, đạt được khi sin x = 0 hay \(x=k\pi (k \in \mathbb{Z})\)
c) Ta có \(y=3cos^{2}x+4cos2x=3.\frac{1+cos2x}{2}+4cos2x=\frac{3}{2}+\frac{11}{2}cos2x\)
Vì \(-1\leq cos 2x \leq 1\) nên \(-\frac{11}{2} \leq \frac{11}{2}cos2x \leq \frac{11}{2}\)
Do đó \(-4=\frac{3}{2}-\frac{11}{2} \leq \frac{3}{2}+\frac{11}{2}cos2x \leq \frac{3}{2}+\frac{11}{2}=7\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 7, đạt được khi
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là – 4, đạt được khi
\(cox2x = -1\Leftrightarrow 2x=\pi+ k2\pi \Leftrightarrow x= \frac{\pi}{2}+k\pi (k \in \mathbb{Z})\)
d) Ta có \(y=sinx+cosx = \sqrt{2}sin(x+\frac{\pi}{4})\)
Vì \(-1\leq sin(x+\frac{\pi}{4}) \leq 1\) nên \(-\sqrt{2} \leq \sqrt{2}sin(x+\frac{\pi}{4}) \leq \sqrt{2}\) với mọi \(x\in \mathbb{R}\)
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là \(\sqrt{2}\), đạt được khi \(sin(x+\frac{\pi}{4})=1\Leftrightarrow x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{4}+k2\pi (k \in \mathbb{Z})\)
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(-\sqrt{2}\), đạt được khi \(sin(x+\frac{\pi}{4})=-1\Leftrightarrow x+\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{2}+k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{-3\pi}{4}+k2\pi (k \in \mathbb{Z})\)
Bài 1.18 trang 18 SBT Toán 11 Kết nối
Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:
a) \(y=\frac{cos2x}{x^{3}}\)
b) y = x – sin3x
c) \(y=\sqrt{1+cosx}\)
d) \(y=1+cosxsin(\frac{3\pi}{2}-2x)\)
Bài làm
a) Tập xác định của hàm số là D = \(\mathbb{R}\)\{0}.
Nếu kí hiệu \(f(x)=\frac{cos2x}{x^{3}}\) thì với mọi \(x \in D\)
Ta có \(-x \in D\) và \(f(-x)=\frac{cos2(-x)}{(-x)^{3}}=\frac{cos2x}{-x^{3}}=-\frac{cos2x}{x^{3}}= -f(x)\)
Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.
b) Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\)
Nếu kí hiệu f(x) = x – sin3x thì với mọi \(x \in D\)
Ta có \(– x \in D\) và f(– x) = (– x) – sin3(– x) = – x + sin3x = – (x – sin3x) = – f(x).
Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.
c) Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\).
Nếu kí hiệu \(f(x)=\sqrt{1+cosx}\) thì với mọi \(x \in D\)
Ta có \(– x \in D\) và \(f(-x)=\sqrt{1+cos(-x)}=\sqrt{1+cosx}=f(x)\)
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.
d) Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\)
Ta có \(y=1+cosxsin(\frac{3\pi}{2}-2x)\)
\(=1+cosx(sin\frac{3x}{2}cos2x-cos\frac{3\pi}{2}sin2x)\)
\(=1-cosxcos2x\)
Nếu kí hiệu f(x) = 1 – cosxcos2x thì với mọi \(x\in D\)
Ta có \(– x \in D\) và f(–x) = 1 – cos(–x)cos(–2x) = 1 – cosxcos2x = f(x).
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.
Bài 1.19 trang 18 SBT Toán 11 Kết nối
Xét tính tuần hoàn của các hàm số sau:
a) \(y=Asin(\omega x + \varphi)\) với A > 0;
b) \(y=Atan(\omega x + \varphi)\) với A > 0;
c) y = 3 sin2x + 3cos2x;
d) \(y=3sin(2x+\frac{\pi}{6})+3sin(2x-\frac{\pi}{3})\)
Bài làm
a) Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\)
Nếu kí hiệu \(f(x)=Asin(\omega x + \varphi)\) thì với mọi \(x \in D\), ta có
\(x+\frac{2\pi}{\omega} \in D, x - \frac{2\pi}{\omega} \in D\) và
\(f(x+\frac{2\pi}{\omega})=Asin(\omega (x+\frac{2\pi}{\omega}) + \varphi)\)
\(=Asin(\omega x+2\pi+\varphi)=Asin(\omega x +\varphi)=f(x)\)
Vậy hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn, chu kì của hàm số này là \(\frac{2\pi}{\omega}\)
b) Nếu kí hiệu D là tập xác định của hàm số \(f(x)=Atan(\omega x + \varphi)\) thì với mọi \(x \in D\), ta có:
\(x+\frac{\pi}{\omega} \in D, x - \frac{\pi}{\omega} \in D\) và
\(f(x+\frac{\pi}{\omega})=Atan(\omega (x+\frac{\pi}{\omega} + \varphi)=Atan(\omega x + \pi + \varphi) = Atan (\omega x +\varphi) = f(x)\)
Vậy hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn, chu kì của hàm số này là \(\frac{\pi}{\omega}\)
c) Ta có 3sin2x + 3cos2x = 3(sin2x + cos2x) = \(3\sqrt{2}sin(2x+\frac{\pi}{4})\)
Theo câu a, ta suy ra hàm số y = 3sin2x + 3cos2x là hàm số tuần hoàn chu kì \(\frac{2\pi}{2}=\pi\)
d) Ta có \(y=3sin(2x+\frac{\pi}{6})+3sin(2x-\frac{\pi}{3})\)
\(=3.2sin\frac{(2x+\frac{\pi}{6})+(2x-\frac{\pi}{3})}{2}cos\frac{(2x+\frac{\pi}{6})-(2x-\frac{\pi}{3})}{2}=3\sqrt{2}sin(2x-\frac{\pi}{12})\)
Vậy theo câu a, hàm số \(y=3sin(2x+\frac{\pi}{6})+3sin(2x-\frac{\pi}{3})\) là hàm số tuần hoàn chu kì \(\frac{2\pi}{2}=\pi\)
Bài 1.20 trang 18 SBT Toán 11 Kết nối
Với giá trị nào của x, mỗi đẳng thức sau đúng?
a) tanx cotx = 1;
b) \(1+tan^{2}x=\frac{1}{cos^{2}x}\)
c) \(1+cot^{2}x=\frac{1}{sin^{2}x}\)
d) \(tanx+cotx=\frac{2}{sin2x}\)
Bài làm
a) Đẳng thức tanxcotx = 1 đúng với mọi x khi tanx và cotx có nghĩa, tức là
\(\left\{\begin{matrix}sinx \neq 0\\cosx \neq 0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow 2sinxcosx \neq 0\)
\(\Leftrightarrow sin2x \neq 0 \Leftrightarrow 2x \neq k\pi (k\in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow x \neq k\frac{\pi}{2} ( k\in \mathbb{Z})\)
b) Đẳng thức \(1+tan^{2}x=\frac{1}{cos^{2}x}\) đúng với mọi x khi \(cosx \neq 0\), tức là \(x \neq \frac{\pi}{2}+k\pi (k \in \mathbb{Z})\)
c) Đẳng thức \(1+cot^{2}x=\frac{1}{sin^{2}x}\) đúng với mọi x khi \(sinx \neq 0\), tức là \(x \neq k\pi (k \in \mathbb{Z})\)
d) Đẳng thức \(tanx+cotx=\frac{2}{sin2x}\) đúng với mọi x khi \(\left\{\begin{matrix}sinx \neq 0\\cosx \neq 0\\ sin2x \neq 0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow 2sinxcosx \neq 0 \Leftrightarrow sin2x \neq 0\Leftrightarrow 2x \neq k\pi (k \in \mathbb{Z})\Leftrightarrow x \neq k\frac{\pi}{2} ( k \in \mathbb{Z})\)
Bài 1.21 trang 18 SBT Toán 11 Kết nối
Từ đồ thị hàm số y = cosx, hãy vẽ các đồ thị hàm số sau:
a) y = – cosx;
b) y = |cosx|;
c) y = cosx + 1;
d) \(y=cos(x+\frac{\pi}{2})\)
Bài làm
a) Lấy đối xứng đồ thị hàm số y = cosx qua trục hoành ta được đồ thị hàm số y = –cosx.
Trong hình trên, đồ thị hàm số y = cosx là đường nét đứt còn đồ thị hàm số y = – cos x là đường nét liền.
b) Ta có \(y = |cosx| = \left\{\begin{matrix}cosx (cosx \geq 0)\\ -cosx (cosx < 0) \end{matrix}\right.\).
Từ đó, để vẽ đồ thị hàm số y = |cosx| đầu tiên ta vẽ đồ thị hàm số y = cosx, sau đó giữ nguyên phần đồ thị hàm số y = cosx ở phía trên trục Ox và lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị hàm số y = cosx ở phía dưới trục Ox.
Trong hình dưới đây, đồ thị hàm số y = |cosx| là đường nét liền.
c) Để vẽ đồ thị hàm số y = cosx + 1, đầu tiên ta vẽ đồ thị hàm số y = cosx, sau đó dịch chuyển đồ thị này dọc theo trục Oy lên phía trên 1 đơn vị, ta được đồ thị hàm số y = cosx + 1. Trong hình dưới đây, đồ thị hàm số y = cosx + 1 là đường nét liền.
d) Để vẽ đồ thị hàm số \(y=cos(x+\frac{\pi}{2})\) đầu tiên ta vẽ đồ thị hàm số y = cosx, sau đó dịch chuyển đồ thị này dọc theo trục Ox sang bên trái \(\frac{\pi}{2}\) đơn vị ta sẽ được đồ thị hàm số \(y=cos(x+\frac{\pi}{2})\). Trong hình vẽ dưới đây đồ thị hàm số \(y=cos(x+\frac{\pi}{2})\) là đường nét liền.
Chú ý rằng \(cos(x+\frac{\pi}{2})=-sinx\) nên đồ thị hàm số \(y=cos(x+\frac{\pi}{2})\) cũng có thể có được bằng cách lấy đối xứng đồ thị hàm số y = sinx qua trục Ox.
Bài 1.22 trang 18 SBT Toán 11 Kết nối
Từ đồ thị hàm số y = sin x, hãy xác định các giá trị của x trên đoạn \(\left [ -\frac{3\pi}{2};\frac{5\pi}{2} \right ]\) sao cho:
a) sin x = 0;
b) sin x > 0.
Bài làm
a) Trên đoạn \(\left [ -\frac{3\pi}{2};\frac{5\pi}{2} \right ]\), đồ thị hàm số y = sinx cắt trục Ox tại bốn điểm x = \(-\pi\), x = 0, x = \(\pi\) và x = \(2\pi\). Suy ra có bốn giá trị của x để sin x = 0 trên đoạn \(3\sqrt{2}sin(2x+\frac{\pi}{4})\)
b) Giải bất phương trình sinx > 0 là tìm những khoảng giá trị của x mà đồ thị hàm số y = sinx nằm phía trên trục Ox. Từ đó, ta được tập nghiệm của bất phương trình sinx > 0 trên đoạn \(\left [ -\frac{3\pi}{2};\frac{5\pi}{2} \right ]\), là: \(S = \left ( -\frac{3\pi}{2};-\pi \right )\cup (0;\pi) \cup \left (2\pi;\frac{5\pi}{2} \right )\)
Bài 1.23 trang 18 SBT Toán 11 Kết nối
Một con lắc lò xo dao động điều hoà quanh vị trí cân bằng theo phương trình y = 25sin4πt ở đó y được tính bằng centimét còn thời gian t được tính bằng giây.
a) Tìm chu kì dao động của con lắc lò xo.
b) Tìm tần số dao động của con lắc, tức là số lần dao động trong một giây.
c) Tìm khoảng cách giữa điểm cao nhất và thấp nhất của con lắc.
Bài làm
a) Hàm số \(y=25sin4\pi t\) tuần hoàn với chu kì \(T=\frac{2\pi}{4\pi}=\frac{1}{2}\)
Suy ra chu kì dao động của con lắc lò xo (tức là khoảng thời gian để con lắc thực hiện được một dao động toàn phần) là \(T=\frac{1}{2}\) giây.
b) Vì chu kì dao động của con lắc là \(T=\frac{1}{2}\) giây nên trong 1 giây con lắc thực hiện được 2 dao động, tức là tần số dao động của con lắc là \(f=\frac{1}{T}=2 Hz\).
c) Vì phương trình dao động của con lắc là \(y=25sin4\pi t\) nên biên độ dao động của nó là A = 25 cm. Từ đó suy ra, khoảng cách giữa điểm cao nhất và điểm thấp nhất của con lắc là 2A = 50 cm.
Bài 1.24 trang 18 SBT Toán 11 Kết nối
Hằng ngày, Mặt Trời chiếu sáng, bóng của một toà chung cư cao 40 m in trên mặt đất, độ dài bóng của toà nhà này được tính bằng công thức
\(S(t)=40\left | cot\frac{\pi}{12}t \right |\)
ở đó S được tính bằng mét, còn t là số giờ tính từ 6 giờ sáng.
a) Tìm độ dài bóng của tòa nhà tại các thời điểm 8 giờ sáng, 12 giờ trưa, 2 giờ chiều và 5 giờ 45 phút chiều.
b) Tại thời điểm nào thì độ dài bóng của tòa nhà bằng chiều cao tòa nhà?
c) Bóng toà nhà sẽ như thế nào khi thời gian tiến dần đến 6 giờ tối?
Bài làm
a) - Tại thời điểm 8 giờ sáng ta có t = 8 – 6 = 2. Vậy độ dài bóng của tòa nhà tại thời điểm 8 giờ sáng là
\(S(2)=40\left | cot(\frac{\pi}{12}.3) \right |=40\sqrt{3} (m)\)
- Tại thời điểm 12 giờ trưa ta có t = 12 – 6 = 6. Vậy độ dài bóng của toà nhà tại thời điểm 12 giờ trưa là
\(S(6)=40\left | cot(\frac{\pi}{12}.6) \right |=0 (m)\)
Tại thời điểm 12 giờ trưa, Mặt Trời chiếu thẳng đứng từ trên đầu xuống nên toàn bộ toà nhà được chiếu xuống móng của toà nhà.
- Tại thời điểm 2 giờ chiều ta có t = 14 – 6 = 8. Vậy độ dài bóng của toà nhà tại thời điểm 2 giờ chiều là
\(S(8)=40\left | cot(\frac{\pi}{12}.8) \right |=\frac{40\sqrt{3}}{3} (m)\)
- Tại thời điểm 5 giờ 45 chiều tối, ta có \(t=(17+\frac{3}{4})-6=\frac{39}{4}\). Vậy độ dài bóng của toà nhà tại thời điểm 5 giờ 45 chiều tối là
\(S(\frac{39}{4})=40\left | cot(\frac{\pi}{12}.\frac{39}{4}) \right |\approx 59,86 (m)\)
b) Độ dài bóng của toà nhà bằng chiều cao tòa nhà khi
\(S(t)=40 \Leftrightarrow 40\left | cot\frac{\pi}{12}t \right |\Leftrightarrow cot\frac{\pi}{12}t = \pm 1\)
\(\Leftrightarrow \frac{\pi}{12}t = \pm \frac{\pi}{4} + k\pi (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow t = \pm 3 + 12k (k \in \mathbb{Z})\)
Vì \(0 \leq t \leq 12\) nên t = 3 hoặc t = 9, tức là tại thời điểm 9 giờ sáng hoặc 3 giờ chiều thì bóng của toà nhà dài bằng chiều cao của toà nhà.
c) Khi thời gian tiến dần đến 6 giờ tối thì \(t \rightarrow 12\) vì vậy \(\frac{\pi}{12} \rightarrow \pi\), do đó \(cos\frac{\pi}{12}t \rightarrow - \infty\)
Như vậy, bóng của toà nhà sẽ tiến ra vô cùng
Trắc nghiệm Toán 11 Kết nối tri thức bài 3
------------------------------------------
Bài tiếp theo: Giải sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức bài 4
VnDoc.com vừa gửi tới bạn đọc bài viết Giải sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức bài 3: Hàm số lượng giác. Mời các bạn cùng tham khảo thêm tại mục Toán 11 Kết nối tri thức, Giải sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức.
