Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

VnDoc.com

Lý thuyết Toán 10 Bài 20 KNTT

Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách

Bài trước

Bài sau

Toán 10 Kết nối tri thức bài Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách

1. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
2. Góc giữa hai đường thẳng
3. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Lý thuyết Toán 10 Bài 20 KNTT được VnDoc.com sưu tầm và xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo. Mời các bạn cùng theo dõi bài viết dưới đây nhé.

1. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Nhận xét: Mỗi đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ là tập hợp những điểm có toa độ thoả mãn phương trình của đường thẳng đó. Vi vậy, bài toán tìm giao điểm của hai đường thẳng được quy về bài toán giải hệ gồm hai phương trình tương ứng. Trên mặt phẳng toạ độ, xét hai đường thẳng

${\Delta _1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0 và {\Delta _2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0.$ $Δ_{1} : a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0 v à Δ_{2} : a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0.$

Khi đó, toạ độ giao điểm của ${\Delta _1} và {\Delta _2}$ $Δ_{1} v à Δ_{2}$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l} {a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\\ {a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0 \end{array} \right.(*)$ ${\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0 \\ a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0 \end{cases} (*)$

${\Delta _1}$ $Δ_{1}$ cắt ${\Delta _2}$ $Δ_{2}$ tại $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ $M (x_{0}; y_{0})$ ⇔ hệ (*) có nghiệm duy nhất $\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ $(x_{0}; y_{0})$ .

${\Delta _1}$ $Δ_{1}$ song song với ${\Delta _2}$ $Δ_{2}$ ⇔ hệ (*) vô nghiệm.

${\Delta _1}$ $Δ_{1}$ trùng ${\Delta _2}$ $Δ_{2}$ ⇔ hệ (*) có vô số nghiệm.

Chú ý

Dựa vào các vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}}$ $\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}$ hoặc các vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}}$ $\vec{n_{1}}, \vec{n_{2}}$ của $\overrightarrow {{\Delta _1}} ,\overrightarrow {{\Delta _2}}$ $\vec{Δ_{1}}, \vec{Δ_{2}}$ ta có:

+ ${{\Delta _1}}$ $Δ_{1}$ và ${{\Delta _2}}$ $Δ_{2}$ song song hoặc trùng nhau ⇔ $\overrightarrow {{u_1}} và \overrightarrow {{u_2}}$ $\vec{u_{1}} v à \vec{u_{2}}$ cùng phương ⇔ $\overrightarrow {{n_1}}$ $\vec{n_{1}}$ và $\overrightarrow {{n_2}}$ $\vec{n_{2}}$ cùng phương.

+ ${{\Delta _1}}$ $Δ_{1}$ và ${{\Delta _2}}$ $Δ_{2}$ cắt nhau ⇔ $\overrightarrow {{u_1}} và \overrightarrow {{u_2}}$ $\vec{u_{1}} v à \vec{u_{2}}$ không cùng phương ⇔ $\overrightarrow {{n_1}}$ $\vec{n_{1}}$ và $\overrightarrow {{n_2}}$ $\vec{n_{2}}$ không cùng phương.

Ví dụ: Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng $\Delta :x - \sqrt 2 y + 4\sqrt 3 = 0$ $Δ : x - \sqrt{2} y + 4 \sqrt{3} = 0$ và mỗi đường thẳng sau:

$\begin{array}{l} {\Delta _1}:\sqrt 3 x - \sqrt 6 y + 12 = 0;\\ {\Delta _2}:\sqrt 2 x - 2y = 0. \end{array}$ $\begin{array}{l} Δ_{1} : \sqrt{3} x - \sqrt{6} y + 12 = 0; \\ Δ_{2} : \sqrt{2} x - 2 y = 0. \end{array}$

Giải

Vì $\begin{array}{l} x - \sqrt 2 y + 4\sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \sqrt 3 \left( {x - \sqrt 2 y + 4\sqrt 3 } \right) = 0\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \sqrt 3 x - \sqrt 6 y + 12 = 0. \end{array}$ $\begin{array}{l} x - \sqrt{2} y + 4 \sqrt{3} = 0 \Leftrightarrow \sqrt{3} (x - \sqrt{2} y + 4 \sqrt{3}) = 0 \\ \Leftrightarrow \sqrt{3} x - \sqrt{6} y + 12 = 0. \end{array}$

Vậy ${{\Delta}}$ $Δ$ và ${{\Delta _1}}$ $Δ_{1}$ là một, tức là chúng trùng nhau.

Hai đường thẳng ${{\Delta}}$ $Δ$ và ${{\Delta _2}}$ $Δ_{2}$ có hai vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n \left( {1; - \sqrt 2 } \right)$ $\vec{n} (1; - \sqrt{2})$ và $\overrightarrow {{n_2}} \left( {\sqrt 2 ; - 2} \right)$ $\vec{n_{2}} (\sqrt{2}; - 2)$ cùng phương.

Do đó, chúng song song hoặc trùng nhau. Mặt khác, điểm O(0; 0) thuộc đường thẳng ${{\Delta _2}}$ $Δ_{2}$ nhưng không thuộc đường thẳng ${{\Delta}}$ $Δ$ nên hai đường thẳng này không trùng nhau.

Vậy ${{\Delta}}$ $Δ$ và ${{\Delta _2}}$ $Δ_{2}$ song song với nhau.

Nhận xét: Giả sử hai đường thẳng ${\Delta _1}$ $Δ_{1}$ , ${{\Delta _2}}$ $Δ_{2}$ có hai vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}}$ $\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}$ (hay hai vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}}$ $\vec{n_{1}}, \vec{n_{2}}$ ) cùng phương. Khi đó:

+ Nếu ${\Delta _1}$ $Δ_{1}$ Và ${{\Delta _2}}$ $Δ_{2}$ có điểm chung thì ${\Delta _1}$ $Δ_{1}$ trùng ${{\Delta _2}}$ $Δ_{2}$ .

+ Nếu tồn tại điểm thuộc ${\Delta _1}$ $Δ_{1}$ nhưng không thuộc ${{\Delta _2}}$ $Δ_{2}$ thì ${\Delta _1}$ $Δ_{1}$ song song với ${{\Delta _2}}$ $Δ_{2}$ .

2. Góc giữa hai đường thẳng

- Hai đường thẳng cắt nhau tạo thành bốn góc, số đo của góc không tù được gọi là số đo góc (hay đơn giản là góc) giữa hai đường thẳng.

- Góc giữa hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau được quy ước bằng 0°.

- Cho hai đường thẳng

${\Delta _1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0 và {\Delta _2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0.$ $Δ_{1} : a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0 v à Δ_{2} : a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0.$

Với các vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_1}} \left( {{a_1};{b_1}} \right)$ $\vec{n_{1}} (a_{1}; b_{1})$ và $\overrightarrow {{n_2}} \left( {{a_2};{b_2}} \right)$ $\vec{n_{2}} (a_{2}; b_{2})$ trong ứng. Khi đó, góc $\varphi$ $φ$ giữa hai đường thằng đó được xác định thông qua công thức

$cos\varphi = \left| {cos\left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {b_1}^2} .\sqrt {{a_2}^2 + {b_2}^2} }}$ $c o s φ = | c o s (\vec{n_{1}}, \vec{n_{2}}) | = \frac{| \vec{n_{1}}, \vec{n_{2}} |}{| \vec{n_{1}} | . | \vec{n_{2}} |} = \frac{| a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} |}{\sqrt{{a_{1}}^{2} + {b_{1}}^{2}} . \sqrt{{a_{2}}^{2} + {b_{2}}^{2}}}$

Chú ý

+ ${\Delta _1} \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_1}} \bot \overrightarrow {{n_2}} \Leftrightarrow {a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} = 0$ $Δ_{1} ⊥ Δ_{2} \Leftrightarrow \vec{n_{1}} ⊥ \vec{n_{2}} \Leftrightarrow a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} = 0$ .

+ Nếu ${\Delta _1}$ $Δ_{1}$ , ${{\Delta _2}}$ $Δ_{2}$ có các vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}}$ $\vec{u_{1}}$ , $\overrightarrow {{u_2}}$ $\vec{u_{2}}$ thì góc $\varphi$ $φ$ giữa ${\Delta _1}$ $Δ_{1}$ và ${{\Delta _2}}$ $Δ_{2}$ cũng được xác định thông qua công thức $cos\varphi = \left| {cos\left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right|$ $c o s φ = | c o s (\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}) |$

Ví dụ: Tỉnh góc giữa hai đường thằng

${\Delta _1}:\sqrt 3 x - y + 2 = 0 và {\Delta _2}:x - \sqrt 3 y - 2 = 0.$ $Δ_{1} : \sqrt{3} x - y + 2 = 0 v à Δ_{2} : x - \sqrt{3} y - 2 = 0.$

Giải

Vectơ pháp tuyến của ${\Delta _1}$ $Δ_{1}$ là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {\sqrt 3 ; - 1} \right)$ $\vec{n_{1}} = (\sqrt{3}; - 1)$ , của ${{\Delta _2}}$ $Δ_{2}$ là $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1; - \sqrt 3 } \right)$ $\vec{n_{2}} = (1; - \sqrt{3})$ .

Gọi $\varphi$ $φ$ là góc giữa hai đường thẳng ${\Delta _1}$ $Δ_{1}$ và ${{\Delta _2}}$ $Δ_{2}$ . Ta có

$cos\varphi = \left| {cos\left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {\sqrt 3 .1 + \left( { - 1} \right).\left( { - \sqrt 3 } \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.$ $c o s φ = | c o s (\vec{n_{1}}, \vec{n_{2}}) | = \frac{| \vec{n_{1}}, \vec{n_{2}} |}{| \vec{n_{1}} | . | \vec{n_{2}} |} = \frac{| \sqrt{3} .1 + (- 1) . (- \sqrt{3}) |}{\sqrt{{(\sqrt{3})}^{2} + {(- 1)}^{2}} . \sqrt{1^{2} + {(- \sqrt{3})}^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{2} .$

Do đó, góc giữa ${\Delta _1}$ $Δ_{1}$ và ${{\Delta _2}}$ $Δ_{2}$ là $\varphi = {30^0}$ $φ = 30^{0}$ .

3. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ $M (x_{0}; y_{0})$ và đường thẳng $\Delta :ax + by + c = 0$ $Δ : a x + b y + c = 0$ . Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ${{\Delta}}$ $Δ$ , kí hiệu là $d\left( {M,\Delta } \right)$ $d (M, Δ)$ , được tính bởi công thức

$d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$ $d (M, Δ) = \frac{| a x_{0} + b y_{0} + c |}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Ví dụ: Tính khoảng cách từ điểm M(2; 4) đến đường thẳng ${{\Delta}}$ $Δ$ :3x + 4y - 12 = 0.

Giải

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ${{\Delta}}$ $Δ$ , ta có

$d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.2 + 4.4 - 12} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \frac{{10}}{5} = 2$ $d (M, Δ) = \frac{| 3.2 + 4.4 - 12 |}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}} = \frac{10}{5} = 2$

Vậy khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ${{\Delta}}$ $Δ$ là 2.

Trên đây VnDoc.com vừa gửi tới bạn đọc bài viết Lý thuyết Toán 10 Bài 20 KNTT. Hi vọng qua bài viết này bạn đọc có thêm tài liệu bổ ích nhé. Mời các bạn cùng tham khảo thêm mục Giải Toán 10 KNTT, Lý thuyết Toán 10 KNTT, Trắc nghiệm Toán 10 KNTT...