Đề thi chính thức cuộc thi Toán học trẻ quốc tế CIMC 2015

Đề thi CIMC 2015 có đáp án

Đề thi chính thức cuộc thi Toán học trẻ quốc tế CIMC 2015

CIMC 2015 được tổ chức từ ngày 27/7 đến 1/8 tại thành phố Trường Xuân (Changchun) tỉnh Cát Lâm, Trung Quốc. Cuộc thi có 627 học sinh dự thi chia làm 74 đội (cho lứa tuổi dưới 15) và 77 đội (cho lứa tuổi dưới 17 tuổi) đến từ 29 quốc gia và vùng lãnh thổ. Việt Nam giành giải nhất toàn đoàn trong kì thi này. VnDoc.com mời các bạn cùng tham khảo đề thi chính thức cuộc thi Toán học trẻ quốc tế CIMC 2015.

Phần thi: Cá nhân (Khối thi THCS - các lớp 6, 7, 8)

1. Tìm số nhỏ nhất có 4 chữ số mà có cùng số ước dương với số 2015.

2. Mỗi học sinh được yêu cầu xóa đi 3 trong số 21 số nguyên dương đầu tiên (1, 2, 3, ..., 21) và tính tổng của 18 số còn lại. 3 số đã bỏ đi bởi mỗi học sinh bao gồm 2 số liên tiếp, và không có 2 học sinh nào cùng được bỏ đi cả 3 số giống nhau. Hỏi có tối đa bao nhiêu học sinh nhận đúng được kết quả là 212?

3. ABCD là một ngôi nhà hình chữ nhật. Một hàng rào kéo dài AB tới E với BE = 80 m. Một hàng rào khác kéo dài BC tới F với CF = 70 m. Một hàng rào khác nữa kéo dài CD tới G với DG = 50 m. Một hàng rào nữa kéo dài DA tới H với AH = 90 m. Xây các hàng rào qua E và G và song song với AD, và các hàng rào qua F và H và song song với AB, từ đó dựng được 4 khu vườn hình chữ nhật xung quanh một mảnh đất ngôi nhà hình chữ nhật. Tổng chu vi của các khu vườn là 2016 m. Hỏi chu vi theo mét của ngôi nhà?

4. Một cộng đồng nọ được chia thành các tổ chức, mỗi tổ chức được chia thành các tổ chức con, mỗi tổ chức con được chia thành các xã hội nhỏ và mỗi xã hội nhỏ được chia thành các câu lạc bộ. Số câu lạc bộ trong mỗi xã hội nhỏ, số xã hội nhỏ trong mỗi tổ chức con và số tổ chức con trong mỗi tổ chức là bằng nhau và bằng một số nguyên lớn hơn 1. Cộng đồng này có 1 chủ tịch, và mỗi tổ chức, tổ chức con, xã hội nhỏ và câu lạc bộ cũng vậy. Nếu tổng cộng có 161 vị trí chủ tịch, hỏi cộng đồng trên có bao nhiêu tổ chức?

5. Mỗi chiếc máy A và B có thể làm được 1 cái chai mỗi phút. Máy A cần nghỉ trong 1 phút sau khi làm cứ mỗi 3 chai, và máy B cần nhỉ 1,5 phút sau khi làm cứ mỗi 5 chai. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu phút để cả 2 máy này làm được tổng số chai là 2015?

6. 6 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 và 6 được dùng để tạo một số có 1 chữ số, 1 số có 2 chữ số và 1 số có 3 chữ số. Mỗi chữ số được dùng đúng 1 lần và buộc phải dùng cả 6 chữ số. Tổng của số có 1 chữ số và số có 2 chữ số là 47, còn tổng của số có 2 chữ số và số có 3 chữ số là 358. Tính tổng của cả 3 số trên.

7. E là một điểm nằm trên cạnh BC của hình vuông ABCD sao cho BE = 20 cm và CE = 28 cm. P là điểm nằm trên đường chéo BD. Tính giá trị nhỏ nhất có thể theo cm của PE + PC?

8. Trong một nhóm các số nguyên dương phân biệt, số lớn nhất ít hơn 36 và bằng 3 lần số nhỏ nhất. Số nhỏ nhất bằng 2/3 của trung bình cộng của các số trong nhóm. Hỏi nhóm này có tối đa bao nhiêu số?

9. Hình vẽ sau biểu diễn hình ảnh nhìn từ trên xuống của một cấu trúc xây từ 9 chồng các hình lập phương đơn vị. Số các hình lập phương của mỗi chồng được cho dưới đây. Mỗi chồng được xây từ dưới lên và không chứa khoảng trống. Toàn bộ diện tích bề mặt ngoài, bao gồm 9 ô vuông 1 × 1 ở đáy, được sơn. Hỏi tổng số ô vuông 1 × 1 được sơn là bao nhiêu?

10. 4 số phân biệt có 3 chữ số có cùng tổng các chữ số, và tổng của 4 số này là 2015. Tính tổng tất cả các giá trị có thể của tổng các chữ số của mỗi số trong 4 số này.

11. Có 3 số nguyên dương. Số đầu tiên là một số có 2 chữ số và 2 chữ số này giống nhau. Số thứ hai là một số có 2 chữ số và 2 chữ số này phân biệt, trong đó chữ số hàng đơn vị của nó giống chữ số hàng đơn vị của số thứ nhất. Số thứ ba là một số có 1 chữ số và chữ số này giống với chữ số hàng chục của số thứ hai. Đúng 2 trong 3 số trên là các số nguyên tố. Hỏi có bao nhiêu cách khác nhau để chọn ra 3 số nguyên dương nói trên?

12. Một số nguyên dương được chia cho 5, và thương và số dư được ghi lại. Chính số đó lại được đem lấy chia cho 3, và thương và số dư được ghi lại. Thương của phép chia thứ nhất bằng với số dư của phép chia thứ hai còn thương của phép chia thứ hai bằng số dư của phép chia thứ nhất. Tìm tích tất cả các giá trị có thể của số ban đầu.

13. E là một điểm nằm trên cạnh AB của hình chữ nhật ABCD sao cho AE = 2 EB, và Z là trung điểm của cạnh BC. M và N lần lượt là các trung điểm của DE và DZ. Nếu diện tích của tam giác EMN là 5 cm², tính diện tích theo cm² của đa giác MEBZN.

14. Có bao nhiêu cách để chia các số 1, 2, 3, ... , 12 thành 4 nhóm, mỗi nhóm chứa 3 số có tổng chia hết cho 3?

15. Một số trong các số 1, 2, 3, ..., 19 được gọi là "theo sau" một số thứ hai cũng trong các số 1, 2, 3, ..., 19, nếu như số thứ hai lớn hơn số thứ nhất từ 10 đến 18 đơn vị, hoặc số thứ nhất lớn hơn số thứ hai từ 1 đến 9 đơn vị. Chẳng hạn 6 là số "theo sau" của các số 16, 17, 18, 19, 1, 2, 3, 4, 5. Có bao nhiêu cách chọn ra 3 số trong các số 1, 2, 3, ..., 19 sao cho số đầu tiên "theo sau" số thứ hai, số thứ hai "theo sau" số thứ ba, và số đầu tiên cũng "theo sau" số thứ ba?