Lý thuyết Toán 10 Bài 21 KNTT

Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Toán 10 Kết nối tri thức bài Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

1. Phương trình đường tròn
2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

VnDoc.com xin gửi tới bạn đọc bài viết Lý thuyết Toán 10 Bài 21 KNTT để bạn đọc cùng tham khảo. Mời các bạn cùng theo dõi bài viết.

1. Phương trình đường tròn

Điểm $M\left( {x;y} \right)$ $M (x; y)$ thuộc đường tròn (C), tâm ((a; b), bán kính R khi và chỉ khi

${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}. (1)$ ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = R^{2} . (1)$

Ta gọi (1) là phương trình của đường tròn (C).

Ví dụ: Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C) có phương trình: ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 16$ ${(x - 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 16$ . Viết phương trình đường tròn (C') có tâm J(2; - 1) và có bán kinh gấp đôi bán kính đường tròn (C).

Giải

Ta viết phương trình của (C) ở dạng ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - \left( { - 3} \right)} \right)^2} = {4^2}$ ${(x - 2)}^{2} + {(y - (- 3))}^{2} = 4^{2}$

Vậy (C) có tâm I = (2;- 3) và bán kính R= 4.

Đường tròn (C') có tâm J(2; - 1) và có bán kinh R'= 2R= 8, nên có phương trình ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 64$ ${(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 64$ .

Nhận xét: Phương trình (1) tương đương với ${x^2} + {y^2} - 2{\rm{a}}x - 2by + \left( {{{\rm{a}}^2} + {b^2} - {R^2}} \right) = 0$ $x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + (a^{2} + b^{2} - R^{2}) = 0$ .

Phương trình ${x^2} + {y^2} - 2{\rm{a}}x - 2by + c = 0$ $x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$ là phương trình của một đường tròn (C) khi và chỉ khi ${a^2} + {b^2} - c > 0$ $a^{2} + b^{2} - c > 0$ . Khi đó, (C) có tâm I(a; b) và bán kính R = $\sqrt {{a^2} + {b^2} - c}$ $\sqrt{a^{2} + b^{2} - c}$

Ví dụ: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm A(2; 0), B(0; 4), C(-7: 3).

Giải

Các đoạn thẳng AB, AC tương ứng có trung điểm là M(1 2), $N\left( { - \frac{5}{2};\frac{3}{2}} \right)$ $N (- \frac{5}{2}; \frac{3}{2})$ . Đường thẳng trung trực ${\Delta _1}$ $Δ_{1}$ của đoạn thằng AB đi qua M(1, 2) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {AB} \left( { - 2;{\rm{ }}4} \right)$ $\vec{A B} (- 2; 4)$ .

Vì $\overrightarrow {AB} \left( { - 2;{\rm{ }}4} \right)$ $\vec{A B} (- 2; 4)$ cùng phương với $\overrightarrow n \left( {1; - 2} \right)$ $\vec{n} (1; - 2)$ nên ${\Delta _1}$ $Δ_{1}$ cũng nhận $\overrightarrow n \left( {1; - 2} \right)$ $\vec{n} (1; - 2)$ là vectơ pháp tuyến.

Do đó, phương trình của ${\Delta _1}$ $Δ_{1}$ là

1(x - 1) - 2(y - 2)= 0 hay x - 2y + 3 = 0.

Đường thẳng trung trực ${\Delta _2}$ $Δ_{2}$ của đoạn thẳng AC đi qua $N\left( { - \frac{5}{2};\frac{3}{2}} \right)$ $N (- \frac{5}{2}; \frac{3}{2})$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {AC} \left( { - 9,{\rm{ }}3} \right)$ $\vec{A C} (- 9, 3)$ .

Vì A€(-9; 3) cùng phương với n; (3 - 1) nên Az cũng nhận n; (3 - 1) là vectơ pháp tuyến.

Do đó, phương trinh của ${\Delta _2}$ $Δ_{2}$ là

$3\left( {x + \frac{5}{2}} \right) - 1\left( {y - \frac{3}{2}} \right) = 0$ $3 (x + \frac{5}{2}) - 1 (y - \frac{3}{2}) = 0$ hay 3x - y + 9 = 0

Tâm I của đường tròn (C) cách đều ba điểm A, B, C nên I là giao điểm của ${\Delta _1}$ $Δ_{1}$ và ${\Delta _2}$ $Δ_{2}$ .

Vậy toạ độ của I là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} x - 2y + 3 = 0\\ 3x - y + 9 = 0 \end{array} \right.$ ${\begin{cases} x - 2 y + 3 = 0 \\ 3 x - y + 9 = 0 \end{cases}$

Suy ra I(-3; 0). Đường tròn (C) có bán kính là IA = 5. Vậy phương trình của (C) là ${\left( {x + 3} \right)^2} + {y^2} = 25.$ ${(x + 3)}^{2} + y^{2} = 25.$

2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Cho điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ $M (x_{0}; y_{0})$ thuộc đường tròn (C): ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}$ ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = R^{2}$ (tâm I(a; b), bán kính R). Khi đó, tiếp tuyến $\Delta$ $Δ$ của (C) tại $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ $M (x_{0}; y_{0})$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {MI} = \left( {a - {x_0};b - {y_0}} \right)$ $\vec{M I} = (a - x_{0}; b - y_{0})$ và phương trình

$\left( {a - {x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + \left( {b - {y_0}} \right)\left( {y - {y_0}} \right) = 0$ $(a - x_{0}) (x - x_{0}) + (b - y_{0}) (y - y_{0}) = 0$

Ví dụ: Cho đường tròn (C) có phương trình ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 5$ ${(x + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 5$ . Điểm M(0; 1) có thuộc đường tròn (C) hay không? Nếu có, hãy viết phương trình tiếp tuyến tại M của (C).

Giải

Do ${\left( {0 + 1} \right)^2} + {\left( {1 - 3} \right)^2} = 5$ ${(0 + 1)}^{2} + {(1 - 3)}^{2} = 5$ , nên điểm M thuộc (C).

Đường tròn (C) có tâm là I(-1; 3). Tiếp tuyến của (C) tại M(0; 1) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {MI} = \left( { - 1;2} \right)$ $\vec{M I} = (- 1; 2)$ , nên có phương trình

$- 1\left( {x - 0} \right) + 2\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 2 = 0.$ $- 1 (x - 0) + 2 (y - 1) = 0 \Leftrightarrow x - 2 y + 2 = 0.$

Trên đây VnDoc.com vừa gửi tới bạn đọc bài viết Lý thuyết Toán 10 Bài 21 KNTT. Hi vọng qua bài viết này bạn đọc có thêm tài liệu bổ ích để học tập nhé. Mời các bạn cùng tham khảo thêm mục Giải Toán 10 KNTT, Lý thuyết Toán 10 KNTT, Trắc nghiệm Toán 10 KNTT...