Chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m

Chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m là một dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán được VnDoc biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

Chuyên đề này được VnDoc biên soạn gồm hướng dẫn giải chi tiết cho dạng bài tập "Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua", vốn là một câu hỏi điển hình trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Đồng thời tài liệu cũng tổng hợp thêm các bài toán để các bạn học sinh có thể luyện tập, củng cố kiến thức. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh ôn tập các kiến thức, chuẩn bị cho các bài thi học kì và ôn thi vào lớp 10 hiệu quả nhất. Sau đây mời các bạn học sinh cùng tham khảo tải về bản đầy đủ chi tiết.

I. Bài toán chứng tỏ đồ thị hàm số đi qua một điểm cố định với mọi m

+ Với một giá trị của tham số m ta được một đồ thị hàm số \left( {{d_m}} \right) tương ứng. Như vậy khi m thay đổi thì đồ thị hàm số \left( {{d_m}} \right) cũng thay đổi theo hai trường hợp:

- Hoặc mọi điểm của \left( {{d_m}} \right) đều di động

- Hoặc có một vài điểm của \left( {{d_m}} \right) đứng yên khi m thay đổi

+ Những điểm đứng yên khi m thay đổi gọi là điểm cố định của đồ thị hàm số \left( {{d_m}} \right). Đó là những điểm mà đồ thị hàm số đều đi qua với mọi giá trị của m

+ Phương trình ax + b = 0 nghiệm đúng với mọi x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 0\\ b = 0 \end{array} \right.

II. Bài tập ví dụ về bài toán chứng tỏ đồ thị hàm số đi qua một điểm cố định

Bài 1: Chứng tỏ rằng với mọi m họ các đường thẳng (d) có phương trình y = (m + 1)x + 2x - m luôn đi qua một điểm cố định

Lời giải:

Gọi M\left( {{x_0};{y_0}} \right) là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua. Khi đó ta có:

\begin{array}{l} {y_0} = \left( {m + 1} \right){x_0} + 2{x_0} - m\,\,\forall m\\ {y_0} = m{x_0} + {x_0} + 2{x_0} - m\,\,\forall m\\ {y_0} - m{x_0} - 3{x_0} - m = 0\,\,\forall m\\ m\left( { - {x_0} - 1} \right) + \left( {{y_0} - 3{x_0}} \right) = 0\,\,\forall m \end{array}

\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {x_o} + 1 = 0\\ {y_0} - 3{x_0} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_0} = 1\\ {y_0} = 3 \end{array} \right. \Rightarrow M\left( {1;3} \right)

Vậy với mọi m, họ các đường thẳng (d) có phương trình y = (m + 1)x + 2x - m luôn đi qua một điểm M cố định có tọa độ M(1; 3)

Bài 2: Cho hàm số y = (2m - 3)x + m - 1. Chứng minh rằng đồ thị hàm số đi qua điểm cố định với mọi giá trị của m. Tìm điểm cố định ấy.

Lời giải:

Gọi M\left( {{x_0};{y_0}} \right) là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua. Khi đó ta có:

\begin{array}{l} {y_0} = \left( {2m - 3} \right){x_0} + m - 1\,\,\forall m\\ {y_0} = 2m{x_0} - 3{x_0} + m - 1\,\,\forall m\\ {y_0} - 2m{x_0} - 3{x_0} + m - 1 = 0\,\,\forall m\\ m\left( { - 2{x_0} + 1} \right) + \left( {{y_0} - 3{x_0} - 1} \right) = 0\,\,\forall m \end{array}

\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2{x_o} + 1 = 0\\ {y_0} - 3{x_0} - 1 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_0} = \frac{1}{2}\\ {y_0} = \frac{5}{2} \end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\frac{1}{2};\frac{5}{2}} \right)

Vậy với mọi m, họ các đường thẳng (d) có phương trình y = (m + 1)x + 2x - m luôn đi qua một điểm M cố định có tọa độ M\left( {\frac{1}{2};\frac{5}{2}} \right)

Bài 3: Cho hàm số y = mx + 3m - 1. Tìm tọa độ của điểm mà đường thẳng luôn đi qua với mọi m

Lời giải:

Gọi M\left( {{x_0};{y_0}} \right) là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua. Khi đó ta có:

\begin{array}{l} {y_0} = m{x_0} + 3m - 1\,\,\forall m\\ {y_0} - m{x_0} - 3m + 1 = 0\,\,\forall m\\ m\left( { - {x_0} - 3} \right) + \left( {{y_0} + 1} \right)\,\,\forall m \end{array}

\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {x_0} - 3 = 0\\ {y_0} + 1 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_0} = - 3\\ {y_0} = - 1 \end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - 3; - 1} \right)

Vậy với mọi m, họ các đường thẳng (d) có phương trình y = (m + 1)x + 2x - m luôn đi qua một điểm M cố định có tọa độ M(-3; -1)

Bài 4: Cho hàm số y = (m - 1)x + 2020. Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi giá trị của m

Lời giải:

Gọi M\left( {{x_0};{y_0}} \right) là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua. Khi đó ta có:

\begin{array}{l} {y_0} = \left( {m - 1} \right){x_0} + 2020\,\forall m\\ {y_0} - m{x_0} - {x_0} - 2020 = 0\,\,\forall m\\ - m{x_0} + \left( {{y_0} - {x_0} - 2020} \right)\,\,\forall m \end{array}

\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_0} = 0\\ {y_0} - {x_0} - 2020 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_0} = 0\\ {y_0} = 2020 \end{array} \right. \Rightarrow M\left( {0;2020} \right)

Vậy với mọi m, họ các đường thẳng (d) có phương trình y = (m + 1)x + 2x - m luôn đi qua một điểm M cố định có tọa độ M(0; 2020)

III. Bài tập tự luyện về bài toán chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định

Bài 1: Cho hàm số bậc nhất y = (m + 1)x - 2m ( ). Chứng minh rằng đồ thị hàm số (1) luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m

Bài 2: Cho hàm số y = (m - 1)x + m + 3. Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi m

Bài 3: Cho hàm số y = (2m - 3)x + m - 5. Chứng minh họ đường thẳng luôn đi qua điểm cố định khi m thay đổi. Tìm điểm cố định ấy.

Bài 4: Cho hàm số y = (m + 2)x + 2m - 1. Chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi. Tìm điểm cố định ấy.

Bài 5: Chứng minh rằng đồ thị hàm số y = (m + 2)x + m - 1 luôn đi qua một điểm cố định với mọi m, hãy xác định điểm đó

Bài 6: Cho hàm số y = mx - 2. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đồ thị hàm số đã cho luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 7: Tìm điểm cố định mà mỗi đường thẳng sau luôn đi qua với mọi giá trị của m:

a, y = (m - 2)x + 3

b, y = mx + (m + 2)

c, y = (m - 1)x + (2m - 1)

-----------------

Ngoài chuyên đề chứng tỏ đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm với mọi m Toán 9, mời các bạn học sinh tham khảo thêm các đề thi học kì 2 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, ... và các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với bài tập về chuyên đề này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn học tập tốt!

Đánh giá bài viết
1 209
0 Bình luận
Sắp xếp theo
Thi vào lớp 10 môn Toán Xem thêm