Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán lớp 10 năm 2017 - 2018 trường THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh
Đề thi HSG cấp trường Toán 10 có đáp án
Câu 1 (4.0 điểm) Cho Parabol
=++(P): y x mx 3
2
2
và đường thẳng
= −(d): y x21
. Tìm
m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B thỏa mãn
=AB .10
Câu 2 (6.0 điểm):
1. Giải bất phương trình sau:
( )
+
≥
−
−+−
x
x
xx
42
21
1
2 11
2. Giải phương trình sau:
−+ −= − +x x xx.
2
2 2 5 2 3 5 8 21
3. Giải hệ phương trình sau:
− +=
+
−−
−=
+
xy
(x )
x
x x y xy
yx
xy
5
22
2
22
6
13
2
43 9
3
3
Câu 3 (6.0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm
( )
A;20
và đường tròn
( )
+ + − +=C :x y x y
22
2 6 20
. Tìm điểm M trên trục hoành sao cho từ M kẻ được hai tiếp
tuyến MB, MC với đường tròn (B và C là các tiếp điểm) sao cho BC đi qua A.
2. Cho tam giác ABC có
= =BC , A
0
2 60
và hai đường trung tuyến BM, CN vuông
góc với nhau. Tính diện tích tam giác ABC.
3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có tâm I. Trung điểm
cạnh AB là
03M( ; )
, trung điểm đoạn CI là
10J( ; )
. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông, biết
đỉnh D thuộc đường thẳng
10∆ − +=:x y
.
Câu 4 (2.5 điểm)
Biết
+++ =
sin x cos x tan x cot x
2 22 2
16 1 16 1
33
,
π
<<x0
2
. Tính giá trị của
π
−
tan x, tan x55
4
.
Câu 5 (1.5 điểm) Cho
>
=
a,b,c 0
abc 1
. Chứng minh rằng:
4 44
222
3
2
111
++≥
+++
ab bc ca
abc
-------------------------- Hết --------------------------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:.............................................. Số báo danh:..............................
SỞ GD & ĐT BẮC NINH
TRƯỜNG THPT LÝ THÁI TỔ
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2017-2018
Môn: TOÁN, Khối 10
Thời gian: 120 phút, không kể thời gian phát đề.
Ngày thi 14/04/2018
1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG THPT LÝ THÁI TỔ
ĐÁP ÁN
THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2017 - 2018
Môn: Toán – Lớp 10 – THPT
Câu
Lời giải sơ lược
Điểm
1
4,0
Hoành độ giao điểm của d và (P) là nghiệm phương trình:
22
x 2mx 3 2x 1 x 2(m 1)x 4 0 (1)+ += −⇔ + − + =
1,0
Để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔
2
m 2m 3 0 m 3∆= − − > ⇔ >
hoặc
m1<−
(*)
Với điều kiện (*), gọi hai giao điểm là
11 2 2
A(x ; 2x 1), B(x ; 2x 1)
−−
, trong đó
12
x ,x
là các
nghiệm của (1). Theo định lý Viet ta có:
1 2 12
xx22m,xx4+=− =
.
1,0
Ta có:
22 2
2 1 2 1 21
AB 5(x x ) 5 (x x ) 4x x 10 5(4m 8m 12) 100
= − = + − =⇔ −−=
1,0
2
m 2m 8 0 m 4⇔ − −=⇔ =
hoặc
m2= −
(tm đk (*))
Vậy
m4=
và
m2= −
là giá trị cần tìm.
1,0
2.1
2,0
ĐKXĐ:
x1
≠
, Ta có:
( )
− + −≥ −>xx
42
3
2 1 1 10
2
TH1:
x1>
: BPT
( )
( )
+ −≥
+
⇔ − + ≤ +−⇔ ⇔ =
−− ≤
xx
xx xx x
xx
2
42 2
2
2
10
15
21 1
2
10
1,5
TH2:
x1<
: BPT
(
) (
)
⇔ − + ≥ +−⇔ −− ≥xx xx xx
2
42 2 2
2 1 1 10
luôn đúng
Vậy BPT có tập nghiệm
( )
15
S ;1
2
+
= −∞ ∪
.
0,5
2.2
2,0
ĐKXĐ:
2x 5 0−≥
PT
2
x 10x 21 [(x 1) 2 2x 5] [(x 1) 2 3x 5] 0⇔− ++−− −++− −=
0,5
22
2
x 10x 21 x 10x 21
x 10x 21 0
(x 1) 2 2x 5 (x 1) 2 3x 5
−+ −+
⇔− ++ + =
−+ − ++ −
2
11
(x 10x 21)(1 ) 0
(x 1) 2 2x 5 (x 1) 2 3x 5
⇔−+ + + =
−+ − ++ −
1,0
2
x 10x 21 0 x 3⇔ − + =⇔=
hoặc
x7=
.
Vậy phương trình có 2 nghiệm
x3=
và
x7=
.
0, 5
2
2.3
2,0
HPT
22 2 5
2 2 2 22
(x 2x 4)(x 2) 6x y
(9y 6xy x )(x 3y) 4x 3x y 9x y
− + +=
⇔
−+ +=− −
( )
65
33
x 8 6x y
, 3y x
x 27y 4x
+=
⇔≥
+=
Nhận thấy
x0=
không là nghiệm của hệ nên HPT
6
3
32
8 6y
1
xx
27y 4
1
xx
+=
⇔
+=
Đặt
2
2 3y
a 0,b
xx
=>=
. HPT trở thành
3
3
ab1
1 a 2b
15
1 b 2a
ab
2
= =
+=
⇔
−+
+=
= =
1,0
Với
ab1= =
ta được nghiệm (x ;y)=
( )
2; 2 /3±±
Với
15
ab
2
−+
= =
ta được nghiệm (x ;y)=
2 51
;
3
51
−−−
−
Vậy hệ có 4 nghiệm (x ;y)=
( )
2; 2 /3±±
và
2 51
;
3
51
−−−
−
1,0
3.1
2,0
(C) có tâm
( )
I 1; 3 , R 2 2−=
Theo (1)
Gọi
( )
M a;0
, để từ M kẻ được hai tiếp tuyến với (C) thì
MI R
>
(luôn đúng).
2 2 2 22
MB MC MI R a 2a 2= = − =++
. Khi đó, B và C thuộc đường tròn (C’) tâm M, bán kính
MB, đường tròn (C’) có phương trình:
( ) (
)
2
22
C' : x a y a 2a 2− +=++
1,0
Tọa độ B và C thỏa mãn
( )
( ) ( )
22
2
2
22
x y 2x6y20
BC : 2a 2 x 6y a 2a 4 0
x a y a 2a 2
+ + − +=
⇒ + − + + +=
− +=++
Do BC đi qua A nên
2
a 6a 8 0+ +=
. Vậy
(
)
A 2;0−
và
( )
A 4;0−
.
1,0
3.2
2,0
Hai đường trung tuyến BM, CN vuông góc với nhau thì:
22
22 22
2 22
bc
2 2 44 b c 44 c b
mmBC()()4bc20
3 3 924924
++
+ = ⇔ − + − =⇔+=
1,0
Mặt khác:
2 22 0
BC b c 2bccosA 4 20 2bccos60 bc 16= + − ⇔= − ⇒ =
0,5
Vậy
ABC
1 13
S bcsinA .16. 4 3.
2 22
∆
= = =
1,0
3.3
2,0
Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán
VnDoc mời bạn đọc tham khảo Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán lớp 10 năm 2017 - 2018 trường THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh, tài liệu với 5 bài toán, thời gian để các thí sinh hoàn thành đề thi này là 120 phút, đề thi có lời giải chi tiết và thang điểm.
Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán lớp 10 năm 2017 - 2018 Sở GD&ĐT Hải Dương
Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 Sở GD&ĐT Hải Dương năm học 2016 - 2017
Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 trường THPT Lý Thái Tổ, Bắc Ninh năm học 2015 - 2016
---------------------------------------------
Trên đây VnDoc.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán lớp 10 năm 2017 - 2018 trường THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Thi thpt Quốc gia môn Toán, Thi thpt Quốc gia môn Hóa học, Thi thpt Quốc gia môn Vật Lý, Thi thpt Quốc gia môn Sinh học mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.
