Toán học

- Canva: Canva chứa những mẫu đồ họa có sẵn thuộc nhiều chủ đề khác nhau, đồng thời cũng có video, hình ảnh, GIF,… để minh họa cho bài giảng. Người dùng có thể lưu trữ bài giảng ngay trên Canva hoặc tải về máy dưới dạng Powerpoint.

- myViewBoard: myViewBoard cho phép người dùng sử dụng kho video, hình ảnh, GIF khổng lồ mà không cần lo lắng vấn đề bản quyền. Bên cạnh đó, nền tảng còn cho phép bạn tạo ra các trò chơi thú vị, giúp thu hút và tăng độ tương tác của người học.

Số chính phương là gì?

Số chính phương là số bằng bình phương của một số nguyên.

Tức là: Nếu n là số chính phương thì n = k² (k ∈ Z)

Ví dụ: 4 = 2², 9 = 3², 100 = 10²

Một số tính chất

Số chính phương tận cùng bằng 1, 4 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.

Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2.

Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.

Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.

Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9.

Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25.

Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.

Mọi số chính phương khi chia cho 5, cho 8 chỉ dư 1, 0, 4

Số chính phương chia cho 4 hoặc 3 không bao giờ có số dư là 2

Số chính phương lẻ khi chia 8 luôn dư 1.

Một số tính chất

Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9; không bao giờ có chữ số tận cùng bằng 2, 3, 7, 8.

Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn.

Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n + 1. Không có số chính phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n ∈ N).

Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n + 1. Không có số chính phương nào có dạng 3n + 2 (n ∈ N).

Số chính phương tận cùng bằng 1, 4 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.

Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2.

Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.

Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.

Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9.

Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25.

Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.

Mọi số chính phương khi chia cho 5, cho 8 chỉ dư 1, 0, 4

Số chính phương chia cho 4 hoặc 3 không bao giờ có số dư là 2

Số chính phương lẻ khi chia 8 luôn dư 1.

Ta có: n⁶ - n ⁴ + 2n³ + 2n² = n². (n⁴ - n² + 2n +2)

= n². [n²(n-1)(n+1) +2(n+1)]

= n²[(n+1)(n³ - n² + 2)]

= n²(n + 1) . [(n³ + 1) - (n² - 1)]

= n²(n + 1)² . (n² - 2n + 2)

Với nN, n > 1 thì n² - 2n + 2 = ( n -1)² + 1 > ( n - 1)²

Và n² - 2n + 2 = n² - 2(n - 1) < n²

Vậy (n - 1)² < n² - 2n + 2 < n² => n² - 2n + 2 không phải là một số chính phương.

Ta có:

k(k + 1)(k + 2) = k (k + 1)(k + 2). 4

= k(k + 1)(k + 2).

= k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - k(k + 1)(k + 2)(k - 1)

=> 4S =1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + . . . + k(k + 1)(k + 2)(k + 3)

- k(k + 1)(k + 2)(k - 1) = k(k + 1)(k + 2)(k + 3)

=> 4S + 1 = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1

Theo kết quả bài 2 => k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1 là số chính phương.

# Bài toán về quãng đường nhảy xa của lực sĩ Báo

**Đề bài:**

Lực sĩ Báo thi nhảy xa năm bước. Ba bước đầu của lực sĩ là 605cm, hai bước nhảy cuối cùng của lực sĩ là 580cm.

a) Lực sĩ Báo nhảy được tổng cộng ......... cm

b) Lực sĩ Báo nhảy được tổng cộng ......... m ......... cm

**Giải:**

a) Tính tổng quãng đường lực sĩ Báo nhảy được (tính bằng cm)

Tổng quãng đường = Ba bước đầu + Hai bước cuối

Tổng quãng đường = 605 cm + 580 cm = 1185 cm

b) Chuyển đổi kết quả từ cm sang m và cm

Để chuyển từ cm sang m, ta chia cho 100:

1185 cm = 1185 ÷ 100 = 11,85 m

Viết dưới dạng m và cm:

1185 cm = 11 m 85 cm

**Đáp số:**

a) Lực sĩ Báo nhảy được tổng cộng 1185 cm

b) Lực sĩ Báo nhảy được tổng cộng 11 m 85 cm

Gọi vận tốc của ca nô khi nước yên lặng là \(x\,\,\left( {km/h,0 < y < x} \right)\)

Vận tốc của dòng nước là \(y\,\,\left( {km/h,0 < y < x} \right)\)

Vận tốc ca nô ngược dòng là: \(x - y\,\,\left( {km/h} \right)\);

Thời gian ca nô ngược dòng là: \(\frac{{160}}{{x - y}}\) (giờ);

Vận tốc ca nô xuôi dòng là: \(x + y\,\,\left( {km/h} \right)\);

Thời gian ca nô ngược dòng là: \(\frac{{160}}{{x + y}}\) (giờ)

Do thời gian ca nô ngược dòng và ca nô ngược dòng là 9 giờ nên ta có phương trình:

\(\frac{{160}}{{x - y}} + \frac{{160}}{{x + y}} = 9\) (1)

Do thời gian ca nô đi xuôi dòng 5km bằng thời gian ca nô đi ngược dòng 4km nên ta có phương trình: \(\frac{5}{{x + y}} = \frac{4}{{x - y}}\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{160}}{{x - y}} + \frac{{160}}{{x + y}} = 9\\\frac{5}{{x + y}} = \frac{4}{{x - y}}\end{array} \right.\)

Từ phương trình (2) ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{5}{{x + y}} = \frac{4}{{x - y}}\\5\left( {x - y} \right) = 4\left( {x + y} \right)\\5x - 5y = 4x + 4y\\5x - 5y - 4x - 4y = 0\\x - 9y = 0\\x = 9y\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array}\)

Từ phương trình (1), ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{160}}{{x - y}} + \frac{{160}}{{x + y}} = 9\\\frac{{160\left( {x + y} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} + \frac{{160\left( {x - y} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)}} = \frac{{9\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}}\\160\left( {x + y} \right) + 160\left( {x - y} \right) = 9\left( {{x^2} - {y^2}} \right)\\160x + 160y + 160x - 160y - 9{x^2} + 9{y^2} = 0\\ - 9{x^2} + 9{y^2} + 320x = 0\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\end{array}\)

Thay (3) vào (4) ta được: \(- 9.{\left( {9y} \right)^2} + 9{y^2} + 320.\left( {9y} \right) = 0\) (5)

Giải phương trình (5):

\(\begin{array}{l} - 9.{\left( {9y} \right)^2} + 9{y^2} + 320.\left( {9y} \right) = 0\\ - 729{y^2} + 9{y^2} + 2880y = 0\\ - 720{y^2} + 2880y = 0\\720y\left( {y - 4} \right) = 0\end{array}\)

Để giải phương trình trên, ta giải hai phương trình:

*) \(720y = 0\)

\(y = 0\);

*)\(y - 4 = 0\)

\(y = 4\).

Ta thấy

+ \(y = 0\) không thỏa mãn điều kiện của bài

+ \(y = 4\) thỏa mãn điều kiện của bài.

Thay \(y = 4\) vào phương trình (3), ta được \(x = 9.4 = 36\).

Vậy vận tốc của ca nô khi nước yên lặng là 36 (km/h)

vận tốc của dòng nước là 4 (km/h).

Gọi số gam dung dịch HCl 10% cần dùng là x (g, x > 0)

Số gam dung dịch HCl 25% cần dùng là y (g, y > 0).

Áp dụng sơ đồ đường chéo ta có: \(\frac{x}{y} = \frac{{\left| {19 - 10} \right|}}{{\left| {19 - 25} \right|}} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}\) hay \(2x - 3y = 0\) (1)

Mặt khác \(x + y = 500\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 0\\x + y = 500\end{array} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình (2) với 2 và phương trình (1) giữ nguyên, ta được hệ phương trình sau: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\\2x + 2y = 1000\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.\)

Trừ từng vế của phương trình (3) cho phương trình (4) ta được \(- 5y = - 1000\) tức là \(y = 200\).

Thay \(y = 200\) vào phương trình (2) ta được \(x + 200 = 500\) hay \(x = 300\).

Vậy số gam dung dịch HCl 10% cần dùng là 300 (g)

Số gam dung dịch HCl 25% cần dùng là 200 (g).

Gọi số vé bán ra của vé loại I và vé loại II lần lượt là x, y (vé) (0 < x < 500, 0 < y < 500).

Theo bài, ban tổ chức đã bán được 500 vé cả hai loại vé nên ta có phương trình: x + y = 500.

Số tiền thu được khi bán ra x vé loại I là 100 000x (đồng).

Số tiền thu được khi bán ra y vé loại II là 75 000y (đồng).

Theo bài, tổng số tiền thu được từ bán vé là 44 500 000 đồng nên ta có phương trình:

100 000x + 75 000y = 44 500 000, hay 4x + 3y = 1 780.

Ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 500\\4x + 3y = 1780;\end{array} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 4, ta được hệ phương trình sau:

\(\left\{ \begin{array}{l}4x + 4y = 2000\\4x + 3y = 1780;\end{array} \right.\)

Trừ từng vế của phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ phương trình trên, ta được phương trình: y = 220.

Thay y = 220 vào phương trình x + y = 500, ta được: 220 + y = 500. (1)

Giải phương trình (1):

220 + y = 500

y = 280.

Vậy vé loại I bán ra được 220 vé và vé loại 2 bán ra được 280 vé.

Gọi giá niêm yết của mặt hàng A và mặt hàng B lần lượt là x, y (đồng) (x > 0, y > 0).

Mặt hàng A sau khi giảm 20% giá niêm yết thì có giá là x.(100% – 20%) = x.80% = 0,8x (đồng).

Mặt hàng B sau khi giảm 15% giá niêm yết thì có giá là y.(100% – 15%) = y.85% = 0,85y (đồng).

Theo bài, khách hàng mua 2 món hàng A và 1 món hàng B thì phải trả số tiền là 362 000 đồng nên ta có phương trình:

2.0,8x + 0,85y = 362 000, hay 1,6x + 0,85y = 362 000. (1)

Nếu mua trong khung giờ vàng:

⦁ mặt hàng A được giảm giá 30% so với giá niêm yết nên lúc này, mặt hàng A có giá là x.(100% – 30%) = x.70% = 0,7x (đồng).

⦁ mặt hàng B được giảm giá 25% so với giá niêm yết nên lúc này, mặt hàng B có giá là x.(100% – 25%) = x.75% = 0,75y (đồng).

Theo bài, khách hàng mua 3 món hàng A và 2 món hàng B trong khung giờ vàng trả số tiền là 552 000 đồng nên ta có phương trình:

3.0,7x + 2.0,75y = 552 000, hay 2,1x + 1,5y = 552 000. (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}1,6x + 0,85y = 362000\\2,1x + 1,5y = 552000\end{array} \right.\)

Ta giải phương trình trên:

Nhân từng vế của phương trình 1 với 2,1 và phương trình 2 với 1,6 ta được hệ phương trình sau:

\(\left\{ \begin{array}{l}3,36x + 1,785y = 760200\,\,\,\left( 3 \right)\\3,36x + 2,4y = 883200\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.\)

Trừ từng vế của phương trình (4) cho phương trình (3) ta được \(0,615y = 123000\), tức là \(y = 200000\)

Thay \(y = 200000\) vào phương trình (1) ta được: \(1,6x + 0,85.200000 = 362000\) (5)

Giải phương trình (5) :

\(\begin{array}{l}1,6x + 0,85.200000 = 362000\\x = 120000\end{array}\)

Vậy giá bán niêm yết của mặt hàng A là 120000 (đồng)

Giá bán niêm yết của mặt hàng B là 200000 (đồng).

Gọi số bạn trẻ của nhóm là \(x\) (người, \(x \in {\mathbb{N}^*}\)).

Số vốn mỗi người dự định góp là: \(\frac{{240}}{x}\) ( triệu đồng)

Nếu thêm 2 người, thì số bạn trẻ của nhóm là: \(x + 2\) (người)

Số vốn sau khi thêm 2 người, mỗi người phải góp là: \(\frac{{240}}{{x + 2}}\) (triệu đồng)

Do nếu thêm 2 người tham gia thì số tiền mỗi người góp giảm đi 4 triệu đồng nên ta có phương trình:

\(\begin{array}{l}\frac{{240}}{x} - 4 = \frac{{240}}{{x + 2}}\\\frac{{240\left( {x + 2} \right)}}{{x\left( {x + 2} \right)}} - \frac{{4x\left( {x + 2} \right)}}{{x\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{240x}}{{x\left( {x + 2} \right)}}\\240\left( {x + 2} \right) - 4x\left( {x + 2} \right) = 240x\\240x + 480 - 4{x^2} - 8x - 240x = 0\\ - 4{x^2} - 8x + 480 = 0\\{x^2} + 2x - 120 = 0\\\left( {x - 10} \right)\left( {x + 12} \right) = 0\end{array}\)

Để giải phương trình trên, ta giải hai phương trình sau:

*) \(x - 10 = 0\)

\(x = 10\);

*)\(x + 12 = 0\)

\(x = - 12\).

Ta thấy

+ \(x = 10\) thỏa mãn điều kiện đề bài;

+ \(x = - 12\) không thỏa mãn điều kiện đề bài.

Vậy nhóm bạn trẻ có 10 người.

Gọi \(x\) (triệu đồng) là giá niêm yết của tủ lạnh \(\left( {0 < x < 25,4} \right)\);

Gọi \(y\) (triệu đồng) là giá niêm yết của tủ lạnh \(\left( {0 < y < 25,4} \right)\).

Giá niêm yết một tủ lạnh và một máy giặt có tổng số tiền là 25,4 triệu đồng nên ta có phương trình: \(x + y = 25,4\,\,\left( 1 \right)\)

Giá của tủ lạnh sau khi được giảm là: \(x - 40\% x = 60\% x = 0,6x\) (triệu đồng)

Giá của máy giặt sau khi được giảm là: \(y - 25\% y = 75\% y = 0,75y\) (triệu đồng)

Cô Liên đã mua hai mặt hàng trên với tổng số tiền là 16,77 triệu đồng nên ta có:

\(0,6x + 0,75y = 16,77\) hay \(60x + 75y = 1677\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 25,4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\60x + 75y = 1677\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Nhân phương trình (1) với 60 và giữ nguyên phương trình (2) ta được hệ phương trình mới:

\(\left\{ \begin{array}{l}60x + 60y = 1524\,\,\,\,\left( 3 \right)\\60x + 75y = 1677\,\,\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.\)

Trừ từng vế của phương trình (4) cho phương trình (3), ta được \(15y = 153\), tức là \(y = 10,2\).

Thay \(y = 10,2\) vào phương trình (1) ta được \(x + 10,2 = 25,4\) hay \(x = 15,2\).

Vậy giá lúc đầu của tủ lạnh là 15,2 (triệu đồng);

Giá lúc đầu của máy giặt là 10,2 (triệu đồng).

Gọi \(x,y\) (triệu đồng) là số tiền bác Phương đầu tư cho mỗi khoản \(\left( {0 < x,y < 800} \right)\).

Do bác Phương gửi tổng 800 triệu đồng cho hai khoản đầu tư nên ta có phương trình:

\(x + y = 800\) (1)

Lãi suất cho khoản đầu tư thứ nhất là 6%/năm, số tiền là: \(6\% .x = 0,06x\)

Lãi suất cho khoản đầu tư thứ hai là 8%/năm, số tiền là: \(8\% y = 0,08y\)

Tổng số tiền lãi thu được là 54 triệu đồng, nên ta có phương trình:

\(0,06x + 0,08y = 54\)

Hay \(6x + 8y = 5400\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 800\\6x + 8y = 5400\end{array} \right.\)

Nhân phương trình (1) với 3, chia phương trình (2) cho 2 ta có hệ phương trình mới:

\(\left\{ \begin{array}{l}3x + 3y = 2400\,\,\,\left( 3 \right)\\3x + 4y = 2700\,\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.\)

Trừ từng vế của phương trình (4) cho phương trình (3), ta được: \(y = 300\).

Thế \(y = 300\) vào phương trình (1) ta được\(x + 300 = 800\), tức là: \(x = 500\)

Vậy số tiền bác Phương đầu tư cho khoản thứ nhất là 500 triệu đồng, khoản thứ hai là 300 triệu đồng.